EJERCICIOS - MÓDULO 1

Seminario Universitario – Matemática
EJERCICIOS - MÓDULO 1
Un poco de Lógica...
1) Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, y en aquellas que lo
sean identificar cuáles son proposiciones son simples y cuáles son compuestas, y
simbolizarlas:
a) Ángela y Fiorella son hermanas.
b) ¡Qué calor!
c) Hace calor.
d) Es sábado.
e) No es cierto que Juan habla francés e inglés.
f) Llueve.
g) Hace calor y tengo ganas de ir a la playa.
h) Tengo hambre, frío y no consigo un taxi.
i) Los alumnos de este curso son inteligentes o estudian mucho.
j) Si un número es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.
k) 5 es un número primo.
l) El príncipe se casará con Blancanieves o con Cenicienta.
m) Si llueve, entonces las calles están mojadas.
n) Si un alumno realiza correctamente el 70% del examen, está aprobado.
o) Para aprobar el examen se debe contestar correctamente los ítems 1 ó 2.
p) Victoria irá al estadio si, y sólo si, juega su amigo Adrián.
q) Los números 2 y 7 son primos.
r) Los estudiantes Diego y Fernando son primos.
s) En el restaurante pido como postre helado o flan.
t) ¿Qué hora es?
u) Si la sequía persiste no sólo se secarán los pastos sino que aumentarán los incendios
forestales.
v) ¡Bravo! ¡Excelente!
2) Sea p : “llueve”, q : “hace frío”, r : “voy a la playa”. Expresar en lenguaje coloquial las
siguientes proposiciones:
a) (p  q)  – r ;
c) –p  –q ;
b) (p  q)  – r ;
d) – (p  q)  r .
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Seminario Universitario – Matemática
3) Confeccionar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
a) – (p  q) ;
e) (p  q)  (q  – p) ;
b) – p  q ;
f) (q  p)  (p  q) ;
c) (– p  q)  – q ;
g) (p  q)  – p ;
d) (p  q)  – q ;
h) – (p  – q)  – (p  q).
4) Demostrar que el valor de verdad de las siguientes proposiciones es verdadero:
a) – (p  q)  (– p  – q);
d) (p  q)  (– p  q);
b) – (p  q)  (– p  – q);
e) – (p  q)  (p  – q);
c) (p  q)  (– p  q);
f)
p  (–p  q)  (p  q).
5) Si se sabe que p  – q es falso, usar esto para proporcionar los valores de verdad de:
a) –p  q ;
b) p  q ;
c) q  p ;
d) p  q .
6) Completar la frase según corresponda:
a) Si p  q es falso, el valor de p es ……………… y el de q es ………………
b) Si p  q es verdadero, el valor de p es falso y el de q es ………………
c) Si p  –q es falso, el valor de verdad de p es ……………… y el de q es falso.
7) Sea p : “Marta es prima de Pedro”, q : “Julián es primo de Marta”, r : “María es la novia
de Pedro” y s : “Julián está enamorado de Lucía”. Suponiendo que: p es V , q es F , r es
F y s es V, averiguar el valor de verdad de los siguientes enunciados:
a) Marta es prima de Pedro y Julián está enamorado de Lucía.
b) Si María es la novia de Pedro y Marta es prima de Pedro, Julián es primo de Marta.
c) Si Julián es primo de Marta, María es la novia de Pedro y Marta es prima de Pedro.





8) Determinar el valor de verdad de A :  p  p  q    q  p  p  , sabiendo que:




q  p es verdadera.
9) Determinar los valores de verdad de verdad de p, q y r si la proposición
 q  p  r    q  q  r  es verdadera y q  r es falsa.
 








