Operadores Unitarios

Operadores Unitarios
1.
Definición y Propiedades Básicas
Llamamos operador UNITARIO al que cumple que U † = U −1 .
1. Conserva productos escalares:
(U w, U v) = (U † U w, v) = (U −1 U w, v) = (w, v)
2. Por tanto conserva las normas:
(U v, U v) = (U † U v, v) = (U −1 U v, v) = (v, v)
3. Y por la misma razón convierte Bases Ortogonales en Bases Ortogonales. Si vα es
BO, U vα tambien es BO: Por un lado se mantiene la ortogonalidad. (U vα , U vβ ) =
(vα , vβ ) = 0
y por otro la base se mantendrá completa. La definición de U implica la existencia
U −1 . Por consiguiente U vγ 6= U vγ ′
4. Si U1 y U2 son unitarios, el producto U1 U2 es unitario :
(U1 U2 )† = U2† U1† = U2−1 U1−1 = (U1 U2 )−1
5. U −1 = U † es unitario.
6. I es unitario.
2.
Espectro de Unitarios.
Queremos resolver
U vα = λα vα
(1)
Por un lado utilizando la ecuación de autovalores.
(U vα , U vα ) = (λα vα , λα vα ) = |λα |2 (vα , vα )
(2)
Por otro lado utilizando la unitariedad.
(U vα , U vα ) = (vα , vα )
(3)
(vα , vα ) = |λα |2 (vα , vα )
(4)
Entonces
y por consiguiente |λα |2 = 1. Es decir, los autovalores están en la circunferencia unidad.
1
3.
Ejemplos
1. Rotaciones en el plano
cos(θ) − sin(θ)
R(θ) =
sin(θ) cos(θ)
cos(−θ) − sin(−θ)
cos(θ) sin(θ)
−1
R (θ) = R(−θ) =
=
sin(−θ) cos(−θ)
− sin(θ) cos(θ)
R(θ1 )R(θ2 ) = R(θ1 + θ2 )
2. Rotaciones en el plano complejo.
En este caso conviene utilizar la forma polar z = ρeiθ . La rotación se reduce a la
multiplicación por una fase
R(φ)z = eiφ ρeiθ = ρei(θ+φ) =
(5)
Las propiedades de los unitarios se deducen inmediatamente
− iφ
R(φ)R(−φ) = eiφ e
(6)
=1
R(φ1 )R(φ2 ) = eiφ1 eiφ2 = ei(φ1 +φ2 )
(7)
3. Reflexiones sobre las funciones reales definidas en un intervalo simétrico [−L/2, L/2].
M f (x) = f (−x)
(8)
M M f (x) = M f (−x) = f (x)
(9)
Para toda f. Luego M −1 = M
ZL/2
f (x)M f (x)dx =
ZL/2
f (x)f (−x)dx =
=
ZL/2
f (−y)f (y)(−dy) =
(10)
M f (y)f (y)dy
(11)
L/2
−L/2
−L/2
−L/2
Z
f (−y)f (y)dy =
ZL/2
−L/2
−L/2
Es decir
M† = M
(12)
En conclusión. M es autoadjunta y unitaria. Luego sus autovalores estan simultaneamente en la recta real y en la circunferencia unidad. Necesariamente, deben ser {−1, 1}
2
4. Reflexiones en el plano:
Mxy f (x, y) = f (y, x) tambien satisface que M M = I luego su espectro vuelve a ser
{−1, 1}
Escogemos las autofunciones del Laplaciano en un recinto cuadrado
vnm (x, y) = sin(
mπy
nπx
) sin(
)
L
L
(13)
mπ 2
2
con λnm = ( nπ
L ) + ( L ) = λnm es decir vnm (x, y) son autovectores degenerados
vmn (x, y). Y estan conectados por la simetría:
Mxy vnm (x, y) = sin(
nπy
mπx
) sin(
) = vmn (x, y)
L
L
(14)
si tomamos que m = n vemos que vnn (x, y) no esta degenerado y posee la simetría, es
decir, es invariante ante el intercambio de x por y
Mxy vnn (x, y) = sin(
nπx
nπy
) sin(
) = vnn (x, y)
L
L
(15)
5. Traslaciones en el espacio de funciones complejas definidas sobre la recta real.
(16)
Ta f (x) = f (x + a)
Z∞
∗
(Ta f (x)) Ta f (x)dx =
Z∞
∗
(f (x + a)) f (x + a)dx =
f (y)∗ f (y)dy
(17)
−∞
−∞
−∞
Z∞
además existe (Ta )−1 de hecho se cumple que (Ta )−1 = T−a . Basta con ver que para
toda f (x)
T−a Ta f (x) = T−a f (x + a) = f (x)
(18)
y por tanto T−a Ta = I y T−a = (Ta )† . Esto se puede ver también explicitamente.
