Teoria Cinetica de los gases

Teoría cinética de los gases
1860 a 1890
R. Clausius – C. Maxwell – L. Boltzmann
Encontraron que las propiedades físicas de los gases se
explican en términos del movimiento de moléculas
individuales.
Las propiedades macroscópicas de los gases se derivaron a
partir de una teoría molecular de los mismos basada en
suposiciones simples relativas a su estructura y
comportamiento.
Teoría cinética de los gases
Suposiciones
1. Gas ideal formado por partículas consideradas esferas rígidas de
dimensiones extremadamente pequeñas  masas puntuales.
2. Partículas en rápido y continuo movimiento al azar, con
trayectorias rectilíneas, cuyas dirección y velocidad cambian por
choques entre ellas y contra las paredes del recipiente.
3. Los
choques
son
perfectamente
elásticos
y
de
duración
insignificante.
4. Los choques contra las paredes del recipiente originan la
presión del gas.
5. Las
partículas
no
ejercen
entre
sí
fuerzas
atractivas
repulsivas, salvo como consecuencia del proceso de colisión.
ni
Cálculo de la presión del gas ideal
Para un grupo de N moléculas de gas que se mueven
con velocidades individuales
v1 , v2 , v3 ,
vN
se define velocidad cuadrática media
v  v 2  v3 
v 
N
2
2
1
2
2
 vn
2
Es el promedio del cuadrado de las velocidades de todas las
moléculas.
Se ignora la dirección del movimiento real de cada
molécula y se descompone cada velocidad en tres
componentes, en las direcciones de los ejes x, y, z
Según el teorema de Pitágoras:
v
2
 vx  v y  vz
2
2
2
Se considera un cubo de lado d, que contiene N
moléculas, cada una de masa m.
Una molécula que se mueve a la
derecha a lo largo del eje x tiene
una cantidad de movimiento
m vx
Al llegar a la pared, se produce un
choque
elástico
rebota
con
movimiento
una
y
- m vx
la
molécula
cantidad
El cambio neto en la cantidad de movimiento es
de
2 m vx
El número de choques por segundo de la molécula sobre
las dos caras opuestas es igual a
vx
d
El cambio en la cantidad de movimiento de una partícula
por segundo, en la dirección x es
2 m vx
d
2
Al considerar las tres dimensiones, el cambio en la
cantidad de movimiento por segundo de la partícula es
2 mv
d
2
Para N moléculas, el cambio total de la cantidad de
movimiento por segundo es
2 mNv
d
2
que de acuerdo a la ley de Newton corresponde a la
fuerza ejercida sobre las caras del cubo.
La presión, para el área total A es
2
F 2 mNv
2 mNv
P


3
A
Ad
6d
con el volumen d3 = V
2
1 mNv

3
V
las 6 caras del cubo
2
Energía cinética y temperatura
Como el promedio de la energía cinética para una
molécula es
e CIN
1
2
 mv
2
Podemos escribir
1
2
2
2
P V  m N v  N e CIN  n N A e CIN
3
3
3
N  n NA
El producto PV esta igualado a una forma de energia! Las
unidades L.atm deben ser una unidad de energia.
Comparando la ecuación teórica
2
P V  n N A e CIN
3
con la expresión empírica
PV  n R T
se deduce que
2
R T  N A e CIN
3
Reescribiendo la ecuación
e CIN
3RT

2 NA
Por lo tanto, la energía cinética de un mol de moléculas
E CIN
3
 RT
2
La temperatura absoluta es
una medida de la energía del
movimiento molecular.
Introducimos la constante de Bolzmann, k
R
-16
-1
-1
k
 1.380 10 erg molec K
NA
Entonces,
la
energía
cinética
partícula es:
e CIN
promedio
para
una
3
 kT
2
La temperatura absoluta es
una medida de la energía del
movimiento molecular.
Recordemos que
e CIN
Si
1
3
2
 mv  kT
2
2
v x  v y  vz v
2
multiplico
por NA
2
2
2
 3 vx
1
1
2
m vx  k T
2
2
1
1
2
M vx  R T
2
2
2
Principio de equipartición de la energía
e CIN  e CIN ,x  e CIN ,y  e CIN ,z
e CIN
3
 kT
2
1
1
1
 k T k T k T
2
2
2
E CIN
3
 RT
2
El movimiento de las partículas en cada una de
direcciones cartesianas contribuye en kT/2 a la
cinética total por molécula o bien RT/2 a la
cinética por mol.
Dos gases a igual temperatura tendrán igual
cinética.
las tres
energía
energía
energía
Si quiero conocer la velocidad cuadrática media
PV=nRT
1
1
2
2
P V  m NA v  M v  R T
3
3
v
vcm 
3RT

