Capitulo siete: Semejanza

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Semejanza
El mundo es realmente muy pequeño En California hay un parque de
diversiones basado en una marca muy popular de bloques plásticos
para la construcción a escala. Una de las más importantes atracciones del parque son los detallados modelos a escala de cinco
lugares en Estados Unidos: Washington, D.C., Nueva Orleáns,
Nueva York, Nueva Inglaterra y el litoral de California, construidos
usando 20 millones de bloques plásticos. Este parque se creó para
celebrar la diversidad de los Estados Unidos y sus habitantes.
Piensa al respecto El modelo del Capitolio de los
Estados Unidos mide 7.2 pies de altura (medido desde
la base hasta la punta de la estatua de la libertad). El
edificio real del Capitolio es 40 veces más alto.
¿Cuánto mide el edificio verdadero del Capitolio?
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Carta a la familia
Estimados alumno(a) y familiares:
El siguiente capítulo trata acerca de las semejanzas entre figuras o formas. Las
figuras semejantes tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo
tamaño. Las figuras congruentes son aquéllas que tienen la misma forma y el
mismo tamaño. Estudiaremos la semejanza entre figuras geométricas usando
modelos bidimensionales y tridimensionales y estudiaremos también la escala y
los factores de escala entre figuras semejantes.
Además de lo anterior, vamos a investigar las relaciones entre el factor de escala,
el área y el perímetro de figuras semejantes y vamos a aprender a hacer transformaciones de semejanza tanto de dibujos bidimensionales como de cuerpos tridimensionales. Por ejemplo, los modelos de trenes son versiones a escala de trenes reales
y un globo terráqueo es un modelo a escala del planeta Tierra.
Al final de capítulo, aplicaremos los conocimientos para resolver un interesante
problema: ¿Podrían los huesos de gigantes doce veces más grandes que nosotros
soportar su peso? Haz una predicción y compárala con la respuesta al final del
capítulo.
Vocabulario Aprenderemos varios términos nuevos en este capítulo.
ángulos
correspondientes
congruente
contraejemplo
factor de escala
homotecia o
transformación
de semejanza
lados correspondientes
razón
razones equivalentes
semejante
¿Qué pueden hacer en el hogar?
Si observan a su alrededor, es muy probable que localicen varios ejemplos de
figuras semejantes: dibujos a escala, fotocopias reducidas o ampliadas, mapas y el
área real a la que corresponden y cajas de diferentes tamaños (de cereal u otras
cosas). Para entretenerse, identifiquen figuras semejantes y luego mídanlas para
verificar si realmente son semejantes.
impactmath.com/family_letter
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¿Son
parecidas?
¿Qué significa cuando se dice que dos figuras son parecidas?
Estas figuras son “parecidas” porque son miembros de la misma clase de
objetos. Ambas son rectángulos.
V O C A B U L A R I O
semejanza
V O C A B U L A R I O
congruente
Algunas figuras tienen más características en común que pertenecer a un
mismo tipo de figura. Una de las figuras siguientes, por ejemplo, es una
ampliación de la otra. Tienen la misma forma pero son de diferente tamaño.
Dos figuras que tienen la misma forma son figuras semejantes.
Por supuesto, la manera más obvia en que dos figuras pueden ser “similares”
es que sean idénticas. Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma
forma son figuras congruentes. Las figuras siguientes son congruentes.
Estos rectángulos también son congruentes.
Observa que la semejanza y la congruencia no dependen de la posición de los
objetos. La posición del objeto puede estar girada o invertida en relación a
otro u otros objetos.
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Semejanza
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Explora
Tu maestro(a) te dará una hoja de papel con dibujos de tres figuras. Uno
o dos alumnos más de tu clase tienen figuras que son congruentes con
las tuyas. Encuentra a estos alumnos.
¿Cómo determinaste qué figuras de los otros alumnos eran congruentes
con las tuyas?
Investigación 1
Identifica figuras y ángulos
congruentes
Para encontrar quién tenía figuras congruentes con las tuyas, debiste haber
inventado una guía o prueba para determinar si las figuras eran congruentes.
Ahora vas a usar tu prueba de congruencia con más figuras y ángulos.
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
Sección de problemas
A
Determina si las figuras A y B de cada problema son congruentes entre sí. Si
no son congruentes, explica por qué.
1.
2.
A
A
B
B
3.
B
A
4.
A
B
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 451
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5.
6.
A
A
B
B
En la Sección de problemas A comparaste varios pares de figuras entre sí.
Existe un objeto geométrico importante que forma parte de muchas figuras: el
ángulo. ¿Qué aspecto crees que tengan dos ángulos congruentes?
&
Piensa comenta
Cada par de ángulos siguientes es congruente.
¿Qué significa que unos ángulos sean congruentes?
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
Sección de problemas
B
Determina si cada par de ángulos es congruente. De no ser así, explica por
qué.
1.
2.
c
a
d
b
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Semejanza
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Una manera de verificar si dos figuras son congruentes, es colocarlas y ajustarlas una encima de la otra. Algunas veces, sin embargo, no es fácil cortar o
trazar una figura y es mejor contar con otro tipo de pruebas de congruencia.
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
V O C A B U L A R I O
contraejemplo
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
Sección de problemas
C
Cada problema siguiente sugiere una manera de verificar si dos figuras son
congruentes entre sí. Indica si cada prueba es suficientemente confiable como
para asegurar que las figuras sean congruentes. Supón que puedes tomar las
medidas exactas.
Si una prueba no es suficientemente confiable, anota un contraejemplo, es
decir, escribe un ejemplo para el que la prueba no es verdadera.
1.
Cuando tengas dos segmentos de recta, mide la longitud de ambos. Si
las longitudes son iguales, entonces los segmentos son congruentes.
2.
Cuando tengas dos cuadrados, mide la longitud de un lado de cada
cuadrado. Si las longitudes son iguales, entonces los cuadrados son congruentes.
3.
Cuándo tengas dos ángulos, mide cada ángulo con un transportador. Si
los ángulos tienen igual medida, entonces son congruentes.
4.
Cuando tengas dos rectángulos, calcula sus respectivas áreas. Si las
áreas son iguales, entonces los rectángulos son congruentes.
&
Comparte
resume
Indica si las figuras de cada conjunto son congruentes entre sí. Explica
cómo lo sabes.
1.
M
P
N
R
Q
2.
i
k
l
j
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 453
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Investigación 2
¿Son semejantes?
Ya conoces varias técnicas para identificar figuras congruentes. ¿Cómo sabes
si dos figuras son semejantes entre sí?
Sección de problemas
M AT E R I A L E S
regla métrica
Trabaja con un compañero. Primero dibujen un
1 cm
rectángulo cuyos lados midan 1 cm y 3 cm de largo.
Sólo necesitan dibujar un rectángulo para los dos.
Dos figuras son semejantes si tienen exactamente la misma
forma, pero pueden
tener distintos
tamaños.
regla métrica
454 C A P Í T U L O 7
3 cm
1.
Ahora, uno de ustedes deberá dibujar un rectángulo cuyos lados midan
7 veces la longitud de los lados del rectángulo original. Mientras tanto,
el otro dibujará un rectángulo que mida 7 cm más en cada lado que el
rectángulo original. Rotulen la longitud de los lados de los nuevos rectángulos.
2.
Determina junto con tu compañero, cuál de los nuevos rectángulos es
semejante al rectángulo original.
Recuerda
M AT E R I A L E S
D
En la Sección de problemas D, modificaste de dos maneras una figura para
crear figuras más grandes. Ahora, vas a comparar dos maneras de modificar
una figura para crear figuras más pequeñas.
Sección de problemas
E
Trabaja con un(a) compañero(a). Primero dibujen un rectángulo cuyos lados
midan 11 cm y 12 cm de largo.
1.
Ahora, uno de ustedes deberá dibujar un rectángulo cuyos lados midan
una décima parte de la longitud de los lados del rectángulo original.
Mientras tanto, el otro dibujará un rectángulo cuyos lados midan 10 cm
menos que los lados del rectángulo original. Rotulen la longitud de los
lados de los nuevos rectángulos.
2.
Determina junto con tu compañero, cuál de los nuevos rectángulos es
semejante al rectángulo original.
Semejanza
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Ya has usado dos métodos diferentes para modificar rectángulos y obtener
rectángulos más grandes, o más pequeños, que el rectángulo original. Ahora
vas a probar este tipo de modificaciones en un triángulo.
M AT E R I A L E S
tiras de enganche y
tachuelas
Sección de problemas
F
Trabaja con un compañero. Cada uno necesitará un conjunto de tiras de
enganche y tres tachuelas. Para determinar la longitud de una tira de enlace,
cuenta el número de espacios entre los hoyos. Cada espacio representa 1 unidad.
1 unidad
Tu compañero(a) y tú, por separado, deberán usar sus tres tiras de enganche
para construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 6 y 8 unidades y
cuya hipotenusa mida 10 unidades. Traza el interior de tu triángulo en una
hoja de papel.
1.
2.
Uno de ustedes deberá seguir las instrucciones de la parte a, mientras
que el otro deberá seguir las instrucciones de la parte b.
a.
Construye un triángulo cuyos lados midan la mitad de la longitud de
los lados del primer triángulo. Esto significa que deberán medir 3, 4
y 5 unidades, respectivamente. Traza el triángulo interno en tu papel.
b.
Construye un triángulo cuyos lados midan 2 unidades menos que los
lados del primer triángulo. Esto significa que deberán medir 4, 6 y
8 unidades, respectivamente. Traza el triángulo interno en tu papel.
Determina junto con tu compañero(a), qué modificación produce un
triángulo semejante al triángulo original.
&
Comparte
resume
Ya has modificado rectángulos y triángulos usando dos métodos diferentes,
para crear figuras más grandes y más pequeñas.
• En uno de los métodos, multiplicaste o dividiste la longitud de cada
lado por algún número.
• En el otro método, sumaste o restaste un número a la longitud de
cada lado.
¿Con qué método obtuviste figuras semejantes a la original?
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 455
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Investigación 3
V O C A B U L A R I O
razón
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Razones de lados
correspondientes
Una razón es una manera de comparar dos números entre sí. Cuando la longitud de un segmento es el doble de la longitud de otro segmento, la razón de la
longitud del segmento mayor a la longitud del segmento menor es “dos a uno”.
Una manera de escribir “dos a uno” es 2:1. Esto significa que por cada
2 unidades de longitud del segmento mayor hay 1 unidad de longitud del
segmento menor. Por ejemplo, la razón de la longitud del segmento m a la
longitud del segmento k es 2:1.
m
k
Otras dos maneras de escribir “dos a uno” son: “2 a 1” y 21.
Es posible usar diferentes razones para describir una misma relación.
E J E M P L O
Maya y Simón están pensando de manera diferente acerca de la razón entre los lados de los triángulos.
Puedo comparar
A
los lados de dos
triángulos usanW
5 cm
do razones. La
4 cm
razón de la longitud del lado AB
a la longitud del
B 3 cm C
lado WX es 1:3
12 cm
porque multiplico la longitud del
lado AB por 3 para
obtener la longitud
del lado WX. Es
decir, por cada cm
X
de lado AB, hay 3
cm de lado WX.
456 C A P Í T U L O 7
Semejanza
Yo pienso de una manera
diferente. Si el lado AB mide
4 cm de largo y el lado WX
mide 12 cm de largo, la razón
de la longitud del lado AB a
la longitud del lado
WX es 4:12. Por
15 cm cada 4 cm en el
lado AB, hay 12 cm
en el lado WX.
9 cm
Y
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8:04 AM
V O C A B U L A R I O
razones
equivalentes
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Dos razones forman razones equivalentes si representan una misma relación.
Maya indicó que la razón 1:3 significa que por cada 1 cm de longitud en un
segmento, hay 3 cm de longitud en el otro. Simón dijo que la razón 4:12
significa que por cada 4 cm de longitud en un segmento, hay 12 cm de longitud en el otro. Estas dos razones representan la misma relación: la longitud
del primer segmento se multiplica por 3 para obtener la longitud del segundo
segmento. Por lo tanto, 1:3 y 4:12 son razones equivalentes.
Sección de problemas
1.
G
Escribe un mínimo de dos razones equivalentes a la razón de la longitud
del segmento MN a la longitud del segmento OP.
