UNIDAD 4
CONCEPTOS REQUERIDOS 1
PERPENDICULARIDAD EN EL ESPACIO
1 – PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO
DEFINICIÓN – Recta perpendicular a un plano.
Una recta y un plano secantes son perpendiculares, cuando la recta es perpendicular a toda
recta que está contenida en el plano y pasa por el punto de intersección.
TEOREMA 1 – Condición necesaria y suficiente de perpendicularidad entre recta y
plano.
La condición necesaria y suficiente para que una recta y un plano sean perpendiculares en
un punto, es que la recta sea perpendicular a dos rectas contenidas en el plano que pasen
por el punto.
Condición necesaria:
(H)
(T)
r ⊥ α O ∈ r O ∈α
a⊂α O∈a
b⊂α O∈b
r ⊥ a ∧ r ⊥ b
La demostración es inmediata por la definición de recta perpendicular a un plano.
Condición suficiente:
(H)
(T)
O∈r O∈α
a⊂α O∈a r ⊥ a
b⊂α O∈b r ⊥ b
r ⊥α
Debemos probar que r es perpendicular a cualquier otra recta c, contenida en α y que pase
por O. Consideraremos dos puntos P y Q de la recta r, que sean simétricos respecto a O y
probaremos que c es mediatriz del segmento PQ.
Sean A y B dos puntos pertenecientes respectivamente a las rectas a y b de modo que la
intersección de las rectas AB y c no sea vacía. AB ∩ c = { C }. Como O equidista de P y Q
para probar que c es mediatriz del segmento PQ es suficiente probar que C también
equidista de P y Q.
Los triángulos ABP y ABQ son congruentes por tener sus tres lados respectivamente
congruentes: el segmento AB es común, los segmentos AP y AQ son congruentes puesto
que a es mediatriz del segmento PQ, análogamente con los segmentos BP y BQ.
Dado que los triángulos ABP y ABQ son congruentes, también lo son los triángulos ACP y
ACQ, por lo que son congruentes los segmentos PC y QC. Esto significa que C equidista de
P y Q.
TEOREMA 2 – Lugar geométrico de las perpendiculares a una recta por un punto.
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El lugar geométrico de las perpendiculares a una recta en uno de sus puntos, es el plano
perpendicular a ella en el punto.
TEOREMA 3 – Plano perpendicular a una recta por un punto.
Por un punto cualquiera pasa un plano y sólo uno, perpendicular a una recta dada.
PLANO MEDIATRIZ
DEFINICION – Se llama plano mediatriz de un segmento AB al plano perpendicular a la recta
AB por el punto medio del segmento.
RECTAS ORTOGONALES.
DEFINICION – Una recta (a) es ortogonal con una recta (b) cuando está contenida en un
plano perpendicular a (b).
⇔
a || b
∃α / a⊂α
∧
α⊥ b
TEOREMA 4
– Teorema de las tres perpendiculares.
– Propiedad recíproca de la ortogonalidad de rectas.
Si una recta (a) es ortogonal con (b), entonces (b) es ortogonal con (a).
(H)
(T)
a || b
b || a
Por definición de ortogonalidad:
(H)
(T)
⇔
⇔
∃α / a⊂α ∧ α⊥b
∃β / b⊂β ∧ β⊥a
Determinamos el plano β con la recta b y el punto P, proyección de O sobre la recta a.
Por la determinación de β, la recta b está contenida en él. Para probar la tesis sólo resta
demostrar que la recta a es perpendicular a ese plano.
La recta a es perpendicular a OP por construcción, justifiquemos que también es
perpendicular a cualquier recta determinada por P y un punto Q de b.
Si A y B son dos puntos de a, simétricos respecto a P, resulta que Q equidista de ellos
puesto que los triángulos AOQ y BOQ son congruentes. Como Q equidista de A y B y P
también, la recta PQ es mediatriz del segmento AB por lo cual a es perpendicular a PQ.
La recta a es perpendicular a dos rectas (OP y PQ) contenidas en β por lo que es
perpendicular a este plano.
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2 – PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS
DEFINICIÓN – Planos perpendiculares.
Un plano α es perpendicular a un plano β, cuando contiene a una recta perpendicular a β.
α⊥β
⇔
∃r/ r⊂α
∧
r⊥ β
TEOREMA 5 – Propiedad recíproca de la perpendicularidad de planos.
Si un plano α es perpendicular con uno β, entonces β es perpendicular con α.
TEOREMA 6 – Recta perpendicular a la intersección de dos planos perpendiculares,
contenida en uno de ellos.
Si dos planos son perpendiculares toda perpendicular a la intersección que esté contenida
en uno, es perpendicular al otro.
TEOREMA 7 – Recta perpendicular a un plano por un punto.
Por un punto pasa una y sólo una recta perpendicular a un plano dado.
COROLARIOS
Por un punto pasan infinitos planos perpendiculares a un plano dado. Todos los que
contienen la recta perpendicular al plano por el punto.
Si dos planos son perpendiculares, la perpendicular a uno de ellos por un punto del otro está
contenida en éste.
α ⊥ β,
r ⊥ β,
P ∈ r,
P∈α
⇒
r⊂α
DEFINICIONES
Proyección ortogonal de un punto sobre un plano.
Se llama proyección ortogonal de un punto A sobre un plano α a la intersección de la
perpendicular al plano por A con α.
Distancia de un punto a un plano.
La distancia de un punto a un plano es la distancia entre el punto y su proyección ortogonal
sobre él.
TEOREMA 8 – Plano perpendicular a dos planos secantes.
Si dos planos son secantes, todo plano perpendicular a ambos es perpendicular a su
intersección.
TEOREMA 9 – Plano perpendicular a la intersección de dos planos secantes.
Si dos planos son secantes, todo plano perpendicular a su intersección es perpendicular a
cada uno de ellos.
DEFINICIÓN – Rectilíneo de un diedro.
Se llama rectilíneo de un diedro a la intersección del diedro con un plano perpendicular a su
arista.
Dado un diedro de caras α y β, sea O un punto cualquiera de su arista r y γ el plano
perpendicular a r en O.
El rectilíneo del diedro, es el ángulo aOb, intersección del plano γ con el diedro.
TEOREMA 10 – Rectas perpendiculares a un plano.
Dos rectas perpendiculares a un plano, son paralelas.
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DEFINICIÓN – Recta oblicua a un plano.
Una recta se llama oblícua a un plano, cuando es secante con él y no es perpendicular.
TEOREMA 11 – Plano perpendicular a otro que contiene una oblicua a él.
Dada una recta oblicua a un plano, existe un sólo plano perpendicular al dado que contiene
a la recta.
DEFINICIÓN – Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.
La proyección ortogonal de una recta sobre un plano es el lugar geométrico de las
proyecciones ortogonales de sus puntos sobre el mismo.
DEFINICIÓN – Ángulo de una recta con un plano.
El ángulo de una recta oblicua con un plano es el menor ángulo que determina la recta con
su proyección ortogonal sobre el plano. El ángulo de una perpendicular a un plano con él es
un ángulo recto.
La recta r’ es la proyección ortogonal de r sobre ? .
El ángulo de r con ? es el menor de los ángulos que determinan r y r’.
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