Dinámica del Punto sobre Curva

Dinámica del Punto sobre Curva
Índice
1. Teoría general de la Dinámica del Punto sobre Curva
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Curva lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Curva lisa y móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Curva lisa y fija, con F̄ = F̄ (r̄) (campo estacionario)
1.3. Curva Rugosa (con rozamiento) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Curva Rugosa y Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Curva Rugosa y Fija (Ecuaciones Intrínsecas) . . . .
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2
2
2
2
4
4
4
5
2. Partícula pesada sobre curva lisa y fija
2.1. Ejemplo: Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
1
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1.
Teoría general de la Dinámica del Punto sobre Curva
1.1.
Introducción
Sea una partícula M de masa m que se
mueve por la curva C de ecuaciones implícitas:
S1 : f (r̄, t) = 0
C : S1 ∩ S2
(1)
S2 : g(r̄, t) = 0
que está sometida a la siguiente fuerza directamente aplicada:
˙ t)
F̄ = F̄ (r̄, r̄,
R̄
z
F̄
r̄
~t
M
S1
C
O
y
Se pretende resolver el problema directo
S2
de la Dinámica del Punto sobre Curva, es
x
decir, conocer el movimiento de la misma así como la reacción R̄ de la curva.
El versor tangente a la curva en un punto regular (∇f ∧ ∇g 6= 0̄) está definido por:
~t = ∇f ∧ ∇g
|∇f ∧ ∇g|
El plano normal a la curva en un punto regular está definido por el punto y una base
de vectores de su variedad normal: ΠN : {M; ∇f, ∇g}. La reacción normal que ejerce la
curva sobre la partícula M para que permanezca sobre ella puede expresarse, por tanto,
mediante la relación siguiente:
N̄ = λ∇f + µ∇g
En general, se tiene que:
R̄ = N̄ + F̄R
1.2.
(F̄R ∧ ~t = 0̄, N̄ · ~t = 0)
Curva lisa
1.2.1.
Curva lisa y móvil
Sea C una curva lisa (F̄R ≡ 0̄), por lo que la reacción de la misma sobre la partícula
es exclusivamente normal (R̄ = N̄) y puede ponerse como:
N̄ = λ∇f + µ∇g
Ecuaciones:
F̄ + N̄ = mγ̄
Dinámica
⇒
Geometría
⇒
F̄ + λ∇f + µ∇g = mγ̄ [3 EDO orden 2]
f (r̄, t) = 0
[1 EA]
g(r̄, t) = 0
[1 EA]
(2)
(1)
que constituyen un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
(2) y dos ecuaciones algebraicas (1).
Incógnitas:
qj (t) (j = 1, 2, 3) Movimiento
[3 incógnitas]
λ(t), µ(t)
Reacción Normal [2 incógnitas]
Con lo que el problema está matemáticamente cerrado.
Para simplificar se suele usar el siguiente planteamiento alternativo:
Representación paramétrica de la curva: r̄ = r̄(u, t) (No es única)
Versores del triedro intrínseco (Geometría diferencial):
~t(u, t) = r̄u ,
|r̄u |
~n(u, t) =
(~ru ∧ ~ruu ) ∧ ~ru
,
|(~ru ∧ ~ruu ) ∧ ~ru |
~b(u, t) = ~ru ∧ ~ruu
|~ru ∧ ~ruu |
(~b = ~t ∧ ~n)
Vector velocidad del punto (Cinemática):
v̄(u, u̇, t) =
dr̄
= r̄u u̇ + r̄t
dt |{z} |{z}
v̄rel
(3)
v̄ind
La primera parte abrazada v̄rel es la velocidad de M relativa a la curva considerada
como fija (congelada) con esa parametrización, mientras que el último término v̄ind es la
contribución a la velocidad de M inducida por el movimiento de la curva (que en general
no es fija).
