DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Sáenz Peña 352 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES RELACIÓN ENTRE MODULACIÓN Y CODIFICACIÓN Metas de un diseñador de un sistema de comunicaciones Para diseñar un sistema de comunicaciones, el ingeniero (o ingenieros más precisamente) que lo proyecte deberá tener en cuenta varios puntos para ser puestos en “una balanza”. Estos puntos u objetivos son: 1. Maximizar la tasa de transmisión. 2. Minimizar la probabilidad de error de bit PB. 3. Minimizar la potencia requerida (esto implica minimizar Eb/N0). 4. Minimizar el ancho de banda requerido, B. 5. Maximizar la utilización del sistema. Esto es, brindar servicio confiable para un máximo número de usuarios, con mínimo retardo y máxima resistencia a las interferencias. 6. Minimizar la complejidad del sistema y minimizar su costo. Lo ideal sería cumplir con estas metas en forma simultánea. Sin embargo, se ve por ejemplo que, los puntos 1. y 2. entran en conflicto con los puntos 3. y 4. Hay varias limitaciones teóricas que imponen restricciones a las metas enumeradas. Estas son: 1. El ancho de banda mínimo requerido (ancho de banda de Nyquist). 2. El teorema de capacidad de Shannon-Hartley. 3. Normas gubernamentales (por ejemplo, distribución de frecuencias). 4. Limitaciones tecnológicas (estado del arte de los componentes). Plano de probabilidad de error En la Figura 1 se ilustra la familia de curvas de PB versus Eb/N0 para los casos de detección coherente, de señales ortogonales y señales multifase. Como ya se dijo en varias oportunidades, los esquemas de señalización (o codificación) que toman k bits a la vez son llamados sistemas M-arios. En la Figura 1(a) se ve que para el caso ortogonal la probabilidad de error de bit mejora notablemente a medida que k aumenta. Por ejemplo, para el caso de modulación FSK, el aumento de M produce, o bien una mejora en la probabilidad de error de bit PB (para Eb/N0 constante), o bien una reducción de Eb/N0 para una tasa de error fija. Esto es a expensas del ancho de banda. Para el caso no ortogonal, como ser MPSK, el aumento de k Relación entre modulación y codificación 1 produce una disminución del ancho de banda requerido, pero en este caso a expensas de la tasa de error de bit o de la relación Eb/N0. Estas curvas que se ven en las figuras citadas se llaman curvas de performance de probabilidad de error, y el plano sobre el cual se dibujan se llama plano de probabilidad de error. Tal plano describe los puntos de operación disponibles para un determinado esquema de modulación. Para una tasa de información dada (supuesta fija), cada curva en el plano puede ser asociada con un ancho de banda mínimo diferente (fijo en estas condiciones). Por lo tanto, estas curvas pueden llamarse curvas de igual ancho de banda. Figura 1. Probabilidad de error de bit versus Eb/N0 para señales detectadas en forma coherente. (a) Señales ortogonales. (b) Señales multifase. Una vez establecido un punto de operación dentro del plano, es posible desplazarse dentro de él según tres direcciones. El movimiento sobre la curva puede ser visto como una variación de PB en función de Eb/N0 manteniendo fijo el ancho de banda B. Un movimiento vertical implica una variación de PB y B, manteniendo fijo Eb/N0. Finalmente, un movimiento horizontal representa una probabilidad de error PB fija con una variación de B y Eb/N0. El movimiento a lo largo de la curva es, en principio, más sencillo que los otros dos movimientos, ya que implica sólo una variación de potencia (visto de una manera simplificada sería como “ajustar un potenciómetro”). Sin embargo, el desplazamiento del punto de operación a lo largo de un eje vertical u horizontal ya implica un ajuste que debe hacerse durante la etapa de diseño. Ancho de banda mínimo de Nyquist Cualquier sistema realizable que tenga un filtro no ideal sufrirá una interferencia intersímbolo (ISI), de manera tal que la “cola” de un pulso interferirá con el pulso adyacente, causando problemas de detección. Nyquist demostró que, en teoría, Rs símbolos por segundo 2 Relación entre modulación y codificación pueden detectarse sin ISI dentro de un ancho de banda mínimo de