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Mecánica de Fluidos
Un fluido es una sustancia que puede “fluir” y que carece de forma fija, de modo
que adopta la forma del recipiente que lo contiene
Un fluido es un líquido o un gas.
Líquidos en reposo: hidrostática
Líquidos en movimiento: hidrodinámica
1
Fases de la materia
•
•
•
•
Las fuerzas de atracción entre las moléculas determinan el estado
de agregación de un material:
Tan intensas en los sólidos que los átomos permanecen en
posiciones fijas.
Suficientes en los líquidos como para mantenerlos juntos ocupando
el menor volumen posible.
Tan débiles en los gases que se mueven libremente por el
recipiente que los contiene (expansiona para rellenar el contenedor)
Líquido versus Gas
•
•
•
•
Todos los fluidos tienden adquirir la forma su contenedor, pero
Los líquidos y los gases se diferencian notablemente por su
compresibilidad
Un líquido es prácticamente incompresible
Un gas es fácil de comprimir
2
1
Conceptos previos
Volumen
Este término tiene que ver con un concepto matemático y físico a la vez.
Físico: región del espacio que ocupa un cuerpo
Matemático: expresión matemática que determina esa región. Se mide en m3 o en cm3
Para determinar el volumen de un cuerpo se necesita conocer su forma física.
Para cuerpos especiales existen fórmulas específicas
Cubo de arista a
V = a3
Esfera de radio R
4
V = πR 3
3
Paralelepípedo Cilindro con base de
de lados a, b y c
radio R y altura h
V = abc
V = πR2h
3
Volumen de un cuerpo irregular
Si un cuerpo es irregular, una piedra por ejemplo, no existe una fórmula
matemática que permita determinar su volumen, y si la hay de seguro
que es muy compleja
Entonces, ¿cómo se determina su volumen?
Procedimiento
1º Un vaso con agua
hasta cierto nivel
Se marca el nivel
2º Se coloca el cuerpo
en el interior del vaso
con agua
Se marca el nuevo nivel
3º El incremento de
volumen en el agua,
corresponde al volumen
del cuerpo
Hay que procurar que el
vaso tenga una forma
geométrica simple para
determinar el volumen
4
de agua. Un cilindro por
ejemplo.
2
Densidad
Es una medida que representa la cantidad de materia que hay por cada
unidad de volumen de un cuerpo
m
ρ=
V
Se mide en kg/m3 o en g/m3
Una relación de conversión
útil es 1g/cm3= 1000 kg/m3
El aire (a nivel del mar) suele tener ρ~ 1.2 kg m-3
•El agua tiene ρ~ 1 g cm-3= 1000 kg m-3
5
Presión
La idea más simple que se tiene sobre presión se relaciona
con la acción de aplastar algo.
Y cuando se a plasta algo se ejerce una fuerza sobre una región del objeto.
Si la fuerza que se ejerce sobre un objeto es dF y la superficie sobre
la cual actúa es dA, se tiene que la presión que ejerce esa fuerza, es:
P=
dF
dA
Si la fuerza es la misma en todos los puntos de una superficie plana
finita de área A, esta ecuación se reduce a
P=
La presión se mide en N/m2 y se denomina Pascal.
F
A
1Pa = 1
N
m2
6
3
La presión es isótropa
Si ponemos una
superficie dentro de
un fluido, las
moléculas le
empujarán (presión)
•En un punto fijo, no
depende de la
orientación de la
superficie
7
Un ejercicio
Si un libro tiene una masa de 0,4 kg y su
portada mide 20 cm por 15 cm y está
apoyado sobre una mesa. El peso del libro
ejerce una presión sobre la mesa.
