1 Antecedentes y definiciones previas 2 Superficie estelar emisora

Apuntes para la charla La Radiacion de Cuerpo Negro en Astrofisica Estelar. Tabare Gallardo,
Catedra Alicia Goyena, 15 de mayo de 2002.
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Antecedentes y definiciones previas
1859
1860
1879
1893
1896
1900
1906
1911
1913
1916
Kirchhoff: radiacion de cuerpo en equilibrio termico
Kirchhoff y Bunsen: leyes de radiacion
Stefan: obtencion empirica del flujo total
Wien: ley de desplazamiento
Zeeman: efecto y aplicacion al estudio de manchas solares
Planck: deduccion teorica de la radiacion de cuerpo negro
Schwarzschild: teoria de campos de radiacion estacionarios
Rutherford: modelo de atomo de nucleo y nube de electrones
Bohr: atomo de H
Eddington: teoria de la constitucion interna de las estrellas
1. Distancia angular
dθ =
dl
r
medida en radianes.
Figura 1
2. Angulo solido
dω =
da
= dθ dϕ sin θ
r2
medido en steradianes.
3. Relacion dλ − dν:
Dado que
λν = c
entonces
dλ ν + λ dν = 0
debiendose cumplir
Iν dν = −Iλ dλ
2
Superficie estelar emisora
Figura 2
INTENSIDAD
dE(ν, θ) = I(ν, θ) dt dν dω dA cos θ
La intensidad puede definirse como el factor de proporcionalidad en la ecuacion o como la energia emitida en
la direccion normal a la superficie emisora por unidad de area, de tiempo, de frecuencia y de angulo solido.
DENSIDAD DE FLUJO
Si sumamos la energia emitida (por unidad de area, tiempo y frecuencia) en todas direcciones tendremos la
Densidad de Flujo que atraviesa la superficie emisora:
1
dE(ν, θ)
= I(ν, θ) cos θ dω
dν dA dt
integramos en dω
Z
Z
F (ν) =
I(ν, θ) cos θ dω = 2π
I(ν, θ) cos θ sin θdθ
Densidad de Flujo SALIENTE (0 ≤ θ ≤ π/2) de emisor isotropo (justificacion de isotropia: aleatoriedad de la
direccion de salida de los fotones)
Z
π/2
F (ν) = I(ν)
cos θ sin θdθ = I(ν) π
0
Densidad de Flujo INTEGRADO en ν
Z
∞
F =
F (ν)dν
0
LUMINOSIDAD (estrella esferica)
Z
L=
Z
F dA = F
S
3
dA = 4π R2 F
S
EQUILIBRIO TERMICO Y ETL
1. NUBE DE GAS
(a) NO EQUILIBRIO TERMICO
camino libre medio de los atomos demasiado grande en relacion al tamaño de la nube de gas, la
energia no llega a distribuirse entre todos los atomos, no hay una temperatura uniforme en la nube
(b) EQUILIBRIO TERMICO
camino libre medio pequeño: la energia se distribuye entre todos los atomos, la temperatura es
uniforme, la distribucion de velocidades de los atomos sigue una maxwelliana
2. NUBE DE GAS + RADIACION ELECTROMAGNETICA
(a) NO EQUILIBRIO
camino libre medio de los fotones demasiado grande en relacion al tamano de la nube gaseosa:
Tgas 6= Trad
Ejemplo 1: atmosfera terrestre (T = 300K) atravesada por la radiacion solar de T = 6000K.
Ejemplo 2: corona solar,
Te >> Tiones >> Trad
(b) EQUILIBRIO TERMICO
camino libre medio de los fotones pequeño, la energia de la radiacion se distribuye en el medio logrando
el equilibrio de temperaturas entre el gas y los fotones. La intensidad de la radiacion resultante para
cierta frecuencia ν esta dada por la ley de Planck.
EQUILIBRIO TERMICO LOCAL = equilibrio termico en capas concentricas
2
La observacion y la teoria concuerdan en que las estrellas a grosso modo estan formadas por capas gaseosas
concentricas en equilibrio termico. La intensidad de la emision resultante de un medio como este es la funcion
de Planck la cual es independiente de las propiedades del medio, solo depende de su temperatura (aunque T
dependera de las propiedades del medio):
I(ν) = B(ν, T ) =
ν3
2h
c2 ehν/kT − 1
y la densidad de flujo integrado
Z
F =
∞
Z
F (ν)dν =
0
∞
πB(ν, T )dν = σT 4
0
de donde resulta:
L = 4π R2 F = 4π R2 σT 4
La temperatura deducida a traves de esta expresion se conoce como Temperatura Efectiva de la estrella y
se requiere conocer el radio y la luminosidad de la estrella. En realidad la radiacion que recibimos es la suma
de emisiones de diferentes capas superficiales a diferentes temperaturas pero el efecto total es equivalente al de
una capa de temperatura Tef .
La observacion de la intensidad (F (ν)/π) de las estrellas en funcion de la frecuencia concuerda muy bien con
la curva de Planck. Ajustando las curvas de emision estelares a las de Planck podemos estimar las temperaturas
(Temp de brillo, Temp de color) de las ”superficies” que generan esa emision observada. Luego podemos deducir
el radio estelar.
