Relación entre codificación y modulación

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
Roque Sáenz Peña 352 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina
TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES
RELACIÓN ENTRE MODULACIÓN Y CODIFICACIÓN
Metas de un diseñador de un sistema de comunicaciones
Para diseñar un sistema de comunicaciones, el ingeniero (o ingenieros más
precisamente) que lo proyecte deberá tener en cuenta varios puntos para ser puestos en “una
balanza”. Estos puntos u objetivos son:
1. Maximizar la tasa de transmisión.
2. Minimizar la probabilidad de error de bit PB.
3. Minimizar la potencia requerida (esto implica minimizar Eb/N0).
4. Minimizar el ancho de banda requerido, B.
5. Maximizar la utilización del sistema. Esto es, brindar servicio confiable para un
máximo número de usuarios, con mínimo retardo y máxima resistencia a las interferencias.
6. Minimizar la complejidad del sistema y minimizar su costo.
Lo ideal sería cumplir con estas metas en forma simultánea. Sin embargo, se ve por
ejemplo que, los puntos 1. y 2. entran en conflicto con los puntos 3. y 4.
Hay varias limitaciones teóricas que imponen restricciones a las metas enumeradas.
Estas son:
1. El ancho de banda mínimo requerido (ancho de banda de Nyquist).
2. El teorema de capacidad de Shannon-Hartley.
3. Normas gubernamentales (por ejemplo, distribución de frecuencias).
4. Limitaciones tecnológicas (estado del arte de los componentes).
Plano de probabilidad de error
En la Figura 1 se ilustra la familia de curvas de PB versus Eb/N0 para los casos de
detección coherente, de señales ortogonales y señales multifase. Como ya se dijo en varias
oportunidades, los esquemas de señalización (o codificación) que toman k bits a la vez son
llamados sistemas M-arios. En la Figura 1(a) se ve que para el caso ortogonal la probabilidad
de error de bit mejora notablemente a medida que k aumenta. Por ejemplo, para el caso de
modulación FSK, el aumento de M produce, o bien una mejora en la probabilidad de error de
bit PB (para Eb/N0 constante), o bien una reducción de Eb/N0 para una tasa de error fija. Esto
es a expensas del ancho de banda. Para el caso no ortogonal, como ser MPSK, el aumento de k
Relación entre modulación y codificación
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produce una disminución del ancho de banda requerido, pero en este caso a expensas de la
tasa de error de bit o de la relación Eb/N0. Estas curvas que se ven en las figuras citadas se
llaman curvas de performance de probabilidad de error, y el plano sobre el cual se dibujan se
llama plano de probabilidad de error. Tal plano describe los puntos de operación disponibles
para un determinado esquema de modulación. Para una tasa de información dada (supuesta
fija), cada curva en el plano puede ser asociada con un ancho de banda mínimo diferente (fijo
en estas condiciones). Por lo tanto, estas curvas pueden llamarse curvas de igual ancho de
banda.
Figura 1. Probabilidad de error de bit versus Eb/N0 para señales detectadas en forma coherente.
(a) Señales ortogonales. (b) Señales multifase.
Una vez establecido un punto de operación dentro del plano, es posible desplazarse
dentro de él según tres direcciones. El movimiento sobre la curva puede ser visto como una
variación de PB en función de Eb/N0 manteniendo fijo el ancho de banda B. Un movimiento
vertical implica una variación de PB y B, manteniendo fijo Eb/N0. Finalmente, un movimiento
horizontal representa una probabilidad de error PB fija con una variación de B y Eb/N0.
El movimiento a lo largo de la curva es, en principio, más sencillo que los otros dos
movimientos, ya que implica sólo una variación de potencia (visto de una manera simplificada
sería como “ajustar un potenciómetro”). Sin embargo, el desplazamiento del punto de
operación a lo largo de un eje vertical u horizontal ya implica un ajuste que debe hacerse
durante la etapa de diseño.
Ancho de banda mínimo de Nyquist
Cualquier sistema realizable que tenga un filtro no ideal sufrirá una interferencia
intersímbolo (ISI), de manera tal que la “cola” de un pulso interferirá con el pulso adyacente,
causando problemas de detección. Nyquist demostró que, en teoría, Rs símbolos por segundo
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Relación entre modulación y codificación
pueden detectarse sin ISI dentro de un ancho de banda mínimo de Rs/2 hertz (ancho de banda
de Nyquist).
Teorema de capacidad de Shannon-Hartley
1
Shannon demostró que un canal de comunicación perturbado con ruido blanco
Gaussiano aditivo, tiene una capacidad de transmisión C que es una función de la potencia
media recibida S, de la potencia media de ruido N y del ancho de banda B. Esta relación
(teorema de Shannon-Hartley) puede escribirse como:
S

