ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS ASIGNATURA: TEMA: ESTÁTICA ESTRUCTURAL CENTROIDES ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V CENTROIDES: CENTRO DE GRAVEDAD. CENTRO DE MASA. CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE. EJEMPLO. INICIO ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V CENTRO DE GRAVEDAD. Considerando un sistema de n partículas fijo dentro del sistema de referencia global XG , YG y ZG. Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzas paralelas al eje global ZG, cuyas coordenadas Xi y Yi se conocen. Yn Xn ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO DE GRAVEDAD. El sistema de fuerzas paralelas, se puede sustituir por un solo peso resultante o equivalente en un punto definido de aplicación. Este punto de aplicación se llama centro de gravedad. El peso resultante o equivalente es igual a la suma de todos los pesos: ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO DE GRAVEDAD. La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto a los ejes XG, y YG, es igual al momento que produce el peso resultante WR respectivamente a esos ejes. La sumatoria de momentos respecto al eje YG es: La sumatoria de momentos respecto al eje XG es: Donde xi y yi son las coordenadas de cada partícula Wi respecto al sistema de referencia. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO DE GRAVEDAD. Finalmente la fuerza resultante WR y sus coordenadas quedan de la siguiente forma: WR yC xC G Donde: WR xC y yC es la suma de todos los pesos de todo el sistema de partículas. son las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas. REGRESAR ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V CENTRO DE MASA. Considerando la 2ª Ley de Newton: F = ma que también se puede escribir como: W = mg y suponiendo que la aceleración de la gravedad g para cada partícula es constante, se tiene: La suma de los momentos de las masas de todas las partículas respecto a los ejes XG y YG, es igual al momento de la masa resultante mR respectivamente a esos ejes: ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO DE MASA. La sumatoria de momentos respecto al eje YG es: La sumatoria de momentos respecto al eje XG es: Donde Xi y Yi son las coordenadas de cada partícula mi respecto al sistema de referencia. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO DE MASA. Finalmente la masa resultante mR y sus coordenadas del punto de aplicación quedan de la siguiente forma: mR YC XC Donde: mR xC y yC Cm es la suma de todas las masas de todo el sistema de partículas. son las coordenadas del centro de masas Cm del sistema de partículas. REGRESAR ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE. Considerando un sistema de referencia global XG, YG y ZG. Si se tiene una superficie, ésta se puede dividir en n áreas o elementos diferenciales de área, dA i, como se muestra en la figura. Yn Xn ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE. De las áreas de las n partículas se puede hacer una sumatoria de momentos de primer orden respecto a los ejes en que está contenida la superficie. De forma similar a un centro de gravedad se puede calcular un punto donde se puede concentrar toda el área de la superficie, o área resultante o equivalente. A este punto de aplicación se llama centro geométrico. El área total de la superficie se puede obtener de la siguiente forma: ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE. La sumatoria de momentos respecto al eje YG es: La sumatoria de momentos respecto al eje XG es: Donde xi y yi son las coordenadas de dAi respecto al sistema de referencia. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE. Finalmente las coordenadas del centro geométrico de la superficie se obtiene con las siguientes expresiones: REGRESAR ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Las coordenadas del centro geométrico (centroide) de la superficie se obtiene con las siguientes expresiones: ESTÁTICA ESTRUCTURAL … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Obtener el centroide de la figura de área triangular de base a y altura b, que se muestra en la figura siguiente: TEMA V ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. En la figura, el elemento diferencial de base dx y altura y, recorre a la figura desde un valor 0 hasta una distancia a, por lo que se tiene: Su área es: dA = ydx , por lo que su área se calcula como: ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Calculando momentos de primer orden respecto al eje Y, se tiene: ESTÁTICA ESTRUCTURAL … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es: TEMA V ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Calculando momentos de primer orden respecto al eje X, se tiene: ESTÁTICA ESTRUCTURAL … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es: TEMA V ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V … CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO. Sus coordenadas centroidales quedan de la siguiente forma: REGRESAR