Rs/2 hertz (ancho de banda de Nyquist). Teorema de capacidad de Shannon-Hartley 1 Shannon demostró que un canal de comunicación perturbado con ruido blanco Gaussiano aditivo, tiene una capacidad de transmisión C que es una función de la potencia media recibida S, de la potencia media de ruido N y del ancho de banda B. Esta relación (teorema de Shannon-Hartley) puede escribirse como: S C = B log2 1 + N (1) La relación anterior expresa la capacidad de un canal de comunicación. Cuando el ancho de banda B se mide en hertz y el logaritmo se toma en base 2, la capacidad del canal viene dada en bits/s. Entonces, según este teorema, es teóricamente posible transmitir información sobre tal canal a cualquier tasa de bit R, donde R ≤ C, con una probabilidad de error arbitrariamente pequeña usando un suficientemente complicado esquema de codificación. Para una tasa de transmisión R > C no es posible encontrar un esquema de codificación que conduzca a una probabilidad de error arbitrariamente pequeña. El trabajo de Shannon muestra que los valores de S, N y B establecen un límite a la tasa de transmisión, no a la probabilidad de error de bit. Para verlo en números, supongamos un canal que tiene una relación señal a ruido de 27,1dB y un ancho de banda de 1 KHz. Reemplazando estos valores en la (1), teniendo en cuenta que 27,1dB representa una relación de 512,8 veces, resulta una capacidad de canal de 9005 bits/s. La interpretación de esto es: mientras se transmita como máximo a esa tasa de bit, será posible encontrar un esquema de codificación (aunque quizás extremadamente complejo y costoso) que permita llevar el BER (tasa de error de bit) hasta un valor suficientemente pequeño como se desee. Shannon usó la ecuación (1) para mostrar gráficamente la eficiencia de los sistemas practicables. Esta curva se dibuja en la Figura 2 y muestra la capacidad de canal normalizada C/B en bits/s/Hz como una función de la relación señal a ruido SNR del canal (es decir, bits/s por cada hertz de ancho de banda del canal). Ya que la potencia de ruido detectada es proporcional al ancho de banda, podemos escribir: N = N0B (2) Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) y reacomodando los términos tenemos: 1 El Profesor Claude Elwood Shannon es conocido como el padre de las comunicaciones digitales modernas y de la teoría de la información. Pariente lejano de Thomas Edison, Shannon trabajó en los Laboratorios Bell desde 1941 hasta 1972. Fue allí donde escribió su trabajo “Teoría Matemática de la Comunicación”, en el año 1948. Las ideas publicadas en este trabajo fueron adoptadas progresivamente por los ingenieros en comunicaciones, entre ellas, por ejemplo, la magnitud bits/s. Destacado criptógrafo, durante la Segunda Guerra Mundial trabajó sobre sistemas secretos en los Laboratorios Bell, entre ellos el desarrollo de sistemas antiaéreos. En 1949 publicó un trabajo titulado “Teoría de Comunicación de Sistemas Secretos”. Nacido el 30 de abril de 1916 en Petoskey, Michigan, Estados Unidos, durante su adolescencia trabajó como cartero de la Western Union. Shannon además diseñó, entre otras cosas, un dispositivo para resolver el cubo mágico de Erno Rubik. Fue también un destacado ajedrecista y desarrolló una computadora para jugar al ajedrez, mucho antes de que apareciera la famosa Deep Blue de IBM. En 1965, durante un viaje por Rusia, Shannon jugó una partida de ajedrez con el campeón del mundo de aquel país, Mikhail Botvinnik, y a pesar de haber perdido lo hizo en 42 movimientos, lo cual puede considerarse excelente. Recibió medallas de honor en numerosas Universidades de Estados Unidos, Europa y Asia. Murió el 24 de febrero de 2001, a los 84 años, víctima del mal de Alzheimer. Relación entre modulación y codificación 3 C S = log2 1 + B N 0B (3) Para el caso donde la tasa de transmisión es igual a la capacidad del canal, R = C, podemos escribir lo siguiente: Eb ST S = = N0 N0 RN 0 E S = b N0C N0 (4) Figura 2. Capacidad del canal normalizada versus SNR del canal (el ancho de banda se indica con W en lugar de hacerlo con B). Por lo tanto, podemos modificar la (3) como sigue: E C C = log2 1 + b B N 0 B 2C / B = 1 + ( Eb C N0 B ) Eb B C /B = 2 −1 N0 C 4 (5) (6) Relación entre modulación y codificación Límite de Shannon ¿Qué ocurre con la capacidad de canal si suponemos que el ancho de banda disponible es infinito? Si analizamos la (1), primero parecería que al aumentar B sin límite, la capacidad del canal también crece sin límite ya que B aparece multiplicando a la función logarítmica. Sin embargo, observando en detalle, vemos que B también aparece en el denominador dentro de la función logarítmica, por lo que si tiende a infinito, la función logarítmica tiende a cero. Es decir que, el aumento del ancho de banda implica mayor tasa de transmisión por una lado pero a la vez significa mayor potencia de ruido, reduciendo la relación señal a ruido y consecuentemente también la tasa de transmisión. O sea que el ancho de banda por un lado juega a favor del aumento de la capacidad de canal y por otro lado juega en contra. Este análisis nos permitirá ver que existe un valor límite de Eb/N0 por debajo del cual no pueden existir comunicaciones libres de error, cualquiera sea la tasa de transmisión que se use. Usando la siguiente identidad: lim (1 + x ) 1/ x x →0 =e podemos calcular el valor límite de Eb/N0 como sigue. Sea x = Eb C N0 B Entonces, de la ecuación (5), C 1/ x = x log2 (1 + x ) B En esta última ecuación, si reemplazamos la primera x por 1= Eb C tenemos: N0 B Eb 1/x log2 (1 + x ) N0 Cuando el ancho de banda B tiende a infinito (situación que permite transmitir a la máxima tasa de bit posible) resulta que C/B tiende a cero y entonces (1+x)1/x tiende al número e, obteniéndose: Eb 1 = = 0,693 = −1,59dB N0 log2 e (7) Esto significa que, al tener un ancho de banda teóricamente infinito, se podría ir aumentando la tasa de transmisión en principio sin límite. Es decir, ir haciendo cada vez más pequeño el tiempo de bit. Pero hacer más pequeño el tiempo de bit significa hacer más pequeña la energía de bit Eb, reduciéndose consecuentemente la relación Eb/N0. El mínimo valor que puede alcanzar Eb/N0 en esta condición es -1,59 dB. Por debajo de este valor no es posible llevar a cabo comunicaciones libres de error de bit. Este valor límite de Eb/N0 es llamado límite de Shannon. Ahora, como la relación Eb/N0 no puede reducirse a menos infinito dB y sólo puede llegar a -1,6 dB (en números redondos), eso significa que la tasa de transmisión R no puede crecer sin límite a medida que el ancho de banda crece sin límite, sino que llega hasta un valor para el cual se alcanza el valor límite de Eb/N0 de Shannon. Una vez que se alcanza este valor límite de Eb/N0 entonces R no puede aumentar más. Relación entre modulación y codificación 5 Sobre la Figura 1(a) se ve que el desplazamiento de un punto de trabajo a lo largo de una curva de error cualquiera, conduce a una disminución de Eb/N0 como así también de PB. Al llegar al valor límite Eb/N0 = -1,59dB la probabilidad de error de bit salta abruptamente al valor ½. También se ve, sobre el mismo gráfico, que cuando k → ∞ entonces PB tiende a cero. En la práctica, en esta situación de la Figura 1(a), no es posible alcanzar el límite de Shannon, ya que si k crece sin límites el ancho de banda también, y no es posible llevar algo así a la práctica. El trabajo de Shannon brinda una prueba teórica para la existencia de códigos que pueden mejorar la performance de probabilidad de error, o reducir la relación Eb/N0 requerida, desde los niveles correspondientes a esquemas de modulación binarios sin codificar hasta niveles que se aproximan al límite teórico. Por ejemplo, para una probabilidad de error de bit de 10-5 para modulación BPSK sin codificar, se requiere una relación Eb/N0 de 9,6dB. Por la tanto, el trabajo de Shannon predice la existencia de una mejora teórica máxima de 11,2dB (sobre este esquema sin codificar), a través del uso de técnicas de codificación. Hoy día, la mayoría de las mejoras propuestas o predichas (de aproximadamente 7 dB) son realizables. Plano de eficiencia de ancho de banda Usando la ecuación (6) se puede graficar C/B en función de Eb/N0. Esta relación se muestra en la Figura 3 de la página siguiente. Tal representación se llama plano de eficiencia de ancho de banda o plano de eficiencia espectral. La