Series de tiempo

Series de tiempo
Estadı́stica
Miguel Ángel Chong R.
[email protected]
7 de mayo del 2013
Miguel Chong
Series de tiempo
Modelos no estacionarios
Como dijimos al inicio del curso, cuando tenemos una serie de
tiempo observada y graficamos los datos, es posible que notemos
que la serie no sea estacionaria, entonces es deseable aplicar alguna
trasformación a los datos para hacerlos estacionarios.
Si en nuestra serie observada solo se aprecia un compontente de
tendencia (media no constante)
Xt
= mt + Yt ,
ésta puede eliminarse mediante la aplicación del operador
diferencia rd = (1 B)d , con esto buscamos eliminar una
tendencia polinomial de orden d en la serie, este tipo de
trasformación da origen a los modelos integrados o ARIMA.
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Definición Procesos ARIMA(p,d,q) (causales e invertible)
Sea d 2 {1, 2, 3, . . .}. Diremos que {Xt }t2T es un proceso ARIMA(p, d, q)
causal e invertible si al diferenciarlo d veces, es decir, Yt = rd Xt =
(1 B)d Xt tenemos un proceso ARMA(p, q) causal e invertible.
Dicho de otro modo, si {Xt } es un proceso ARIMA(p, d, q) se escribe de
la siguiente forma
⇤
1
1B
2B
2
(B)Xt
...
=
pB
p
(1
B)d Xt =
p (B)(1
B)d Xt
p (B)Yt
=
=
✓q (B)✏t ,
1 + ✓1 B + ✓2 B 2 + . . . + ✓q B q ✏t ,
✓q (B)✏t ,
donde {✏t } es ruido blanco, p (B) y ✓q (B) son los polinomios de retraso
de grado p y q respectivamente.
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Observaciones
1
El polinomio ⇤ (B) = p (B)(1 B)d tiene una raı́z de orden
d cuando B = 1, o tiene una raı́z unitaria.
2
El proceso es estacionario si solo si d = 0 y
ARIMA(p, 0, q) = ARMA(p, q).
3
Aunque los modelos ARIMA(p, d, q) son muy usados para
modelar series con tendencia, también pueden ser usados para
modelar series sin tendencia.
4
La estimación de los parámetros = ( 1 , 2 , . . . , p ) ,
✓ = (✓1 , ✓2 , . . . , ✓q ) y ✏2 se harán con respecto el proceso
estacionario (1 B)d Xt .
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Ejemplo
Si {Xt } es un proceso ARIMA(1, 1, 1) causal e invertible donde
2 ( 1, 1) y ✓ 2 ( 1, 1)
(1
B)(1
(1
donde Yt = (1
invertible.
B)Xt
B)Yt
= (1 + ✓B)✏t ,
= (1 + ✓B)✏t ,
B)Xt es un proceso ARMA(1, 1) causal e
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Modelos puramente estacionales
Ahora nuestro objetivo es poder describir series de tiempo que
tengan además1 una componente estacional,
Xt
= St + Yt ó
Xt
= mt + St + Yt .
donde la parte estacional {St } se repite en forma “determinı́stica”
en un periodo de tamaño s. Primero vamos a hablar de los
modelos estacionales puros, la idea en estos modelos es que sólo
existe una dependencia entre las observaciones que están separadas
un multiplo de s.
1
Con o sin un compontente de tendencia mt .
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Series de tiempo
Por ejemplo, si tenemos una serie mensual y el periodo del cı́clo s = 12
Meses
Años
1
2
3
...
11
12
1
X1
X2
X3
...
X11
X12
2
..
.
X13
..
.
X14
..
.
X15
..
.
...
..
.
X23
..
.
X24
..
.
r
1
r
X12(r
2)+1
X12(r
2)+2
X12(r
2)+3
...
X12(r
2)+11
X12(r
1)+1
X12(r
1)+2
X12(r
1)+3
...
X12(r
1)+11
X12(r
X12r
Es importante notar que aunque la estacionaridad se puede considerar como un
fenómeno anual, puede existir un comportamiento periodico con duración
menor a un año2 .
2
Semestral o trimestral por ejemplo.
