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Ley de Gauss
Presentación basada en el material contenido en:
R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers,
Saunders College Publishers, 3rd edition.
Flujo Eléctrico
„
Hemos aprendido a calcular el E establecido por un sistema de
cargas puntuales o una distribución de carga uniforme o continua.
„
La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante líneas de
fuerza está relacionada con una ecuación matemática llamada ley
de Gauss.
„
“Las cargas eléctricas producen un campo eléctrico, y el flujo
de dicho campo eléctrico a través de cualquier superficie
cerrada es proporcional a la carga total contenida dentro de
dicha superficie”.
Superficies cerradas y abiertas
„
Una superficie cerrada se define como una superficie que divide al espacio
en dos regiones, una interior (“adentro”) y otra exterior (“afuera”), de tal
manera que uno no puede moverse de una región a otra sin tener que
cruzar a través de la superficie.
„
Una superficie abierta se define como cualquier superficie para la cual es
posible ir de un lado a otro sin tener que pasar o cruzar a través de ella.
Flujo Eléctrico y líneas de campo
„
El número de líneas que salen de
la carga positiva y cruzan la
superficie, saliendo del espacio
limitado por ésta, depende de
dónde se establezca la superficie,
pero el número es exactamente
igual al número de líneas que
entran en el mismo espacio y
terminan en la carga negativa
Superficies de forma arbitraria
rodeando un dipolo eléctrico
Flujo Eléctrico y líneas de campo
„
Enunciado cualitativo de la
ley de Gauss
„
En las figuras en las que se
muestran las líneas de fuerza
para distribuciones de carga, el
número neto de líneas que sale
por cualquier superficie que
encierra todas las cargas es
proporcional a la carga
encerrada dentro de dicha
superficie
Superficies de forma arbitraria
rodeando un dipolo eléctrico
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
La ley de Gauss relaciona el comportamiento espacial
del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la
carga neta incluida dentro de la superficie.
„
Aunque es consecuencia de la ley de Coulomb, la ley de Gauss
es más útil para calcular los campos eléctricos de distribuciones
de carga simétricas (v. gr. una corteza esférica o una línea
infinita)
„
Es decir, hace posible el utilizar un razonamiento cualitativo al
enfrentar problemas difíciles.
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Concepto cuantitativo de las líneas de campo eléctrico.
„
Consideren un campo eléctrico
E que es uniforme tanto en
magnitud como en dirección
(ver figura)
„
Las líneas de campo atraviesan
una superficie rectangular de
área A, cuyo plano es
perpendicular al E.
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Deben recordar que el número de
líneas por unidad de área (la densidad
de líneas) es proporcional a la magnitud
del campo eléctrico.
„
Por lo tanto, el número total
de líneas que pasan a través
de la superficie es
proporcional al producto EA
(magnitud del E y área de la
superficie perpendicular).
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
La magnitud matemática relacionada
con el número de líneas de fuerza que
atraviesa una superficie recibe el
nombre de flujo.
„
El flujo eléctrico (el flujo del
vector campo eléctrico) es el
producto de la magnitud del
campo eléctrico, E, y el área
superficial, A, que es
perpendicular a dicho E.
Flujo Eléctrico (ΦE)
ΦE = EA
„
Unidades SI: N·m2/C
Como el campo eléctrico es proporcional al número de
líneas de campo eléctrico por unidad de área, el flujo
eléctrico es proporcional al número de líneas de campo
eléctrico que pasan a través de una superficie.
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Si la superficie que se toma en cuenta no es perpendicular al
campo eléctrico E (ver figura), el flujo eléctrico debe ser menor
que el dado por ΦE = EA.
„
En la figura la superficie de área A no es perpendicular al campo
eléctrico uniforme E.
„
En la figura, el vector normal
o perpendicular a la superficie
de área A forma un ángulo θ
respecto al E uniforme.
A’
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Se debe observar que el número de líneas de campo eléctrico que
atraviesan la superficie de área A es igual al número de líneas de
campo eléctrico que atraviesan la superficie de área A’.
„
La superficie de área A’ es la proyección de la superficie de área
A sobre un plano perpendicular al campo eléctrico E.
„
La relación entre las áreas de
estas dos superficies es:
A’ = A cos θ
A’
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
El flujo (de líneas de campo eléctrico) a través de la superficie de
área A es igual al flujo (de líneas de campo eléctrico) a través de la
superficie de área A’.
