PRÉSTAMOS

PRÉSTAMOS
Carmen Badía, Hortènsia Fontanals, Merche Galisteo, José Mª Lecina,
Mª Angels Pons, Teresa Preixens, Dídac Ramírez, F. Javier Sarrasí y
Anna Mª Sucarrats
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y
ACTUARIAL
División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales
Universidad de Barcelona
Préstamos
1
Ejercicios
1. Sea un préstamo de 12.000 € de nominal amortizable mediante un único pago, a los 3 años
de su concesión, y pactado al 5,5% efectivo anual. La comisión de apertura a cargo del
prestatario asciende al 1,5% del nominal del préstamo.
Calcular:
(a) Importe que cancela el préstamo al final de la operación.
(b) Cuota de interés y cuota de capital.
(c) TAE del préstamo.
(d) Cuantía que cancela anticipadamente el préstamo al año y 3 meses de su concesión.
2. Se concede un préstamo con las siguientes características:
•
Nominal: 60.100 €
•
Duración: 5 años
•
Tanto de interés: 4,5% anual capitalizable cuatrimestralmente
•
Amortización del préstamo mediante un único pago al final de la operación y abono
cuatrimestral de intereses
Se pide:
(a) Importe de la cuota de interés cuatrimestral.
(b) Importe que deberá pagar el prestatario en el último cuatrimestre.
(c) Importe que cancela el préstamo a los 3 años de su concesión después del pago de la
cuota de interés correspondiente.
(d) Importe que cancela el préstamo a los 3 años y 1 mes de su concesión.
3. Hace 4 años se concertó un préstamo de 24.000 € de nominal, al 5,25% anual con
capitalización mensual. Los intereses se abonan mensualmente y se debe restituir el nominal
a los 10 años de la concesión del préstamo. Hoy se produce una amortización parcial de
capital de 6.000 €, después del pago de la correspondiente cuota de interés.
Se pide:
(a) Importe de la cuota de interés pagada mensualmente en los 4 primeros años.
(b) Importe de la cuota de interés que se pagará mensualmente a partir de hoy.
2
Introducción a la Matemática Financiera
(c) Plantear la ecuación que permite calcular la TAE del préstamo si la comisión de apertura a
cargo del prestatario fue del 1% del nominal y teniendo en cuenta que hoy se ha
producido la amortización parcial de capital.
4. Se solicita un préstamo de 72.100 € de nominal, a amortizar mediante el pago de términos
amortizativos constantes, mensuales y pagaderos por vencido, durante 15 años. Tipo de
interés 5,25% anual capitalizable mensualmente.
Se pide:
(a) Importe de los términos amortizativos.
(b) Cuota de interés y de capital de los dos primeros y los dos últimos términos amortizativos.
(c) Importe que cancela anticipadamente el préstamo a los 5 años, después del pago del
correspondiente término amortizativo, y a los 5 años y 15 días de su concesión.
5. Hace 3 años se concertó un préstamo de 120.000 € de nominal, a amortizar mediante el
pago de 48 trimestralidades constantes y vencidas, al 4,8% anual capitalizable por
trimestres. La comisión de apertura a cargo del prestatario asciende al 1,5% sobre el
nominal.
Determinar:
(a) Importe de las trimestralidades.
(b) Cuota de interés y de capital del vigésimo término amortizativo.
(c) Plantear la ecuación que permite determinar la TAE de la operación.
(d) El prestatario dispone hoy de 24.000 € y decide efectuar una amortización parcial de
capital. Calcular el importe de los nuevos términos amortizativos, si se mantiene el plazo
de la operación.
6. Para la adquisición de una vivienda se solicita hoy un préstamo de 150.000 € a devolver
mediante el pago de mensualidades constantes y vencidas, durante 20 años. Se acuerda
con la entidad bancaria un tipo de interés del 4,5% anual pagadero mensualmente. La
comisión de apertura asciende al 2% sobre el nominal y los gastos notariales a 800 €, a
pagar, por el prestatario, en el momento de formalizar el préstamo.
Se pide:
(a) Importe del término amortizativo.
(b) Plantear las ecuaciones que permiten determinar la TAE del préstamo y el tanto efectivo
prestatario.
Préstamos
3
(c) Total amortizado a los 10 años de la concesión del préstamo, una vez pagado el término
amortizativo correspondiente.
(d) Si a los 10 años de la concesión del préstamo, una vez pagado el término amortizativo
correspondiente, se realiza una amortización parcial de capital de 12.000 €, calcular:
(d.1) Importe de los nuevos términos amortizativos si se mantiene invariante el plazo del
préstamo.
(d.2) Número de pagos pendiente si se mantiene el importe de la anterior mensualidad.
7. Hace 3 años se concedió un préstamo a una empresa constructora de 240.000 €,
amortizable mediante el pago de 26 términos amortizativos semestrales, constantes y