P
M
N
O
Determina si cada par de razones son equivalentes. Explica cómo lo sabes.
2.
1:4 y 2:8
2
3. 5
y 39
4.
3:5 y 5:3
1
5. 3:1
6.
Darnell y Zoe estaban analizando un par de segmentos de recta. Darnell
dijo: “La razón entre las longitudes es 2:3”. “No”, contestó Zoe, “la
razón es 3:2”. Su maestro sonrió y dijo: “Ambos tienen razón, pero para
que las cosas queden más claras, necesitan dar más información sobre
las razones”.
y 1:3
¿A qué se refería el maestro? ¿2:3 y 3:2 son equivalentes? ¿Por qué
pueden ambos estar en lo correcto?
En la Investigación 2, creaste rectángulos y triángulos semejantes a otros rectángulos y triángulos. En ambos tipos de figuras usaste una parte de la figura
original para crear la parte correspondiente de la nueva figura.
V O C A B U L A R I O
lados
correspondentes
ángulos
correspondentes
Las partes correspondientes de dos figuras semejantes ocupan la misma posición en las figuras respectivas. Por ejemplo, los triángulos ABC y DEF son
semejantes. Los lados AB y DE son lados correspondientes, mientras que
B y E son ángulos correspondientes.
A
D
C
B
LECCIÓN 7.1
E
F
¿Son parecidas? 457
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Page 458
Cuando construiste rectángulos y triángulos semejantes, las razones entre las
longitudes de cada par de lados correspondientes eran equivalentes entre sí.
Este hecho es verdadero para todas las figuras semejantes: las razones entre
las longitudes de cada par de lados correspondientes deben ser equivalentes
entre sí.
Sección de problemas
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
H
Cada par de figuras son semejantes entre sí. Identifica en cada problema todos
los pares de lados correspondientes y todos los pares de ángulos
correspondientes.
1.
2. A
N
B
M
D
O
L
E
T
C
E
C
F
U
3.
O
T
Datos
de
interés
El concepto de triángulos semejantes se
puede usar para estimar la dimensión de un
lago, la altura de una
pirámide y la distancia
entre planetas.
D
C
A
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Semejanza
G
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M AT E R I A L E S
regla métrica
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Sección de problemas
I
Si las figuras son semejantes, la razón entre cada par de lados correspondientes
debe ser la misma. Pero si las razones entre los lados correspondientes son
iguales entre sí, ¿entonces significa que las figuras deben ser semejantes?
Ahora vas a explorar esta pregunta.
1.
A continuación se muestran dos cuadriláteros.
Y
W
Z
E
D
a.
F
Copia y completa la tabla para el cuadrilátero DEFG.
Descripción
Lado
lado más largo
DG
segundo lado más largo FG
tercer lado más largo
DE
lado más corto
EF
b.
Longitud (cm)
Ahora completa la tabla para el cuadrilátero WXYZ.
Descripción
Lado
lado más largo
XY
segundo lado más largo WX
tercer lado más largo
YZ
lado más corto
ZW
c.
X
G
Longitud (cm)
Calcula la razón entre el lado más largo del cuadrilátero WXYZ y el
lado más largo del cuadrilátero DEFG. Calcula del mismo modo las
razones de los tres pares de lados restantes:
• segundo lado más largo a segundo lado más largo
• tercero lado más largo a tercero lado más largo
• lado más corto a lado más corto
d.
¿Qué notas en las razones de la parte c? ¿Los cuadriláteros WXYZ y
DEFG son semejantes? Explica tu respuesta.
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 459
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Page 460
2.
A continuación se muestra un tercer cuadrilátero.
C
T
A
P
a.
Completa la tabla para el cuadrilátero CAPT.
Descripción
Lado
AP
lado más largo
segundo lado más largo CA
tercer lado más largo
TP
lado más corto
TC
3.
b.
Calcula la razón del lado más largo del cuadrilátero CAPT a la longitud del lado más largo del cuadrilátero DEFG. Calcula de la misma
manera las razones entre los tres lados restantes.
c.
¿Qué notas en las razones que calculaste en la parte b? ¿El
cuadrilátero CAPT es semejante al cuadrilátero DEFG? Explica.
La razón entre las longitudes de los lados correspondientes de los
cuadriláteros Y y Z y el Rectángulo A es 1:2.
Datos
de
Z
A
interés
Alaska, el estado más
grande de EE.UU., tiene
un área de 656,400
millas cuadradas;
Rhode Island, el estado
más pequeño, tiene un
área de 1,545 millas
cuadradas. La razón de
sus áreas es
1,545:656,400 ó
alrededor de 1:425.
¡Esto significa que
Rhode Island cabe 425
veces en Alaska!
Longitud (cm)
Y
a.
¿Son ambos, los cuadriláteros Y y Z, semejantes al Rectángulo A?
Explica.
b.
¿En qué se diferencia el cuadrilátero Y del cuadrilátero Z?
c.
¿Qué otra información, además de tener lados correspondientes que
tengan una misma razón, puede ayudar a determinar si dos polígonos
son semejantes?
&
Comparte
resume
1. Describe
2. ¿El
con tus propias palabras razones equivalentes.
hecho de que los lados correspondientes tengan la misma razón es
suficiente para garantizar que dos polígonos sean semejantes? Explica
tu respuesta.
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Semejanza
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Investigación 4
Identifica polígonos
semejantes
En la Investigación 3, aprendiste que cuando dos figuras son semejantes, la
razón entre sus lados correspondientes es siempre la misma. Otra manera de
decirlo es que las longitudes de lados correspondientes comparten una razón
común.
Recuerda
Dos ángulos son congruentes si tienen la
misma medida.
También aprendiste que los ángulos son importantes para determinar si dos
figuras son semejantes. Sin embargo, es probable que aún no sepas qué tipo
de relación existe entre ángulos correspondientes. En efecto, para que dos
polígonos sean semejantes sus ángulos correspondientes deben ser congruentes. No vamos a demostrar este hecho en este momento, pero lo vamos a usar
a través del resto de este capítulo.
Para comprobar si dos polígonos son semejantes, sólo necesitas verificar que
los lados correspondientes compartan una razón común y que los ángulos
correspondientes sean congruentes.
J
M AT E R I A L E S
Sección de problemas
• regla
• transportador
Determina si cada par de figuras son semejantes entre sí. Si no son
semejantes, explica por qué.
1.
A
B
D
C
2.
E
F
H
G
M
I
N
L
J
O
P
K
3.
G
A
B
F
C
E
H
L
I
D
K
LECCIÓN 7.1
J
¿Son parecidas? 461
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8:06 AM
Page 462
4.
R
S
W
Q
Z
X
Y
T
5.
J
D
E
N
F
H
G
K
M
L
Si dos figuras no tienen segmentos de recta ni ángulos que se puedan medir,
¿cómo puedes determinar si son semejantes? Un método es mediante el examen de segmentos y ángulos correspondientes importantes, aún cuando no
estén dibujados. Por ejemplo, en las siguientes dos espirales se puede medir la
altura y el ancho de cada figura (representados con líneas punteadas) y verificar si comparten una razón común.
El sólo examen de estos dos segmentos no te asegurará que ambas figuras
sean semejantes, pero sugiere que sí lo son. En cambio, si las razones no son
equivalentes, entonces sabrás con certeza que las figuras no son semejantes.
462 C A P Í T U L O 7
Semejanza
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M AT E R I A L E S
regla
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Sección de problemas
K
Trabaja con un(a) compañero(a). Traten de determinar si cada par de figuras
es o podría ser semejante. Expliquen por qué.
1.
2.
3.
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
&
Comparte
resume
Sorprende a tu compañero(a) dibujando dos pentágonos, uno de ellos semejante a este pentágono y el otro no. Luego, intercambia dibujos con tu compañero(a) y trata de determinar cuál de los pentágonos que tu compañero(a)
dibujó es semejante al original. Explica cómo lo averiguaste. Comprueba con
tu compañero(a) si identificaste correctamente el pentágono semejante.
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 463
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8:07 AM
Page 464
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
2.
3.
Observa los triángulos siguientes. No hagas ninguna medición.
a.
Predice sólo a partir de la observación si son congruentes entre sí.
b.
Usa algún método para determinar si los triángulos son congruentes y
así verificar tu predicción. ¿Son congruentes? ¿Cómo lo sabes?
Observa los triángulos siguientes. No hagas ninguna medición.
a.
Predice sólo a partir de la observación si son congruentes entre sí.
b.
Usa algún método para determinar si los triángulos son congruentes y
así verificar tu predicción. ¿Son congruentes? ¿Cómo lo sabes?
Examina los siguientes rectángulos.
A
C
B
D
464 C A P Í T U L O 7
Semejanza
a.
Observa los rectángulos y predice cuál es congruente al rectángulo A.
b.
Usa algún método para determinar si tu selección fue correcta. ¿Cuál
rectángulo es congruente al rectángulo A? ¿Cómo lo sabes?
impactmath.com/self_check_quiz
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4.
Examina las figuras siguientes.
W
X
Y
5.
Z
a.
Observa las siguientes figuras y, sin hacer ninguna medición, predice
cuál es congruente a la figura W.
b.
Usa algún método para determinar si tu selección fue correcta. ¿Cuál
figura es congruente a la figura W? ¿Cómo lo sabes?
El rectángulo R mide 4.5 cm por 15 cm.
4.5 cm
R
15 cm
Dibuja y rotula un rectángulo cuyos lados midan un tercio de la
longitud de los lados del rectángulo R.
b. Dibuja y rotula un rectángulo cuyos lados sean 3 cm más cortos que
los lados del rectángulo R.
c. ¿Cuál de los rectángulos es semejante al rectángulo R?
a.
6.
En la Investigación 2, exploraste dos métodos para modificar rectángulos y triángulos. Sólo uno de ellos permite obtener figuras semejantes.
En este ejercicio, vas a examinar si alguno de los dos métodos permite
obtener una figura semejante si la figura inicial es un cuadrado.
a. Dibuja un cuadrado que mida 6 cm por lado. Este cuadrado será el
cuadrado original.
b. Haz un nuevo cuadrado cuyos lados midan una tercera parte de los
lados del cuadrado.
c. Haz un nuevo cuadrado cuyos lados midan 3 cm menos que los lados
del cuadrado original.
d. ¿Cuál de los métodos usados en las partes b y c permite obtener un
cuadrado semejante al original? Explica.
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 465
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8:08 AM
Page 466
Determina si cada par de razones es equivalente entre sí. Explica cómo lo
sabes.
Datos
de
interés
Se estima que aproximadamente 26 de los
270 millones de habitantes en los Estados
Unidos nacieron en
otro país: una razón de
26:270 ó aproximadamente 1 en 10.
7.
1:3 y 9:11
9.
3:4 y 6:8
1
8. 2
10.
y 23
a:b y 2a:2b
Escribe dos razones que sean equivalentes a cada razón.
11.
6
12. 1
0
2:3
13.
50:50
Los ejercicios 14 y 15 muestran un par de figuras semejantes. Rotula todos
los pares de lados y ángulos correspondientes.
15. T
14. M
L
S
N
R
O
Y
H
Q
A
L
P
M
16.
Examina los siguientes triángulos.
B
A
D
C
Observa los triángulos y, sin hacer ninguna medición, predice cuál es
semejante al triángulo A.
b. Haz algunas mediciones para determinar si tu selección fue correcta.
¿Qué triángulo es semejante al triángulo A?
a.
17.
Examina los siguientes cuadriláteros.
X
Z
W
Y
Observa los cuadriláteros y, sin hacer ninguna medición, predice cuál
es semejante al cuadrilátero Z.
b. Haz algunas mediciones para determinar si tu selección fue correcta.
¿Qué cuadrilátero es semejante al cuadrilátero Z?
a.
466 C A P Í T U L O 7
Semejanza
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8:08 AM
&
amplía
Conecta
Page 467
18.
En la Sección de problemas C aprendiste que el cálculo del área no era
un buen método para comprobar si unos rectángulos eran congruentes
entre sí.
a.
Menciona tipos de figuras para las cuáles el cálculo del área sea una
buena prueba para determinar congruencia. Es decir, si dos figuras de
ese tipo tienen la misma área, entonces son congruentes.
b.
Diseña tu propia prueba de congruencia que sirva para determinar si
dos rectángulos son congruentes.