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1)
Definición
Diremos que {Xt }t2T es un proceso auto regresivo-medias moviles
estacional puro con periodo s de orden (P, Q), y lo denotamos
ARMA(P, Q)s donde P, Q 0 y 1 , . . . , P , ⇥1 , . . . , ⇥Q . son reales tales
que
Xt
=
1 Xt s
+ ... +
P Xt Ps
+✏t + ⇥1 ✏t
s
+ . . . + ⇥Q ✏t
Qs ,
o equivalentemente
1
1B
s
...
pB
Ps
P (B
s
Xt
=
)Xt
=
1 + ⇥1 B s + . . . + ⇥Q B Qs ✏t
⇥Q (B s )✏t ,
donde {✏t }t es ruido blanco y los polinomios de retraso
tienen ceros en común.
P (·)
y ⇥Q (·) no
Para que el proceso ARMA(P, Q)s sea causal e invertible necesitamos
que las raı́ces de los polinomios P (·) y ⇥Q (·) sean en módulo mayores a
la unidad.
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Series de tiempo
Algunos ejemplos de este tipo de procesos son:
1
2
3
ARMA(0, 1)s = MA(1)s , de la forma Xt
de autocorrelación está dada por
8
>
1
>
<
⇥1
h
⇢h =
=
1
+
⇥21
>
0
>
:
0
= ✏ t + ⇥ 1 ✏t
s,
donde la función
h=0
si h = s
cualquie otro caso.
ARMA(1, 0)s = AR(1)s , es decir, Xt = 1 Xt s + ✏t , donde la función de
autocorrelación está dada por
8
>
<1 h h = 0
h
s
⇢h =
=
si h = s, 2s, 3s, . . .
1
>
0
:
0
cualquie otro caso
ARMA(1, 1)s , de la forma Xt = 1 Xt s + ✏t
autocorrelación está dada por
8
>
1
>
>
> (1+ 1 ⇥1 )(⇥1 + 1 )
<
h
1+⇥21 +2⇥1 1
⇢h =
=
>
0
>
1
> ⇢h s
>
:
0
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+ ⇥ 1 ✏t
s,
y la función de
h=0
h=s
si h = 2s, 3s, . . .
cualquie otro caso
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Modelos estacionales multiplicativos y estacionarios
En la mayor parte de los casos los datos no sólo están correlacionados
con observaciones que están separadas por un múltiplo de s, sino que
también pueden estar correlacionados con observaciones más cercanas. A
continuación definiremos una familia de modelos que combinen efectos
estacionales y no estacionales.
Definición
Diremos que {Xt }t es un proceso estacional multiplicativo, con periodo s,
y lo denotamos como ARMA(p, q)⇥ARMA(P, Q)S si el proceso se escribe
como
p (B)
P (B
s
)Xt
=
✓q (B)⇥Q (B s )✏t ,
donde {✏t }t es ruido blanco y los polinomios de retraso son los siguientes:
p
···
p (z) = 1
1B
pB ,
s
Ps
···
P (z) = 1
1B
PB ,
q
✓q (z) = 1 + ✓1 B + · · · + ✓q B ,
⇥Q (z) = 1 + ⇥1 B s + · · · + ⇥Q B Qs .
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Modelos estacionales no estacionarios
Si tenemos una serie de la forma Xt = mt + St + Yt , vimos que vı́a difierencias
simples rd = (1 B)d podı́amos eliminar la componente mt y hablamos del
uso de la diferencia estacional rD
B s )D , para eliminar la componente
s = (1
St .
Estos los operadores los usaremos para describir el modelo más general, es
decir, una serie que tiene tanto una componente de tendencia como el de una
parte estacional.
Definición Sean d, D 2 Z enteros no negativos. Diremos que {Xt }t es un
proceso auto-regresivo de promedios moviles integrado estacional multiplicativo de periodo s, denotado por ARIMA(p, d, q) ⇥ ARIMA(P, D, Q)s o
SARIMA(p, d, q) ⇥ (P, D, Q)S si el proceso
Yt
=
(1
⇣
B)d 1
BS
⌘D
Xt ,
es un proceso ARMA(p, q) ⇥ ARMA(P, Q)S causal
p (B)
P (B
donde {✏t }t es ruido blanco.
s
)Yt
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=
✓q (B)⇥Q (B s )✏t ,
Series de tiempo
1
Identifica el modelo SARIMA(p, d, q) ⇥ (P, D, Q)S
1
0.8B + 0.25B 2 rr12 Xt
=
Xt
2
1
= (1 + 0.2B) 1
Cómo se ve la ecuación de los modelos
1
2
SARIMA(1, 0, 2) ⇥ (0, 1, 1)3 ,
SARIMA(1, 1, 2) ⇥ (2, 1, 1)2 ,
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0.7B 2
Series de tiempo
1
0.5B 12 ✏t ,
0.8B 8 ✏t .