Z∞
−∞
∗
f (x) Ta f (x)dx =
Z∞
∗
f (x) f (x+a)dx =
Z∞
−∞
−∞
∗
f (y−a) f (y)dy =
Z∞
(T−a f (y))∗ f (y)dy
−∞
(19)
Nótese que las traslaciones en la recta real forman grupo pues cumplen que Ta+b =
Ta Tb , T−a = Ta−1 y T0 = Ta−a = Ta T−a = I
3
4.
Función de un Operador.
Supongamos que tenemos un polinomio de orden N, p(x) =
una función polinómica de un operador como
P (A) =
N
X
PN
n=0 an x
n
an xn
podemos definir
(20)
n=0
del mismo modo si tenemos una función analítica f (z) =
operador como función de otro
∞
X
an An
f (A) =
P∞
n=0 an z
n.
Podemos definir un
(21)
n=0
Si la función f es real y el operador A autoadjunto con espectro conocido:
(22)
Aui = λi ui
¿Como es el espectro de f(A)?
Se puede comprobar por recursión que
An ui = λni ui
(23)
pues An+1 ui = An Aui = λi An ui
f (A)ui =
∞
X
an An ui = (
∞
X
an λni )ui = f (λi )ui
(24)
n=0
n=0
es decir un operador autoadjunto y una función analítica de éste tienen autovectores comunes.
P
m
Una propiedad muy utilizada es que si g(x) = ∞
m=0 bm x entonces dos funciones de un
mismo operador autoadjunto conmutan:
[f (A), g(A)] = [
∞
X
(25)
an bm [An , Am ]
(26)
an A ,
n=0
∞
X
bm Am ]
n
m=0
el conmutador es una operación lineal
[f (A), g(A)] =
∞ X
∞
X
n=0 m=0
[An , Am ] = An+m − Am+n = 0
5.
(27)
Generadores de los grupos continuos.
Sea un grupo de operadores unitarios que dependen de un parámetro continuo a y U (a).
Supongamos además que, tal y como sucede con las traslaciones en la recta real y las
rotaciones en el plano se satisface que :
U (a + b) = U (a)U (b)
4
(28)
De donde se deduce por ejemplo que
U (0) = U (a − a) = U (a)U (−a) = U (a)U −1 (a) = I
(29)
U (a + δa) = U (a)U (δa)
(30)
U (a + δa) − U (a)
U (a)
dU
= lı́m
= lı́m
(I + Xδa + ... − I) = U (a)X
δa→0
δa→0 δa
da
δa
Donde hemos expandido en serie de la forma :
U (a + δa)f (x) = U (a) + U (a)Xδa + ...
(31)
(32)
Es decir U (a) satisface la ecuación diferencial en operadores
dU
= U (a)X
da
(33)
Que sugiere que la solución es U (a) = U (0) exp (aX). Podemos comprobar rigurosamente
esta solución de la siguiente forma:
U (a) = U (N δa) = U (δa) . . . U (δa) = [U (δa)]N =
|
{z
}
(34)
N
N
= (I + Xδa)
=
Xa
I+
N
N
(35)
podemos ahora tomar el límite en el que δa → 0 o lo que es lo mismo N → ∞
lı́m
N →∞
Xa
I+
N
N
= exp (aX)
(36)
Si queremos que el operador sea unitario se debe cumplir que U (a)† = U (a)−1 es decir
†
eaX = e−aX . Para ello X debe satisfacer X † = −X o lo que es lo mismo X = iA donde
A = A† .
U (a) = eiAa
A recibe el nombre de generador.
Ejemplo: Consideremos la traslación infinitesimal
Tδa f (x) = f (x + δa)
ahora
f (x + δa) ≃ f (x) + δa
df
d
= I + iδa(−i ) f (x)
dx
dx
(37)
(38)
d
el generador es K = −i dx
Ta = eiaK
5
(39)
Ta es función de K de lo que se concluye que Ta y K conmutan y tienen autofunciones
comunes. Las autofunciones de K son las soluciones de una ecuación diferencial muy sencilla.