Explica qué medirías en cada par de figuras para comprobar si son congruentes y qué buscarías en las medidas.
19.
dos círculos
21.
Una manera de determinar si dos figuras son congruentes es ponerlas
una encima de la otra. Sin embargo, esta prueba no se puede usar con
figuras de tres dimensiones.
20.
dos triángulos equiláteros
a.
¿Cómo averiguarías si dos cajas de cereal son congruentes?
b.
¿Cómo averiguarías si dos latas cilíndricas de sopa son congruentes?
22. Reto
La palabra bisecar significa dividir en dos partes iguales. Los
siguientes pasos te muestran cómo bisecar el JKL usando un compás y una regla.
J
X
X
K
En t u s
Y
propias
palabras
Si dos pentágonos
son semejantes,
¿entonces son
congruentes?
Explica por qué. Si
dos pentágonos
son congruentes,
¿entonces son
semejantes?
Explica por qué.
J
J
Paso 1
Paso 1
L
K
X
Y
L
K
Pasos 2–3
H
Y
L
Paso 4
Coloca el compás en el punto K y dibuja un arco que
interseque ambos lados del ángulo. Rotula las intersecciones X y Y.
Pasos 2–3 Con el compás en el punto X, dibuja un arco en el interior del JKL. Usando esta graduación, coloca el compás en el punto Y y dibuja otro arco.
Paso 4
Rotula la intersección de estos arcos H. Luego dibuja
KH es la bisectriz del JKL.
KH. a. Describe
qué es cierto acerca de JKH y HKL.
b.
Dibuja varios ángulos y luego bisécalos usando los pasos
anteriores.
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 467
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8:09 AM
Page 468
23.
Los mapas están diseñados para semejar la distribución de las calles de
una ciudad. El mapa siguiente muestra una sección de Londres.
a.
24.
468 C A P Í T U L O 7
Semejanza
La escala del mapa se muestra a la derecha. ¿Cuántas
pulgadas en el mapa equivalen a 1,000 pies en Londres?
Mide al 116 de pulgada más cercana.
1,000 pies
b.
¿Cuál es la distancia en el mapa entre la calle Holles y la calle
Newman, a lo largo de la calle Oxford?
c.
¿Cuál es la distancia real (en pies) entre la calle Holles y la calle
Newman, a lo largo de la calle Oxford?
d.
¿Cuál es la distancia en el mapa entre Bruton P1. y Piccadilly, a lo
largo de la calle New Bond?
e.
¿Cuál es la distancia real entre Bruton P1. y Piccadilly, a lo largo de
la calle New Bond?
Tienes dos polígonos que sabes son semejantes.
a.
¿Qué medirías para determinar si los dos polígonos además de ser
semejantes son congruentes?
b.
¿Qué necesitas saber acerca de las mediciones que hiciste para asegurar que los polígonos son congruentes? Explica.
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25. Sinopsis
Mariko propuso esta conjetura: “Si tienes dos rectángulos
semejantes cuyos lados tienen una razón común de 1 a 2, la razón entre
sus áreas también será 1 a 2. Esto significa que el área del rectángulo
mayor será el doble del área del rectángulo menor.”
¿Tiene razón Mariko? De ser así, explica por qué. De no ser así, escribe
un contraejemplo para el cual la conjetura no sea correcta.
Recuerda
Las razones se pueden
escribir de varias
maneras:
• uno a dos
• 1a2
• 1:2
• 21
26.
27.
Repaso
mixto
En la Investigación 1, examinaste reglas para comprobar si dos figuras
eran congruentes entre sí. Para cada par de figuras de este ejercicio,
describe una prueba que te permitiría determinar si son semejantes.
a.
dos círculos
b.
dos cubos
c.
dos cilindros
En la Investigación 4, aprendiste que los polígonos semejantes tienen
lados correspondientes que comparten una razón común y ángulos
correspondientes que son congruentes. Sin embargo, existen algunos
polígonos especiales para los cuales se pueden aplicar pruebas de
semejanza más sencillas. Busca una prueba de semejanza más sencilla
para cada uno de los siguientes pares especiales de polígonos.
a.
dos rectángulos
b.
dos cuadrados
Evalúa cada expresión.
28.
3
1
31. 8
34.
20
38
5116 118
29.
4
5.5
30.
2
6
32. 1
1
121
4
33. 7
3
35. 2
4
23
4
36. 3
1
5 8
2
652
Expresa cada respuesta en notación científica. Antes de sumar o restar,
asegúrate de modificar uno de los números de modo que ambos tengan el
mismo exponente.
37.
6 108 3 107
38.
3.6 104 4.5 103
39.
Arnaldo escribió 5b 6 para representar el número total de bloques en
5 bolsas más 6 bloques individuales. Si hay un total de 66 bloques,
¿cuántos bloques contiene cada bolsa?
LECCIÓN 7.1
¿Son parecidas? 469
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Page 470
Álgebra Reduce cada expresión.
40.
5p (6p 12)
41.
2x (3x 1) (2x 8)
42.
(4x 1) (3 6x) 2
43.
3g 2(h 1) (4g 6)
44.
(20a 60b) 3(a 2b) 5
45.
2d(d 1) 3d(2 4d)
Geometría Usa el teorema de Pitágoras o la fórmula de la distancia para
calcular la longitud de cada segmento.
46.
(6, 0) a (0, 8)
47.
(3, 1) a (2, 5)
48.
(8, 3) a (3, 8)
49.
(2, 3) a (1.5, 4)
50.
Observa los patrones de los cuadrados.
Etapa 1
470 C A P Í T U L O 7
Semejanza
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
a.
¿Cuántos cuadrados añadiste para pasar de la etapa s a la etapa
s 1?
b.
¿Cuántos cuadrados se necesitan en la etapa 5? ¿En la etapa 7?
c.
¿Dónde se colocaron los nuevos cuadrados?
d.
¿Cuántos cuadrados en total hay en cada etapa mostrada en la figura?
e.
¿Qué etapa contiene 99 cuadrados?
f.
Escribe una expresión que sirva para calcular el número de cuadrados
en la etapa s.
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Semejanza y
congruencia de
polígonos
¿Con qué frecuencia ves polígonos? Las señales de tráfico, los libros y
carteles, las cajas y las puertas y ventanas; todos ellos tienen forma de polígonos.
El polígono más común es probablemente el rectángulo, pero los triángulos
son los polígonos más simples porque tienen el menor número posible de
lados. Las figuras de dos lados como las siguientes no son cerradas y, en
consecuencia, no son polígonos.
Todo polígono se puede dividir en triángulos. Debido a esto, tus conocimientos sobre triángulos te pueden servir para estudiar otros polígonos.
M AT E R I A L E S
Explora
• tiras de enganche
y tachuelas
• transportador
Construye un triángulo equilátero usando tiras de enganche.
Para asegurar que todos los lados tengan la misma longitud, cuenta el
número de espacios entre los agujeros de un vértice a otro. Cada espacio
representa 1 unidad. Los tres lados del triángulo deberán tener el mismo
número de unidades.
Mide cada ángulo de tu triángulo. (Quizás te sea más fácil medir los
ángulos si dibujas el triángulo interno en una hoja de papel.)
Compara tu triángulo con los que hicieron tus compañeros de clase.
¿Todos los triángulos son congruentes entre sí? ¿Todos son semejantes
entre sí? ¿Cómo lo sabes?
LECCIÓN 7.2
Semejanza y congruencia de polígonos 471
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Investigación 1
Lados, lados, lados
Si dos figuras tienen lados correspondientes con una misma longitud: por
ejemplo: 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm y 6 cm, ¿se puede concluir que ambas
figuras son congruentes?
M AT E R I A L E S
tiras de enganche y
tachuelas
Sección de problemas
A
Usa tiras de enganche para construir las figuras que se describen a continuación. Traza el interior de cada polígono con un lápiz y rotula cada lado con su
longitud. Dentro de cada figura escribe el número del problema al que
corresponde para poder referirlas más tarde.
1. Haz un cuadrilátero cuyos lados midan 4, 5, 6 y 7 unidades de longitud.
Mantén la longitud de los lados en ese orden.
2. Haz un pentágono cuyos lados midan 4, 5, 5, 6 y 6 unidades de longitud.
Mantén la longitud de los lados en ese orden.
3. Haz un cuadrilátero cuyos lados midan 5 unidades de longitud.
4. Haz un pentágono cuyos lados midan 6, 5, 6, 5 y 6 unidades de longitud.
Mantén la longitud de los lados en ese orden.
5. Compara tus figuras con las que hicieron tus compañeros de clase. ¿Hay
figuras congruentes?
Todos los polígonos que construiste en la Sección de problemas A tenían más
de tres lados. Si ahora todos ustedes se dedican a construir triángulos, ¿crees
que las figuras que obtengan van a ser congruentes?
M AT E R I A L E S
tiras de enganche y
tachuelas
472 C A P Í T U L O 7
Sección de problemas
B
Usa tiras de enganche para
construir cada triángulo.
Traza el interior de los triángulos y escribe dentro de la
figura el número del problema al
que corresponde.
1. Haz un triángulo cuyos lados
midan 3, 4 y 5 unidades de
longitud.
2. Haz un triángulo cuyos lados midan
4, 5 y 6 unidades de longitud.
3. Haz un triángulo con dos lados de
4 unidades y un lado de 5 unidades.
4. Haz un triángulo con dos lados de 4 unidades y un lado de 6 unidades.
5. Compara tus triángulos con las que hicieron tus compañeros de clase.
¿Todos hicieron figuras congruentes?
Semejanza
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&
Comparte
resume
1. Puedes
comprobar si dos polígonos cualesquiera son congruentes,
midiendo los lados y los ángulos de ambas figuras. Haz una conjetura
sobre cuál podría ser la manera más fácil de comprobar congruencia,
si los polígonos son triángulos.
2. Anota
un ejemplo para demostrar que tu prueba no se aplica para
otros polígonos.
Investigación 2
Y más lados
Ya aprendiste que si mides todos los lados y ángulos de dos o más polígonos,
puedes demostrar si son congruentes. En el caso de los triángulos, sin embargo,
sólo se necesita medir los lados. Esta sencilla prueba se conoce como prueba
de congruencia: lado, lado, lado o LLL, para abreviar. Al realizar esta prueba,
las figuras congruentes tienen lados correspondientes de igual longitud, mientras que las figuras semejantes tienen lados correspondientes que comparten
una razón común.
Cuando comparaste figuras para determinar si eran semejantes, pudiste haber
medido todos sus lados y ángulos, como hiciste para determinar congruencia.
En esta investigación, indagarás si existe alguna prueba de semejanza que sea
equivalente a la prueba de congruencia LLL.
M AT E R I A L E S
tiras de enganche y
tachuelas
Sección de problemas
C
Construye triángulos y cuadriláteros junto con tu compañero. Cada uno
deberá hacer una de las figuras de cada problema. Prueba si tu compañero y
tú pueden construir figuras que definitivamente no sean semejantes.
Traza el interior de cada figura. Si pudiste construir figuras que no fueran
semejantes, explica cómo sabes que no son semejantes. Si solamente pudiste
construir figuras semejantes, indica cómo sabes que son semejantes.
1. Hagan un triángulo cuyos lados midan 3, 2 y 2 unidades de longitud y
otro cuyos lados midan 6, 4 y 4 unidades de longitud.
2. Hagan un cuadrilátero cuyos lados midan 8, 6, 8 y 6 unidades de longitud y otro cuyos lados midan 4, 3, 4 y 3 unidades de longitud.
Mantengan la longitud de los lados en el orden dado.
3. Hagan un triángulo cuyos tres lados midan 2 unidades de longitud y
otro cuyos tres lados midan 6 unidades de longitud.
4. Hagan un cuadrilátero cuyos cuatro lados midan 2 unidades de longitud
y otro cuyos cuatro lados midan 6 unidades de longitud.
5. Hagan un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5 unidades de longitud y
otro cuyos lados midan 4, 5 y 6 unidades de longitud.
LECCIÓN 7.2
Semejanza y congruencia de polígonos 473
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Page 474
&
Piensa comenta
Recuerda
No puedes asegurar
que una conjetura sea
verdadera hasta que
hayas realizado la
demostración.