Vector aceleración del punto (Cinemática):
γ̄(u, u̇, ü, t) = r̄u ü +r̄uu u̇2 + 2r̄ut u̇ + r̄tt
|{z}
(4)
k ~t
La recta tangente a la curva en un punto regular (r̄u 6= 0̄) se define mediante el punto
y su variedad tangente:
RT : {M; r̄u }
~t = r̄u
|r̄u |
Proyectando las ecuaciones sobre la variedad tangente y la normal:
RT : F̄ · r̄u = m γ̄ · r̄u
(movimiento) [1 EDO orden 2]
ΠN :
N̄ = ~t ∧ [(mγ̄ − F̄ ) ∧ ~t ]
(reacción) [2 EA]
(5)
(6)
Incógnitas:
u(t)
Movimiento
[1 incógnita]
Nn (t), Nb (t) Reacción Normal [2 incógnitas]
Con lo que el problema vuelve a estar matemáticamente cerrado, pero ahora la primera
ecuación está desacoplada de las dos últimas. Se resuelve primeramente el problema del
movimiento (5) y se lleva su solución (u = u(t)) a las ecuaciones algebraicas (6) que dan
la reacción normal.
Obsérvese que la reacción normal desarrolla potencia:
∂r̄
∂r̄
∂r̄
PN = N̄ · v̄ = N̄· u̇ + N̄ ·
= N̄ ·
6 0
=
∂t
∂t
∂u
y la ecuación de la Energía no resulta útil para resolver el problema del movimiento
desacoplado del problema de cálculo de las fuerzas de ligadura para curva no fija.
1.2.2.
Curva lisa y fija, con F̄ = F̄ (r̄) (campo estacionario)
Sea una partícula M, de masa m, que se mueve por la curva lisa y fija de ecuación
paramétrica C : r̄ = r̄(u) sometida a una fuerza directamente aplicada del tipo F̄ = F̄ (r̄).
Se pretende resolver el problema directo de la Dinámica del Punto sobre Curva, es decir,
conocer el movimiento de la partícula y la reacción que recibe de la curva.
Por ser una curva fija ya sabemos que la propia curva es la trayectoria del punto. Solo
quedan como incógnitas la ecuación horaria (1 inc.) y la reacción normal (2 incs.).
La reacción normal no trabaja, por lo que nos será útil la Ecuación de la energía para
resolver el problema del movimiento:
d 1 2
( mv ) = F̄ · v̄
dt 2
Teniendo en cuenta que la partícula está obligada a moverse por la curva:
dr̄
v̄ =
= r̄ ′ (u)u̇
F̄ = F̄ (r(u))
dt
resulta:
d 1
1
( m|r̄ ′ (u)|2u̇2 ) = F̄ (u) · r̄ ′ (u)u̇ ⇒ d( m|r̄ ′ (u)|2u̇2 ) = F̄ (u) · r̄ ′ (u)du
dt 2
2
Definamos una función potencial de la forma:
Z u
V (u) = −
F̄ (ξ) · r̄ ′ (ξ) dξ
a
Como las fuerzas que trabajan derivan de una función potencial1 cuando nos movemos
sobre la curva (el trabajo elemental es una diferencial exacta), la ecuación de la energía
conduce a la integral de la energía y la solución del movimiento nos queda reducida a la
siguiente cuadratura:
r Z u
m
|r̄ ′ (ξ)|dξ
p
t − t0 = ±
2 u0 E − V (ξ)
1.3.
Curva Rugosa (con rozamiento)
1.3.1.
Curva Rugosa y Móvil
Sea una partícula M, de masa m, que se mueve por la curva rugosa de ecuación paramétrica C : r̄ = r̄(u, t) y coeficiente de rozamiento f , sometida a una fuerza directamente
aplicada del tipo F̄ = F̄ (r̄, v̄, t). Se pretende resolver el problema directo de la Dinámica
del punto sobre curva, es decir, conocer el movimiento de la partícula y la reacción R̄ que
recibe de la curva.
La curva realiza sobre la partícula una reacción genérica, que se expresa mediante sus
componentes tangencial y normal en la forma:
R̄ = F̄R + N̄
1
(F̄R ∧ ~t = 0̄,
Potencial ordinario y estacionario
N̄ · ~t = 0)
La incógnita asociada a la fuerza de rozamiento se relaciona con las incógnitas del
caso de curva lisa mediante la ecuación que proporciona el modelo de rozamiento de
Coulomb–Morin para la misma:
v̄rel (3)
r̄u u̇
u̇ ~
F̄R = −f |N̄|
= −f |N̄|
= −f |N̄|
t
(7)
|v̄rel |
|r̄u ||u̇|
|u̇|
|{z}
sign(u̇)
La ecuación de cantidad de movimiento proporciona 3 ecuaciones independientes:
mγ̄ = F̄ + F̄R + N̄
(3 ecs.)