ordenada, R/B (R/W en la Figura 3), es una medida de cuántos datos pueden transmitirse dentro de un ancho de banda específico en un determinado tiempo. Por lo tanto, esto refleja qué tan eficiente es utilizado el recurso de ancho de banda. La abscisa Eb/N0 está en dB. Para el caso R = C la curva representa el límite que separa la región que caracteriza a los sistemas practicables de la región que representa a los sistemas que no son teóricamente posibles. Al igual que en la Figura 2, la Figura 3 muestra los límites de desempeño para los sistemas practicables. La gráfica de la Figura 3 es más útil para comparar sistemas de modulación ya que la abscisa es Eb/N0 en lugar de SNR. Eficiencia de ancho de banda en MPSK y MFSK Sobre el plano de eficiencia espectral de la Figura 3 se muestran los puntos de operación para modulación MPSK coherente, trabajando con una probabilidad de error de bit de 10-5. Asumimos que el filtrado de banda base es ideal y rectangular y según el criterio de Nyquist expuesto anteriormente, para tener el menor ancho de banda posible sin ISI. Por lo tanto, la eficiencia de ancho de banda es R / B = log2 M , donde M es el número de símbolos. Nótese que para MPSK, R/B aumenta con el aumento de M. Nótese también que la ubicación de los puntos indica que BPSK y QPSK requieren la misma Eb/N0 para la misma probabilidad de error de bit. Esto es, para un mismo valor de Eb/N0, QPSK tiene una eficiencia de ancho de banda de 2 bits/s/Hz, comparado con 1 bit/s/Hz de BPSK. Esta característica resulta del hecho que QPSK es una composición de dos señales BPSK transmitidas con portadoras ortogonales una de otra. En la figura también se ven puntos correspondientes a modulación MFSK no coherente, trabajando con una probabilidad de error de bit de 10-5. Asumimos que el ancho de banda, usando también el criterio de Nyquist, es B = M/T y de esta manera la eficiencia de ancho de banda es R/B = k/M. Nótese que para MFSK, R/B decrece con el aumento de M. Véase también que las posiciones de los puntos de MFSK indican que BFSK y 4-FSK tienen la misma eficiencia espectral, aunque el primero necesita mayor Eb/N0 para la misma probabilidad de error de bit. También se grafican en la Figura 3 los puntos correspondientes a QAM con detección coherente, con el mismo criterio de ancho de banda de Nyquist usado en los otros casos. En este caso la eficiencia espectral es igual a la de MPSK, aunque para obtener la misma probabilidad de error de bit se requiere menor relación Eb/N0. 6 Relación entre modulación y codificación Analogías entre eficiencia de ancho de banda y planos de probabilidad de error Los planos de eficiencia de ancho de banda son análogos a las curvas en cascada de probabilidad de error de bit. El límite de Shannon de estas últimas curvas es análogo al límite de capacidad de las curvas de la Figura 3. Las curvas en cascada de probabilidad de error de la Figura 1, son curvas de igual ancho de banda (equibandwidth curves). Del mismo modo, en la Figura 3 se pueden describir curvas de igual probabilidad de error (equierror-probability curves) para distintos esquemas de modulación y codificación. Las curvas indicadas como PB1, PB2, y PB3 son construcciones hipotéticas para algún esquema de modulación y codificación arbitrario. La curva PB1 representa la mayor probabilidad de error, mientras que la curva PB3 representa la menor probabilidad de error. En la figura se indica hacia donde se mueven las curvas para una dada variación en la probabilidad de error. Figura 3. Plano de eficiencia de ancho de banda. Veamos cómo varía la eficiencia de operación en la Figura 3, según los desplazamientos sobre las líneas (1), (2) y (3). El movimiento a lo largo de la dirección (1) implica tener R/B fijo, variando PB y Eb/N0. El movimiento a lo largo de la línea (2) implica Eb/N0 fijo, variando B (o R/B) y variando PB. Finalmente, el movimiento a lo largo de la línea (3) representa PB fijo con variaciones de Eb/N0 y R/B. Tanto en esta Figura 3 como en la Figura 1, el movimiento Relación entre modulación y codificación 7 según (1) implica solamente variaciones de Eb/N0. Sin embargo, los desplazamientos a lo largo de las otras dos direcciones