3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES Ahora extenderemos las ideas de la sección anterior a dos y tres dimensiones. y x La magnitud que expresa la dirección y la distancia en línea recta comprendida entre dos puntos del espacio es un segmento lineal llamado vector desplazamiento. Vector desplazamiento ≡ A A Dirección ≡ Vector desplazamiento Longitud ≡ módulo del vector desplazamiento A A0 Jereson Silva Valencia El desplazamiento resultante de P1 a P3, llamado C, es la suma de los dos desplazamientos sucesivos A y B : C A B Suma de vectores desplazamientos : Jereson Silva V. Propiedades Generales de los Vectores. “Los vectores son magnitudes con módulo, dirección y sentido que se suman como los desplazamientos”. Las magnitudes que carecen de dirección asociada se denominan escalares. Dirección ≡ dirección del Vector Vector ≡ A A Longitud ≡ proporcional al módulo del vector A. Igualdad entre vectores A A BB AB Jereson Silva Valencia B. Producto de un vector por un escalar B sA A A B 2A C. Resta de vectores Para restar el vector B del vector A basta sumarle –B: C A B A B Jereson Silva Valencia D. Componentes de los vectores La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es la longitud de la proyección del vector sobre dicha línea. Se obtiene trazando una línea perpendicular desde el extremo o flecha de un vector a la línea. Componentes rectangulares: Si conocemos Ax y Ay podemos obtener el ángulo tan Ay Ax arcotan , Ay Ax El módulo de A es A A A 2 x 2 y Jereson Silva Valencia C x Ax Bx C y Ay B y Rx Ax Bx R y Ay B y Jereson Silva Valencia Jereson Silva Valencia Ejemplo 1: Suponga que usted trabaja como animador en un centro turístico en un a isla tropical. Dispone de un mapa que le indica las direcciones a seguir para enterrar un tesoro en un lugar determinado. Usted no desea malgastar el tiempo dando vueltas por la isla, porque quiere acabar pronto para ir a la playa y hacer surfing. Las instrucciones son ir 3 km hacia el oeste y luego 4 km en la dirección de 60° al nordeste. ¿En qué dirección debe moverse y cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo con la máxima rapidez? Vectores unitarios: Un vector unitario es un vector sin dimensiones de módulo unidad. A A aˆ A A 1 A Ax i Ay j Az k Jereson Silva Valencia Posición, Velocidad y Aceleración. El vector posición de una partícula es un vector trazado desde el origen de un sistema de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para un punto (x,y) su vector posición r es r xi yj El cambio de posición de la partícula es el vector desplazamiento r: r r2 r1 Jereson Silva Valencia El cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo t = t2 – t1 es el vector velocidad media. r v m t Definimos el vector velocidad instantánea como el límite del vector velocidad media cuando t tiende a cero: Δr dr v = lim = Δt0 Δt dt dx dy v i j vx i v y j dt dt Jereson Silva Valencia Ejemplo 2: Un barco de vela tiene las coordenadas (x1, y1)=(110 m, 218 m) en el instante t1=60 s. Dos minutos más tarde, en el instante t2, sus coordenadas son (x2 , y2)=(130 m, 205 m). Determinar la velocidad media en este intervalo de dos minutos. Jereson Silva Valencia Velocidad relativa Si una partícula se mueve con velocidad VpA relativa a un sistema de coordenadas A, y éste a su vez se mueve con velocidad VAB relativa a otro sistema B, la velocidad de la partícula respecto a B es V pB V pA VAB Jereson Silva Valencia Se define el vector aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad instantánea v y el intervalo de tiempo t: v am t El vector aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo v dv a lim t 0 t dt También tenemos 2 2 2 dv dvx d z dvz d x d y y k = 2 i + 2 j+ 2 k j+ a= i+ dt dt dt dt dt dt = ax i + a y j + az k Jereson Silva Valencia Ejemplo 3: La posición de una pelota de béisbol golpeada por el bateador viene dada por la expresión r(t) = 1.5 m i +(12 m/s i + 16 m/s j) t – 4.9 m/s2 j t2. Determinar su vector velocidad y vector aceleración. r xi yj zk dr dx dy dz v j k i dt dt dt dt vx i v y j vz k dv dv x dv y dv z a i j k dt dt dt dt d 2x d 2 y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt Jereson Silva Valencia Ejemplo 4: Un coche se mueve hacia el este a 60 km/h. Toma una curva y 5 s más tarde viaja hacia el norte a 60 km/h. Determinar el vector aceleración media del coche. Jereson Silva Valencia Velocidad y aceleración • Usted lanza un objeto hacia arriba en el aire. En el punto mas alto, el objeto tendrá: 1. Velocidad y aceleración nulas. 2. Aceleración nula pero velocidad diferente de cero. 3. Velocidad cero y aceleración diferente de cero. 4. Velocidad y aceleración diferentes de cero. Jereson Silva Valencia Movimiento de Proyectiles La figura muestra el lanzamiento de una partícula con velocidad inicial v0 y formando un ángulo 0 con el eje horizontal. Las componentes de la velocidad inicial son: v0 x v0Cos 0 v0 y v0 Sin 0 Las componentes de la aceleración son: ax 0 ay g Para las velocidades tenemos v x v0 x v y v0 y gt Las componentes horizontal y vertical del movimiento de proyectiles son independientes Los desplazamientos x e y vienen dados por x(t ) x0 v0 x t ; y (t ) y0 voy t gt 1 2 2 Jereson Silva Valencia Ejemplo 5: Desde el tejado de un edificio de 20 m de altura se lanza una piedra con un ángulo de tiro de 53° sobre la horizontal. Si el alcance horizontal de la piedra es igual a la altura del edificio, con qué velocidad se lanzó la roca?¿Cuál es la velocidad de ésta justo antes de chocar contra el suelo? Jereson Silva Valencia Más sobre movimiento de proyectiles a axi a y j g j g v vx i v y j v0 gt ; v gt 2 1 r r0 v0t 2 gt 2 1 r v0t 2 gt Jereson Silva Valencia Preguntas cuarta sesión • • • • Definición de fuerza y método de medición Explique la Ley de Inercia (historia) Masa inercial y masa gravitacional Fuerzas en la caída libre y en el tiro parabólico • Ejemplo de fuerzas de contacto, fuerza eléctrica, magnética y en un resorte. • Diagrama de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un plano inclinado. Jereson Silva Valencia