Peso del libro:
W = mg
= 0,4 [kg]x 9,8 [m/s2]
A
= 3,72 [N]
W
P
Área de contacto:
A = ab
= 0,2 [m] x 15 [m]
= 0,3 [m2]
Presión:
F
A
3, 72 N
P=
0,3m 2
P = 12, 4 Pa
P=
8
4
Fuerzas másicas y superficiales
Consideremos una “parcela” o “burbuja” de fluido
• Fuerzas másicas
– Actúan en el centro de masa de una parcela de fluido
– Su magnitud depende de la masa de la parcela, y de su
posición/ubicación
– La fuerza de gravedad es un ejemplo de una fuerza másica
(fuerzas de campo)
Fuerzas superficiales
– Actúan en la límite de una parcela de
fluido, donde se separa de su ambiente
(por contacto físico)
– Su magnitud es independiente de la
masa de la parcela
– La fuerza del gradiente de presión
es un ejemplo de una fuerza superficial
9
10
5
Equilibrio Hidrostático
• La presión hidrostática es la
presión en cada punto de un
fluido estático
• Al sumergirnos en un líquido
la presión aumenta con la
profundidad
• p2> p1> p0
• Análogamente, la presión
atmosférica disminuye al
aumentar la altitud
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Equilibrio Hidrostático
(Líquido Incompresible; ρ= cte)
•
•
•
•
•
Tomemos un volumen elemental de fluido, de peso dF = g dm.
Por simetría, la fuerza resultante horizontal sobre los bordes es nula.
p es la presión en el nivel y, y p+dp es la presión en el nivel y+dy.
Las fuerzas sobre cada una de las caras es pA y (p+dp)A.
Puesto que el elemento de volumen está en equilibrio,
pA-(p+dp)A-gdm=0
pero gdm=grρ dV=gρA dy,
dp= - ρ g dy
•
•
Esta diferencia de presión es necesaria mantener en su posición al
volumen elemental de fluido, y para ello es necesario compensar la
fuerza de la gravedad, de modo que esta diferencia de presión es la
que soporta el peso del volumen elemental de fluido considerado.
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El signo - indica que la presión disminuye con la altura desde la base.
6
• Si integramos la ecuación con ρ=cte
p2
y2
∫p dp = − y∫ ρ gdy '
1
p2-p1 = - ρ g (y2 -y1)
1
Si la superficie del líquido
está en y2 y la presión en
ésta es p0, se tiene que a
una profundidad h = y2 - y1,
la presión p viene dada por
p= p0 + ρ gh
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Principio de Pascal
p= p0 +ρgh
• Si la presión sobre la superficie del líquido p0 se
aumenta en ∆p, la ecuación anterior muestra que
la presión en un punto arbitrario a una distancia h
de la superficie también aumenta en ∆p. A este
resultado se le llama principio de Pascal:
“La presión aplicada a un fluido estático
incompresible
y
cerrado
se
transmite
íntegramente a todas las partes del fluido”
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7
Prensa Hidráulica
• Un pistón de sección
pequeña, a, se utiliza para
ejercer directamente una
pequeña fuerza f sobre el
líquido. La presión p=f/a
se transmite a lo largo de
un tubo hasta un cilindro
mayor, provisto de un
pistón más ancho de área
A, puesto que la presión
es la misma en los dos
cilindros
p = f/a = F/A
Fuerza pequeña
aplicada sobre
este lado)
La presión p actúa en este
lado sobre un área mayor,
produciendo una fuerza
mayor
F= Af/a
Presión p debida a F1 transmitida
a través del fluido (Ley de Pascal)
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Ejemplos de prensas hidráulicas
Son prensas hidráulicas, o máquinas hidráulicas en general,
algunos sistemas para elevar vehículos (gata hidráulica),
frenos de vehículos, asientos de dentistas y otros.
Silla de
dentista
Gato
hidráulica
Prensa hecha con
jeringas
Retroexcavadora
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8
Un ejercicio
Supongamos que se desea levantar un
automóvil, de masa m = 1.200 kg, con una gata
hidráulica, tal como se muestra en la figura.
¿Qué fuerza F1 se deberá aplicar en el émbolo
más pequeño, de área 10 cm2, para levantarlo?
Suponga que el área del émbolo más grande es
200 cm2.