implican cambiar el esquema de modulación o de codificación. Los dos recursos más importantes en el diseño de un sistema de comunicaciones son la potencia transmitida y el ancho de banda. Muchas veces, uno de los recursos es más importante que el otro. Por lo tanto, los sistemas suelen clasificarse como limitados en potencia y limitados en ancho de banda. En los sistemas limitados en potencia, los esquemas de codificación pueden usarse para ahorrar potencia a expensas del ancho de banda, mientras que en los sistemas limitados en ancho de banda se usan técnicas de modulación espectralmente eficientes a expensas de la potencia. Sistemas limitados en potencia Para el caso de sistemas limitados en potencia, es decir, sistemas donde no es posible disponer de toda la potencia deseada pero sí hay disponibilidad de ancho de banda (por ejemplo, un enlace satelital), se pueden poner en práctica las siguientes relaciones de compromiso: (1) mejorar la PB gastando más ancho de banda (para una dada Eb/N0); (2) reducir la Eb/N0 requerida gastando más ancho de banda (para una determinada PB). Generalmente, para estas situaciones, las curvas tipo cascada de probabilidad de error, son las más apropiadas para hacer el análisis de compromiso entre las distintas variables. Sistemas limitados en ancho de banda Cualquier sistema digital que transmite k bits en T segundos usando un ancho de banda de B hertz, opera con una eficiencia de ancho de banda de R/B = (log2M)/BT bits/s/Hz. De esta expresión puede verse que un valor bajo del producto BT dará como resultado un sistema con mejor eficiencia de ancho de banda. Por lo tanto, señales con un bajo valor de BT se usan normalmente en sistemas limitados en ancho de banda pero con disponibilidad de potencia. Para este caso el objetivo usual es maximizar la tasa de transmisión sobre el canal de banda limitada, a expensas de Eb/N0 (manteniendo un valor específico de PB). Un análisis de este tipo es más conveniente hacerlo sobre el plano de eficiencia de ancho de banda. En la Figura 3 se muestran dos zonas. La zona limitada en ancho de banda y la zona limitada en potencia. Cada zona presenta una relación de compromiso. Por ejemplo, la zona correspondiente a ancho de banda limitado requiere el uso de un valor alto de R/B, pero eso implica aumentar la relación Eb/N0. Un compromiso similar, en sentido opuesto, se presenta en la zona correspondiente a limitación de potencia. Eficiencia de modulación Uno de los objetivos de las técnicas de modulación es maximizar la eficiencia de ancho de banda. La creciente demanda de canales de comunicación digital ha llevado a la investigación de técnicas de modulación digital eficientes. Algunos sistemas necesitan algunos requerimientos adicionales, a pesar de tener una aceptable eficiencia espectral. Tal es el caso, comentado oportunamente, de los transpondedores satelitales, que son altamente no lineales y por lo tanto requieren una envolvente de modulación constante. Una solución a este problema, como ya se vio, es la modulación OQPSK. Eficiencia en QAM La relación entre potencia y ancho de banda en un sistema M-QAM también puede verse en la Figura 3, para una probabilidad de error de bit de 10-5. En esta figura puede verse que QAM representa un método para reducir el ancho de banda de transmisión. Al igual que 8 Relación entre modulación y codificación MPSK, la eficiencia de ancho de banda puede ser mejorada a cambio de la relación Eb/N0 pero para el caso de QAM este cambio es más eficiente. Ejemplo. Suponga que una secuencia de datos se transmite a una tasa R = 144 Mbits/seg, sobre un canal de RF usando un esquema de modulación DSB (Doble Banda Lateral). Asuma un filtrado de Nyquist y un ancho de banda DSB de 36 MHz. ¿Qué técnica de modulación debería elegirse para cumplir con este requerimiento? Solución. La eficiencia espectral requerida es: R 144 Mbits/s = = 4 bits/s/Hz B 36 MHz De la Figura 4 podemos ver que 16-QAM con una eficiencia espectral teórica de 4 bits/s/Hz requiere una Eb/N0 menor que 16PSK para la misma tasa de error de bit. Basándonos en estas consideraciones elegimos el esquema de modulación 16QAM. Relación entre modulación y codificación 9