M
2
v
2

3RT
M
La raíz cuadrada de la velocidad cuadrática media es
proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura
absoluta.
Ejercicio
Calcular la raíz cuadrada de la velocidad cuadrática
media para la molécula de hidrogeno a 25 C
vcm 
v2



3kT
m
3x1.38x1016 erg / Kx298K
5

1.92x10
cm / s
24
2x1.67x10 g
vcm 
v2
v
2
v2

3RT
M
3x8.31x107 erg / molKx298K
 1.92x105 cm / s
2g / mol
Distribución de velocidades
Para una cantidad de gas definida, mientras la
temperatura se mantenga constante, la energía
cinética promedio y la velocidad cuadrática media
permanecerán inalteradas. El movimiento de las
moléculas es totalmente aleatorio.
En un momento dado, cuantas moléculas estarán en
movimiento a una velocidad dada?
Distribución de velocidades
 No todas las moléculas tienen la misma velocidad
 Es imposible conocer la velocidad de cada molécula.
 Debido a las colisiones, la velocidad de cada
molécula cambia 109 veces en un segundo.
 Podemos hacer un pronóstico estadístico de cuantas
de ellas tienen una cierta velocidad.
 Distribución de velocidades moleculares: fracción de
moléculas con velocidades comprendidas entre v
v+v
y
vcm 
Número de moléculas
100 K
N2 (28 g/mol)
300 K
700 K
Velocidad
v
2

3RT
M
A una temperatura dada, la curva
indica el numero de moléculas que se
mueven a cierta velocidad.
El pico de cada curva representa la
velocidad mas probable: velocidad del
mayor número de moléculas.
Al aumentar la temperatura, aumenta
la velocidad mas probable (el pico se
desplaza hacia la derecha).
Al aumentar la temperatura, un mayor
numero
de
moléculas
se
esta
moviendo a mayor velocidad (la curva
se hace mas plana).
vcm 
v
2

3RT
M
Número de moléculas
Cl2 (71 g/mol)
300 K
N2 (28 g/mol)
Curvas
de
distribución
de
velocidades para 3 gases a la
misma temperatura.
Las moléculas mas livianas se
mueven mas rápido, en promedio,
que las mas pesadas.
He (4 g/mol)
Velocidad
Descripción molecular de las leyes de los gases:
1) Ley de Boyle
El numero de partículas es constante
La temperatura es constante, por lo tanto la
son constantes.
1
P V  mNv2
3
v
2
y
e CIN
P V = constante
Si el volumen disminuye, el numero de colisiones por
unidad de tiempo aumenta. Como la presión es
proporcional al numero de colisiones, debemos
observar un aumento de la presión. La presión es
inversamente proporcional al volumen.
2) Leyes de Charles y Gay- Lussac
(N constante):
PV=NkT
Si V = cte.,
P es proporcional a T
(Gay-Lussac)
Si P = cte.,
V es proporcional a T
(Charles)
3) Ley de Avogadro
Para dos gases (1 y 2) a igual T y P, volúmenes iguales
contienen igual número de moléculas.
1
P1V1  m1N1 v12
3
P2V2 
1
m2N2 v22
3
Si P1 = P2, entonces V1 = V2 y P1V1 = P2V2
Si están a igual temperatura:
1
1
m1 v12  m2 v22
2
2
Por lo tanto:
N 1 = N2
4) Ley de Dalton (presiones parciales)
mANA v2A
PA 
3V
mBNB vB2
PB 
3V
Al agregar el gas B al gas A aumenta el número de
moléculas y por lo tanto el número de colisiones por
segundo, aumentando la presión de la mezcla:
mANA v2A mBNB vB2
P 

 PA  PB
3V
3V
Como las moléculas no se atraen o repelen entre si, la
presión ejercida por gas B, no se afectara por la presencia
del gas A. Por eso la presión total es igual a la suma de las
presiones individuales.
5) Ley de Graham
2
v 
3RT
M
Para dos gases a la misma temperatura
v12
2
2
v

M2
M1
vdif 
1
M