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CátedraI Introducción a la Matemática
AutoresI Mónica Bocco, Silvina Sayago
UNIDAD I
CONJUNTOS DE NÚMEROS
CátedraI Introducción a la Matemática
AutoresI Mónica Bocco, Silvina Sayago
Bocco-Sayago
Elementos de Matemática
A.
CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN
El lenguaje que usamos a diario contiene muchas palabras para designar una
colección de objetos; encontraremos en nuestra carrera que en botánica o zoología, por
ejemplo, se utilizan categorías tales como orden, familia, etc. para clasificar animales y
plantas que tienen ciertas características comunes; en química se trata con el conjunto de
elementos químicos; en economía se realiza el balance entre la totalidad de ingresos y la
de gastos; en estadística, para estudiar una población muy grande se selecciona una cierta
cantidad de individuos que se llama muestra. Todas estas palabras: colección, categoría,
clases, grupos, muestra, etc. tienen un significado común, en matemática, para unificarlas,
usamos el término conjunto.
CONJUNTO Y ELEMENTO
Sin pretender definir rigurosamente el término conjunto sólo damos expresiones
sinónimas como: reunión, colección o agrupación de objetos de cualquier naturaleza. Los
objetos del conjunto se denominan elementos.
Convencionalmente, para denotar conjuntos usamos letras mayúsculas y para
denotar un elemento genérico de un conjunto usamos letras minúsculas.
Dado un conjunto A y un elemento x puede suceder que x sea o no un elemento
del conjunto, usamos el símbolo pertenece (∈) para denotar estas situaciones, así:
x ∈ A se lee: “ x pertenece al conjunto A ”
x ∉ A se lee: “ x no pertenece al conjunto A ”
Ejemplo 1:
Si A es el conjunto de las vocales, entonces a ∈ A y b ∉ A
En el ejemplo hemos definido al conjunto A en el lenguaje usual (coloquial) pero
podemos usar lenguaje gráfico o diagramas de Venn. En diagramas se representa el
conjunto por una línea curva que encierra a todos los elementos.
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Ejemplo 2:
Elementos de Matemática
En diagramas de Venn el conjunto A de las vocales se representa por:
A
.a
.z
.o
.t
.u
.e
.b
.i
Podemos usar también el lenguaje simbólico para definir un conjunto, es decir el
conjunto se representa mediante letras y/o símbolos matemáticos que definen sus
elementos entre dos llaves; esta representación tiene como ventajas ser breve, concisa,
clara y universal.
Ejemplo 3:
El conjunto A de las vocales se representa por
A
=
{a , e , i , o , u }
que se lee: “ A es el conjunto formado por a , e , i , o , u ” o bien
A
=
{x / x
" es una vocal"}
que leemos: “ A es el conjunto formado por los elementos x tales que x es una vocal”.
En el ejemplo anterior se presentan dos formas de referirnos a los elementos que
forman el conjunto, éstas son:
ƒ
ƒ
Nombrar uno a uno todos los elementos, que significa que el conjunto está
definido por extensión.
Dar una propiedad (enunciada entre comillas) que caracteriza todos los
elementos del conjunto, en este caso decimos que el conjunto está definido por
comprensión.
El usar una forma u otra para definir un conjunto depende de los elementos del
mismo, la definición por extensión es útil si los elementos son “pocos” o no hay una
propiedad que los caracterice, o bien, aunque la haya es tan complicada su expresión que
no tiene sentido definirlo por comprensión.
Observación: Para definir un conjunto por comprensión, la propiedad enunciada para un x
genérico debe ser tan específica que la verifiquen sólo los elementos del conjunto, sin dejar
duda de cuáles son.
Ejemplo 4:
Consideremos el conjunto definido por extensión:
A = {2 , 3 , 4 , 6}
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Este conjunto definido por comprensión es:
A = { x / x es un número natural, x es mayor que 1 y menor que 7 y x es distinto de 5}
O usando símbolos universalmente aceptados, podemos escribir
A =
{ x ∈ N / x > 1 ∧ x < 7 ∧ x ≠ 5}
donde la letra N representa los números naturales, los símbolos > y < indican la relación de
mayor y menor, respectivamente, el conectivo lógico ∧ la conjunción “y” , y el símbolo / se
lee “tal que”.
¿Conviene la definición por comprensión para representar este conjunto A?