¿Puedes determinar si cada par de las figuras siguientes es semejante, si
sólo conoces la longitud de sus lados? De ser así, haz una conjetura sobre
la manera de realizar una prueba de semejanza. De no ser así, anota un
contraejemplo que demuestre que esta información es insuficiente.
1. dos triángulos
2. dos cuadriláteros
Sección de problemas
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
D
Algunos de los triángulos siguientes son semejantes. Trabaja con un compañero para agrupar los triángulos de modo que cada conjunto contenga sólo
aquéllos que sean semejantes entre sí.
1.
2.
3.
4.
6.
5.
Datos
de
interés
Los marineros han
usado desde hace
mucho tiempo
triángulos imaginarios
formados por la nave,
el horizonte y los
cuerpos celestiales
para determinar su
posición en los mares.
8.
7.
10.
11.
9.
12.
&
Comparte
resume
En relación a la congruencia y la semejanza, ¿en qué difieren los triángulos
de otros polígonos?
474 C A P Í T U L O 7
Semejanza
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Investigación 3
Ángulos, ángulos, ángulos
Como aprendiste en las Investigaciones 1 y 2, sólo se necesita medir los lados
de dos triángulos para demostrar si son congruentes o semejantes. Sin embargo, con otros polígonos se necesita también información sobre sus ángulos.
¿Qué ocurriría si la única información que tuvieras sobre dos polígonos fuera
la medida de sus ángulos?
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
Sección de problemas
E
Trabaja con un compañero para dibujar una figura que se ajuste a cada
descripción. Anota el número del problema
dentro de cada figura.
1.
Un triángulo cuyos ángulos midan 30°,
60° y 90°.
2.
Un cuadrilátero cuyos ángulos midan 90°.
3.
Un triángulo con dos ángulos de 60°.
4.
Un cuadrilátero con tres ángulos de 80°.
5.
Un triángulo con dos ángulos de 45°.
6.
Un triángulo con un ángulo de 110° y un ángulo de 25°.
7.
Un triángulo con un ángulo de 90°.
8.
Compara tus figuras con las hechas por el resto de la clase. ¿En qué
problemas todas las figuras fueron semejantes?
&
Comparte
resume
1. ¿Puedes
determinar si dos triángulos son semejantes si sólo conoces
la medida de sus ángulos? De ser así, haz una conjetura sobre el tipo
de prueba que usarías. De no ser así, anota un contraejemplo que
demuestre que dicha información es insuficiente.
2. ¿Tu
prueba servirá con cuadriláteros? De ser así, explica por qué. De
no ser así, anota un contraejemplo.
3. ¿Puedes
determinar si dos triángulos son congruentes si conoces sólo
la medida de sus ángulos? De ser así, haz una conjetura sobre el tipo
de prueba que usarías. De no ser así, anota un contraejemplo.
LECCIÓN 7.2
Semejanza y congruencia de polígonos 475
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8:12 AM
Page 476
Investigación
Construye torres
de laboratorio
Los arquitectos necesitan saber mucho de geometría y las propiedades de las
figuras. Algunos de los conocimientos que has adquirido en esta lección te
pueden servir para construir un modelo, igual que si fueras un arquitecto.
El reto
M AT E R I A L E S
• mondadientes
• mini malvaviscos
(u otros
conectores)
• reglas
Trabaja junto con tu grupo durante un intervalo de 10 minutos. Traten de
construir la estructura sin soporte más alta que puedan. Una estructura sin
soporte no está apoyada en nada; se yergue por sí misma. Después de 10
minutos, midan la altura de la estructura, desde la mesa hasta su punto más
alto.
Evalúa tu trabajo
1.
¿Qué altura tiene su estructura?
2.
Observa las estructuras construidas por otros grupos. ¿Qué estrategia
usaron los qué construyeron las estructuras más altas?
3.
¿Cuáles son los rasgos comunes de las estructuras que tienen problemas
para mantenerse erguidas? ¿Cuáles son los rasgos comunes de las
estructuras más fuertes?
La prueba de congruencia LLL que aprendiste anteriormente sólo se aplica a
triángulos porque los triángulos son los únicos polígonos que son rígidos.
Esto significa que si haces un triángulo con lados que no se puedan doblar, no
vas a poder obtener una figura diferente si ejerces presión sobre los lados o
los ángulos del triángulo. En cambio, existe un número infinito de maneras de
cambiar la forma de otros polígonos, al ejercer presión sobre sus lados,
porque los vértices actúan como bisagras.
La presión ejercida sobre los lados de un triángulo no
cambia la forma del triángulo. La presión ejercida sobre
los lados de otros polígonos sí cambia su forma.
476 C A P Í T U L O 7
4.
¿El concepto de rigidez te ayuda a explicar qué estructuras parecen ser
más fuertes? De ser así, explica por qué.
5.
Si tuvieras la oportunidad de crear otra estructura, ¿qué estrategias
usarías?
Semejanza
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Pruébalo otra vez
Prueba con otro conjunto de materiales tus estrategias de construcción,
durante 10 minutos nuevamente. Esta vez, tu meta será construir una estructura erguida más alta que la lograda en el primer intento.
6.
¿Qué altura tiene tu segunda estructura?
7.
¿Qué estrategia usaste esta vez?
¿Qué aprendiste?
8.
¿Por qué crees que los edificios tienen soportes triangulares en las
paredes?
9.
¿Cuál de las siguientes estructuras es más probable que permanezca
erguida durante más tiempo? ¿Por qué?
a.
10.
b.
c.
El capataz de un equipo encargado
de demoler una construcción está pensando
en decirles a los miembros del equipo que
tumben primero las paredes delantera y
trasera, dejando una estructura como la
siguiente. ¿Es una decisión inteligente?
¿Por qué?
LECCIÓN 7.2
Semejanza y congruencia de polígonos 477
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Page 478
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
En los ejercicios 1 al 3 determina si las figuras descritas deben ser congruentes,
es probable que sean congruentes o definitivamente no son congruentes.
1.
dos cuadriláteros cuyos lados miden 4 cm de largo
2.
dos triángulos cuyos lados miden 4 cm de largo
3.
dos cuadrados cuyos lados miden 4 cm de largo
Los siguientes pares de triángulos son congruentes entre sí. Calcula los
valores de las variables.
4.
4 cm
x
4 cm
y
5 cm
3 cm
5.
1 cm
a
c
b
1 cm
1 cm
6.
9 cm
2 cm
8 cm
m
n
9 cm
7.
478 C A P Í T U L O 7
Semejanza
A continuación se muestra la longitud de los lados de seis triángulos.
Indica qué triángulos son semejantes a un triángulo cuyos lados miden
2 cm, 4 cm y 5 cm.
a.
1 pulg, 7 pulg, 4 pulg
b.
5 cm, 4 cm, 2 cm
c.
8 pulg, 4 pulg, 10 pulg
d.
400 cm, 500 cm, 200 cm
e.
20 pies, 30 pies, 40 pies
f.
1 cm, 2 cm, 2.5 cm
impactmath.com/self_check_quiz
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En los ejercicios 8 al 17, determina si las figuras descritas deben ser
semejantes, es probable que sean semejantes o definitivamente no son
semejantes.
&
amplía
Conecta
8.
dos cuadrados
9.
dos rectángulos
10.
dos triángulos
11.
un cuadrado cuyos lados miden 2 cm y un rectángulo que mide 2 cm de
largo y 1 cm de ancho
12.
un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 3 cm y 4 cm, y un triángulo cuyos
lados miden 2 pies, 3 pies y 4 pies
13.
un triángulo cuyos lados miden 2 cm y un triángulo cuyos lados miden
también 2 cm de largo
14.
dos cuadriláteros cuyos ángulos son rectos
15.
dos triángulos, cada uno de ellos con un ángulo recto.
16.
dos triángulos con tres ángulos de 60°
17.
dos triángulos con dos ángulos de 45°
18.
Sally cree si dos triángulos tienen dos lados correspondientes con una
misma longitud y un mismo ángulo, entonces deben ser congruentes.
Para comprobar su conjetura, primero dibuja triángulos de acuerdo con
las descripciones incluidas en las partes a, b y c. Dibuja tantos triángulos como puedas.
19.
a.
La longitud de dos de los lados es igual a 4 y 7; el ángulo entre los
lados mide 115°.
b.
La longitud de dos de los lados es igual a 5 y 8; el ángulo entre los
lados mide 35°.
c.
La longitud de dos de los lados es igual a 4 y 5; uno de los ángulos,
diferente al ángulo que forman los dos lados, mide 45°.
d.
¿Estás de acuerdo con la conjetura de Sally? Es decir, si dos triángulos tienen dos lados y un ángulo correspondiente congruentes,
¿entonces los triángulos deben ser congruentes? Explica.
Supón que tienes dos círculos. Decide si deben ser semejantes, es
probable que sean semejantes o definitivamente no son semejantes.
LECCIÓN 7.2
Semejanza y congruencia de polígonos 479
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8:14 AM
Page 480
20.
Considera el triángulo T.
2.5
T
1
3
a.
Anota la longitud de los lados de tres diferentes triángulos que sean
semejantes al triángulo T.
b.
¿Un triángulo cuyos lados midan 7.5, 3 y 9 unidades es semejante al
triángulo T? Explica.
c.
¿Un triángulo cuyos lados midan 4, 12 y 8 unidades es semejante al
triángulo T? Explica.
d.
Si un triángulo es semejante al triángulo T y su lado más corto mide
s unidades de longitud, ¿cuánto medirán sus otros dos lados?
e. Reto
Si un triángulo es semejante al triángulo T y su lado más largo
mide s unidades de longitud, ¿cuánto medirán sus otros dos lados?
21.
Supón que formas un cuadrilátero usando otro par de triángulos equiláteros, semejantes a los anteriores. Determina cuál de los siguientes
enunciados acerca de los cuadriláteros anteriores es verdadero: las dos
figuras deben ser semejantes, es probable que sean semejantes o
definitivamente no son semejantes.
En t u s
propias
palabras
Describe todas las
maneras que
recuerdes para
determinar si dos
figuras son congruentes o semejantes. Asegúrate
de describir las
pruebas especiales
o métodos más
fáciles que se aplican a figuras
especiales.
480 C A P Í T U L O 7
Es posible combinar dos triángulos equiláteros congruentes para formar
un cuadrilátero.
22.
Dibuja un triángulo grande que ocupe la mayor parte de una hoja de
papel. Luego sigue las instrucciones siguientes. (El ejemplo sólo se
incluye para ayudarte a seguir las instrucciones. Tu triángulo puede ser
diferente.)
Marca el punto medio de cada lado de tu triángulo.
Une los puntos medios para formar cuatro triángulos más pequeños,
uno de ellos deberá estar invertido. Sombrea ese triángulo central.
Semejanza
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a.
Ahora tienes cuatro triángulos pequeños. ¿En qué se diferencian del
triángulo más grande con que comenzaste? (Piensa en términos de
semejanza y congruencia.)
b.
¿Qué diferencias entre sí presentan los cuatro triángulos pequeños?
Localiza los puntos medios de los lados de cada triángulo que no esté
sombreado. Une los puntos medios de cada uno de estos triángulos.
Luego sombrea los nuevos triángulos invertidos.
c.
Repaso
mixto
Ahora tienes 13 triángulos dentro del triángulo original. ¿Todos los
triángulos son semejantes entre sí? ¿Algunos de ellos son congruentes?
Evalúa sin usar una calculadora.
23.
49.073 56.2
3
26. 7
49
24.
0.98 2.71
2
27. 3
17
25.
400.06 2.2
32
28. 3
5
730
Factoriza las siguientes expresiones.
29.
3p 3
a
30. 7
17
31.
4a2b 16a3
34.
1.7 10? 17
Escribe el exponente que falta.
32.
6 10? 600
35.
Supón que estás usando una máquina fotocopiadora para ampliar una
fotografía.
36.
33.
0.2 10? 0.002
a.
Tu fotografía mide 10 cm de ancho y la amplías a 110%. ¿Cuánto
mide de ancho la copia de la fotografía?
b.
Amplia la copia la misma magnitud. ¿Cuál será el ancho de la copia
final?
Supón que estás usando una máquina fotocopiadora para reducir una
fotografía.
a.
Tu fotografía mide 10 cm de ancho y la reduces un 85% de su
tamaño original. ¿Cuánto mide de ancho la copia de la fotografía?
b.