C = B log2 1 + 
N

(1)
La relación anterior expresa la capacidad de un canal de comunicación. Cuando el ancho
de banda B se mide en hertz y el logaritmo se toma en base 2, la capacidad del canal viene
dada en bits/s. Entonces, según este teorema, es teóricamente posible transmitir información
sobre tal canal a cualquier tasa de bit R, donde R ≤ C, con una probabilidad de error
arbitrariamente pequeña usando un suficientemente complicado esquema de codificación. Para
una tasa de transmisión R > C no es posible encontrar un esquema de codificación que
conduzca a una probabilidad de error arbitrariamente pequeña. El trabajo de Shannon muestra
que los valores de S, N y B establecen un límite a la tasa de transmisión, no a la probabilidad
de error de bit.
Para verlo en números, supongamos un canal que tiene una relación señal a ruido de
27,1dB y un ancho de banda de 1 KHz. Reemplazando estos valores en la (1), teniendo en
cuenta que 27,1dB representa una relación de 512,8 veces, resulta una capacidad de canal de
9005 bits/s. La interpretación de esto es: mientras se transmita como máximo a esa tasa de
bit, será posible encontrar un esquema de codificación (aunque quizás extremadamente
complejo y costoso) que permita llevar el BER (tasa de error de bit) hasta un valor
suficientemente pequeño como se desee.
Shannon usó la ecuación (1) para mostrar gráficamente la eficiencia de los sistemas
practicables. Esta curva se dibuja en la Figura 2 y muestra la capacidad de canal normalizada
C/B en bits/s/Hz como una función de la relación señal a ruido SNR del canal (es decir, bits/s
por cada hertz de ancho de banda del canal). Ya que la potencia de ruido detectada es
proporcional al ancho de banda, podemos escribir:
N = N0B
(2)
Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) y reacomodando los términos tenemos:
1
El Profesor Claude Elwood Shannon es conocido como el padre de las comunicaciones digitales modernas y de la
teoría de la información. Pariente lejano de Thomas Edison, Shannon trabajó en los Laboratorios Bell desde 1941 hasta
1972. Fue allí donde escribió su trabajo “Teoría Matemática de la Comunicación”, en el año 1948. Las ideas publicadas
en este trabajo fueron adoptadas progresivamente por los ingenieros en comunicaciones, entre ellas, por ejemplo, la
magnitud bits/s.
Destacado criptógrafo, durante la Segunda Guerra Mundial trabajó sobre sistemas secretos en los Laboratorios Bell,
entre ellos el desarrollo de sistemas antiaéreos. En 1949 publicó un trabajo titulado “Teoría de Comunicación de
Sistemas Secretos”.
Nacido el 30 de abril de 1916 en Petoskey, Michigan, Estados Unidos, durante su adolescencia trabajó como cartero de
la Western Union.
Shannon además diseñó, entre otras cosas, un dispositivo para resolver el cubo mágico de Erno Rubik. Fue también un
destacado ajedrecista y desarrolló una computadora para jugar al ajedrez, mucho antes de que apareciera la famosa
Deep Blue de IBM. En 1965, durante un viaje por Rusia, Shannon jugó una partida de ajedrez con el campeón del
mundo de aquel país, Mikhail Botvinnik, y a pesar de haber perdido lo hizo en 42 movimientos, lo cual puede
considerarse excelente.
Recibió medallas de honor en numerosas Universidades de Estados Unidos, Europa y Asia.
Murió el 24 de febrero de 2001, a los 84 años, víctima del mal de Alzheimer.
Relación entre modulación y codificación
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
C
S 

= log2 1 +

B
N
0B 

(3)
Para el caso donde la tasa de transmisión es igual a la capacidad del canal, R = C,
podemos escribir lo siguiente:
Eb
ST
S
=
=
N0
N0
RN 0
E
S
= b
N0C
N0
(4)
Figura 2. Capacidad del canal normalizada versus SNR del canal (el ancho de banda se indica
con W en lugar de hacerlo con B).
Por lo tanto, podemos modificar la (3) como sigue:

E  C 
C
= log2 1 + b  
B
N
0  B 

2C / B = 1 +
(
Eb  C 
 
N0  B 
)
Eb
B C /B
=
2
−1
N0
C
4
(5)
(6)
Relación entre modulación y codificación
Límite de Shannon
¿Qué ocurre con la capacidad de canal si suponemos que el ancho de banda disponible
es infinito? Si analizamos la (1), primero parecería que al aumentar B sin límite, la capacidad
del canal también crece sin límite ya que B aparece multiplicando a la función logarítmica. Sin
embargo, observando en detalle, vemos que B también aparece en el denominador dentro de
la función logarítmica, por lo que si tiende a infinito, la función logarítmica tiende a cero. Es
decir que, el aumento del ancho de banda implica mayor tasa de transmisión por una lado
pero a la vez significa mayor potencia de ruido, reduciendo la relación señal a ruido y
consecuentemente también la tasa de transmisión. O sea que el ancho de banda por un lado
juega a favor del aumento de la capacidad de canal y por otro lado juega en contra. Este
análisis nos permitirá ver que existe un valor límite de Eb/N0 por debajo del cual no pueden
existir comunicaciones libres de error, cualquiera sea la tasa de transmisión que se use.
Usando la siguiente identidad:
lim (1 + x )
1/ x
x →0
=e
podemos calcular el valor límite de Eb/N0 como sigue. Sea
x =
Eb  C 
 