Ejemplo 5:
Consideremos el conjunto:
A = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . , 20 , 22 , . . . , 30 , 32 , . . . , 98 , 100}
Así expresado, en el conjunto A no es evidente cuáles son todos sus elementos
aunque los puntos suspensivos dan idea de los elementos que pertenecen a A . Conviene
en este caso denotar:
A = {x / x
es un número natural par, menor o igual que 100 }
O en símbolos:
A = {x / x ∈ N ∧ x es par ∧ x ≤ 100}
Ejemplo 6:
Consideremos los conjuntos:
U = {x / x ∈ N ∧ x ≤ 15 }
y
M = {x / x ∈ U ∧ x es múltiplo de 3 ∨ x es múltiplo de 5 }
donde el conectivo lógico ∨ representa la disyunción “o”.
Para expresar el conjunto M por extensión, tenemos que nombrar todos los
números, menores o iguales que 15 que son múltiplos de 3 o bien múltiplos de 5, es decir:
M = { 3 , 5 , 6 , 9 ,10 , 12 ,15 }
En el ejemplo anterior, todos los elementos del conjunto M pertenecen al conjunto
U tomado como referencia. El conjunto U es llamado conjunto universal, o conjunto
referencial.
Definición: El conjunto universal es el conjunto que incluye o se conforma con todos los
elementos que se consideran en el estudio de una situación o problema determinado.
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En diagramas de Venn el conjunto universal se conviene representar mediante un
rectángulo.
Ejemplo 7:
Los conjuntos U = {x / x ∈ N ∧ x ≤ 15 } y
M = { 3 , 5 , 6 , 9 ,10 , 12 ,15 } se
representan:
.2
.4
.1
.5
M
.15
.9
.6
.3
.11
.12
.7
.10
.13
U
.14
.8
Ejemplo 8:
El conjunto B = { x / x es par y x es impar} está definido por comprensión.
Por extensión este conjunto es:
B ={ }
ya que no hay elementos que verifiquen simultáneamente las dos condiciones (ser par e
impar). Un tal conjunto se denomina conjunto vacío y se denota con el símbolo ∅ .
Entonces podemos escribir, indistintamente, B = ∅ ó B = { }
Observación: El conjunto vacío es ∅ = { } y no { ∅ } pues este último conjunto no es
vacío (tiene un elemento ¿cuál?).
INCLUSIÓN E IGUALDAD DE CONJUNTOS
INCLUSIÓN entre CONJUNTOS
Ejemplo 9:
Sean M = {2 , 3 , 5 , 7 }
y
P = {2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
Para estos conjuntos se verifica que todos los elementos del conjunto M pertenecen
al conjunto P , en este caso decimos que M es parte de P o bien M es subconjunto de
P , o que el conjunto M está incluido en el conjunto P y en símbolos escribimos:
M⊆P
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En el ejemplo existe un elemento de P que no pertenece a
4 ∈ P y 4 ∉ M ), entonces podemos denotar también:
Elementos de Matemática
M (por ejemplo el
M ⊂ P que leemos M está incluido estrictamente en P .
P
M
.9
.3
.7
.2
.5
.4
En diagramas de Venn:
Definición: El conjunto A está incluido en el conjunto B , y denotamos A ⊆ B , si todos
los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B . Si existe al menos un elemento
del conjunto B que no pertenezca a A , decimos que A está incluido estrictamente en
B , y denotamos A ⊂ B .
Simbólicamente:
A⊆B
( x∈A
↔
→
x ∈ B)
donde el símbolo “ ↔ ” se lee “si y sólo si” y el símbolo “ → ” se lee “implica o entonces”.
Y la inclusión estricta
A⊂B
↔
(x ∈ A
→
x ∈ B ) ∧ (existe y ∈ B con y ∉ A )
B
A
y
Ejemplo 10: Sea U = N el conjunto universal, y
M = { x / x es par }
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P = { x / x es múltiplo de 6 }
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Elementos de Matemática
Para verificar que P ⊆ M , por definición tenemos que analizar si todos los
elementos de P pertenecen al conjunto M , o sea cada vez que:
x múltiplo de 6 ( x ∈ P ) se verifica que x es un número par ( x ∈ M )
Este enunciado es siempre verdadero ya que los múltiplos de 6 son los números que
se representan por:
x = 6.n
donde n es un número entero cualquiera.
Y como podemos escribir:
x = 6 . n = 2 . 3 . n = 2 . (3 . n )
entonces x es un número par, pues es un múltiplo de 2:
x = 2.m
donde m = (3n) es un número entero cualquiera.
Entonces P ⊆ M estrictamente, pues por ejemplo, el número
8∈M y
8∉ P
podemos escribir que:
P⊂ M
Se cumple también M ⊄ P ¿por qué?
