VI. RECURSOS MATEMÁTICOS Y NOCIONES

El aprendizaje de la geometría en contexto con apoyo de prototipos didácticos, físicos
y simulados en computadora
VI. RECURSOS MATEMÁTICOS Y NOCIONES TEÓRICAS
A continuación mostraremos algunos aspectos teóricos que son necesarios
para la comprensión de los temas y desarrollo de las clases.
Tangram. Es un juego chino muy antiguo, consistente en formar siluetas de
figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Para formar las figuras
deben usarse todas las piezas sin traslaparlas. Las 7 piezas llamadas Tans, que
juntas forman un cuadrado, son las siguientes:
•
5 triángulos de diferente tamaño
•
1 cuadrado
•
1 paralelogramo romboide
El Tangram se originó muy posiblemente a partir del juego de muebles Yanjitu
durante la dinastía Song. Según los registros históricos chinos, estos muebles
estaban formados originalmente por un juego de 6 mesas rectangulares. Más
adelante se agregó una mesa triangular y las personas podían acomodar las
mesas de manera que formaran una gran mesa cuadrada. Hay otra variación del
Tangram más adelante durante la dinastía Ming y un poco más tarde es cuando se
convierte en un juego.
Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza
también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía.
En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir
conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades
psicomotrices e intelectuales de los niños, pues permite ligar de manera lúdica la
manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.
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Figura 5. Tangram
Figura 6. Una típica figura
realizada con el tangram
Teselación: Es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta
completamente una superficie plana, que cumple con dos requisitos los cuales son
que no queden huecos y no se superpongan o traslapen las figuras. Las
teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura
inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar
pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
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Figura 7. Teselación vista en el
pavimento de una calle
Figura 8. Teselación hexagonal de
un piso
Teselaciones regulares. Son aquellas que cubren completamente una
superficie plana con un solo tipo de polígono regular. Esta condición sólo la
cumplen: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono, debido a que la
unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios.
Figura 9.
Triángulos equiláteros
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Figura 10. Cuadrados
Figura 11. Hexágonos
Teselaciones semiregulares. Son aquellas que contienen 2 o más tipos
de polígonos regulares en su formación. Una teselación semi-regular tiene las
siguientes propiedades:
1. Está formada sólo por polígonos regulares.
2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
3. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares.
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Figura 12. Teselaciones con figuras semiregulares
Teselaciones demiregulares. Estos teselados al igual que los anteriores
cubren toda una superficie con dos o más tipos de polígonos regulares, sin que se
sobrepongan y sin dejar espacios. La diferencia es que la distribución de
polígonos no es la misma para todos los vértices, esta se repite periódicamente.
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Teselaciones irregulares. Son aquellas que están construidas a partir de
polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren
toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. En estas
teselaciones la distribución de polígonos en los distintos vértices es cíclica,
pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más
espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo
completo.
Triángulos: Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano.
Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.
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Cuadriláteros: Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos
prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes
al primero. Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible
cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el
Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un
paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible.
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Figura 13. Teselación de El Cairo
La figura 13 aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en
el arte islámico, de ahí su nombre. El pentágono posee sus 5 lados de la misma
medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131.5° y dos
ángulos de 114.25°. Así como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de
540°.
Figura 14. Polígonos cóncavos
Polígono: Es una figura geométrica plana (cerrada) limitada por al menos
tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el
hexágono es un polígono de seis lados.
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Relación de polígonos respecto a su número de lados
Nombre del
polígono
Número
de lados
Nombre del
polígono
Número
de lados
no existe
1
hexadecágono
16
no existe
2
heptadecágono
17
triángulo
3
octodecágono
18
cuadrilátero
4
eneadecágono
19
pentágono
5
icoságono
20
hexágono
6
triacontágono
30
heptágono
7
tetracontágono
40
octágono
8
pentacontágono
50
eneágono
9
hexacontágono
60
decágono
10
heptacontágono
70
undecágono
11
octacontágono
80
dodecágono
12
eneacontágono
90
tridecágono
13
hectágono
100
tetradecágono
14
megágono
106
pentadecágono
15
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Polígonos regulares: Son polígonos que se caracterizan porque las
medidas de sus lados son iguales (equilátero) y la medida de sus ángulos también
son iguales (equiángulo).
Figura 15. Polígonos regulares
Polígonos irregulares: Son polígonos en los cuales no todos sus lados o
ángulos son iguales. Estos polígonos de acuerdo al número de lados se muestra a
continuación.
Figura 16. Polígonos irregulares