SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
Modelización por medio de sistemas
Ecuaciones autónomas de segundo orden:
•
•
•
d2y
dy
= f ( y, )
2
dt
dt
Una variable independiente.
Una variable dependiente.
La variable independiente no aparece en el lado derecho de la EDO.
Ejemplo. Sistema masa-muelle
F=ma
Segunda ley de Newton:
Ley de Hooke: “La fuerza de recuperación de un muelle es proporcional al
desplazamiento de su posición de equilibrio.”
Ejemplo. Sistema depredador-presa:
dC
dt
dZ
dt
= aC − bCZ
= − cZ + dCZ .
Teorema. El origen es siempre un punto de equilibrio de un sistema lineal.
Es el único punto de equilibrio si y solo si det A≠ 0.
Principio de superposición. Consideramos el sistema Y’=AY.
•
•
Si Y(t) es una solución y k es cualquier constante, entonces kY(t)
también es una solución.
Si Y1(t) e Y2(t) son dos soluciones, entonces Y1(t)+ Y2(t) también es
una solución.
Soluciones “rectas”
¿Cómo encontramos dos soluciones linealmente independientes?
Ejemplo. La solución general del sistema
 −1 2
 Y,
 0 1
Y’(t)= 
 −1
 ,
 − 2
Y(0)= 
está dada por una combinación lineal de dos soluciones linealmente
independientes:
1
 1
 
 
Y(t)=k1e-t   + k2et   .
0
1
¿Qué tienen de especial las dos soluciones linealmente independientes de
este ejemplo?
Para un sistema lineal general de la forma Y’=AY, ¿qué propiedad
geométrica del campo de vectores garantiza la existencia de soluciones
“rectas”?
Soluciones “rectas”. Supongamos que
AY0= λ Y0
para algún vector Y0 distinto de cero y algún escalar λ . Entonces la función
Y(t)= e
λt
Y0 es una solución de la ecuación diferencial Y’=AY.
Queremos condiciones iniciales Y0 (vectores) tales que A Y0= λ Y0 para
algún escalar λ .
Terminología. El escalar λ recibe el nombre de autovalor de la matriz A y
el vector Y0 recibe el nombre de autovector asociado al autovalor λ .
Repaso de la teoría de ecuaciones lineales algebraicas
¿Para qué matrices B tiene el sistema BY=0 soluciones no triviales?
Matrices singulares. El sistema BY=0 tiene soluciones no triviales si y
sólo si det B=0.
Dada una matriz A de dimensión 2x2:
•
•
•
La ecuación característica puede tener dos raíces reales, una raíz real
de multiplicidad dos o dos raíces complejas conjugadas.
Dado un autovector Y0 asociado a un autovalor λ , cualquier multiplo
escalar no nulo de Y0 es también un autovector asociado a λ .
Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente
independientes.
Autovalores reales distintos
Supongamos que A es una matriz con dos autovalores distintos λ1 y λ 2 , λ1 <
λ2 . Sea v1 un autovector asociado a λ1 y v2 un autovector asociado a λ2 . La
solución general de Y’=AY es
Y(t)=k1 e λ1t v1+ k2 e λ2t v2.
Caso 1: λ1 < λ 2 <0 (sumidero).
 − 3 1
 Y
Ejemplo. Y’(t)= 
 −1 0
Caso 2: λ1 <0< λ 2 (silla).
 4
Ejemplo. Y’(t)= 
− 2
− 5
Y
1 
Caso 3: 0< λ1 < λ 2 (fuente).
 3 − 1
Y
0 
Ejemplo. Y’(t)= 
1
Resumen para autovalores reales y distintos (y distintos de cero)
sumidero ( λ1 < λ 2 <0)
silla ( λ1 <0< λ 2 )
fuente (0< λ1 < λ 2 )
Autovalores complejos
Teorema. Consideramos Y’=AY, donde A es una matriz con entradas
reales. Si Yc(t) es una solución con valores complejos, entonces
Re Yc(t)
y
Im Yc(t)
son soluciones con valores reales, que además son linealmente
independientes.
− 3
Ejemplo. Y’= 
 −1
2
 2 
 Y,