„
Entonces, el flujo eléctrico a través de la superficie de área A es:
„
θ es el ángulo existente entre el vector campo eléctrico E y el
vector normal a la superficie de área A, n.
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Con θ = 0º,
„
Superficie de área A, perpendicular al campo eléctrico E (valor máximo
EA del ΦE)
„
„
Vector normal a la superficie n, paralelo al campo eléctrico E.
Con θ = 90º,
„
Superficie de área A, paralela al campo eléctrico E (valor mínimo del
flujo eléctrico; ΦE = 0)
„
Vector normal a la superficie n, perpendicular al campo eléctrico E (el
campo eléctrico no tiene ninguna componente en la dirección del
vector normal de la superficie).
El vector normal unitario:
„
La palabra “normal” significa, en este contexto, “perpendicular”.
„
Definición de un vector normal a una superficie
„
Considerar una superficie S.
„
Definir dos vectores no colineales
u y v, tangentes a S en un punto P.
„
Un vector N que es perpendicular
a u y a v en el punto P es,
por definición, normal a S en el
punto P.
„
El producto vectorial (o producto cruz) de u y v tiene esta propiedad: su
resultado es un vector perpendicular al plano que forman u y v.
El vector normal unitario:
„
Entonces, se puede establecer que:
N = u × v
„
Para hacerlo un vector unitario
(i.e. de longitud 1):
dividir N entre su magnitud N
„
donde
es un vector unitario
normal a S en el punto P.
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Considerando la definición del vector normal unitario ( ) y del
producto escalar (o producto punto) de dos vectores
A⋅B = ABcosθ
se puede establecer que el flujo eléctrico (ΦE) a través de una
superficie no perpendicular al campo eléctrico E es:
en donde En = E⋅
= E cosθ es la componente del vector campo
eléctrico perpendicular, o normal, a la superficie
Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Hasta ahora se ha considerado un campo eléctrico uniforme.
„
Sin embargo, el campo eléctrico puede variar sobre una superficie,
la cual además por lo general no es un plano sino un superficie
curvada.
„
Se puede generalizar la definición de flujo eléctrico a superficies
curvadas, en las cuales el campo eléctrico puede variar tanto de
magnitud (módulo) como de dirección, o ambos a la vez.
„
¿Cómo? Dividiendo la superficie en un gran número de
elementos superficiales muy pequeños.
Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Es decir, si el E varía sobre una superficie, ΦE = EA cosθ , sólo es
válido para un pequeño elemento de la superficie.
„
Consideren un superficie general (curvada)
dividida en un gran número de pequeños
elementos de superficie.
„
Si cada elemento es suficientemente
pequeño, puede considerarse como
un plano y puede despreciarse la
variación del campo eléctrico en
todo el elemento.
Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (ΦE)
„
Sea
el vector normal (perpendicular) unitario de dicho
elemento de la superficie, y ΔAi su área.
es un vector cuya magnitud
„
representa el área del i-ésimo elemento de
superficie y cuya dirección se define
como perpendicular a dicho
elemento de superficie.
„
Si la superficie es curvada, los
vectores normales unitarios
tendrán direcciones diferentes
para elementos de superficie
distintos
Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (ΦE)
„
El campo eléctrico Ei en la posición del i-ésimo elemento hace un
ángulo θi con el vector
„
Por lo tanto, el flujo eléctrico ΔΦE a través
de dicho elemento de superficie es
Flujo Eléctrico (ΦE)
„
El flujo eléctrico total a través de la superficie es la suma de ΔΦi
extendida a todos los elementos de superficie:
Flujo Eléctrico (ΦE): Definición General
„
DEFINICIÓN GENERAL DEL FLUJO ELÉCTRICO
„
En el límite en que el número de elementos se aproxima a infinito
y, por lo tanto, el área de cada elemento se aproxima a cero, esta
suma se reemplaza por una integral.
Flujo Eléctrico (ΦE): Definición General
„
Esta ecuación es una integral de superficie, lo cual significa que
debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión.
„
En general, el valor del ΦE dependerá tanto del comportamiento
espacial del E (i.e. del patrón de las líneas de campo) como de la
superficie sobre la cual se evalúa.
„
Las unidades del flujo eléctrico son N.m2/C2
Flujo Eléctrico (ΦE): Superficies Cerradas
„
Evaluación del flujo eléctrico a través de una superficie cerrada.