4
Radiacion recibida propagada en el vacio
Sea un haz de fotones propagandose dentro de un angulo solido dω:
Figura 3
dω =
dA2
dA1
= 2
r12
r2
F (r1 ) dA1 = F (r2 ) dA2 = constante
⇒ F (r1 ) r12 = F (r2 ) r22
Ejemplo:
F : densidad de flujo superficial del Sol
R : radio del Sol
densidad de flujo a una distancia r del centro solar:
F (r) = F
2
R
r2
Si r = 1 UA, entonces F (r = 1) es la ”constante solar”.
Escala de magnitudes utilizada en Astronomia (Pogson, 1856):
m − m0 = −2.5 log
3
F
F0
5
Aplicacion: temperatura de planetas y asteroides
Figura 4
ALBEDO BOND
Eref lejada
Eincidente
A=
Energia total absorbida por asteroide:
Eabs = F
2
R
πR2 (1 − A)
r2
donde
F = σT4
Energia total reemitida por asteroide:
4
Eem = 4πR2 σTeq
Si el asteroide se encuentra a temperatura constante quiere decir que toda la energia absorbida es reemitida:
Eabs = Eem ⇒ Teq = T (
R 1 1 − A 1
)2 (
)4
r
4
Figura 5
Espectro de emision teorica del asteroide
F (ν) = πB(ν, Teq )
donde
Teq T
espectro observado = emision + reflexion
Figura 6
RADIOMETRIA
Calculada la Teq y midiendo la densidad de flujo recibida en la Tierra proveniente de la reemision del asteroide
Finf rar =
4
R2 σTeq
Eem
=
4π∆2
∆2
despejamos el radio, R, del asteroide.
Figura 7
4
6
Radiacion a traves de un medio absorbente
Figura 8
Si el medio no fuera absorbente
F1 r12 = F2 r22
y ademas
I1 = I2
La absorcion del medio es caracterizada por la funcion OPACIDAD:
α(ν)
que es el inverso del camino libre medio del foton:
l = 1/α
.
La disminucion de la intensidad debido a la opacidad del medio esta dada por:
dI = −I α dr
Definimos el ESPESOR OPTICO τ (ν):
dτ = α dr
entonces
dI
= −dτ
I
cuya solucion es
I(ν, τ ) = I(ν, 0) e−τ
EJEMPLO: absorcion de la atmosfera terrestre.
m − m0 = −2.5 log
F
I
= −2.5 log
= −2.5 log(e−τ ) = τ 2.5 log e
F0
I0
y por definicion
m − m0 = X k
donde k es el coeficiente de extincion del lugar (para el OALM es k ' 0.2 en la region del visible) y
X ' 1/ cos z la masa de aire que atraviesa el rayo luminoso. Como ademas
2.5 log e ' 1
resulta entonces:
τ'
k
' m − m0
cos z
Significado de τ :
Supongamos una capa gaseosa homogenea de espesor optico τ y espesor lineal r. Tendremos que el camino
libre medio de los fotones que atraviesan la capa sera:
1
r
=
α
τ
5
Si τ > 1 el camino libre medio sera inferior a r, es decir, lo mas probable es que el foton sea absorbido.
Pero si τ < 1, los fotones en promedio logran atravesar la capa. De aqui concluimos que la mayor parte de la
radiacion que recibimos es generada a profundidades opticas
τ ≤1
Vease que en general en el visible nuestra atmosfera cumple
τ'
k
<1
cos z
o sea, nuestra atmosfera es opticamente delgada en el visible ¡¡por eso vemos las estrellas!!. En otras regiones
del espectro nuestra atmosfera es altamente opaca.
Una capa gaseosa puede presentar un espesor optico grande debido a una alta opacidad (que depende de la
composicion quimica, temperatura y densidad) o debido a un gran tamaño.
Figura 9
7
Generacion del continuo y lineas
En el nucleo estelar se generan rayos gamma, de alguna manera en el interior de la estrella esta radiacion se
transforma en un espectro continuo hasta la region de radio.
Apenas un rayo gamma es liberado este entrega su energia a un nucleo atomico o a un electron por medio
de una colision. La interaccion de la radiacion con la materia es tan fuerte que un foton requiere cientos de
miles de años para lograr salir a la superficie. El material es altamente opaco.
La opacidad es fundamental pues si no existiera las estrellas brillarian exclusivamente en la region de
rayos gamma. Depende de los elementos quimicos presentes (mas o menos similares en todas las estrellas) y
de su estado de excitacion electronico (esto depende de la T de la estrella). En temperaturas relativamente
bajas (atmosferas) con abundancia de atomos neutros predominan las absorciones debidas a transiciones entre
niveles energeticos. Pero si la temperatura es alta (nucleo) y el material esta completamente ionizado es posible
absorber un continuo de longitudes de onda por parte de los electrones libres.