Kφ(x) = −i
dφ
= kφ(x)
dx
(40)
Las autofunciones de K son φ(x) = A exp(ikx), donde k es el autovalor. Por ser Ta = eiaK ,
los autovalores de Ta serán eiak que son complejos y están en la circunferencia unidad.
Podemos comprobar ahora a posteriori que
Ta φ(x) = φ(x + a) = A exp [ik(x + a)] = exp (ika) exp (ikx)
6.
(41)
Transformaciones Unitarias
Llamaremos TRANSFORMACIÓN UNITARIA del operador autoadjunto H a U HU †
Problema: Si H = H † y Hv = λα vα . ¿Es U HU † autoadjunto? Si lo es, calcula su
espectro.
(U HU † )† = U (U H)† = U H † U † = U HU †
Utilizaremos que U † U = I
HU † U vα = λU † U vα
† −1
(U )
†
HU U vα = λU vα
†
(U HU )U vα = λU vα
(42)
(43)
(44)
Los autovalores siguen siendo {λα } y los autovectores correspondientes son {U vα }
Un caso particular de transformación unitaria es la simetría. Llamamos SIMETRÍA a
una transformación unitaria que deja a un operador autoadjunto H invariante U HU † = H
Utilizando las propiedades de los unitarios vemos que:
U H − HU = [U, H] = 0
(45)
Imaginemos que el espectro de H es NO DEGENERADO entonces
Hvα = λα vα
(46)
HU vα = U Hvα = U λα vα = λα U vα
(47)
Es decir como U vα es autovector de H con el mismo autovalor λα . Como no hay degeneración U vα debe ser proporcional a vα . Además, por ser unitario, esa constante de
proporcionalidad tiene que ser el autovalor de U para ese autovector.
U vα = eiφ vα
6
(48)
7.
Ecuación de evolución unitaria
Supongamos que tenemos una ecuación lineal de primer orden.
dψ(t)
= Aψ(t)
dt
(49)
donde A es independiente del tiempo. Supongamos además que esa ecuación de evolución
debe satisfacer que:
(ψ, ψ) = 1
(50)
Por consiguiente
d
(ψ, ψ) = 0
dt
(51)
Si desarrollamos las derivadas
(
i
h
dψ
dψ
, ψ) + (ψ,
) = (Aψ, ψ) + (ψ, Aψ) = (Aψ, ψ) + (A† ψ, ψ) = ( A + A† ψ, ψ) = 0 (52)
dt
dt
Ésto debe satisfacerse para todo ψ luego (A + A† ) = 0. Es decir A es antiautoadjunto
A† = −A con lo que podemos definir un autoadjunto H tal que A = −iH ′ . Nuestra ecuación
queda
dψ(t)
= H ′ ψ(t)
(53)
dt
Podemos comprobar que la evolución que hemos definido conserva necesariamente la
siguiente magnitud (ψ(t), H ′ ψ(t))
i
d
dψ
dψ
(ψ, H ′ ψ) = ( , ψ) + (ψ, H ′ ) = (−iH ′ ψ, H ′ ψ) + (ψ, H ′ (−iH ′ )ψ) =
dt
dt
dt
′
′
= (−iH ψ, H ψ) + (ψ, H ′ (−iH ′ )ψ) = i(ψ, H ′2 ψ) = 0
(54)
(55)
Volvamos a la ecuación
dψ(t)
= H ′ ψ(t)
dt
e integrémosla considerando que H’ es un operador independiente del tiempo
i
ψ(t) = exp (−iH ′ t)ψ(0)
(56)
(57)
La integración de esta ecuación se puede realizar de forma rigurosa del mismo modo que
hicimos más arriba.
dψ(t)
= −iH ′ ψ(t)
dt
Brevemente los pasos a seguir son:
ψ(t + ∆t) − ψ(t)
= −iH ′ ψ(t)
∆t→0
∆t
lı́m
7
(58)
(59)
Equivalentemente
ψ(t + ∆t) ∼ (I − i∆tH ′ )ψ(t)
(60)
iterando desde t = 0 hasta t
ψ(t) = lı́m (I − i
N →∞
t ′ N
H ) ψ(0) = exp (−iH ′ t)ψ(0)
N
(61)
Como H ′ es un autoadjunto entonces podemos definir:
U (t) = exp (−iH ′ t)
(62)
que necesariamente es unitario. A este operador se le llama operador de evolución. A
este tipo de evolución se le llama evolución unitaria.
8