Se tiene:
F1
F
= 2
A1 A 2
Y como F2 tiene que al menos ser
igual al peso del automóvil, se
tendrá:
F2 = mg
Por lo tanto, se tiene la igualdad:
F1
F1 mg
=
A1 A 2
F2
Y, despejando:
A1mg
A2
Y, reemplazando:
F1 =
A1
P1
A2
[ ]
P2
m
10 cm 2 • 1.200[kg ] • 9,8 2 
 s  = 588[N ]
F1 =
17
200 cm 2
[ ]
Presión atmosférica
Es la presión que el aire ejerce sobre la superficie terrestre.
Cuando se mide la presión
atmosférica, se está midiendo la
presión que ejerce el peso de una
columna de aire sobre 1 m2 de
área en la superficie terrestre.
La presión atmosférica media en la
superficie de la Tierra es:
P = 101 325 Pa= 1013.25 HPa
La presión atmosférica en un punto es numéricamente igual al peso
de una columna de aire de sección recta unitaria que se extiende
desde ese punto hasta el límite superior de la atmósfera (el 99% de
la masa de atmósfera está por debajo de los 30 km. de altura).
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9
Experimento de Torricelli
BARÓMETRO
En 1643, Evangelista Torricelli, hizo el siguiente
experimento: Llenó un tubo de vidrio, de 1 [m] de
longitud, con mercurio (“plata viva”). Tapó el extremo
abierto y luego lo dio vuelta en una vasija.
El mercurio empezó a descender pero se estabilizó en
el momento que la columna medía 76 cm.
P0
El peso de la columna de mercurio ejerce presión
en el nivel en que quedó el mercurio vaciado, y
esa presión, para lograr la estabilización, se
equilibra con la presión a que está sometido el
mercurio por fuera del tubo.
Esa presión, la de fuera del tubo, es la presión
atmosférica, cuyo símbolo es P0.
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Entonces, se tendrá que esa presión es:
Medición de la presión
Antes, una aclaración conceptual:
Se llama presión absoluta a la expresión:
P = Patm + ρgh
Y se llama presión manométrica a la expresión:
P – Patm = ρgh
El manómetro mide la presión absoluta y
también la manométrica.
Si es de
Si es de tubo abierto mide tubo cerrado
mide la
la presión absoluta.
presión
manométrica
.
La presión atmosférica se
mide con el barómetro.
Es un manómetro de tubo
cerrado que se expone a la
atmósfera.
20
10
Manómetros
•
El tipo más sencillo de manómetro es un tubo
abierto (Figura). Se trata de un tubo en forma
de U que contiene un líquido; uno de los
extremos se encuentra a la presión p que se
desea medir mientras que el otro extremo está
comunicado con la atmósfera.
•
La presión en el fondo de la columna de
la izquierda es
•
•
•
p + ρgy1
mientras que en el fondo de la columna de la
derecha (que es el mismo punto) será:
pa + ρgy2
•
siendo ρ la densidad del líquido manométrico.
•
Puesto que estas presiones han de ser iguales
•
p + ρgy1 = pa + ρgy2
p-pa = ρg (y2− y1) = ρgh
21
UNIDADES
• Los manómetros y los barómetros son aparatos muy
utilizados, y debido a ello es costumbre expresar la
presión atmosférica y otras presiones en centímetros o
milímetros de mercurio.
• La presión ejercida por una columna de un milímetro de
Hg se denomina torr (en honor de Torricelli).
• Se define una atmósfera como la presión ejercida por 760
mm de Hg. Como la densidad del Hg es 13.6 103 kg/ m3,
• 1 atm = ρ g h = 13600 Kg/m3 9.8 m/s2 0.76 m = 101300 Pa
• Un bar es igual a 105 Pa; normalmente se emplea su
submúltiplo el milibar, que es igual a 10-3 bares.