IGUALDAD de CONJUNTOS
Definición: Decimos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Simbólicamente:
A=B
⎧x ∈ A → x ∈ B
⎨
⎩x ∈ B → x ∈ A
o en términos de inclusión de conjuntos:
A=B
¡¡IMPORTANTE!!
↔
{A ⊆ B
∧
B ⊆ A}
Por definición de pertenencia de un elemento a un conjunto y de
inclusión e igualdad entre conjuntos, el símbolo ∈ vincula elemento y conjunto, en cambio
los símbolos ⊆ e = vinculan conjuntos.
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
INTERSECCIÓN de CONJUNTOS
Definición: Dados dos conjuntos A y B , el conjunto intersección, que se representa por
A ∩ B , está formado por lo elementos comunes de ambos conjunto. En símbolos:
{x / x ∈ A
A∩B =
donde x ∈ A ∩ B
x ∈ B}
∧
↔ verifica la conjunción “ x ∈ A
y
x∈B ”
Ejemplo 11: Sean los conjuntos A = {2 , 5 , 7 , 9 , 11} y B = {6 , 7 , 8 , 9}
El conjunto intersección es igual a:
A ∩ B = {7,9 }
en diagrama de Venn se representa por la parte sombreada:
A
B
.2
.5
.7
.6
.9
.8
.11
UNIÓN de CONJUNTOS
Definición: Dados dos conjuntos A y B , el conjunto unión, que se representa por
A ∪ B , está formado por la totalidad de los elementos de A y de B (denotando los
repetidos sólo una vez). Simbólicamente:
A ∪ B = {x / x ∈ A
donde x ∈ A ∪ B
∨
↔ verifica la disyunción “ x ∈ A
x ∈ B}
x∈B ”
o
Ejemplo 12: Para los conjuntos del ejemplo anterior, el conjunto unión es igual a:
A ∪ B = {2 , 5 , 7 , 9 , 11 , 6 , 8 }
y se representa por la parte sombrada en el gráfico
B
A
.2
.6
.7
.9
.5
.8
.11
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DIFERENCIA de CONJUNTOS
Definición: Dados dos conjuntos A y B , el conjunto diferencia del conjunto A menos
el conjunto B , que se representa por A − B , es el formado por los elementos de A que no
pertenecen a B . Simbólicamente:
A − B = {x / x ∈ A
∧
x ∉ B}
Ejemplo 13: El conjunto diferencia A − B para los conjuntos anteriores es el conjunto:
A − B = {2 , 5 , 11}
y se representa por la parte sombreada en el siguiente diagrama de Venn:
A
B
.2
.6
.7
.5
.11
Si en cambio realizamos la diferencia B − A
.9
.8
obtenemos: B − A = {6 , 8}
B
A
.2
.7
.5
.9
.6
.8
.11
¿Es A − B
igual a B − A ?
COMPLEMENTO de un CONJUNTO
Definición: Dado un conjunto A , el conjunto complemento de
A,
que se representa por
A , está formado por los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A .
Simbólicamente:
A = {x / x ∈ U ∧
x ∉ A}
O bien:
A=U−A
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ó también
A = {x / x ∉ A}
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En diagramas de Venn representamos A por lo sombreado
U
A
PROPIEDADES de las OPERACIONES entre CONJUNTOS
a) Conmutatividad:
A∩B
=
B∩ A
b) Asociatividad:
A ∩ (B ∩ C ) =
A ∪ (B ∪ C ) =
c) Distributividad:
A ∩ (B ∪ C ) =
A ∪ (B ∩ C ) =
d) Leyes de De Morgan:
(A ∪ B = B ∪ A )
(A ∩ B ) ∩ C
(A ∪ B ) ∪ C
(A ∩ B )
(A ∪ B )
∪
∩
(A ∩ C )
(A ∪ C )
A∪B = A∩B
A∩B = A∪B
A⊆B → B⊆A
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Ejercicios y
Problemas de Aplicación
Ejercicio Nº 1: Observar el diagrama y completar luego las líneas de puntos en los siguientes
enunciados con los signos: ∈ , ∉ , ⊆ y ⊄ .