Expresamos la aceleración y la fuerza directamente aplicada en sus componentes tangencial y normal:
γ̄ = (γ̄ · t̄)t̄ + [~γ − (γ̄ · t̄)t̄] = (γ̄ · t̄)t̄ + t̄ ∧ (γ̄ ∧ t̄)
| {z } | {z }
γ̄t
γ̄πN
F̄ = (F̄ · t̄)t̄ + [F~ − (F̄ · t̄)t̄] = (F̄ · t̄)t̄ + t̄ ∧ (F̄ ∧ t̄)
| {z } | {z }
F̄t
F̄πN
La componente normal de la ecuación de cantidad de movimiento proporciona:
N̄(u, u̇, t) = ~t ∧ [(mγ̄ − F̄ ) ∧ ~t]
no depende de ü, ya que
∂γ̄n (4)
=
∂ ü
(8)
0̄, e introducida en la componente tangencial resulta:
m(γ̄ · t̄) = (F̄ · t̄) − f |N̄(u, u̇, t)|
u̇
|u̇|
→
1 E.D.O. de 2°orden en u(t)
(9)
que nos sirve para obtener u = u(t) y, por sustitución, obtenemos N̄ (t) = N̄ (u(t), u̇(t), t)
de (8) y F̄R = F̄R (u(t), u̇(t), t) de (7).
1.3.2.
Curva Rugosa y Fija (Ecuaciones Intrínsecas)
Proyección de la ecuación de cantidad de movimiento
mγ̄ = F̄ + R̄
sobre el triedro intrínseco de una curva en un punto {M; ~t, ~n, ~b}
Teniendo en cuenta que las proyecciones sobre los versores del triedro intrínseco de los
vectores que aparecen en la ecuación de cantidad de movimiento:
dv ~ v 2
t + ~n
dt
ρ
F̄ = (F̄ · ~t) ~t + (F̄ · ~n) ~n + (F̄ · ~b)~b
R̄ = FR ~t + Nn ~n + Nb ~b
γ̄ =
obtenemos las ecuaciones intrínsecas del movimiento de una partícula por una curva,
que son:
dv
m = F̄ · ~t +FR
dt
v2
m = F̄ · ~n+Nn
ρ
0 = F̄ · ~b +Nb
2.
Partícula pesada sobre curva lisa y fija
Sea una partícula pesada M de masa m que se mueve por la curva C lisa y fija, de
ecuación paramétrica r̄ = r̄(u), donde el eje Oz es la vertical ascendente. Se pretende
resolver el problema directo de la Dinámica del Punto sobre Curva, es decir, conocer el
movimiento de la partícula y la reacción que recibe de la curva.
De acuerdo a los resultados de 1.2.2 estamos en presencia de un caso de sistema
conservativo (al que puede aplicarse el análisis cualitativo para el estudio de la evolución
de u en el tiempo) donde el potencial vale:
V (u) = mgz(u)
y la energía mecánica se expresa en la forma:
v02
1 2
E = mv0 + mgz0 = mga
(a = z0 + )
2
2g
donde a es la altura constante del plano horizontal de puntos de parada del movimiento,
en el que toda la energía del punto es potencial.
Retomando la solución del apartado 1.2.2 se tiene:
Z u
1
|r̄ ′ (ξ)|dξ
√
p
t − t0 = ±
2g u0 a − z(ξ)
Las soluciones de la ecuación z(u) = a proporcionan los puntos de parada del movimiento por la curva. El tiempo de acceso al punto de parada correspondiente a u =
u∗ | z(u∗ ) = a se define mediante la siguiente integral impropia:
Z u∗
1
|r̄ ′ (ξ)|dξ
∗
√
p
T = (±)
2g u0
a − z(ξ)
cuya convergencia depende del orden de la raíz del denominador en u∗ :
a − z(u) = (u − u∗ )β φ(u) | φ(u∗ ) 6= 0
que es finito cuando es la integral impropia es convergente (β < 2) e infinito si es divergente
(β ≥ 2). Para el caso convergente, el punto de parada es de cambio de sentido si β = 1 y
de parada perpetua si 1 < β < 2.