1 b = 105 Pa
22
•
1mb = 100 Pa = 1 hPa
11
Principio de Arquímedes
Un cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un fluido, es
empujado hacia arriba por una fuerza igual en magnitud al
peso del volumen del fluido que desaloja.
E
Esto representa al volumen del
fluido que fue desalojado por el
cuerpo.
Y su peso es:
mg = ρVg
Donde ρ es la densidad del fluido y V
el volumen desplazado.
Por lo tanto:
23
E = ρVg
Principio de Arquímedes
Un cuerpo que está parcial o totalmente sumergido en un
fluido es empujado hacia arriba por una fuerza de módulo
igual al peso del fluido desalojado y dirigida verticalmente
según una línea que pasa a través del centro de gravedad
del fluido desalojado, esto es
E=V ρ g
con ρ la densidad del fluido y V el volumen de fluido
desalojado.
Elemento de fluido
en equilibrio
Fluido reemplazado por un
cuerpo de la misma forma
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12
Fuerza de empuje
La fuerza E = ρVg se conoce como
“Fuerza de Empuje” o “Fuerza de
flotación”.
E
Si un cuerpo de masa m se introduce
un fluido quedará sujeto a dos
fuerzas verticales: el peso del cuerpo
y la fuerza de empuje.
mg
Y pueden ocurrir tres situaciones:
1.- Que el peso del cuerpo sea de
mayor medida que la fuerza de empuje.
2.- Que el peso del cuerpo sea de igual
medida que la fuerza de empuje.
3.- Que el peso del cuerpo sea de
menor medida que la fuerza de empuje.
Conclusiones:
1.- Si mg > E, entonces el cuerpo se
hunde.
2.- Si mg ≤ E, entonces el cuerpo
flota total o parcialmente en el fluido.
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Peso aparente
Como se mencionó recientemente, cuando un cuerpo está dentro de un fluido
está afectado por dos fuerzas: el peso gravitacional y la fuerza de empuje.
Como ambas fuerzas actúan sobre el cuerpo, entonces se pueden sumar o restar.
E
Se llama peso aparente a la relación:
Wa = mg - E
mg
Situaciones concretas:
Cuando estamos sumergidos en el agua
nos sentimos más livianos, y las cosas
que tomamos bajo el agua también las
sentimos más livianas.
Lo anterior ocurre porque el peso que
sentimos, no es el peso gravitacional, es
el peso aparente.
Un globo aerostático se eleva
porque la fuerza de empuje que le
afecta es mayor que su peso
gravitacional.
En estricto rigor:
El peso que medimos en una
balanza ¿qué es: peso
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gravitacional o peso aparente?
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Flotación de barcos
¿Por qué un barco flota a pesar que es de metal y el metal tiene mayor densidad
que el agua?
Un cuerpo de menor densidad que el agua siempre flotará. En este caso
se verificará que la fuerza de empuje es mayor o igual que el peso
gravitacional del cuerpo
La densidad promedio del barco. Eso es lo que
interesa. Y esa es menor que la del agua.
Su densidad promedio se determina por:
ρ=
m
V
Y el volumen del barco no incluye solo el
metal. También incluye el aire en su interior.
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Y … ¿el submarino?
Un submarino se hunde o flota a discreción: ¿cómo lo hace?
Un submarino se hunde si su peso
gravitacional es mayor que el empuje que le
afecta.
Para lograr lo anterior se inundan, con agua,
compartimientos que antes estaban vacíos.
Con ello su densidad promedio aumenta y, en
consecuencia, también aumenta su peso
gravitacional.
Por lo tanto ocurrirá que
mg >E
Para elevarse o flotar, su peso
gravitacional debe ser menor que el
empuje.
Esto se logra sacando el agua con que se
había inundado algunos compartimientos.
Así su densidad promedio disminuye y
también su peso gravitacional.
Y cuando ocurra que
E > mg
El submarino se elevará.
Y el submarino se hundirá.
Ya que estamos en el agua. Los peces se sumergen o se elevan en el agua
inflando o desinflando su vejiga natatoria.
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14