pagaderos por vencido, después de 2 años en los que sólo se pagaron, también
semestralmente y por vencido, los intereses correspondientes. Se acordó un tipo de interés
del 5% anual capitalizable semestralmente y una comisión de apertura, a cargo del
prestatario, del 1% sobre el nominal.
Determinar:
(a) Importe de la cuota de interés pagada durante el periodo de carencia.
(b) Importe de los términos amortizativos.
(c) Desglosar en cuota de interés y de capital el sexto término amortizativo.
(d) Plantear la ecuación que permite determinar la TAE de la operación.
(e) Si hoy se produce una revisión del tipo de interés, pasándose a aplicar el 4,5% anual con
capitalización semestral, ¿cuál será el importe de los nuevos términos amortizativos, si
no varían el resto de condiciones del préstamo?
8. A un particular se le concede un préstamo con las siguientes características:
• Nominal: 60.000 €.
• Tipo de interés: 4,8% anual capitalizable mensualmente.
• Amortización mediante términos amortizativos mensuales, constantes y vencidos.
• Duración 12 años, siendo los 2 primeros de carencia parcial, pagándose sólo las cuotas de
interés, también mensualmente y por vencido.
• Comisión de apertura: 1% sobre el nominal.
• Comisión por cancelación anticipada: 1,5% sobre el importe adeudado.
4
Introducción a la Matemática Financiera
Determinar:
(a) Cuotas de interés a pagar durante la carencia e importe de los términos amortizativos.
(b) Ecuación que permite determinar la TAE de la operación.
(c) Total amortizado a los 6 años de la concesión del préstamo, una vez pagado el término
amortizativo correspondiente, y a los 6 años y 15 días.
(d) Si a los 6 años y 15 días se decide cancelar el préstamo en su totalidad:
(d.1) Cantidad que deberá entregar el prestatario.
(d.2) Plantear la ecuación que permite determinar la TAE de la operación.
9. A una empresa se le concede un préstamo de 180.000 € de nominal, al 4,95% anual
pagadero cuatrimestralmente, a devolver mediante pagos cuatrimestrales, constantes y
vencidos. Duración del préstamo 15 años, siendo los dos primeros de carencia total.
Se pide:
(a) Importe de los términos amortizativos.
(b) Si el prestatario debe abonar unos gastos de apertura del 1% sobre el nominal y 2.400 €
en concepto de gastos notariales, plantear las ecuaciones que permiten hallar la TAE del
préstamo y el tanto efectivo prestatario.
(c) Importe que cancela anticipadamente el préstamo a los 7 años de su concesión, una vez
pagado el término amortizativo correspondiente, y a los 7 años y 1 mes.
10. Sea un préstamo de nominal 72.000 €, amortizable mediante 24 términos amortizativos
trimestrales, vencidos y crecientes cada trimestre en un 2% acumulativo. Tanto de interés
4,25 % anual con capitalización trimestral.
Determinar:
(a) Importe del primer término amortizativo y su desglose en cuota de interés y de capital.
(b) Importe del décimo término amortizativo y su desglose en cuota de interés y de capital.
(c) Total amortizado a los 2 años y 3 meses de la concesión del préstamo, una vez pagado el
término amortizativo correspondiente.
11. Para financiar la modernización de sus instalaciones una empresa solicitó, hace 3 años, un
préstamo de 300.000 €, a devolver mediante semestralidades vencidas y crecientes en un
1,5% semestral acumulativo, después de 1 año en el que se pagaron sólo las cuotas de
interés semestralmente y por vencido. La duración total del préstamo es de 15 años. El tanto
Préstamos
5
de interés pactado fue del 5% anual pagadero semestralmente y la comisión de apertura
ascendió al 2% del nominal.
Se pide:
(a) Importe de las cuotas de interés satisfechas durante el periodo de carencia.
(b) Importe del primer y último término amortizativo.
(c) Plantear la ecuación que permite determinar la TAE de la operación.
(d) Si hoy, una vez abonado el término amortizativo correspondiente, decide efectuar una
amortización parcial de capital de 60.000 €, ¿cuál sería el importe del último término
amortizativo, si no varían el resto de condiciones del préstamo?
12. Sea un préstamo con las siguientes características:
•
Nominal: 12.000 €
•
Duración: 3 años
•
Tanto de interés: 5% anual capitalizable mensualmente
•
Amortización mediante términos amortizativos mensuales y crecientes en 6 € cada
mes.
Se pide:
(a) Importe del tercer término amortizativo.
(b) Importe que cancelaría el préstamo a los 2 años de su concesión y después del pago del
correspondiente término amortizativo.
(c) Importe del término amortizativo a pagar por el prestatario el primer mes del tercer año si