10) Usando los datos proporcionados en cada caso, obtener el valor de verdad pedido:
a) Si se sabe que: p  q es V y que r  p es F, determinar el valor de verdad de: (r
 q)  (r  q).
b) Sabiendo que p  q es F, r  p es F, determinar al valor de verdad de:
i) p  r ;
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Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
ii) – [p  (– r )]
11) Si la proposición – [(q  s)  (p  r )] es verdadera, y teniendo en cuenta la
equivalencia entre la implicación y la disyunción: p  q  – p  q; hallar el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
a) (–s  – q)  (r  p)];
b) (p  q  r  s)  (p  r ).
12) Si la proposición [(– p  q)  – (r  q)]  [(r  s)  t ] es falsa, y siendo
hallar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r.
t  V;
13) Identificar las 4 proposiciones simples y escribir en símbolos la siguiente proposición
compuesta: "Si un dragón se enoja entonces te quedas paralizado del miedo. Y si te
quedas paralizado de miedo, el dragón te come; pero si apelas a su bondad no te come.
Por lo tanto, si un dragón se enoja debes apelar a su bondad"
14) Identificar las proposiciones simples, asignarles un nombre y escribir en símbolos la
siguiente proposición compuesta: “Si ahorro podré comprar un coche o no, pero si no
ahorro seguro que no podré comprarlo”.
15) Identificar las proposiciones simples, asignarles un nombre y escribir en símbolos la
siguiente proposición compuesta: "Si no pago la luz, entonces me cortarán el servicio
eléctrico. Pero si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Aunque
si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y sólo si
soy desorganizado".
20
Seminario Universitario – Matemática
Un poco de Conjuntos...
16) Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:
C: los números enteros comprendidos entre –3 y 5.
D: los números reales que sumados a 5 dan por resultado 8.
E: los números fraccionarios que elevados al cuadrado son menores a 3.
F: las rectas paralelas a la recta r.
G: las vocales.
17) Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A = {x   / 3  x  8}
B = {x   / –3  x  3}
C= {x   / x 2 = 4}
D = {x   / x 2 = –1}
18) Sea A = {x   / x + 1  7}, completar las siguientes afirmaciones con , ,  o 
según corresponda:
2...... A
7 ...... A
3;4;5...... A
 ...... A
3;4...... A
.......A
3;0...... A
x ...... A
19) Resolver las siguientes operaciones y realizar los diagramas de Venn, con los conjuntos
A = {x   / x + 1  7} y B = {2; 4; 6; 8}
A B
A B
A B
A
B
20) Resolver las siguientes operaciones y realizar los diagramas de Venn, con los conjuntos
C = {x /x es una consonante de la lengua española}; D = {a, m, n, ñ, r} y E = {x/x
es una vocal de la lengua española}, considerando como conjunto universal el
abecedario.
E D
C E
C D
D C
E
C D
D E
E D
E C
E D
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Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
Ejercicios de refuerzo...
Para los que ya estudiaron …
… Conjuntos:
21) Dados los conjuntos: A = {x   / x < 7} y B = {x   / –2  x  3} y sean las
proposiciones: p: “A – B = B – A” y q: “A  B = {–2; –1; 0;4; 5; 6; 7}”.
a) Establecer el valor de verdad de las proposiciones p y q. Justificar.
b) Confeccionar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
i) p si y sólo si no q; ii) q o bien p. Señalar en ellas el valor el valor de
verdad correspondiente a las proposiciones dadas.
… Números reales:
22) Dados los siguientes conjuntos cuyos elementos pertenecen a los números reales:
A   x / x  2 ; B   x / x  4 y C   x / 1  x  5 .
a) Establecer el valor de verdad de las proposiciones: p:
B  C   1;4  ;
q : A  B   ;2    4,   y r : A  C   2; 1  5;   .

 

b) ¿El valor de verdad de la proposición compuesta  r  q  p  r   q es Falso?


23) Dadas las proposiciones:
p: a m . a n = a m·n ; q: (a : b) n = a n : b n ; r: (a + b) n = a n + b n.
a) Indicar el valor de verdad de cada una de ellas, justificando enunciando la propiedad
o mostrando un contraejemplo.
b) Expresar simbólicamente y hallar construyendo la tabla de verdad completa la
siguiente proposición: i) no p o bien q; ii) Si q entonces r.
24) Dadas las proposiciones:
2
2
p: “ logb (x  4) = logb (x )  logb (4) ” ;
q: “ logb (x) = - log1/b (x) ” ;
r: “ logb (x  y) = logb (x) / logb (y) ” .
a) Indicar el valor de verdad de cada proposición con V (verdadero) o F (falso)
justificando la respuesta.
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Seminario Universitario – Matemática
b) Confeccionar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
i) no p si y sólo si q; ii) q y no r. Señalar en ellas el valor el valor de verdad
correspondiente a las proposiciones dadas.
25) Dados los siguientes conjuntos: A = {x   / x  –2}, B = {x   / x < 4} y C = {x  
/ –1 < x  5}; hallar: a) B  C; b) B  C; c) A  C; d) A  B. Expresar la solución en
notación de conjunto y como intervalos.
… Expresiones Algebraicas:
26) Asignar un nombre a cada proposición simple componente, escribir simbólicamente la
proposición compuesta y determinar su valor de verdad:
n
ab 
n
a  n b si y sólo si 2 x3 – 5 x2 – x – 2 es divisible por x + 2 o bien
1
log81    4 .
3
27) Dadas las siguientes proposiciones: p: El cociente y el resto de la división entre
1
15
3
2
5
4
3
2
2
; q:
2 x  4 x  x  x  7 y 2 x  1 son respectivamente x  2 x  , y
2
2
1
1

