Asíntotas horizontales y verticales
Asintota vertical
Se dice que la recta 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 es una asíntota vertical del grafico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) si se cumple alguna de
las siguientes condiciones:
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ±∞ o lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ±∞
Ejemplo:
Hay funciones que tienen un comportamiento fuera de lo común cuando la variable x
tiende a confundirse con un cierto valor. Puede hacerlo por los mayores o por los
menores que él. Es decir para aproximarnos al 2 podemos hacerlo de dos formas:
Por la izquierda -1.1; -1.01; -1.001 ... Se escribe x → -1- . ► x → -1 con x ≤ -1
Por la derecha -0.9; -0.99; -0.999 ... Se escribe x → -1+.► x → -1 con x ≥ -1.
Si
Lim F(x) = ± ∞
x → x o±
se dice, entonces que hay una asíntota vertical en x = x o
Asíntota Horizontal
Se dice que la recta 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 es una asíntota horizontal del grafico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) si el límite de la función
cuando 𝑥𝑥 → ±∞ es el numero 𝑏𝑏 lim𝑥𝑥→±∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏, (es decir, los valores de f(x) se
aproximan a "b" cuando los valores "x" se hacen grandes en valor absoluto)
f ( x) =
3. Dada la función
x + 1
x − 2 . Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de f.
x + 1
=−∞
x
−
2
x→2
2 es una asíntota vertical.
⇒ x=
x + 1
Lím+
=+∞
x − 2
x→2
Lím−
1
1 +
x
Lím
= 1
x→+∞
2
1 −
x
1 es una asíntota horizontal
⇒ y=
1
1 +
x + 1
x
1
Lím
= Lím
=
x→−∞ x − 2
x→−∞
2
1 −
x
x + 1
Lím
=
x→+∞ x − 2
f ( x) =
4. Dada la función
2x + 1
x − 1 . Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de f.
L í m f ( x) = + ∞
x → 1+
1 es una asíntota vertical
⇒ x =
L í m f ( x) = − ∞
x → 1−
L í m f ( x) = L í m f ( x) = 2 ⇒ y = 2 es una asíntota horizontal
x→+∞
x→−∞
Haga un bosquejo de la gráfica de la función.
x ( x − 4)
. Encuentre las asíntotas horizontales, las asíntotas
( x − 1)( x − 3)
verticales y haga un bosquejo de la gráfica de f.
5. Dada la función f ( x) =
x ( x − 4)
=
( x − 1)( x − 3)
=
f ( x)
x2 − 4 x
=
x2 − 4 x + 3
1−
4
4
+
1−
x
x
3
x2
L í m f ( x) = + ∞ ∧ L í m f ( x) = − ∞ ⇒ x = 1 es asíntota vertical.
x → 1+
x → 1−
L í m f ( x) = − ∞ ∧ L í m f ( x) = + ∞ ⇒ x = 3 es asíntota vertical
x → 3+
x → 3−
L í m f ( x) =1 ∧ L í m f ( x) =1 ⇒ y =1 es asíntota horizontal.
x→+∞
6.
x→−∞
Dada la función f ( x) = 1 −
3
2x −1
.
a) Utilice límites infinitos para encontrar las asíntotas verticales.
b) Utilice límites al infinito para encontrar las asíntotas horizontales.
c) Haga un hacer un bosquejo de la gráfica de la función.
2x − 4
L í m
=+∞
2x −1
1−
x→
2
1 4 =− 3
L í m ( 2 x − 4 ) =−
−
1
x→
2
L í m ( 2x −1) =1−1= 0
1−
x→
2
2x − 4
L í m
=−∞
2x −1
1+
x→
2
1 4=
L í m ( 2 x − 4 ) =−
−3
1+
x→
2
L í m ( 2x −1) =1−1= 0
1+
x→
2
∴
x = 1 es una asíntota vertical.
2x − 4
2x
L í =
m f ( x) L í m = L í =
m
L=
í m1 1
x→+∞
x→+∞ 2x −1
x→+∞ 2x
x→+∞
1 es una asíntota horizontal
⇒ y=
2x − 4
2x
L í =
m f ( x) L í m = L í =
m
L=
í m1 1
x→−∞
x→−∞ 2x −1
x→−∞ 2x
x→−∞
7. Dada la función f ( x) =
x +1
. Utilice límites infinitos y límites al infinito para encontrar las
2x − 2
asíntotas verticales y horizontales de la función f ( x), para luego hacer un bosquejo de su
gráfica en el sistema de coordenadas proporcionado.
L í m f ( x) = L í m
x →1 −
x →1 −
x +1
=−∞
2x − 2
L í m ( x +1) =1+1= 2
x →1 −
L í m ( 2 x − 2 )= 2 (1) − 2= 0
x →1 −
L í m f ( x) = L í m
x →1 +
x →1 +
x +1
=+∞
2x − 2
L í m ( x +1) =1+1= 2
x →1 +
L í m ( 2 x − 2 )= 2 (1) − 2= 0
x →1 +
∴
x = 1 es una asíntota vertical.
1
x +1
x
L í=
m f ( x) L í m = L í =
m
L=
í m
x→+∞
x→+∞ 2x − 2
x→+∞ 2x
x→+∞ 2
x +1
x
1
L í=
m f ( x) L í m= L =
í m
L=
í m
x→−∞
x→−∞ 2x − 2
x→−∞ 2x
x→−∞ 2
1
es una asíntota horizontal
⇒ y=
2
1
2
1
2
0