„
Consideren una superficie cerrada (ver figura)
„
Los vectores normales unitarios
(o ΔAi) apuntan en diferentes
direcciones para los diferentes
elementos de superficie;
„
en cada punto son perpendiculares a la
superficie
„
y, por convención, siempre apuntan
hacia fuera de la superficie cerrada.
Flujo Eléctrico (ΦE): Superficies Cerradas
„
Para el elemento (1), las líneas de campo cruzan la superficie de dentro hacia fuera,
θ < 90º y ΔΦE = E⋅
„
Para el elemento (2), las líneas de campo “rozan” la superficie (i.e. son
perpendiculares al vector
„
> 0 (el flujo eléctrico es positivo).
), θ = 90º y ΔΦE = E⋅
= 0.
Para elementos como (3), en el cual las líneas de campo cruzan la superficie de
fuera hacia dentro, 180º > θ > 90º y ΔΦE = E⋅
negativo, pues cos θ es negativo).
< 0 (el flujo eléctrico es
Flujo Eléctrico (ΦE): Superficies Cerradas
„
El flujo eléctrico neto a través de la superficie es proporcional al
número neto de líneas de campo eléctrico que salen de la
superficie.
„
El número neto de líneas de campo eléctrico es el número de líneas
de campo eléctrico que salen de la superficie menos el número de
líneas de campo eléctrico que entran por la superficie.
„
Si salen más líneas de campo de las que entran, el flujo eléctrico es
positivo.
„
Si entran más líneas de campo de las que salen, el flujo eléctrico es
negativo
Flujo Eléctrico (ΦE): Superficies Cerradas
„
Se utiliza el símbolo
para indicar una integral sobre una
superficie cerrada.
„
FLUJO ELÉCTRICO NETO ΦE A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE CERRADA
donde En = E cosθ , es la componente del vector campo eléctrico E
normal (perpendicular) a la superficie.
Ley de Gauss: Introducción
„
Expresión matemática para la relación general entre el flujo
eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga
encerrada dentro de dicha superficie.
„
A la superficie cerrada se le llama frecuentemente superficie
gausiana.
„
La ley de Gauss tiene una importancia fundamental para el
estudio de los campos eléctricos.
Ley de Gauss: General
„
Consideren una carga puntual positiva q que se localiza en el
centro de un esfera de radio r (ver figura).
„
La magnitud del campo eléctrico
en cualquier punto sobre la
superficie de la esfera es:
„
y las líneas de campo eléctrico
apuntan radialmente hacia afuera de la esfera; ∴ son
perpendiculares a la superficie en cualquier punto sobre ésta.
Ley de Gauss: General
„
Así, en cualquier punto superficial, E es paralelo al vector
que representa un elemento
local de área ΔAi que rodea al
punto superficial. Entonces:
„
y el flujo eléctrico neto a través
de esta superficie gausiana es:
Ley de Gauss: General
„
E sale de la integral pues, por simetría, es constante sobre toda la
superficie:
„
Además, si la superficie es esférica A = 4πr2 y dA = 8πr .
Consecuentemente, el flujo eléctrico neto a través de la superficie
de la esfera es:
Ley de Gauss: General
„
Si
„
Entonces
Ley de Gauss: General
„
Nótese que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la
esfera es proporcional a la carga que dicha superficie encierra.
„
El ΦE es independiente del radio r pues el área de la superficie
esférica es proporcional a r2, mientras que el campo eléctrico es
proporcional a 1/r2.
„
En el producto de las magnitudes del área y del campo eléctrico, la
dependencia respecto a r se cancela.
Ley de Gauss: General
„
Para S1, ΦE = q/
„
0
ΦE es proporcional al número de líneas
de campo eléctrico que pasan a
través de la superficie
„
# líneas por S1 = # líneas por S2
„
# líneas por S1 = # líneas por S3
„
∴ para S2 y S3, ΦE = q/
0
Ley de Gauss: General
„
El flujo eléctrico neto ΦE a
través de cualquier superficie
cerrada que rodea una carga
puntual q es q/ 0, y es
independiente de la forma de la
superficie.
Ley de Gauss: General
„
Cualquier línea de campo eléctrico que entra en la
superficie cerrada (la cual tiene una forma
arbitraria) sale de dicha superficie
por algún otro punto.