transcurridos 2 años de la concesión del préstamo se produce un cambio del tipo de
interés, pasando a ser del 5,25% anual con capitalización mensual, manteniéndose el
plazo de la operación.
13. Una empresa del sector automovilístico solicitó hace 5 años un préstamo por un importe de
180.000 € a devolver mediante el pago de 40 términos amortizativos que han ido creciendo
en 180 € cada trimestre. Tipo de interés del préstamo 4,85% anual capitalizable
trimestralmente. Los gastos de apertura ascendieron a 2.000 € y la comisión por
amortización parcial es del 1,75% de su importe.
Determinar:
(a) Cuota de capital y de interés del primer y del vigésimo término amortizativo.
(b) Importe del término amortizativo a pagar por la empresa el próximo trimestre si hoy decide
realizar una amortización parcial de 5.000 €.
6
Introducción a la Matemática Financiera
(c) Plantear la ecuación que permite determinar la TAE de la operación, considerando la
amortización parcial realizada hoy.
14. Un particular precisa hoy de 12.600 € y para ello solicita un préstamo por ese importe,
amortizable mediante el pago de 36 términos amortizativos mensuales con cuotas de capital
constantes, al 4,80% anual capitalizable mensualmente. La comisión de apertura a cargo del
prestatario asciende a 415 €.
Determinar:
(a) Expresión general de los términos amortizativos.
(b) Cuota de capital y cuota de interés del octavo término amortizativo.
(c) Total amortizado a los 2 años de la concesión del préstamo, una vez pagado el término
amortizativo correspondiente.
(d) Ecuación que permite determinar la TAE de la operación.
15. Hace 2 años se concedió un préstamo de 12.000 € de nominal, a amortizar mediante
términos amortizativos trimestrales con cuota de capital constante, durante 10 años, al
4,90% anual pagadero trimestralmente. La comisión de apertura, a cargo del prestatario,
ascendió al 1% del nominal y los gastos notariales a 750 €.
Se pide:
(a) Expresión general de los términos amortizativos.
(b) Plantear las ecuaciones que permiten determinar la TAE de la operación y el tanto
efectivo prestatario.
(c) Expresión general de los nuevos términos amortizativos si hoy, después del pago del
término amortizativo correspondiente, se le comunica al prestatario una revisión del tipo
de interés pactado, pasando a ser el 5,3% anual capitalizable trimestralmente.
Préstamos
7
Soluciones
1.
(a) 14.090,90 €
(b) 2.090,90 €, 12.000 €
(c) 6,0328% anual
(d) 12.830,60 €
2.
(a) 901,50 €
(b) 61.001,50 €
(c) 60.100 €
(d) 60.324,12 €
3.
(a) 105 €
(b) 78,75 €
(c) 24.000 = 240 + 105 ⋅ a 48
∗
I12
(
∗
+ 6.000 ⋅ 1 + I12
)
−48
+ 78,75 ⋅ a72
∗
I12
(
∗
⋅ 1 + I12
)
−48
∗
I12
= 0,0045 ~ I1∗ = TAE = 0,055357
4.
(a) 579,60 €
(b) Y1 = 315,44 €, A 1 = 264,16 €
Y2 = 314,29 €, A 2 = 265,31 €
Y179 = 5,04 €, A 179 = 574,56 €
Y180 = 2,53 €, A 180 = 577,07 €
(c) 54.020,56 €, 54.138,61 €
5.
(a) 3.303,31 €
(b) 966,01 €, 2.337,30 €
(c) 120.000 = 1.800 + 3.303,31 ⋅ a 48
(d) 2.478,37 €
I∗4
; I∗4 = 0,012690 ~ I1∗ = TAE = 0,051736
(
∗
+ 18.000 ⋅ 1 + I12
)
−120
8
Introducción a la Matemática Financiera
6.
(a) 948,97 €
(b) TAE: 150.000 = 3.000 + 948,97 ⋅ a 240
∗
I12
∗
; I12
= 0,003948 ~ I1∗ = TAE = 0,048421
Tanto efectivo prestatario: 150.000 = 3.800 + 948,97 ⋅ a 240
'
I12
'
; I12
= 0,004002
(c) 58.434,13 €
(d)
(d.1) 824,61 €
(d.2) 101 meses
7.
(a) 6.000 €
(b) 12.664,50 €
(c) 5.124,23 €, 7.540,27 €
(d) 240.000 = 2.400 + 6.000 ⋅ a 4
I∗2
+ 12.664,50 ⋅ a 26
(
⋅ 1 + I∗2
I∗2
)
−4
;
I∗2 =0,025696 ~ I1∗ = TAE = 0,052052
(e) 12.317,36 €
8.
(a) 240 €, 630,54 €
(b) 60.000 = 600 + 240 ⋅ a 24
∗
I12
+ 630,54 ⋅ a120
∗
I12
(
∗
⋅ 1 + I12
)
−24
;
∗
I12
=0,004137 ~ I1∗ = TAE = 0,050793
(c) 20.621,35 €
(d)
(d.1) 40.049,19 €
(d.2) 60.000 = 600 + 240 ⋅ a24
∗
I12
+ 630,54 ⋅ a48
∗
I12
(
∗
⋅ 1 + I12
)
−24
(
∗
+ 40.049,19 ⋅ 1 + I12
)
−72,5
;
∗
= 0,004308 ~ I1∗ = TAE = 0,052939
I12
9.
(a) 6.944,77 €
(b) TAE: 180.000 = 1.800 + 6.944,77 ⋅ a39
I∗3
(
⋅ 1 + I∗3
)
−6
; I∗3 = 0,016927 ~ I1∗ = TAE = 0,051646
Tanto efectivo prestatario: 180 .000 = 4.200 + 6.944,77 ⋅ a39
(c) 136.713,12 €, 137.273,61 €
I'3
(
⋅ 1 + I'3
)
−6
; I'3 = 0,017505
9
Préstamos
10.
(a) 2.720,87 €, 765 €, 1.955,87 €
(b) 3.251,69 €, 547,46 €, 2.704,23 €
(c) 20.473,91 €
11.
(a) 7.500 €
(b) 12.497,03 €, 18.680,56 €
(c) 300.000 = 6.000 + 7.500 ⋅ a 2
I∗2
+ 12.497,03 ⋅
(
1 − 1,015 28 ⋅ 1 + I∗2
1 + I∗2
)
−28
(
⋅ 1 + I∗2
− 1,015
)
−2
I∗2 = 0,026370 ~ I1∗ = TAE = 0,053436
(d) 14.650,16 €
12.
(a) 269,34 €
(b) 5.070,17 €
(c) 401,94 €
13.
(a) A 1 = 301,27 €, Y1 = 2.182,50 €
A 20 = 4.198,94 €, Y20 = 1.704,83 €
(b) 5.800,73 €