Ahora reduce la fotocopia la misma magnitud. ¿Cuánto medirá de
ancho la copia final?
LECCIÓN 7.2
Semejanza y congruencia de polígonos 481
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Área y perímetro
de figuras
semejantes
Ya has aprendido varias pruebas para identificar figuras semejantes y conoces
algunas maneras de construir figuras semejantes. ¿Cuales son las diferencias
en área y perímetro entre figuras semejantes? En esta lección, aprenderás
sobre este tema.
&
Piensa comenta
Combina nueve copias de un triángulo
equilátero para formar un triángulo más grande.
¿El triángulo grande es semejante al triángulo
pequeño? ¿Cómo lo sabes?
Si el área del triángulo pequeño mide 1 unidad
cuadrada, ¿cuánto medirá el área del triángulo
grande?
Supón que colocas un cordel siguiendo el perímetro de un triángulo
pequeño. ¿Cuántas veces más grande será un cordel que siga el
perímetro del triángulo grande?
Investigación 1
Homotecias o transformaciones de semejanza de
triángulos y rectángulos
Ya has aprendido que si dos polígonos son semejantes, entonces las longitudes de los lados correspondientes comparten una razón común. Esto significa que es posible multiplicar la longitud de los lados de una de las figuras por
un número determinado y obtener la longitud de los lados de la otra figura.
V O C A B U L A R I O
factor de escala
homotecia o
transformación
de semejanza
482 C A P Í T U L O 7
Dadas las figuras semejantes A y B, el factor de escala de la figura A a la figura B es el número por el cual se multiplica la longitud de los lados de la figura
A, para obtener la longitud de los lados de la figura B. El factor de escala entre
el triángulo pequeño y el triángulo grande de la figura anterior es 3. Se dice que
la figura B es una homotecia o transformación de semejanza de la figura A.
Al realizar una transformación de semejanza en una figura, se crea otra figura
que es semejante, pero no necesariamente congruente a la original.
Semejanza
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M AT E R I A L E S
• tijeras
• regla
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Sección de problemas
A
Los lados del siguiente triángulo miden 1 unidad de largo. Vas a
construir triángulos equiláteros más grandes usando copias de este
pequeño triángulo.
1.
Traza y corta varias copias del triángulo pequeño.
a. Usa los triángulos para construir triángulos más grandes cuyos lados
midan las dimensiones indicadas en la tabla. Haz un bosquejo de
cada triángulo grande que construyas.
b. Copia y completa la tabla.
Longitud de los Número de triángulos
lados del
pequeños en el
triángulo grande
triángulo grande
1
2
3
4
Factor de escala
(pequeño a
grande)
Haz una tabla nueva de tres columnas. En la primera columna incluye
los factores de escala calculados en el problema 1. Completarás las otras
dos columnas en las partes a y b.
a. Primero, calcula el perímetro de cada triángulo grande que
construiste. Anota en la segunda columna de la tabla
la razón del perímetro del triángulo pequeño al
perímetro del triángulo grande correspondiente.
Escribe cada razón usando los números enteros
más pequeños posibles. Por ejemplo el perímetro del
triángulo siguiente mide 9 unidades, entonces la razón de
los perímetros es 3:9 cantidad equivalente a 1:3.
b. Ahora, usa el área del triángulo pequeño como unidad para calcular
el área de cada triángulo grande. Por ejemplo el área del triángulo
grande de la figura anterior, mide 9 triángulos pequeños. En la tercera
columna de la tabla anota la razón entre las áreas.
3. ¿Qué relación hay entre el perímetro del triángulo pequeño y el
perímetro de los triángulos grandes?
4. ¿Qué relación hay entre el área del triángulo pequeño y el área de los
triángulos grandes?
5. Hasta ahora has realizado transformaciones de semejanza en un triángulo pequeño para obtener un triángulo grande. Sin embargo, cada par de
figuras semejantes de diferente tamaño tiene dos factores de escala asociados. Imagina que reduces la escala de cada triángulo grande hasta
que alcance el tamaño del triángulo pequeño.
a. ¿Cuál será en cada caso el factor de escala de mayor a menor?
b. ¿Qué relación hay entre el factor de escala de menor a mayor y el
factor de escala de mayor a menor?
2.
LECCIÓN 7.3
Área y perímetro de figuras semejantes 483
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Sección de problemas
B
Cada rectángulo siguiente está dividido en rectángulos más pequeños que son
congruentes entre sí y semejantes al rectángulo grande.
En los problemas 1 al 5, calcula el factor de escala del rectángulo pequeño al
rectángulo mayor. Luego calcula el perímetro y el área de los diferentes rectángulos. Anota las respuestas en dos tablas cuyos títulos sean los siguientes.
Número de
problema
Factor de escala
Perímetro del
(pequeño a grande) rectángulo pequeño
Perímetro del
rectángulo grande
Número de
problema
Factor de escala
Área del
(pequeño a grande) rectángulo pequeño
Área del
rectángulo grande
1.
2.
1 unidad
3.
2 unidades
2
unidades
1
unidad
4. 2 unidades
1
unidad
1 unidad
3
unidades
5.
3 unidades
2
unidades
&
Comparte
resume
1. Un
rectángulo con perímetro p y área A es ampliado por el factor f.
Haz una conjetura sobre cómo calcular el perímetro y el área del
nuevo rectángulo.
2. Un
triángulo con perímetro p y área A es ampliado por el factor f. Haz
una conjetura sobre el perímetro y el área del nuevo triángulo.
3. Usa
tus observaciones sobre rectángulos y triángulos semejantes para
hacer una conjetura sobre cómo calcular el perímetro y el área de dos
polígonos semejantes.
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Semejanza
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Investigación 2
Homotecia y fórmulas
El cuadro siguiente contiene conjeturas posibles sobre la relación entre el
perímetro y el área de polígonos semejantes.
Para dos polígonos semejantes A y B tales que el factor de escala del
polígono A al polígono B es r,
• el perímetro del polígono B es r veces el perímetro del polígono A.
• el área del polígono B es r2 veces el área del polígono A.
Tu investigación con números enteros como factor de escala apoya estas
conjeturas, pero no es posible verificar todo factor de escala posible para
demostrar si las conjeturas son verdaderas. Sin embargo, puedes usar las
fórmulas para calcular el perímetro y el área de un polígono, para verificar
si las conjeturas son verdaderas para todo factor de escala y para dicho
polígono.
E J E M P L O
Malik está pensando en una manera de demostrar la conjetura del perímetro para todo lo rectángulo y
para un factor de escala 3.
Si le aplico una homotecia de un número entero
a un rectángulo, el
perímetro cambia en
el mismo número. Pero,
¿qué pasaría si yo no
supiera nada sobre el
rectángulo?
El perímetro de un
rectángulo que mide L de
largo y W de ancho es igual
a L + W + L + W. Sólo
tengo que sumar la
longitud de los lados.
Si la homotecia es de 3, el
nuevo rectángulo va a medir 3L
de largo y 3W de ancho.
Entonces el nuevo perímetro
es 3L + 3W + 3L + 3W. La
propiedad distributiva me
permite factorizar 3, obteniendo 3(L + W + L + W), que
es 3 veces el perímetro original.
3W
W
L
LECCIÓN 7.3
3L
Área y perímetro de figuras semejantes 485
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M AT E R I A L E S
regla
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Sección de problemas
1.
2.
C
Los pasos siguientes te ayudarán a hacer una explicas
ción parecida a la de Malik, para mostrar que si transformas el cuadrado por un factor de 12, el perímetro del
nuevo cuadrado será 12 del perímetro original.
s
a.
Malik escribió primero el perímetro del rectángulo como la suma de
la longitud de los cuatro lados. Escribe una suma que permita calcular
el perímetro del cuadrado original.
b.
Transforma el cuadrado por un factor de escala 12 y dibuja el nuevo
cuadrado. ¿Cuánto mide cada lado en términos de s?
c.
Escribe la suma que sirve para calcular el perímetro del nuevo cuadrado.
d.
¿El perímetro nuevo equivale a la mitad del perímetro original?
Explica por qué. Usa las expresiones que escribiste en las partes a y c.
Los siguientes pasos te ayudarán a demostrar que
si agrandas el siguiente triángulo un factor de 100,
el nuevo perímetro medirá 100 veces el perímetro
original.
b
a
c
a.
Escribe una expresión que represente el
perímetro del triángulo.
b.
Si transformas el triángulo por un factor de escala 100, ¿cuál será la
longitud de cada lado?
c.
Escribe una expresión que represente el perímetro del triángulo
transformado.
d.
¿El nuevo perímetro es 100 veces mayor que el original? Explica.
3. ¡Pruébalo!
Supón que un pentágono tiene lados de longitud
a, b, c, d y e.
a.
Demuestra que si transformas el pentágono por un factor
de escala 0.323, el nuevo perímetro medirá 0.323 veces
el perímetro original.
b.
Demuestra que si transformas el pentágono
por un factor de escala r, el nuevo perímetro será r veces el perímetro original.
c.
Explica por qué se podría aplicar
un argumento similar, no sólo a
polígonos de cinco lados, sino a
polígonos con cualquier número de
lados.
Los trenes a escala como el que se muestra
en la figura, se construyen usando escalas
específicas. Una escala común es 1:87.
Esto significa que 87 pies de la vía real
representan 1 pie en la vía del modelo.
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Semejanza
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Ahora examinarás qué le ocurre al área de una figura a la cual se le aplica
una homotecia o transformación de semejanza.
E J E M P L O
El área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud s es igual a s2.
s
s
Si transformas el cuadrado por un factor de escala 3, los lados del nuevo
cuadrado tendrán una longitud de 3s.
3s
3s
El área del nuevo cuadrado será (3s)2 9s2, cantidad nueve veces
mayor que el área original.
En general, si transformas un cuadrado que mide s s por un factor r,
los lados del nuevo cuadrado tendrán una longitud igual a rs.
rs
rs
El área del nuevo cuadrado será (rs)2 r2s2, cantidad que es r2 veces el
área original.
Sección de problemas
1.
D
En este problema, demostrarás que la relación
entre las áreas de paralelogramos semejantes
equivale al cuadrado del factor de escala entre
ambas figuras. Este paralelogramo tiene
longitud l y altura h.
h
l
a.
¿Cuánto mide el área del paralelogramo?
b.
Si transformas el paralelogramo por un factor de escala 2, ¿qué le
ocurrirá con la altura? Explica tu razonamiento.
c.
Si transformas el paralelogramo por un factor de escala 2, ¿cuál será
la altura y el largo de la nueva figura?
d.
¿Cuál será el área del nuevo paralelogramo?
LECCIÓN 7.3
Área y perímetro de figuras semejantes 487
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e.
Si transformas el paralelogramo original por un factor de escala 13,
¿cuáles serán el largo, la altura y el área del nuevo paralelogramo?
f.
Si transformas el paralelogramo original por un factor de escala r,
¿cuáles serán el largo y la altura de la nueva figura?
g. ¡Pruébalo!
¿Cuál es el área del paralelogramo transformado de la
parte f? ¿Qué relación tiene con el área del paralelogramo original?
2.
En el siguiente problema demostrarás que si
transformas un triángulo cualquiera, la relación
entre el área de los triángulos obtenidos es igual al
cuadrado del factor de escala. Empieza con un
triángulo con lados x y y, base z y altura h.
y
x
h
z
a.
¿Cuál es el área del triángulo?
b.
Si transformas el triángulo por un factor de
escala 3.2, ¿cuáles serán la base y la altura del nuevo triángulo?
c.
¿Cuál es el área del triángulo transformado?
d.
Si transformas un triángulo por un factor de escala r, ¿cuáles serán la
base y la altura de la nueva figura?
e. ¡Pruébalo!
¿Cuál es el área del triángulo transformado de la parte
e? ¿Cuál es su relación con el área del triángulo original?
&
Comparte
resume
1. Si
modificas la escala de un polígono por un factor de escala r, ¿qué
ocurrirá con su perímetro? ¿El cambio depende de r? ¿Sabes si esto es
verdadero para todo polígono o es sólo una conjetura?
2. Si
modificas la escala de un polígono por un factor de escala r, ¿qué
ocurrirá con el área del polígono? ¿El cambio depende de de r? ¿Sabes
si esto es verdadero para todo polígono o es sólo una conjetura?