N0  B 
Entonces, de la ecuación (5),
C
1/ x
= x log2 (1 + x )
B
En esta última ecuación, si reemplazamos la primera x por
1=
Eb  C 
  tenemos:
N0  B 
Eb
1/x
log2 (1 + x )
N0
Cuando el ancho de banda B tiende a infinito (situación que permite transmitir a la
máxima tasa de bit posible) resulta que C/B tiende a cero y entonces (1+x)1/x tiende al
número e, obteniéndose:
Eb
1
=
= 0,693 = −1,59dB
N0
log2 e
(7)
Esto significa que, al tener un ancho de banda teóricamente infinito, se podría ir
aumentando la tasa de transmisión en principio sin límite. Es decir, ir haciendo cada vez más
pequeño el tiempo de bit. Pero hacer más pequeño el tiempo de bit significa hacer más
pequeña la energía de bit Eb, reduciéndose consecuentemente la relación Eb/N0. El mínimo
valor que puede alcanzar Eb/N0 en esta condición es -1,59 dB. Por debajo de este valor no es
posible llevar a cabo comunicaciones libres de error de bit. Este valor límite de Eb/N0 es
llamado límite de Shannon.
Ahora, como la relación Eb/N0 no puede reducirse a menos infinito dB y sólo puede
llegar a -1,6 dB (en números redondos), eso significa que la tasa de transmisión R no puede
crecer sin límite a medida que el ancho de banda crece sin límite, sino que llega hasta un valor
para el cual se alcanza el valor límite de Eb/N0 de Shannon. Una vez que se alcanza este valor
límite de Eb/N0 entonces R no puede aumentar más.
Relación entre modulación y codificación
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Sobre la Figura 1(a) se ve que el desplazamiento de un punto de trabajo a lo largo de
una curva de error cualquiera, conduce a una disminución de Eb/N0 como así también de PB. Al
llegar al valor límite Eb/N0 = -1,59dB la probabilidad de error de bit salta abruptamente al
valor ½. También se ve, sobre el mismo gráfico, que cuando k → ∞ entonces PB tiende a cero.
En la práctica, en esta situación de la Figura 1(a), no es posible alcanzar el límite de Shannon,
ya que si k crece sin límites el ancho de banda también, y no es posible llevar algo así a la
práctica. El trabajo de Shannon brinda una prueba teórica para la existencia de códigos que
pueden mejorar la performance de probabilidad de error, o reducir la relación Eb/N0 requerida,
desde los niveles correspondientes a esquemas de modulación binarios sin codificar hasta
niveles que se aproximan al límite teórico.
Por ejemplo, para una probabilidad de error de bit de 10-5 para modulación BPSK sin
codificar, se requiere una relación Eb/N0 de 9,6dB. Por la tanto, el trabajo de Shannon predice
la existencia de una mejora teórica máxima de 11,2dB (sobre este esquema sin codificar), a
través del uso de técnicas de codificación. Hoy día, la mayoría de las mejoras propuestas o
predichas (de aproximadamente 7 dB) son realizables.
Plano de eficiencia de ancho de banda
Usando la ecuación (6) se puede graficar C/B en función de Eb/N0. Esta relación se
muestra en la Figura 3 de la página siguiente. Tal representación se llama plano de eficiencia
de ancho de banda o plano de eficiencia espectral. La ordenada, R/B (R/W en la Figura 3), es
una medida de cuántos datos pueden transmitirse dentro de un ancho de banda específico en
un determinado tiempo. Por lo tanto, esto refleja qué tan eficiente es utilizado el recurso de
ancho de banda. La abscisa Eb/N0 está en dB. Para el caso R = C la curva representa el límite
que separa la región que caracteriza a los sistemas practicables de la región que representa a
los sistemas que no son teóricamente posibles. Al igual que en la Figura 2, la Figura 3 muestra
los límites de desempeño para los sistemas practicables. La gráfica de la Figura 3 es más útil
para comparar sistemas de modulación ya que la abscisa es Eb/N0 en lugar de SNR.
Eficiencia de ancho de banda en MPSK y MFSK
Sobre el plano de eficiencia espectral de la Figura 3 se muestran los puntos de
operación para modulación MPSK coherente, trabajando con una probabilidad de error de bit
de 10-5. Asumimos que el filtrado de banda base es ideal y rectangular y según el criterio de
Nyquist expuesto anteriormente, para tener el menor ancho de banda posible sin ISI. Por lo
tanto, la eficiencia de ancho de banda es R / B = log2 M , donde M es el número de símbolos.
Nótese que para MPSK, R/B aumenta con el aumento de M. Nótese también que la ubicación
de los puntos indica que BPSK y QPSK requieren la misma Eb/N0 para la misma probabilidad de
error de bit. Esto es, para un mismo valor de Eb/N0, QPSK tiene una eficiencia de ancho de
banda de 2 bits/s/Hz, comparado con 1 bit/s/Hz de BPSK. Esta característica resulta del hecho
que QPSK es una composición de dos señales BPSK transmitidas con portadoras ortogonales
una de otra.
En la figura también se ven puntos correspondientes a modulación MFSK no coherente,
trabajando con una probabilidad de error de bit de 10-5. Asumimos que el ancho de banda,
usando también el criterio de Nyquist, es B = M/T y de esta manera la eficiencia de ancho de
banda es R/B = k/M. Nótese que para MFSK, R/B decrece con el aumento de M. Véase también
que las posiciones de los puntos de MFSK indican que BFSK y 4-FSK tienen la misma eficiencia
espectral, aunque el primero necesita mayor Eb/N0 para la misma probabilidad de error de bit.
También se grafican en la Figura 3 los puntos correspondientes a QAM con detección
coherente, con el mismo criterio de ancho de banda de Nyquist usado en los otros casos. En
este caso la eficiencia espectral es igual a la de MPSK, aunque para obtener la misma
probabilidad de error de bit se requiere menor relación Eb/N0.
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Relación entre modulación y codificación
Analogías entre eficiencia de ancho de banda y planos de probabilidad de error
Los planos de eficiencia de ancho de banda son análogos a las curvas en cascada de