„
# líneas que entran = # líneas que salen
Ley de Gauss: General
„
El flujo eléctrico neto ΦE a
través de una superficie cerrada
que NO rodea a una carga es
cero.
Ley de Gauss: General
„
Para casos generalizados:
(1) muchas cargas puntuales;
(2) distribuciones continuas de carga
„
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
„
el campo eléctrico debido a muchas cargas es la suma
vectorial de los campos eléctricos producidos por las
cargas individuales
Ley de Gauss: General
„
donde E es el campo eléctrico total en cualquier punto sobre la
superficie obtenido mediante la suma vectorial de los campo
eléctricos en dicho punto debidos a las cargas individuales.
Ley de Gauss: General
„
ΦE / S = q1/
„
ΦE / S´ = (q2 + q3)/
„
ΦE / S´´ = 0
0
0
LEY DE GAUSS
„
El flujo eléctrico neto a través de cualquier
superficie cerrada es
„
qdentro es la carga neta (total) dentro de la superficie
„
E es el campo eléctrico en cualquier punto sobre la
superficie (NOTA: se debe de considerar la contribución
de las cargas DENTRO y FUERA de la superficie cerrada)
LEY DE GAUSS
„
En principio, la ley de Gauss se puede resolver para E y así
determinar el campo eléctrico debido a cualquier sistema de cargas
o distribución continua de carga.
„
Sin embargo, este tipo de solución sólo se pude aplicar en un
número limitado de sistemas altamente simétricos
(v. gr. distribuciones de carga con simetría esférica, cilíndrica o
plana)
„
Si uno elige cuidadosamente la superficie gausiana que rodea la
distribución de carga, la integral de la ley de Gauss se puede
simplificar.
Ley de Gauss: Ejemplo conceptual
„
Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga
puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total ΦE a
través de la superficie si:
A. la carga se triplica,
B. el radio de la esfera se duplica,
C. la superficie esférica se cambia por un cubo,
D. la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie.
Ley de Gauss: Ejemplo conceptual
„
Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga
puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total ΦE a
través de la superficie si:
A. la carga se triplica,
„
El flujo eléctrico a través de la superficie se triplica debido a que
ΦE es proporcional a la cantidad de carga dentro de la superficie.
Ley de Gauss: Ejemplo conceptual
„
Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga
puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total ΦE a
través de la superficie si:
B. el radio de la esfera se duplica,
„
El flujo eléctrico no cambia debido a que todas las líneas de campo
eléctrico que provienen de la carga pasan a través de la esfera,
independientemente de su radio.
Ley de Gauss: Ejemplo conceptual
„
Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga
puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total ΦE a
través de la superficie si:
C. la superficie esférica se cambia por un cubo,
„
El flujo eléctrico no cambia cuando la forma de la superficie
gausiana cambia debido a que todas las líneas de campo eléctrico
que provienen de la carga pasan a través de la superficie,
independientemente de su forma.
Ley de Gauss: Ejemplo conceptual
„
Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga
puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total ΦE a
través de la superficie si:
D. la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie.
„
El flujo eléctrico no cambia cuando la carga se mueve a otro punto
dentro de la superficie debido a que la ley de Gauss se refiere a la
carga total .
Ley de Gauss: Aplicaciones
„
Distribuciones de carga con un alto grado de
simetría.
„
Se elige una superficie gausiana sobre la cual se pueda
simplificar la integral de superficie y así determinar el
campo eléctrico
„
La simetría de la distribución de carga permite sacar la
magnitud del campo eléctrico E de la integral (siempre y
cuando ésta sea constante sobre toda la superficie).
Ley de Gauss: Condiciones
„
La meta en este tipo de cálculos es determinar la superficie
gausiana que satisfaga una o más de las siguientes condiciones:
1. El valor del campo eléctrico se puede establecer, mediante
argumentos de simetría, como constante sobre toda la superficie.
2. El producto punto se puede expresar como un simple producto
algebraico E dA debido a que E y
dA son paralelos.
3. El producto punto es cero debido a que E y
dA son
perpendiculares.
4. El valor del campo eléctrico se puede establecer como cero sobre
la superficie.
Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)
„
El campo eléctrico debido a una carga puntual q positiva
y aislada.
„
Una sola carga representa la distribución de carga más simple a
partir de la cual es posible resolver la ley de Gauss para calcular el
campo eléctrico.
„
Conceptualización del sistema físico:
„
el espacio alrededor de la carga tiene simetría esférica,
„
suficiente simetría para aplicar la ley de Gauss.
Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)
„
Para analizar cualquier problema con la ley de Gauss:
„
se debe de considerar la naturaleza y las características del campo
eléctrico;
„
se debe de elegir una superficie gausiana que satisfaga una o
todas las condiciones señaladas anteriormente.
„
Debido a la simetría de este problema (carga puntual aislada)
„
se elige una superficie gausiana esférica de radio r centrada en la
carga puntual.
Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)
„
El campo eléctrico debido a una carga puntual positiva está dirigido
radialmente hacia fuera y, por lo tanto,
es perpendicular (normal) a la
superficie en cualquier punto.
„
Entonces E es paralelo a
dA en
todos los puntos sobre la superficie
gausiana (condición 2)
Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)
„
La ley de Gauss se puede escribir como:
„
Por simetría, E es constante sobre
toda la superficie (condición 1),
por lo cual puede salir de la
integral.
Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)
„
Entonces:
„
donde se ha utilizado el hecho de que el área de una esfera es 4πr2.
Despejando el campo eléctrico se obtiene:
„
Expresión para el campo eléctrico debido a un carga puntual que se
estableció a partir de la ley de Coulomb.
Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)
„
¿Qué pasaría si la carga puntual q no se encontrara en el centro de la
superficie gausiana esférica?
„
En este caso, aunque la ley de Gauss seguiría siendo válida, el
sistema no tendría suficiente simetría como para evaluar el campo
eléctrico. Es decir, si la carga no está en el centro, la magnitud de E
variaría sobre la superficie de la esfera y el vector E no sería
perpendicular a la superficie en todos los puntos.
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Una distribución de carga esféricamente simétrica: una
esfera sólida (de un material aislante) de radio a tienen
una densidad de carga volumétrica uniforme ρ y tiene
una carga total positiva Q.
A. Calcula la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de
la esfera.
„
Como la distribución de carga es esféricamente simétrica, se elige
una superficie gausiana esférica de radio r, concéntrica respecto de
la esfera sólida.
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Tal y como ocurre para una carga puntual, con esta superficie
gausiana se satisfacen las condiciones 1 y 2.
„
Aplicando el mismo razonamiento,
se obtiene que:
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Nótese que este resultado es idéntico al obtenido para una carga
puntual.
„
para una esfera cargada uniformemente, el campo eléctrico en
la región externa de la esfera es equivalente al campo eléctrico
de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
B. Determina la magnitud del campo eléctrico en un punto
dentro de la esfera.
„
En este caso se elige una superficie gausiana esférica de radio r < a,
concéntrica respecto de la esfera sólida.
„
Se indica el volumen de la esfera más
pequeña (superficie gausiana) como V’.
„
Para aplicar la ley de Gauss, es
importante reconocer que la carga q
dentro de la superficie gausiana de
volumen V’ es menor que Q.
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Para calcular qdentro, se utiliza la relación qdentro = ρV’:
„
Por simetría, la magnitud del campo eléctrico, E, es constante sobre
toda la superficie gausiana esférica y su dirección es normal
respecto de la superficie en cualquier punto (condiciones 1 y 2).
Entonces, la ley de Gauss en la región r < a es:
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Despejando la magnitud del campo eléctrico E:
„
Debido a que por definición
„
la expresión para E puede escribirse como:
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Nótese que este resultado para E (región r < a) difiere del obtenido
para la región r > a.
„
Esto indica que E → 0 conforme r → 0.
„
Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existiría en r = 0
si E variara como 1/r2 dentro de la esfera, tal y como lo hace fuera
de ella.
„
Es decir, si E ∝ 1/r2 para r < a, el campo eléctrico sería infinito en
r = 0, lo cual es físicamente imposible.
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
¿Qué pasaría si se aproximara a la posición radial r = a desde dentro
de la esfera y desde fuera de ella? ¿Se obtendría el mismo valor para
el campo eléctrico aproximándose desde ambas direcciones?
„
Desde fuera de la esfera, E tiende a un valor dado por:
„
Desde dentro de la esfera, E tiende a un valor dado por:
Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)
„
Entonces, el valor del campo eléctrico es el mismo si nos
aproximamos a la superficie de la esfera desde cualquiera de las dos
direcciones.
„
Una gráfica de E vs r, i.e. E = f (r),
muestra que la magnitud del campo
eléctrico es continua, pero la
derivada de la magnitud del campo
eléctrico (respecto de r) no lo es.