U
.h
M
N
.t
.k
.w
P
a) w ................ M
e) h ................ N
b) {w} ............... M
f) {k} ............... N
c) P ............... N
g) w ............... P
d) P ............... M
h) {h} ............... N
Ejercicio Nº 2: Decidir si son verdaderos o falsos cada uno de los siguientes enunciados y
justificar cada respuesta.
a) {p} ∈ {p, q}
e) {8,7} ⊆ {6,7,8}
b) m ∈ {k , m}
f) {4,6} ⊆ {4,8}
c) q ⊆ {p, q}
g) {15,10} = {10,15}
d) {g } ⊆ g
h) { j , k } ⊆ {k , j}
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Ejercicio Nº 3: Observar el diagrama de Venn y luego definir por extensión los siguientes
conjuntos:
5
B
A
8
U
12
6
15
C
1
3
9
a) A , B , C
b) A ∪ B , A ∩ C , C − B , A − B
c) / B − A , B ∪ C , A ∩ C − B , ( A ∪ C ) ∩ B
Ejercicio Nº 4: Sombrear en cada diagrama de Venn la operación indicada:
( A ∩ B) ∪ C
A− B
U
A
B
U
A
C
B
A∪B
A
A∩ C
C
U
U
A
B
B
C
( A − C) ∩ B
U
A
B
C
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Ejercicio Nº 5: Consideremos el conjunto A formado por los múltiplos de 3 menores que 25;
el conjunto B formado por los múltiplos de 2 menores que 25. Decir si son verdaderas o falsas
cada una de las afirmaciones y justificar cada respuesta.
a) Hay un conjunto de múltiplos de 4 que está incluido en A∩B .
b) El conjunto de los múltiplos de 5 menores que 25 está incluido en A∪B .
c) El conjunto de los múltiplos de 6 menores que 25 está incluido en A∪B .
Ejercicio Nº 6: Entre las plantas que figuran en el cuadro siguiente hay algunas que son árboles,
otras que tienen fruto comestible y algunas que cumplen las dos condiciones.
Indicar con un tilde ( 9 ) la pertenencia a cada una de las columnas y con una cruz ( x ) la no
pertenencia.
Plantas
Conjunto
Conjunto
A = {Arboles} C = {Frutos Comestibles}
A∪ C
A∩ C
Jazmín
Duraznero
Sauce
Frutilla
Álamo
Maíz
Ejercicio Nº 7: En una parcela del Campo Experimental que se dedica a siembra de plantas
de maíz, se tiene el conjunto A de las plantas cuya producción será dedicada para la
investigación y está formado por 40 plantas, a su vez se considera el conjunto B de plantas
reservadas para semillas dedicadas a la venta, formado por 60 plantas. Se conoce que en la
parcela hay 25 plantas que podrían dedicarse a ambos objetivos. ¿Qué significa y cuántos
elementos forman el conjunto A - B ? y el conjunto A U B ?
Ejercicio Nº 8: De un grupo de 200 productores entrevistados durante el Censo Nacional
Agropecuario se conoció que en cierta zona del sur de la provincia:
56 productores sembraron maíz
60 productores sembraron soja
84 productores sembraron maní
22 productores sembraron soja y maíz
12 productores sembraron maní y maíz
26 productores sembraron soja y maní
5 productores sembraron maní, soja y maíz
Contestar las siguientes preguntas, realizando primero el gráfico de la situación en un
diagrama de Venn.
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a) ¿Cuántos productores no sembraron ninguno de los tres cultivos?
b) ¿Cuántos productores sembraron sólo maíz?
c) ¿Cuántos productores sembraron maní y soja pero no maíz?
Ejercicio Nº 9: Uno de los censistas del Censo Nacional Agropecuario acerca de 100
productores de la zona sudoeste presentó el siguiente informe:
20 productores sembraron maíz
30 productores sembraron soja
40 productores sembraron sorgo
10 productores sembraron soja y maíz
16 productores sembraron sorgo y maíz
8 productores sembraron soja y sorgo
5 productores sembraron sorgo, soja y maíz
A dicho censista se le pidió rehacerlo. ¿Por qué?
Ejercicio Nº 10: Un productor posee 200 cabezas de ganado. Se sabe que del total, 75
animales podrían destinarse para el tambo, 52 del total para reproducción, 90 para carne y 10
del total por estar enfermos no están destinados para ningún fin. Además 20 animales podrían
servir tanto para tambo cuanto para reproducción y ninguno simultáneamente para tambo y
carne.
Realizar un diagrama de Venn y responder:
a) ¿Qué operación define el conjunto de animales cuyo único fin será la reproducción?
¿Podría haber 40 animales en dicho conjunto?
b) En caso que hubiera 17 animales sólo para reproducción ¿Cuántos habría exclusivamente
para carne?
c) En la situación del punto anterior, ¿Cuántos animales no están considerados?
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