probabilidad de error de bit. El límite de Shannon de estas últimas curvas es análogo al límite
de capacidad de las curvas de la Figura 3. Las curvas en cascada de probabilidad de error de la
Figura 1, son curvas de igual ancho de banda (equibandwidth curves). Del mismo modo, en la
Figura 3 se pueden describir curvas de igual probabilidad de error (equierror-probability
curves) para distintos esquemas de modulación y codificación. Las curvas indicadas como PB1,
PB2, y PB3 son construcciones hipotéticas para algún esquema de modulación y codificación
arbitrario. La curva PB1 representa la mayor probabilidad de error, mientras que la curva PB3
representa la menor probabilidad de error. En la figura se indica hacia donde se mueven las
curvas para una dada variación en la probabilidad de error.
Figura 3. Plano de eficiencia de ancho de banda.
Veamos cómo varía la eficiencia de operación en la Figura 3, según los desplazamientos
sobre las líneas (1), (2) y (3). El movimiento a lo largo de la dirección (1) implica tener R/B
fijo, variando PB y Eb/N0. El movimiento a lo largo de la línea (2) implica Eb/N0 fijo, variando B
(o R/B) y variando PB. Finalmente, el movimiento a lo largo de la línea (3) representa PB fijo
con variaciones de Eb/N0 y R/B. Tanto en esta Figura 3 como en la Figura 1, el movimiento
Relación entre modulación y codificación
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según (1) implica solamente variaciones de Eb/N0. Sin embargo, los desplazamientos a lo largo
de las otras dos direcciones implican cambiar el esquema de modulación o de codificación.
Los dos recursos más importantes en el diseño de un sistema de comunicaciones son la
potencia transmitida y el ancho de banda. Muchas veces, uno de los recursos es más
importante que el otro. Por lo tanto, los sistemas suelen clasificarse como limitados en
potencia y limitados en ancho de banda. En los sistemas limitados en potencia, los esquemas
de codificación pueden usarse para ahorrar potencia a expensas del ancho de banda, mientras
que en los sistemas limitados en ancho de banda se usan técnicas de modulación
espectralmente eficientes a expensas de la potencia.
Sistemas limitados en potencia
Para el caso de sistemas limitados en potencia, es decir, sistemas donde no es posible
disponer de toda la potencia deseada pero sí hay disponibilidad de ancho de banda (por
ejemplo, un enlace satelital), se pueden poner en práctica las siguientes relaciones de
compromiso: (1) mejorar la PB gastando más ancho de banda (para una dada Eb/N0); (2)
reducir la Eb/N0 requerida gastando más ancho de banda (para una determinada PB).
Generalmente, para estas situaciones, las curvas tipo cascada de probabilidad de error, son las
más apropiadas para hacer el análisis de compromiso entre las distintas variables.
Sistemas limitados en ancho de banda
Cualquier sistema digital que transmite k bits en T segundos usando un ancho de banda
de B hertz, opera con una eficiencia de ancho de banda de R/B = (log2M)/BT bits/s/Hz. De esta
expresión puede verse que un valor bajo del producto BT dará como resultado un sistema con
mejor eficiencia de ancho de banda. Por lo tanto, señales con un bajo valor de BT se usan
normalmente en sistemas limitados en ancho de banda pero con disponibilidad de potencia.
Para este caso el objetivo usual es maximizar la tasa de transmisión sobre el canal de banda
limitada, a expensas de Eb/N0 (manteniendo un valor específico de PB). Un análisis de este tipo
es más conveniente hacerlo sobre el plano de eficiencia de ancho de banda.
En la Figura 3 se muestran dos zonas. La zona limitada en ancho de banda y la zona
limitada en potencia. Cada zona presenta una relación de compromiso. Por ejemplo, la zona
correspondiente a ancho de banda limitado requiere el uso de un valor alto de R/B, pero eso
implica aumentar la relación Eb/N0. Un compromiso similar, en sentido opuesto, se presenta en
la zona correspondiente a limitación de potencia.
Eficiencia de modulación
Uno de los objetivos de las técnicas de modulación es maximizar la eficiencia de ancho
de banda. La creciente demanda de canales de comunicación digital ha llevado a la
investigación de técnicas de modulación digital eficientes.
Algunos sistemas necesitan algunos requerimientos adicionales, a pesar de tener una
aceptable eficiencia espectral. Tal es el caso, comentado oportunamente, de los
transpondedores satelitales, que son altamente no lineales y por lo tanto requieren una
envolvente de modulación constante. Una solución a este problema, como ya se vio, es la
modulación OQPSK.
Eficiencia en QAM
La relación entre potencia y ancho de banda en un sistema M-QAM también puede
verse en la Figura 3, para una probabilidad de error de bit de 10-5. En esta figura puede verse
que QAM representa un método para reducir el ancho de banda de transmisión. Al igual que
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Relación entre modulación y codificación
MPSK, la eficiencia de ancho de banda puede ser mejorada a cambio de la relación Eb/N0 pero
para el caso de QAM este cambio es más eficiente.
Ejemplo.
Suponga que una secuencia de datos se transmite a una tasa R = 144 Mbits/seg, sobre
un canal de RF usando un esquema de modulación DSB (Doble Banda Lateral). Asuma un
filtrado de Nyquist y un ancho de banda DSB de 36 MHz. ¿Qué técnica de modulación debería
elegirse para cumplir con este requerimiento?
Solución. La eficiencia espectral requerida es:
R 144 Mbits/s
=
= 4 bits/s/Hz
B
36 MHz
De la Figura 4 podemos ver que 16-QAM con una eficiencia espectral teórica de 4
bits/s/Hz requiere una Eb/N0 menor que 16PSK para la misma tasa de error de bit. Basándonos
en estas consideraciones elegimos el esquema de modulación 16QAM.
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