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
Una distribución de carga cilíndricamente simétrica:
determina el campo eléctrico a una distancia r de una
carga lineal positiva de longitud infinita y una carga
constante por unidad de longitud λ.
„
La simetría de la distribución de carga implica que el E sea
perpendicular a la carga lineal y que su dirección sea hacia fuera.
„
Para reflejar la simetría de la distribución de carga, se elige una
superficie gausiana cilíndrica de radio r y longitud l, que sea coaxial
(mismo eje) respecto de la carga lineal.
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y
perpendicular a la superficie en todos los puntos (i.e. se satisfacen
las condiciones 1 y 2).
„
Además, el flujo eléctrico a través de las
caras planas (o finales) del cilindro
gausiano es cero debido a que el E es
paralelo a dichas superficies, o bien, es
perpendicular a
dA (condición 3)
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
Se debe de tomar la integral de superficie de la ley de Gauss sobre
toda la superficie gausiana.
„
Sin embargo, debido a que E⋅
dA = 0
para las caras planas y finales del cilindro,
se puede restringir el análisis únicamente
a la superficie curvada del cilindro.
„
La carga total dentro de la superficie
gausiana es Q = λl, pues
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
Aplicando la ley de Gauss para la superficie curvada se puede
establecer que
„
El área de la superficie curvada de un cilindro es A = 2πrl
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
Se puede establecer que el campo eléctrico debido a una
distribución de carga cilíndricamente simétrica varía como 1/r.
„
Por otro lado, el campo eléctrico en un punto externo a una
distribución de carga esféricamente simétrica varía como 1/r2.
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
¿Qué pasaría si el segmento de carga lineal en este ejemplo no fuese
infinitamente largo?
„
Si la carga lineal en este ejemplo fuese de longitud finita, el
resultado para E no sería el obtenido anteriormente.
„
Una carga lineal finita no posee la simetría suficiente para utilizar la
ley de Gauss
„
Esto se debe a que la magnitud del campo eléctrico E no sería
constante sobre la superficie del cilindro (E en puntos cercanos a los
extremos finales de la carga lineal sería diferente de E en puntos
lejanos a dichos extremos).
Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)
„
Además, E no sería perpendicular a la superficie cilíndrica en todos
los puntos, es decir, los vectores de campo eléctrico cercanos a los
extremos finales tendrían una componente paralela a la carga lineal
finita, incumpliéndose la condición 2.
„
Para puntos cercanos a la carga lineal finita y lejanos de los
extremos finales, la ecuación para la magnitud del campo eléctrico
E obtenida a partir de una carga lineal infinita representa una buena
aproximación al valor del campo eléctrico.
Conductores en Equilibrio Electrostático
„
Un buen conductor eléctrico contiene cargas (electrones)
que no están unidos a ningún átomo y, por lo tanto, son
libres de moverse dentro del material.
„
Cuando no hay un movimiento neto de carga
dentro del conductor, éste está en equilibrio
electrostático.
Conductores en Equilibrio Electrostático
„
Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático:
1.
El campo eléctrico es cero en cualquier punto dentro del conductor.
2.
Si un conductor aislado está cargado, la carga se localiza en su
superficie.
3.
El campo eléctrico justo fuera de un conductor cargado es
perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud
σ/ 0, donde σ es la densidad de carga superficial en ese punto.
4.
Sobre conductores de formas irregulares, la densidad de carga
superficial es mayor en aquellas posiciones donde el radio de
curvatura de la superficie es más pequeño.
Propiedad 1: Edentro = 0
„
Consideren una tabla conductora
colocada dentro de un campo
eléctrico E externo.
„
Si Edentro ≠ 0, los electrones
libres dentro del conductor
experimentarían una fuerza
eléctrica
F = qE
y se acelerarían debido a esta
fuerza
F = ma
Propiedad 1: Edentro = 0
„
Sin embargo, este movimiento de
los electrones supondría que el
conductor no está en equilibrio
electrostático.
„
Entonces, la existencia de un
equilibrio electrostático sólo es
consistente con un campo
eléctrico de cero, E = 0, dentro
del conductor.
Propiedad 1: Edentro = 0
„
Análisis:
„
Antes de que se aplique el Eexterno,
los electrones libres están
distribuidos uniformemente
sobre todo el conductor.