Las lineas unicamente se generan por transiciones entre niveles y no son lineas ideales de ancho infinitesimeal
sino que presentan perfiles debido a: agitacion del gas (Doppler), presencia de subniveles, ppio. de incertidumbre
(ancho natural), movimientos de la estrella, densidad del gas (las colisiones alteran el ancho natural), etc.
En las estrellas de baja densidad (gigantes) las lineas de absorcion son finas, en cambio en las de alta densidad
(secuencia principal) son mas anchas.
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Ecuacion de transferencia radiativa
Dijimos que las estrellas radian como cuerpo negro, pero la temperatura decrece desde el centro hacia la
”superficie” de la estrella constatandose un flujo neto de energia hacia afuera. Evidentemente no hay equilibrio
termico en el total de la estrella. El equilibrio termico en realidad ocurre en capas concentricas de igual
temperatura: es el Equilibrio Termico Local (ETL).
La energia generada en el nucleo estelar podria ser transportada hacia afuera por conduccion, conveccion o
radiacion. La ecuacion de transferencia nos indica como la energia se transporta bajo un regimen radiativo:
dIν (r) = −Iν (r) αν (r) dr + jν (r) dr
En funcion de τ resulta:
dIν (τ )
= −Iν (τ ) + Sν (τ )
dτ
de donde podriamos obtener Iν (τ ) si conocieramos
Sν (τ ) =
6
jν
αν
llamada funcion fuente.
En riguroso equilibrio termico tenemos
dIν (τ )
=0
dτ
lo que implica
Iν (τ ) = Sν (τ ) = Bν (T (τ ))
En Astrofisica Estelar asumimos ETL que implica Sν (τ ) = Bν (T (τ )) pero
la solucion Iν (τ ) es necesario conocer T (τ ).
dIν (τ )
dτ
6= 0. Para poder encontrar
Si no hubiera absorcion en vez de ver la fotosfera veriamos el nucleo de la estrella.
Si no hubiera emision
jν
Sν (τ ) =
=0
αν
y la solucion seria, como ya lo vimos, una disminucion de la intensidad con el espesor optico:
Iν (τ ) = Iν (0) e−τ
PROFUNDIDAD OPTICA: cuando desde nuestro punto de observacion intentamos penetrar en un
medio nos enfrentamos a la profundidad optica del medio. Se mide desde cero en la superficie, creciendo hacia
el interior. En ETL y a partir de la ecuacion de transferencia podemos deducir que la intensidad total observada
hasta una profundidad optica τ esta dada aproximadamente por
Z τ
Iν (τ ) '
Bν (T )e−t dt
0
y si suponemos que en toda esa capa la temperatura es constante obtenemos las siguientes soluciones aproximadas para los casos extremos con τ muy grande o muy pequeño:
Iν (τ ) ' τν Bν (T )
(τ 1)
Iν (τ ) ' Bν (T )
(τ 1)
lo cual nos permite definir la FOTOSFERA: la intensidad observada se origina a una profundidad optica
no mas alla de τν = 1. La radiacion generada a una profundidad optica mayor habra sido muy absorbida al
atravesar el medio y practicamente no llega nada hasta nosotros.
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Lineas de absorcion
τ L ' τC ' 1
IL (TL )
<1
IC (TC )
Observese que aun siendo lineas de absorcion no son de intensidad cero. Por el contrario hay emision, solo
que de intensidad menor. Esto implica que dicha intensidad fue generada en una region a menor temperatura
que las demas lineas que constituyen el continuo del espectro. Menor temperatura implica una region de la
estrella mas alejada del centro, es decir una capa mas exterior.
¿Como es posible que en el continuo observe una capa bien definida (T definida) de la estrella y en la linea
observo una mas exterior? Esto es posible cuando el medio es mas opaco en la linea de absorcion. Como lo que
observamos proviene de τ ∼ 1 para todas las ν, este valor ocurrira para la linea de absorcion en una region mas
superficial (a menor T) que en el resto del espectro.
7
10
Oscurecimiento de borde y definicion de radio
La fotosfera es la mejor definicion que tenemos para ”superficie estelar”. Debemos precisar el concepto de
radio. Hacia los bordes del disco solar la radiacion que observamos proviene de capas de τ 1 puesto que alli
la densidad es cada vez menor y no se alcanza el valor τ = 1. Para los bordes vale entonces la expresion
Iν (τ ) ' τν Bτ (T )
la intensidad disminuye con la profundidad optica. Alli donde la profundidad optica cae abruptamente tendremos una caida abrupta de Iν y por lo tanto notaremos un limbo o borde. Este borde claramente depende
de la frecuencia de la radiacion.
BIBLIOGRAFIA
1. Unsold y Baschek, El Nuevo Cosmos
2. Karttunen y otros, Fundamental Astronomy
3. Dina Prialnik, Stellar Structure and Evolution
4. Martin Harwit, Astrophysical Concepts
5. http://www.fisica.edu.uy/oalm/ia00.html , extensa lista con recursos en internet.
6. http://astro.if.ufrgs.br/evol/ , Capitulo de Evolucion e Interiores Estelares, Kepler de Souza.
7. http://www.fisica.edu.uy/∼gallardo/g2002.pdf , estos apuntes.
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