2.1.
Ejemplo: Péndulo simple
Consiste en el movimiento de una partícula pesada de masa m por una circunferencia
lisa contenida en un plano vertical. Supongamos que la circunferencia se define mediante
las ecuaciones x2 + z 2 = l2 , y = 0, donde Oz es la vertical ascendente. Sin pérdida de
generalidad2 , se consideran las siguientes condiciones iniciales:
t = t0 : r̄0 = −l~k, v̄0 = v0~ı
El potencial para cualquier partícula pesada en ese sistema de referencia vale V = mgz.
Eligiendo como coordenada generalizada el ángulo θ que el radio vector de la partícula
forma con la vertical descendente se tiene:
z = −l cos θ,
2
V (θ) = −mgl cos θ (θ ∈ [−π, π])
Se demostrará que cualquier condición inicial puede ser un estado anterior o posterior de una como
la que se plantea
y las condiciones iniciales quedan como sigue:
v0
t = t0 : θ0 = 0, θ̇0 =
l
La constante de integración asociada a la conservación de la energía mecánica se escribe
de la siguiente forma:
1
v2
T + V = E = mv02 − mgl = mga
(a = −l + 0 )
2
2g
donde z = a es el plano de puntos de parada del movimiento y la integral de la energía
conduce a:
s Z
θ
l
dθ
pa
t − t0 = ±
2g 0
+ cos θ
l
El diagrama energético en variables adimensionales (θ, Ṽ(θ) = − cos θ) (ver Figura 1)
indica que hay cuatro tipos diferentes de movimientos en función de Ẽ = a/l:
caso color
altura
velocidad
Movimiento
1)
rojo
a = −l
v0 = 0
Reposo (Equilibrio estable)
√
2)
naranja −l < a < l 0 < v0 √
< 2 gl Libración
3)
verde
a=l
v0 = 2√gl
Tendencia asintótica
Rotación
4)
azul
a>l
v0 > 2 gl
El espacio de fases de un sistema mecánico de n coordenadas generalizadas es un
espacio 2n-dimensional donde cada dimensión está asociada a una de las variables hamiltonianas del sistema (coordenadas y velocidades generalizadas). El diagrama de fases es
la representación de las trayectorias en el espacio de fases considerado como referencia
cartesiana.
˜
Para el péndulo simple es un sistema cartesiano bidimensional de ejes (θ, θ̇) (ver Figura
1). La ecuación
que proporciona las trayectorias en el plano de fases es:
s
r
l
a
˜
θ̇ =
θ̇ = ±
+ cos θ
2g
l
La reacción normal se puede calcular en función de la posición de la partícula entrando
con la ecuación de la energía en la componente según la normal principal de la ecuación
de cantidad de movimiento:
v2
z
2g
mg
N − mg cos θ = m
⇒ N + mg = m (a − z) → N(z) =
(2a − 3z)
l
l
l
l
Si la ligadura es unilateral, existe la posibilidad de desprendimiento de la partícula
cuando la normal cambie de signo, lo que se produce en la cota de desprendimiento
z d = 2a/3.
Casos:
√
1. −l ≤ a ≤ 0 (0 ≤ v0 ≤ 2gl) ⇒ z d ≥ a:
La cota de desprendimiento está por encima del plano de puntos de parada. No
puede haber desprendimiento.
√
√
2. 0 < a ≤ 32 l ( 2gl < v0 ≤ 5gl) ⇒ z d < a:
La cota de desprendimiento está por debajo del plano de puntos de parada. Hay
desprendimiento.
√
3. 32 l < a ( 5gl < v0 ) ⇒ z d > l:
No hay desprendimiento, porque la cota de desprendimiento está por encima de la
posición más alta del péndulo.
Diagrama Energetico del Pendulo Simple
2
Ṽ , Ẽ
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
θ
–1
Plano de Fases del Pendulo Simple
1.5
1
θ̇˜
0.5
–3
–2
–1
0
–0.5
1
2
3
θ
–1
–1.5
Figura 1: Diagrama energético y Diagrama de fases del péndulo simple