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Semejanza
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Investigación 3
Semejanza en figuras
más complejas
¿Crees que las relaciones de semejanza que encontraste en paralelogramos
y triángulos, se mantendrán con polígonos más complejos? ¿Se mantendrán
en figuras que posean lados curvos? Explorarás estas preguntas en esta
investigación.
Sección de problemas
E
Los círculos y los polígonos de los problemas 1 y 2 son figuras semejantes.
Resuelve las partes a y b para cada par de figuras. Quizás prefieras anotar tus
respuestas en una tabla.
a.
Calcula el factor de escala de la figura pequeña a la grande.
b.
Calcula el perímetro y el área de ambas figuras.
1.
Recuerda
El área de un círculo de
radio r es igual a r2 y
su circunferencia
(perímetro) es igual a
2r. El área de un
trapecio con bases de
b1 y b2 y altura h es
igual a 21(b1 b2)h.
1
2
1
2.
6
4 12
8
3
2 12
11 25
6
4
3 13
15 15
3.
¿Qué relación hay entre los perímetros de las dos figuras semejantes?
¿La forma de las figuras afecta esta relación?
4.
¿Qué relación hay entre las áreas de las dos figuras semejantes? ¿La
forma de las figuras afecta esta relación?
LECCIÓN 7.3
Área y perímetro de figuras semejantes 489
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Ahora ya debes tener una buena idea de la relación que hay entre las áreas y
los perímetros de cualquier figura transformada. Para que veas que estas relaciones se extienden más allá de círculos y polígonos, recuerda cómo
aprendiste a calcular el área y el perímetro de figuras irregulares.
El área de una figura irregular se puede aproximar colocando la figura en un
papel cuadriculado y contando el número de cuadrados contenidos por la
figura.
Si transformas la figura junto con el papel cuadriculado, obtendrás una figura
semejante a la siguiente.
El perímetro de una figura irregular se puede aproximar usando segmentos de
recta.
Al transformar la figura, los segmentos de recta se ven de la siguiente manera.
490 C A P Í T U L O 7
Semejanza
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Page 491
Sección de problemas
F
Explica en un párrafo corto por qué cuando se transforma la figura
irregular de la página opuesta por un factor r, la escala de su área se
transforma por el factor r2.
2. Explica en un párrafo corto por qué cuando se transforma la figura
irregular por un factor r, también se transforma su perímetro por un
factor r.
3. Las figuras siguientes son semejantes.
1.
Datos
de
interés
Los brazos de ciertas
estrellas de mar, cuando se rompen, se
regeneran y forman
una nueva estrella de
mar genéticamente
idéntica al organismo
original. Este proceso
se conoce como
clonación.
¿Cuál es el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande?
b. ¿Cuál es el área de la figura grande?
4. Las figuras siguientes son semejantes.
a.
¿Cuál es el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande?
b. ¿Cuál es el perímetro de la figura pequeña?
a.
M AT E R I A L E S
regla
&
Comparte
resume
Las cuatro figuras a la derecha son semejantes.
La figura A tiene un área de 3 unidades
cuadradas. Una de las otras
tres figuras tiene un área de
B
12 unidades cuadradas.
A
¿Qué figura es? ¿Cómo lo
puedes averiguar?
LECCIÓN 7.3
D
C
Área y perímetro de figuras semejantes 491
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8:19 AM
Page 492
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
En los ejercicios 1 al 4, una figura es dividida en figuras más pequeñas congruentes entre sí y semejantes a la figura mayor. En cada ejercicio, contesta
las partes a, b y c.
a.
Calcula el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande.
b.
Calcula el perímetro y el área de cada figura (pequeña y grande).
c.
Comprueba si los resultados apoyan tus conjeturas de la sección
Comparte & resume, de la página 448.
1.
2.
20
15
5
altura = 11
4
Recuerda
El área de un triángulo
con base b y altura h
es igual a 21bh. El área
de un paralelogramo
con base b y altura h
es igual a bh.
27
3
18
3.
13
altura = 12
4.
29
altura = 21
4
492 C A P Í T U L O 7
Semejanza
impactmath.com/self_check_quiz
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5.
El rectángulo tiene lados x y y.
x
y
a.
¿A cuánto equivale el área del rectángulo?
b.
Si transformas el rectángulo por un factor 10, ¿cuál será el área del
rectángulo transformado?
c. ¡Pruébalo!
Demuestra que si transformas el rectángulo por un factor r, el área del nuevo rectángulo es r2 veces el área del rectángulo
original.
6.
Un triángulo tiene un perímetro de 10 cm y un área de 4 cm2. ¿Podrías
dibujar una figura semejante con un perímetro de 30 cm y un área de
12 cm2? ¿Por qué?
7.
Un rectángulo tiene un perímetro de 30 cm y un área de 25 cm2.
¿Podrías hacer una figura semejante con un perímetro de 6 cm y un área
de 1 cm2? ¿Por qué?
8.
Las siguientes figuras son semejantes.
a.
¿Cuál es el factor de escala de la figura grande a la figura pequeña?
¿Cómo lo calculaste?
b.
¿Cuál es el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande?
c.
Supón que fijas un cordel siguiendo el contorno de la figura pequeña
y ahora quieres un trozo de cordel para fijarlo sobre el contorno de la
figura grande. ¿Qué cantidad de cordel necesitarás para la figura
grande en comparación con la cantidad que usaste para la figura
pequeña?
LECCIÓN 7.3
Área y perímetro de figuras semejantes 493
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9.
&
amplía
Conecta
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Las siguientes dos figuras son semejantes.
a.
¿Cuál es el factor de escala de la figura grande a la figura pequeña?
b.
¿Cuál es el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande?
¿Cómo lo calculaste?
c.
¿Si el área de la figura pequeña mide n metros cuadrados, cuánto
medirá el área de la figura grande?
10.
Una figura tiene un perímetro de 30 cm y un área de 50 cm2. ¿Podrías
hacer una figura semejante con un perímetro de 60 cm y un área de
100 cm2? ¿Por qué?
11.
El área del triángulo siguiente mide 2 unidades cuadradas. Dibuja un
triángulo semejante con un área de 18 unidades cuadradas.
12. Medición
El entendimiento de las relaciones estudiadas en la
Investigación 1, te puede ayudar a realizar conversiones métricas.
a.
¿Cuál es el factor de escala de un cuadrado cuyos lados miden 1 centímetro cada uno, a un cuadrado cuyos lados miden 1 metro?
propias
b.
¿Cuántos centímetros cuadrados caben en un metro cuadrado?
c.
¿Cuál es el factor de escala de un cubo cuyos lados miden 1 centímetro cada uno, a un cubo cuyos lados miden 1 metro?
Supón que tienes
dos figuras semejantes. El
perímetro de una
mide el doble del
perímetro de la
otra. Explica por
qué el área de uno,
no mide el doble
del área del otro.
d.
¿Cuántos centímetros cúbicos caben en un metro cúbico?
En t u s
palabras
494 C A P Í T U L O 7
13. ¡Pruébalo!
por 323s2.
El área de un hexágono rectangular con lados s está dada
s
Supongamos que transformas el hexágono por un factor f. Demuestra
que el área del nuevo hexágono es f 2 veces el área del hexágono
original.
Semejanza
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14. Arquitectura
A la izquierda hay un dibujo a escala de la torre
Zeitner, un edificio de 12 pisos con marco de acero. El factor de escala
del dibujo al edificio real es 1:480.
15.
a.
¿Cuál es la altura real de la torre Zeitner?
b.
A la derecha se muestra un plano del primer piso
del edificio, dibujado usando el mismo factor de
escala. ¿Cuál es el área del plano? ¿Cuál es el área
del primer piso de la torre Zeitner?
c.
Supón que quisieras llenar la torre Zeitner con palomitas de maíz.
¿Qué volumen de palomitas de maíz necesitarías? Explica.
El siguiente papel cuadriculada con cuadrados de 1 cm de lado, muestra
el mapa de un lago. Usa la escala del mapa para aproximar el área de
superficie real del lago.
Escala
= 1–4 milla
Embarcadero
Datos
de
interés
Volvox, un miembro del
reino vegetal, es un tipo
de alga. Estas colonias
esféricas contienen una
capa de 500 a
500,000 células que
rodean un centro lleno
de fluido. Las colonias
viven en el agua y
pueden nadar debido al
movimiento de
pequeñas estructuras
parecidas a vellosidades, conocidas como
flagelos.
16. Ciencia biológica
Los científicos
a menudo estudian objetos que son
demasiado pequeños para poder verse a
simple vista. El microscopio, de cierta
manera, crea un modelo a escala de los
objetos pequeños. Por ejemplo, esta
fotografía de una colonia de Volvox está
ampliada 150 veces
a.
Mide el diámetro aproximado en
milímetros de la fotografía ampliada
de la colonia.
b.
¿Cuál es el diámetro aproximado de la colonia real de Volvox?
LECCIÓN 7.3
Área y perímetro de figuras semejantes 495
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Repaso
mixto
8:21 AM
Page 496
Escribe cada expresión en forma de fracción.
17.
–5
(10)
18.
2
(4)
2
(4)
19.
6
3
2
3
Escribe cada expresión en forma de adición y calcula la suma.
9
1.5 0.14
10
23.
Haz un árbol de factores para determinar todos los factores primos de 128.
24.
Copia y completa la tabla.
21.
22.
Fracción
Decimal
Porcentaje
1
2
0.5
50%
3.33
1.68
20.
85%
4
5
1
25.
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.
1
2
26.
1
1
1
8
2
1
4
1
3
1
9
1
7
El punto A se localiza en (5, 2).
7
6
5
4
3
A
2
1
0
1
2
3
4
5 6
7 8
El punto (3, 1) se localiza a 3 unidades del punto A, a lo largo de las
líneas del cuadriculado. Identifica todos los puntos localizados a 3
unidades del punto A, a lo largo de las líneas del cuadriculado. (Fíjate
bien porque es probable que algunos puntos queden fuera de la gráfica mostrada).
b. El punto B se localiza en (3, 5). ¿Cuántas unidades mide el trayecto
más corto del punto A al punto B, a lo largo de las líneas del
cuadriculado?
c. ¿Cuántos diferentes trayectos iguales al más corto, hay desde punto A
al punto B, a lo largo de las líneas del cuadriculado?
a.
27.
496 C A P Í T U L O 7
Semejanza
Dos cilindros tienen el mismo radio. La altura de un cilindro es tres
veces mayor que la altura del otro. ¿Cuál es la diferencia en volumen
entre los cilindros?
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Volumen y área de
superficie de
figuras semejantes
Hasta el momento, has realizado transformaciones de semejanza con dibujos
bidimensionales, pero también puedes transformar cuerpos tridimensionales.
Los trenes a escala son modelos a escala de trenes verdaderos, un globo terráqueo es un modelo a escala de la Tierra y algunas casas de muñecas son
modelos a escala de casas verdaderas.
Para averiguar cómo se realizan las transformaciones de semejanza tridimensionales, es bueno empezar con estructuras simples de bloques.
M AT E R I A L E S
cubos
Explora
Construye la siguiente estructura de bloques.
¿Cuál de las estructuras de bloques siguientes tiene aristas que miden el
doble que las aristas de la estructura anterior? Puedes usar los bloques
para contestar esta pregunta.
A
B
D
C
E
¿El volumen de la estructura que elegiste equivale al doble del volumen
de la estructura inicial?
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 497
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Page 498
Investigación 1
Transforma estructuras de
bloques
Al igual que con las figuras bidimensionales, el factor de escala entre figuras
tridimensionales es el número por el cual se multiplica la longitud de los
lados de la figura original, para obtener las longitudes correspondientes de la
nueva figura. La figura que identificaste en la actividad Explora es semejante
a la estructura original pero transformada por un factor de 2.
M AT E R I A L E S
• cubos
• papel de graficar
Sección de problemas
En cada estructura, trabaja con un(a) compañero(a) para construir una nueva
estructura usando un factor de escala de 2. Dibuja la vista de planta de cada
estructura construida. (Recuerda: La vista de planta muestra la vista superior
de la estructura y el número de bloques en cada conjunto.)
1.
M AT E R I A L E S
• cubos
• papel de graficar
A
2.
Sección de problemas
3.
B
En cada estructura, trabaja con un(a) compañero(a) para construir una estructura semejante según el factor de escala dado. Dibuja la vista de planta de
cada estructura construida.