Yc(t)=e(-2+i)t 
− 1
1 + i 
Posibles geometrías
 0 − 1
.
0 
Ejemplo 1. Y’= AY, donde A= 
1
El polinomio característico de A es λ2 + 1 , de forma que los autovalores son
λ = ± i . Un autovector asociado al autovalor λ = i es
i
Y0=   .
1
 
Solución general:
 2 − 2
.
− 2 
Ejemplo 2. Y’= BY, donde B= 
4
El polinomio característico de B es λ2 + 4 , de forma que los autovalores son
λ = ±2 i . Un autovector asociado al autovalor λ = 2 i es
1 + i 
 .
 2 
Y0= 
Resumen. sistemas lineales con autovalores complejos λ = a ± b i . Los
posibles planos de fase son:
sumidero espiral (a<0)
foco (a=0)
fuent espiral (a>0)
¿Qué información se puede extraer mirando sólo los autovalores
(complejos)?
Recordemos el Ejemplo 2. Los autovalores son λ = ±2 i . Aquí están las
gráficas de las componentes de dos soluciones típicas:
En el Ejemplo 3 los autovalores son λ = −0.1 + 2 i . Aquí están las gráficas de
las componentes de dos soluciones típicas:
Las soluciones de este último ejemplo no son periódicas en sentido estricto.
No hay un tiempo T tal que
x(t+T)=x(t),
y(t+T)=y(t)
para todo t. Sine embargo, hay un periodo (periodo natural) asociado a
estas soluciones. Conviene verlas como soluciones oscilatorias cuya
amplitud decae con el tiempo.
Autovalores repetidos o nulos
Autovalor doble
 3 2
.
3 
Ejemplo. Y’= AY, donde A= 
0
El polinomio característico de A es (λ − 3) 2 , de forma que sólo hay un
autovalor, λ = 3 .
 x(t ) 
 =
Solución general: Y(t)= 
 y (t ) 
 x 0 e 3t + 2 y 0 t e 3t 

.


y 0 e 3t


Escribimos la solución general como:
 x0 
2y 
 + te 3t  0  .
 y0 
 0 
Y(t)= e 3t 
No está escrita como combinación lineal de soluciones. Todas las soluciones
no triviales contienen el primer término y la mayoría de las soluciones
contienen ambos términos.
Usamos este resultado para motivar una técnica diferente para resolver
sistemas con autovalores repetidos. Conjeturamos una solución de la forma
Y(t)= e λt v0+ te λt v1
El dato inicial para esta solución es v0.
Resultado de álgebra lineal. Si A es una matriz 2 x 2 con autovalor λ y
v0 es cualquier vector, entonces se da una de estas dos posibilidades:
•
•
(A- λ I) v0=0 (v0 es una autovector);
v1=(A- λ I) v0 es un autovector de A.
 0
Ejemplo. Y’= AY, donde A= 
− 4
1
.
4 
El polinomio característico de A es λ2 + 4λ + 4 , de forma que λ =-2 es un
autovalor repetido.
¿Cuál es el comportamiento para tiempos grandes de un sistema con un
autovalor repetido negativo?
Este es un caso crítico, en la frontera entre fuentes y fuentes espirales.
Un autovalor nulo
− 2
Ejemplo. Y’= 
 2
1
 Y. El polinomio característico de la matriz del
− 1
sistema es λ2 + 3λ , de forma que los autovalores son λ =-3 y λ =0 (si un
sistema tiene un autovalor 0, se dice que es degenerado). En este caso la
matriz de coeficientes es singular.
El plano traza-determinante
Hay un objeto geométrico llamado plano traza-determinante que permite
clasificar de forma elegante los distintos tipos de sistemas lineales 2 x 2.
Consideramos la matriz 2 x 2
a b
 .
A = 
c d 
Calculamos su polinomio característico.
Los autovalores de cualquier matriz 2 x 2 están determinados por su traza y
por su determinante:
λ=
T ± T 2 − 4D
.
2
Resumen de planos de fase
Supongamos que det A ≠0. Entonces cero no es un autovalor de A.
1. Autovalores reales distintos
(a) sumidero
(b) silla
(c) fuente
2. Autovalores complejos
(a) sumidero espiral
(b) centro
(c) fuente espiral
3. Autovalores reales repetidos
(a) sumidero con una única recta de autovectores en el plano
de fases
(b) fuente con una única recta de autovectores en el plano de
fases
(c) sumidero en el que toda solución es una solución de linea
recta
(d) fuente en la que toda solución es una solución de linea
recta
Ecuaciones lineales de segundo orden
Usamos la técnica de “conjetura afortunada” para encontrar dos soluciones
distintas de cero y1(t) e y2(t) que no son múltiplos una de la otra.
Podemos determinar la solución general de un ecuación lineal homogénea de
segundo orden
d2y
dy
a 2 + b + cy = 0
dt
dt
inmediatamente a partir de la ecuación característica
aλ 2 + bλ + c = 0.
Así como podemos escribir el sistema correspondiente
dy
=v
dt
dv
c
b
=− y− v
dt
a
a
con su ecuación característica
−λ
det  c
−
 a
1 
 = 0.
b
− −λ
a