Metodologı́a de Box-Jenkins para modelos ARIMA
estacionales
Etapa de identificación de los órdenes p, d, q, P, D y Q.
Una vez que hemos introducido una familia de proceso nuestro objetivo será,
dada una serie de tiempo observada {xt }N
t=1 , encontrar un(os) modelo( de esa
familia del cual podamos suponer que nuestra serie observada sea un elemento
muestral. Usando el principio de parsimonia, es decir usar el modelo con el
menor número de parámetros posibles.
Etapa 1
Identificación de
los parámetros
d,D,p,P,q y Q
No
Etapa 2
Estimación de
los coeficientes
Etapa 3
Verificación de
los supuestos
El modelo
cumple con
los supuestos
sí
Usar el modelo
para hacer
predicción
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Series de tiempo
Identificación del modelo, esta parte la podemos dividir en dos
partes:
1
Buscamos la estructura no estacionaria (si es que la hay), es
decir filtrar la parte de tendencia y/o parte estacional, para
quedarnos con la parte estacionaria.
2
Una vez obtenida la parte estacionaria buscarémos cuál es el
modelo ARMA que mejor ajusta esta parte.
En otras palabras buscamos encontrar una transformación de los
datos originales de tal forma que obtengamos una serie
estacionaria. Aquı́ tenemos dos posibles tipos de trasformaciones
posibles
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Series de tiempo
Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que la
varianza no es constante, una forma de corregir este problema es aplicar
una transformación del tipo Box Cox a los datos, es decir
(
Xt
1
si 6= 0
T (Xt ) =
.
log (Xt ) si = 0
Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que no tiene
una media costante es recomendable aplicarle el operador diferencia r;
anteriormente habı́amos platicado que el operador diferencia eliminaba
tendencias lineales, mt = a0 + a1 t, y que el operador diferenica aplicado
dos veces, r2 , elimina tendencias cuadráticas, mt = a0 + a1 t + a2 t 2 . En
la práctica no hacen falta diferenciar más de dos veces una serie para
quitarle el componente de tendencia.
Algunas veces las series de tiempo veces presentan un componente
estacional St con periodo s, esto lo podemos notar de manera gráfica a
partir de la acf muestral, ya que las autocorrelaciones son muy
significativa en los lag�s s, 2s, 3s, 4s, . . . y decrece de manera lenta. En
estos casos es aconsejable aplicarle a la serie una diferencia estacional
rs = (1 B s ), no es común que se requiera aplicar una diferencia más
de una vez.
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Series de tiempo
1
2
3
Encontrar d y D tal que la serie
Yt = (1 B)d (1 B s )D T (Xt ) tenga aspecto estacionario.
Notemos que la serie la serie de tiempo original Xt corre de
los ı́ndices t 2 {1, 2, . . . , n}, mientras que la serie estacionaria
Yt corre de los ı́ndices t 2 {d + sD + 1, . . . , n}.
Examinar la ACF y la PACF muestrales asociadas a {Yt }t
para aquellos enteros que son multiplos de s, (identificar los
ordenes de P y Q del modelo).
Si ⇢b(·) y ˆk k son la ACF y la PACF muestral respectivamente
de la serie {Yt }t , entonces P y Q pueden seleccionarse de
forma tal que, ⇢b(ks) y ˆsk sk con k = 1, 2, . . .sea compatible
con la ACF y la PACF teóricas del modelo ARMA(P, Q)s .
Los ordenes de p y q deben ser seleccionados de forma tal que:
⇢b(1), . . . , ⇢b(s 1) sea complatible con la ACF teorica y
ˆ1 1 , . . . , ˆs 1 s 1 sea complatible con la PACF la teórica de
un proceso ARMA(p, q).
En las aplicaciones es usual que d 2 {0, 1, 2} y D 2 {0, 1}.
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