1.
factor de escala 3
2.
factor de escala 3
3.
factor de escala 12
4.
factor de escala 23
&
Comparte
resume
Escribe una carta a un amigo, en la que le expliques los pasos que seguiste
para resolver el problema 2 de la Sección de problemas A.
498 C A P Í T U L O 7
Semejanza
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Investigación 2
Volumen de estructuras de
bloques semejantes
En la Lección 7.3, aprendiste que si creas un polígono, al cual se le aplica
una homotecia con un factor de c, a partir de un polígono original, el
perímetro del nuevo polígono será c veces el perímetro original. También
aprendiste que el área será c2 veces el área original. Ahora vas a transformar
objetos tridimensionales y a comparar el volumen de los objetos transformados, con los volúmenes originales.
M AT E R I A L E S
cubos
Sección de problemas
C
Trabaja en grupo en los siguientes problemas.
1.
Calcula el volumen de cada estructura original de bloques. Luego crea
una estructura cuyas aristas midan el doble que las aristas de la estructura original y calcula su volumen. Anota tus resultados en una tabla
como la siguiente.
a.
b.
Recuerda
Parte
a
b
c
Cada bloque tiene un
volumen de 1 unidad
cúbica.
2.
Volumen de la
estructura original
c.
Volumen de la
estructura transformada
En el problema 1, transformaste cada estructura por un factor de 2.
¿Cuál es la relación entre el volumen de la estructura original y el de la
estructura transformada?
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 499
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M AT E R I A L E S
cubos
8:22 AM
Page 500
Sección de problemas
D
Ahora explorarás lo que ocurre con el volumen, usando varios factores de
escala. La estructura original para estos problemas consiste en un bloque con
un volumen de 1 unidad cúbica.
Trabaja con tu grupo para completar la tabla siguiente de acuerdo con las
instrucciones:
• Si les dan un factor de escala, traten de construir una estructura de
bloques semejante a la estructura original y con la escala indicada.
Calculen el volumen de la nueva estructura.
• Si se les indica el volumen, traten de construir una estructura de
bloques con el volumen indicado y semejante a la estructura original.
Calculen el factor de escala.
En algunas entradas no será posible construir la estructura, pero podrán
razonar y determinar cuál sería su volumen si pudieran construirlo.
Factor de
escala
2
Volumen de
estructura transformada
27
1
10
1
8
1
5
r
&
Comparte
resume
Haz una conjetura que describa cómo cambia el volumen al transformar una estructura de bloques. Asegúrate de mencionar cómo cambia
el volumen según los cambios en el factor de escala.
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Semejanza
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Investigación 3
Área de superficie
de objetos semejantes
En la Investigación 2, exploraste la relación entre el volumen de dos objetos
semejantes. Otra medida de objetos tridimensionales es el área de superficie.
Las redes permiten mostrar en sólo dos dimensiones, todas las superficies de
un objeto de tres dimensiones. Las redes facilitan el estudio de la relación
entre el área de superficie de dos objetos semejantes.
M AT E R I A L E S
•
•
•
•
regla métrica
tijeras
compás
cinta adhesiva
Sección de problemas
1.
E
La siguiente es la red de un prisma cuadrado.
2 cm
2 cm
3 cm
Recuerda
Una red es un objeto
plano que puede
doblarse para formar
un sólido tridimensional cerrado.
a.
Dibuja cuidadosamente y rotula una red semejante a la anterior, usando un factor de escala de 2.
b.
Traza la red anterior. Recorta ambas redes y dóblalas para formar
sólidos. ¿Los dos prismas son semejantes?
c.
Compara el área de superficie
de los dos prismas. Quizás
te sea más fácil hacer los
cálculos si desdoblas las
redes. ¿Cuántas veces más
grande es el área de
superficie del prisma a
escala, comparada con la
del prisma original? Muestra
cómo calculaste tu respuesta.
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 501
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8:23 AM
Page 502
Los problemas 2 y 3 muestran una red para un prisma y un cilindro. En cada
problema contesta las partes a, b y c.
2.
a.
Dibuja y rotula una red semejante a la red dada, usando el factor de
escala indicado.
b.
Calcula el área de superficie del objeto original y del objeto a escala.
c.
Compara las áreas de superficie. ¿Cuántas veces más grande es la
nueva área de superficie del objeto a escala, comparada con la del
objeto original?
factor de escala 3
Recuerda
El área de superficie
de un cilindro con
radio r y altura h es
2r2 2rh (el área
de la tapa y el fondo,
más el área de los
lados).
1 cm
0.5 cm
3.
factor de escala 4
3 cm
5 cm
1 cm
4 cm
4.
¿Cuál parece ser la relación entre el área de superficie del objeto a
escala y el área de superficie del objeto original? Asegúrate de mencionar los factores de escala en tu respuesta.
En la Lección 7.3, aprendiste que la relación entre los perímetros y las áreas
de polígonos a escala son verdaderas no sólo para los polígonos, sino para
todas las figuras. También es cierto que la relación entre los volúmenes y las
áreas de superficie de todos los objetos semejantes son iguales a las que
probablemente ya observaste.
En efecto, si las figuras tridimensionales A y B son semejantes y el factor de
escala de la figura A a la figura B es r, entonces
• el volumen de la figura B es r 3 veces el volumen de la figura A.
• el área de superficie de la figura B es r 2 veces el área de superficie de
la figura A.
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Semejanza
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M AT E R I A L E S
regla
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Sección de problemas
1.
Las figuras siguientes son semejantes.
Área de superficie:
8 unidades cuadradas
Volumen: 2 unidades cúbicas
2.
F
Área de superficie:
200 unidades cuadradas
Volumen: ¿? unidades cúbicas
a.
Calcula el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande.
b.
Calcula el volumen de la figura grande.
Las figuras siguientes son semejantes.
a.
Calcula el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande.
b.
Calcula el área de superficie de la figura pequeña.
Área de superficie:
¿? unidades cuadradas
Volumen: 20 unidades cúbicas
LECCIÓN 7.4
Área de superficie:
450 unidades cuadradas
Volumen: 540 unidades cúbicas
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 503
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Page 504
3.
Las figuras siguientes son semejantes.
Datos
de
interés
El casco es el cuerpo
principal de un barco;
sin incluir mástiles,
velas, ni aparejos.
Área de superficie (casco):
Área de superficie (casco):
40 unidades cuadradas
? unidades cuadradas
Volumen (casco): 10 unidades cúbicas Volumen (casco): ¿? unidades cúbicas
a.
El casco de barco pequeño mide la mitad de la longitud del casco del
barco grande. Calcula el factor de escala de la figura pequeña a la
figura grande.
b.
Calcula el área de superficie y el volumen del casco del barco grande.
&
Comparte
resume
Supón que las figuras A y B son figuras semejantes tales que el factor de
escala de la figura A a la B es n.
1. Si
el área de superficie de la figura A es s, ¿cuál será el área de superficie de la figura B?
2. Si
Investigación 4
el volumen de la figura A es v, ¿cuál será el volumen de la figura B?
Gigantes
En el libro Los viajes de Gulliver, de Jonathan Swift, publicado en 1726,
Gulliver visita un lugar llamado Brobdingnag. Ahí conoce a personas que
miden 12 veces su tamaño. ¿Podrían existir realmente personas como los
brobdingnagianos? ¿Si el cuerpo de un gigante fuera semejante al nuestro,
podría soportar su propio peso?
&
Piensa comenta
En el Capítulo 2, usaste bloques para modelar personas y para ayudarte
a pensar en el área de superficie. Si el modelo de Gulliver consistiera en
un solo bloque, ¿cuántos bloques necesitarías para modelar un gigante
12 veces su tamaño?
Si Gulliver pesara 175 lb, ¿cuánto pesaría el gigante (basado en este
volumen)?
504 C A P Í T U L O 7
Semejanza
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Page 505
Sección de problemas
G
Tus huesos deben ser capaces de soportar más allá de tu propio peso. De no
ser así, no podrías cargar un objeto pesado, ganar peso o saltar sin romperte
los huesos. El peso máximo que tus huesos pueden soportar depende de su
grosor o área de sección transversal.
1. El bosquejo muestra la sección transversal
del fémur de Gulliver (hueso del muslo),
sección muy parecida a un círculo. ¿Cuál es
el área aproximada de la sección transversal?
2. En los mamíferos, el peso que un hueso
puede soportar está relacionado con el área
0.6 pulg
de la sección transversal del hueso. Si el
área de la sección transversal de un fémur
es n pulg2, entonces puede soportar 1,563n
lb. ¿Cuánto peso puede soportar el fémur de
Gulliver?
3. Los gigantes en Brobdingnag miden 12
veces el tamaño de Gulliver. ¿Cuál será el
área de la sección transversal del fémur de
un gigante?
4. Supón que los huesos del gigante tienen la
misma fortaleza que los huesos humanos. Si presumes que un hueso
cuya sección transversal circular mida n pulg2 puede soportar 1,563n lb,
calcula el peso máximo que puede soportar el fémur del gigante.
5. Cuando caminas, cada vez que das un paso, una de las piernas soportar
todo el peso de tu cuerpo. ¿Podría el hueso de la pierna de un gigante
soportar su peso? Explica cómo lo sabes.
6. Para que un hueso de pierna pudiera soportar el peso del gigante (como
máximo), ¿cuánto debería medir su sección transversal? ¿Cuánto
mediría su radio? Explica.
Datos
de
interés
La obra maestra de
Jonathan Swift, cuyo
título completo es
Viajes a varias
naciones remotas del
mundo, por Lemuel
Gulliver, está escrita
en forma de un diario
llevado por Gulliver, el
médico de un barco.
&
Comparte
resume
1. Explica
por qué no pueden existir gigantes con forma humana y que
tengan huesos con la misma fortaleza que los huesos humanos. ¿Cuál
crees que sea la estatura máxima que una persona puede alcanzar y
ser todavía capaz de mantenerse en pie?
2. Un
gigante que fuera capaz soportar su propio peso, no podría tener
forma humana. ¿Qué aspecto tendría un gigante que pudiera soportar
su propio peso? Explica.
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 505
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Page 506
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
Bryn transformó la estructura A por algún factor de escala para obtener la
estructura B. ¿Qué factor de escala usó? ¿Cómo lo sabes?
Estructura A
Estructura B
Determina si cada par de estructuras de bloques es semejante. De ser así, calcula el factor de escala. De no ser así, explica por qué no son semejantes.
2.
4.
506 C A P Í T U L O 7
Semejanza
3.
Supongamos que transformas esta estructura de bloques por el factor de
escala de 12. ¿Cuál será el volumen de la nueva estructura? Explica.
impactmath.com/self_check_quiz
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5.
Enrique hizo una caja de cartón sin tapa de 30 cm de largo, 30 cm de
ancho y 12 cm de profundidad. Luego, quiso hacer una caja nueva,
semejante a la primera, que pudiera contener exactamente el doble de
volumen.
a.
¿Cuál era el volumen de la caja original de Enrique?
b.
Si los lados de la nueva caja midieran el doble que los lados de la
original, ¿cuánto podría contener?
c.
¿Medirán el doble de largo los lados de una caja nueva que contiene
el doble que la caja original?
d. Reto
Calcula las dimensiones aproximadas de una caja semejante a
la caja original y que puede contener el doble.
6.
Supongamos que transformas un cilindro de 3 cm de altura y radio de
6 cm por un factor de escala de 13.
6 cm
3 cm
7.
a.
¿Cuál es el volumen del cilindro original?
b.
¿Cuál es el volumen del cilindro transformado?
c.
Compara los volúmenes. Indica cuál parece ser la relación entre el
cambio en el volumen y el factor de escala.
El siguiente es el bosquejo de la red de una
pirámide.
a.
Bosqueja y rotula la red de una
pirámide semejante transformada
por un factor de escala de 12.
13 cm
13 cm
10 cm
b.
Calcula el área de superficie de la pirámide original.
c.
Calcula el área de superficie
de la pirámide transformada.
d.
Completa el siguiente enunciado que
compara las áreas de superficie: El área
de superficie nueva es ____ veces el área de
superficie original.
LECCIÓN 7.4
12 cm
10 cm
13 cm
13 cm
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 507
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8.
