Handout 5 - Universidad de Montevideo

Universidad de Montevideo
Macroeconomı́a II
Danilo R. Trupkin
Notas Adicionales
Interpretación Económica del Control Óptimo
Dado que la primera aplicación que hemos visto sobre optimización dinámica en tiempo
continuo es el modelo de crecimiento de Ramsey, entonces usaremos dicha notación como
punto de partida para el presente análisis. Recordemos que el problema del agente representativo era maximizar su “lifetime utility”,
Z
U=
∞
u(c(t))e−ρt dt,
(1)
0
sujeto a
dk
= f (k(t)) − c(t) − δk(t)
dt
(2)
Recordemos también que c es la variable de control y k, la variable de estado.
El procedimiento de control óptimo se basa en formar el Hamiltoniano (en valor presente,
en este caso),
H = u(c(t))e−ρt + λ[f (k(t)) − c(t) − δk(t)],
donde λ es la variable de co-estado asociada a la variable de estado k.
Una alternativa diferente dentro del control óptimo (ver Dorfman, 1969), es definir
V (t) = λ(t)k(t)
como el valor del stock de capital en cada punto del tiempo t, con λ como el “precio sombra”
de una unidad de capital. Diferenciando esta expresión respecto del tiempo nos da
V̇ (t) = λ(t)k̇(t) + λ̇(t)k(t)
(3)
La expresión (3) nos dice que, en cada punto del tiempo, el valor del stock de capital
cambia, por un lado, por los cambios en el stock fı́sico y, por otro lado, por los cambios en
el precio sombra de cada unidad.
Luego, una interpretación para nuestro problema de optimización à la Ramsey serı́a que,
para cada punto en el tiempo, el plan óptimo debe maximizar la suma de: (i) la utilidad
directa provista por el consumo y, (ii) la tasa a la cual el valor del capital está cambiando
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[expresión (3)]. Esto se puede expresar a través de un “Hamiltoniando modificado”:
H̃ = u(c(t))e−ρt + λ(t)k̇(t) + λ̇(t)k(t)
Tomando las 2 variables c y k como aquellas cuyas secuencias deben ser elegidas por el
agente, entonces el procedimiento actual se basa en maximizar el Hamiltoniano modificado
con respecto a estas variables [donde reemplazamos k̇(t) ≡
dk
dt
por su expresión en (2)], lo
cual nos brinda las siguientes condiciones de primer orden:
∂ H̃
= uc e−ρt − λ = 0
∂c
(4)
∂ H̃
= λ[f 0 (k) − δ] + λ̇ = 0
∂k
(5)
Notemos que la expresión (5) es idéntica a la que vimos en clase (apareciendo además
en el handout sobre Ramsey subido a la web del curso), donde tenı́amos que
.
∂H
= λ[f 0 (k) − δ] = −λ
∂k
(6)
De esta manera, la interpretación económica descripta en las presentes notas muestra
resumidamente una forma alternativa de entender dicha expresión (6).
Referencia:
• Dorfman, R. (1969), “An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”,
American Economic Review, 59(5), 817–831.
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