1
Observación útil: Si λ es un autovalor, el vector Y0=   es siempre un
λ 
autovector asociado.
Tres casos:
1. Dos autovalores reales distintos y no nulos, λ1 y λ 2 .
2. Un par de autovalores complejos conjugados, λ = α ± iβ , con β ≠ 0 .
3. Un autovalor real no nulo de multiplicidad dos.
Aplicación: Oscilador armónico amortiguado:
d2y
dy
m 2 + b + ky = 0.
dt
dt
En este caso estamos suponiendo que los parámetros m y k son positivos y
que b ≥ 0. La ecuación característica mλ2 + bλ + k = 0 tiene autovalores
− b ± b 2 − 4mk
.
2m
Hay tres casos, dependiendo del valor del discriminante b 2 − 4mk .
1. b 2 − 4mk < 0
2. b 2 − 4mk = 0
3. b 2 − 4mk > 0
Osciladores armónicos forzados
Oscilador armónico estándar. Sistema masa muelle en el que las únicas
fuerzas que actúan son la fuerza de recuperación del muelle y el
amortiguamiento del medio:
m
d2y
dy
+ b + ky = 0.
2
dt
dt
Oscilador armónico forzado.
Además se tiene una fuerza externa (distinta de la fuerza de recuperación
del muelle y de la amortiguación), f (t ) :
m
d2y
dy
+ b + ky = f (t ).
2
dt
dt
Si la fuerza externa depende del tiempo, la ecuación resultante es no
autónoma.
Principio de linearidad extendido. Consideramos una ecuación lineal no
homogénea (forzada) con coeficientes constantes (esto último no es
imprescindible)
a
d2y
dy
+ b + cy = g (t )
2
dt
dt
y la ecuación homogénea correspondiente
a
•
d2y
dy
+ b + cy = 0.
2
dt
dt
Si y p (t ) es una solución particular de la ecuación no homogénea e y h (t )
es una solución de la correspondiente ecuación homogénea, entonces
y h (t ) + y p (t ) es también solución de la ecuacion no homogénea.
•
Si y p (t ) e y q (t ) son dos soluciones de la ecuación no homogénea,
entonces
y p (t ) − y q (t ) es una solución de la ecuación homogénea
asociada.
Si k1 y1 (t ) + k 2 y 2 (t ) es la solución general de la ecuación homogénea,
entonces
k1 y1 (t ) + k 2 y 2 (t ) + y p (t )
es la solución general de la ecuación no homogénea.
Ya sabemos cómo encontrar la solución general de la ecuación homogénea
asociada; así que sólo queda encontrar una solución de la ecuación original.
En ocasiones esto se puede hacer por el método de la “conjetura
afortunada”.
Forzamiento sinusoidal
Vamos a estudiar ecuaciones forzadas en las que la fuerza externa es
sinusoidal (seno o coseno).
Ejemplo. Vamos a calcular la solución general de
d 2 y dy
+
+ 2 y = cos 2t.
dt 2 dt
Veamos las gráficas de tres soluciones:
Aquí está la gráfica de la solución estacionaria:
Terminología ingenieril:
Respuesta forzada: cualquier solución de la ecuación forzada.
Respuesta estacionaria: comportamiento de la respuesta estacionaria a
largo plazo.
Respuesta natural (o libre): cualquier solución del problema homogéneo
asociado.
¿Por qué son las condiciones iniciales esencialmente irrelevantes?