180
(c) 180.000 = 2.000 +  2.483,77 + ∗ + 20 ⋅ 180  ⋅ a20
I4


(
+ 5.087,5 ⋅ 1 + I∗4
)
− 20
14.
(a) α r = 400,4 − 1,4 ⋅ (r − 1); r = 1,2,...,36
(c) 8.400 €
−
20 ⋅ 180
I∗4


180
+  5.800,73 + ∗ + 20 ⋅ 180  ⋅ a 20
I4


I∗4 =0,012638 ~ I1∗ = TAE = 0,051518
(b) 350 €, 40,6 €
I∗4
+
I∗4
−
20 ⋅ 180 
∗
 ⋅ 1 + I4
∗
I4

(
)
− 20
10
Introducción a la Matemática Financiera


1,4
(d) 12.600 = 415 +  400,4 − ∗ − 36 ⋅ 1,4  ⋅ a36
I12


∗
I12
+
36 ⋅ 1,4
;
∗
I12
∗
=0,005916 ~ I1∗ = TAE = 0,073348
I12
15.
(a) α r = 447 − 3,675 ⋅ (r − 1); r = 1,2,...,40


3,675
(b) TAE: 12.000 = 120 +  447 − ∗ − 40 ⋅ 3,675  ⋅ a 40
I4


I∗4
+
40 ⋅ 3,675
I∗4
I∗4 = 0,012829 ~ I1∗ = TAE = 0,052312


3,675
− 40 ⋅ 3,675  ⋅ a 40
Tanto efectivo prestatario: 12.000 = 870 +  447 − '
I4


I'4 = 0,016653
(c) α ′r = 427,2 − 3,975 ⋅ (r − 1); r = 1,2,...,32
I'4
+
40 ⋅ 3,675
I'4