„
Cuando se aplica el Eexterno, los
electrones se aceleran hacia la
izquierda en la figura,
estableciéndose un plano de
carga negativa sobre la superficie
izquierda.
Propiedad 1: Edentro = 0
„
El movimiento de los electrones
hacia la izquierda establece un
plano de carga positiva sobre la
superficie derecha.
„
Estos planos de carga establecen
un campo eléctrico adicional
dentro del conductor que se
opone al campo eléctrico externo.
Propiedad 1: Edentro = 0
„
Conforme los electrones se mueven,
las densidades de carga
superficiales sobre las superficies
izquierda y derecha del conductor
aumentan hasta que la magnitud
del campo eléctrico interno es
igual a la magnitud del campo
eléctrico externo Eexterno,
provocando que el campo
eléctrico neto dentro del
conductor sea cero (≈ 10-16 s).
Propiedad 2: Carga sobre la superficie
„
Conductor de forma arbitraria.
„
Se elige una superficie gausiana dentro
de dicho conductor cuya forma sea
muy parecida a la del conductor
(lo más parecida posible).
„
Edentro del conductor = 0 cuando está en
equilibrio electrostático.
„
Entonces, el campo eléctrico debe ser cero
en cualquier punto sobre la superficie
gausiana.
Propiedad 2: Carga sobre la superficie
„
Consecuentemente, ΦE = 0.(a través de la
superficie gausiana)
„
A partir de la ley de Gauss podemos
concluir que la carga neta dentro de
la superficie gausiana es cero.
ΦE = qdentro /
0
si ΦE = 0
como
0
es contante y diferente de cero,
entonces
qdentro = 0
Propiedad 2: Carga sobre la superficie
„
Debido a que no puede haber una carga neta dentro de la superficie
gausiana (la cual está arbitrariamente cercana a la superficie del
conductor), cualquier carga neta en el conductor debe
encontrarse sobre su superficie.
„
Nota: la ley de Gauss no indica como este exceso de carga esta
distribuido sobre la superficie del conductor, sólo establece que se
encuentra exclusivamente sobre la superficie.
Propiedad 3: Dirección y magnitud del E
„
Dirección del E.
„
Primero, se debe de tener en cuenta que si el vector campo
eléctrico E tiene una componente paralela a la superficie del
conductor, los electrones libres experimentarían una fuerza
eléctrica y se moverían a lo largo de la superficie; en tal caso, el
conductor no estaría en equilibrio.
„
Por lo tanto, para poder estar en equilibrio electrostático, el vector
campo eléctrico E debido a un conductor cargado debe ser
perpendicular a su superficie.
Propiedad 3: Dirección y magnitud del E
„
Para determinar la magnitud del E,
se dibuja una superficie gausiana
con forma de un pequeño cilindro,
cuyas caras finales sean paralelas
a la superficie del conductor.
„
Así, una parte del cilindro está fuera
del conductor, y la parte restante está
dentro, en equilibrio electrostático.
„
E es perpendicular a la superficie
del conductor.
Propiedad 3: Dirección y magnitud del E
„
No hay ΦE a través de la parte
curveada de una superficie
gausiana cilíndrica debido a que
el E es paralelo a la dicha región
de la superficie.
„
No hay ΦE a través de la cara plana
del cilindro que está dentro del conductor,
pues en esta región E = 0.
Propiedad 3: Dirección y magnitud del E
„
Entonces, el ΦE a través de la
superficie gausiana cilíndrica
corresponde únicamente al ΦE a
través de la cara plana del
cilindro que está fuera del
conductor.
„
Para dicha cara plana, el campo
eléctrico E es perpendicular a la
superficie gausiana.
Propiedad 3: Dirección y magnitud del E
„
De esta manera
ΦE = EA
donde E es el campo eléctrico
justo fuera del conductor y A
es el área de la cara del cilindro.
„
Aplicando la ley de Gauss para esta
cara del cilindro, se obtiene:
Propiedad 3: Dirección y magnitud del E
„
Despejando E, se obtiene el campo eléctrico justo fuera de un
conductor cargado:
Ejemplo Visual
„
La figura muestra líneas de campo
eléctrico visibles mediante pedazos
de hilo flotando en aceite.
„
Las líneas de campo eléctrico son
perpendiculares tanto para un
conductor cilíndrico como para
una placa conductora.
„
No hay líneas de campo eléctrico
dentro del cilindro.