2
1
ah a 
; y r: dcmgr  x 4  81,  x  3    x2  9 . ¿Cuál es el valor de



h
a  a  h
verdad de cada una de ellas?
28) Sean
q:
las
3 2
3 2
siguientes


6 2

2
proposiciones
simples:
p:
2
x  x  12
2
x 9
.
3 x
4x

x 3
x 3
y


  4 6 .
Determinar el valor de verdad de cada una de ellas y hallar el valor de verdad de la
siguiente proposición compuesta:   q  p   p   q .

29) Sea A = {x / x   
2
x 2

1
5

}
a) Hallar A  .
b) Se sabe que la proposición compuesta “s  A 
2  ” es falsa. Indicar el valor
de verdad de las proposiciones simples componentes. Concluir a cuál conjunto
pertenece el elemento s, y expresar a éste en términos del conjunto A.
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Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Un poco de Lógica...
1) No son proposiciones los ítems: b); t) y v).
Son proposiciones simples los ítems: a); c); d); f); k); y r). Los restantes son
proposiciones compuestas y se deja a cargo del estudiante su simbolización.
2) a) Si llueve, entonces hace frío, entonces no voy a la playa.
b) Si llueve y hace frío, no voy a la playa. c) No llueve ni hace frío.
d) No es cierto si llueve entonces haga frío, y voy a la playa.
3) A cargo del estudiante.
4) Se debe confeccionar la tabla de verdad correspondiente.
5) p  F, q  V a) V; b) V; c) F; d) V.
6) Se deben fijar en la fila correspondiente a la tabla de verdad de cada operación.
7) y 8) A cargo del estudiante.
9) p  V o p  F; q  V; y r  F.
10) a) p  V; q  V; y r  F  (r  q)  (r  q) es F ; b) p  V; q  F i) F; ii) F.
11) a) F; b) F.
12) p  F; q  F; y r  V.
13) p: un dragón se enoja; q: te quedas paralizado de miedo; r: el dragón te come; s:
apelas a su bondad. (p  q)  (q  r)  (s  – r)  p  s.
14) p: ahorro; q: compraré un coche.
(p  q  – q)  (– p  – q).
15) p: Pago la luz; q: Me cortarán la corriente eléctrica; r: Me quedaré sin dinero; s:
Pediré prestado; t: Pagar la deuda; w: Soy desorganizado.
(– p  q)  [p  (r  s)]  [(r  s)  – t]  w.
Un poco de Conjuntos...
16) C  x 
/ 3  x  5
F  s / s es una recta  s r
D  x 


/ x  5  8
E  x 
/ x 3
2
G  x / x  a  x  e  x  i  x  o  x  u
17) A= {3; 4; 5; 6; 7; 8} B = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3} C = {–2; 2} D = 
18)
2A
7A
{3; 4}  A
{3; 0}  A
{ 3; 4; 5}  A
19)
24
A

{}  A
xA
A
1
3
5
B
2
4
6
8

Seminario Universitario – Matemática
A  B  1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 
A  B  2; 4; 6 
A  B  1; 3; 5 
A B  1; 3; 5; 8 
20)
E  D  a; e; i; o; u; m; n; ñ; r 
C  D  m; n; ñ; r 
D  E  m; n; ñ; r 
C E  
E C  E
E C
D  C  a
C D   a; b; c; d; f ; g; h; j; k; l; ll; p; q; s; t; v; w; x; y; z 
E  D  e; i; o; u
E  D   a
Ejercicios de refuerzo...
A cargo del estudiante, consultar con el equipo docente.
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