Supongamos que transformas un cilindro
de 3 cm de altura y radio de 6 cm por un
factor de escala de 31. ¿Cuál será el área de
superficie del cilindro transformado? Halla
dos maneras de calcular la respuesta.
6 cm
3 cm
9. Reto
El volumen de una esfera de radio r es igual a
Hillary modificó el tamaño de una esfera con
volumen igual a 43 unidades cúbicas por un factor de
escala determinado para obtener una esfera con un
radio igual a 3.
a. ¿Qué factor de escala usó Hillary? Halla dos
maneras de calcular la respuesta.
2
b. El área de superficie de una esfera con radio r es igual a 4r .
Calcula el área de superficie de la esfera original de Hillary. Luego
calcula el área de superficie de la esfera modificada, de dos maneras
diferentes.
4
3
r .
3
10.
En la Investigación 3, resolviste varios problemas sobre área de superficie, volumen y factor de escala de figuras semejantes.
2
a. Supongamos que el área de superficie de una figura mide 60 pies y
que su volumen es de 40 pies3. Una figura semejante tiene un volumen de 5 pies3. ¿Cuál es el factor de escala de la figura original a la
figura nueva? ¿Cuál es el área de superficie de la figura nueva?
b. Ahora inventa tu propio problema. Indica el área de superficie y el
volumen de una figura e indica el área de superficie o el volumen de
una figura semejante. Luego pregunta acerca del volumen o el área
de superficie (la información que no incluiste en el problema) y el
factor de escala. Incluye la solución del problema.
11. Literatura
Recuerda
Gulliver pesaba 175
libras. El hueso de su
muslo tiene un radio de
0.6 pulg.
508 C A P Í T U L O 7
Semejanza
Brobdingnag no fue la única tierra que Gulliver visitó en
sus viajes. ¡En la tierra de Lilliput halló personas tan pequeñas en comparación con él, como él lo era para los brobdingnagianos! Esto significa que medían 112 del tamaño de Gulliver.
a. ¿Cuál es el área de la sección transversal del hueso del muslo de un
liliputiense?
2
b. Si el área de la sección transversal de un fémur mide n pulg , entonces puede soportar alrededor de 1,563n libras. ¿Cuánto peso podría
soportar el fémur de un liliputiense?
c. El peso que calculaste en la parte b no parecer ser mucho. Sin
embargo, el fémur de un ser humano puede soportar un máximo de
10 veces el peso de una persona. ¿Cuánto pesaría un liliputiense con
un tamaño igual a 112 el tamaño de Gulliver? ¿Cuántas veces su peso
podría soportar una pierna de un liliputiense?
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&
amplía
Conecta
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12. Ciencia biológica
Los huesos forman alrededor del 14% del peso
del cuerpo humano. ¿Aproximadamente cuánto habrían pesado los huesos de Gulliver?
13.
Algunos cereales para el desayuno se empacan en cajas de diferentes
tamaños. La tabla indica las dimensiones de tres tamaños de cajas.
Cereales pare el desayuno
Tamaño de caja
pequeña
mediana
grande
Largo
27.2 cm
30.5 cm
33.8 cm
Ancho
19.0 cm
20.8 cm
24.0 cm
Profundidad
6.0 cm
7.0 cm
7.5 cm
¿Hay cajas que sean semejantes entre sí? Explica cómo lo sabes.
14.
Latifa dice que si una estructura de bloques se agranda por un factor de
escala 2, el volumen y el área de superficie de la nueva estructura también aumentan en un factor de 2. ¿Tiene razón? De ser así, explica por
qué. De no ser así, anota un contraejemplo con una estructura de bloques en la cual esto no ocurre.
15.
Considera cubos de diferentes tamaños.
a.
¿Es semejante un cubo con aristas que miden 1 unidad de longitud a
un cubo con aristas que miden 10 unidades de longitud? De ser así,
¿cuál es el factor de escala del cubo pequeño al cubo grande? De no
ser así, explica por qué.
b.
¿Es semejante un cubo con aristas que miden 3 unidades de longitud,
a un cubo con aristas que miden 5 unidades de longitud? De ser así,
¿cuál es el factor de escala del cubo pequeño al cubo grande? De no
ser así, explica por qué.
c.
¿Es semejante un cubo con aristas de n unidades de longitud a un
cubo con aristas de m unidades de longitud? De ser así, indica el factor de escala del cubo de n n n en relación al cubo
m m m. De no ser así, explica por qué.
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 509
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12:11 AM
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16. ¡Pruébalo!
En la Investigación 2, aprendiste que cuando se transforma una estructura de bloques por un factor n, su volumen se transforma
por un factor n3.
a. Demuestra que este enunciado es verdadero para un
cubo de 2 2 2. Es decir, demuestra que si transformas dicho cubo por un factor n, el volumen del
nuevo cubo nuevo será n3 veces el volumen del cubo
original. Ayuda: Para calcular el volumen del cubo
transformado, usa la longitud de sus aristas.
b. Demuestra que el siguiente enunciado es verdadero
para un prisma rectangular cuyas aristas miden 1, 3 y
4 unidades. Es decir, demuestra que si transformas dicho
prisma por un factor de n, el volumen del prisma rectangular transformado será n veces el volumen del original.
17. Astronomía
Cuando los astrónomos hacen modelos de los planetas
de nuestro sistema solar, a menudo los representan como esferas. Sin
embargo, los planetas no son esferas perfectas, aunque su forma es suficientemente cercana a una esfera como para usar esferas como modelos.
Debido a que todas las esferas son semejantes entre sí, se puede considerar que los planetas son semejantes entre sí.
Datos
de
interés
La tabla muestra el radio aproximado de cinco planetas.
El radio del Sol mide
aproximadamente
695,000 km. Deimos,
una luna que orbita
Marte, es la luna más
pequeña del sistema
solar y su radio mide
sólo 6 km.
Tamaño de los planetas
Planeta
Júpiter
Neptuno
La Tierra
Mercurio
Plutón
Radio
71,400 km
24,764 km
6,378 km
2,439 km
1,150 km
Júpiter
Mercurio
510 C A P Í T U L O 7
La Tierra
Semejanza
Neptuno
Plutón
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8:26 AM
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Redondea las respuestas de la partes a, b, c y d al número entero más cercano.
En t u s
propias
palabras
Supón que tienes
dos figuras semejantes A y B, tales
que el factor de
escala de la figura
A y B es n. Indica
cómo calcular:
• el área de
superficie de A,
si conoces el
área de superficie de B
• el área de
superficie de B,
si conoces el
área de superficie de A
• el volumen de A,
si conoces el
volumen de B
• el volumen de B,
si conoces el
volumen de A
a.
¿Cuántos planetas del tamaño de la Tierra cabrían dentro de Júpiter?
Demuestra cómo calculaste la respuesta.
b.
¿Cuántos planetas del tamaño de la Tierra cabrían dentro de Neptuno?
c.
¿Cuántos planetas del tamaño de Mercurio cabrían dentro de la Tierra?
d.
¿Cuántos planetas del tamaño de Plutón cabrían dentro de la Tierra?
18. ¡Pruébalo!
En la Investigación 3, aprendiste que si transformas una
figura tridimensional cualquiera por un factor n, el área de su superficie
cambia por un factor n2.
a.
Demuestra que este enunciado es verdadero para un cilindro con
radio de 3 cm y altura de 2 cm. Es decir, demuestra que si transformas dicho cilindro por un factor n, el área de superficie de la figura
transformada es n2 del área de superficie de la figura original.
b. Reto
Demuestra que este enunciado es verdadero para todo cilindro
transfomado por un factor de escala de 2. Es decir, demuestra que si
transformas un cilindro de radio r y altura h por un factor de 2, el
área de superficie de la figura transformada es 22 veces, ó 4 veces, el
área de superficie de la figura original.
19. Geografía
Del mismo modo que un
mapa de una ciudad es semejante a la
ciudad que representa, un globo
terráqueo es semejante al planeta
Tierra. En la clase de Geoffrey,
hay un globo terráqueo con una
circunferencia aproximada de
100 cm. La circunferencia de la
Tierra mide aproximadamente
40,074 km.
a.
¿Cuál es la circunferencia de la
Tierra en centímetros?
b.
¿Cuál es el factor de escala del globo
terráqueo al planeta Tierra?
c.
Cerca de 382,478,000 km2 de la
superficie de la Tierra están cubiertos por agua. ¿Cuántos centímetros
cuadrados hay en 382,478,000 km2?
d.
¿Cuántos centímetros cuadrados del globo terráqueo representan
agua?
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 511
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8:27 AM
Page 512
20. Literatura
Gulliver tiene una cubeta para hielo. Las aristas de los
cubos hechos en esta cubeta miden cerca de 1.5 pulgadas. Uno de los
brobdingnagianos tiene una cubeta para hielo semejante a la de Gulliver,
pero de 12 veces su tamaño.
a. ¿Cuál es el volumen de un cubo de hielo de la cubeta de Gulliver?
b. ¿Cuál es el área de superficie de un cubo de hielo de la cubeta de
Gulliver?
c. ¿Cuál es volumen de un cubo de hielo hecho en la cubeta del
brobdingnagiano? (Recuerda que mide 12 veces más que un cubo de
hielo de la cubeta de Gulliver.)
d. ¿Cuál es el área de superficie de uno de los cubos de hielo del
brobdingnagiano?
e. Supón que Gulliver usó la cantidad de agua contenida en uno de los
cubos de hielo del brobdingnagiano, para hacer cubos de hielo en su
propia cubeta. ¿Cuántos cubos de hielo pudo hacer?
f. ¿Cuál se derretirá más rápido, uno de los cubos de hielo del
brobdingnagiano o uno de los cubos de hielo de Gulliver de la parte
e? Explica tu respuesta.
Repaso
mixto
Escribe en el espacio en blanco el número que haga verdadero cada enunciado.
1
21. 9 _____ 1
9
22. 7
1
23. 2
7
_____ 1
_____ 811
Calcula cada porcentaje.
24.
35% de 1
25.
1% de 49.5
26.
8% de 200
29.
5 2.5m 0
Calcula el valor de m en cada ecuación.
27.
2.2m 8.8
28.
2m 6 10
Escribe cada expresión sin usar signos de multiplicación o de adición.
30.
2r 1.2r r
31.
0.1s r r r
32.
0.1st 2.7st
Calcula el valor de la variable en cada figura.
33.
área 36
34.
perímetro 22
t2
t
t
s
t2
t
s
35.
t
perímetro 26
t
r1
r4
512 C A P Í T U L O 7
Semejanza
t2
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Page 513
36.
La tabla muestra datos de varios años sobre el número total de
graduados de secundaria y el número de graduados entre las personas
de 17 años, en los Estados Unidos.
Datos
de
Graduados de secundaria en EE.UU.
interés
Año
escolar
1899–1900
1909–1910
1919–1920
1929–1930
1939–1940
1949–1950
1959–1960
1969–1970
1979–1980
1989–1990
1999–2000
Hacia el año 2000, el
25.6% de los estadounidenses de 25 años de
edad o mayores tenía una
licenciatura o un grado
superior. Al mismo tiempo, el 15.9% no tenía ni
siquiera el diploma de
secundaria.
Número total
de graduados
de secundaria
95,000
156,000
311,000
667,000
1,221,000
1,200,000
1,858,000
2,889,000
3,043,000
2,587,000
2,809,000
Graduados por cada
100 personas de
17 años de edad
6.4
8.8
16.8
29.0
50.8
59.0
69.5
76.9
71.4
74.2
69.9
Fuente: nces.ed.gov
a.
¿Cuál fue el porcentaje de personas de 17 años de edad que se
graduaron de secundaria en el año escolar 1969–1970?
b.
¿Cuál fue el cambio en el porcentaje de personas de 17 años que se
graduaron de secundaria en el año escolar 1899–1900, en comparación con el año escolar 1999–2000?
c.
¿Cuánto aumentó el número total de graduados de secundaria en el
año escolar de 1899–1900, en comparación con el año escolar de
1999–2000? ¿Qué porcentaje representa este aumento?
d.
Según los datos del censo de 1900 en EE.UU., la población en ese
entonces era de 76,212,168 habitantes. ¿Qué porcentaje de estas personas se graduaron de secundaria en el año escolar 1899-1900?
e.
De acuerdo con los datos del censo del 2000 en EE.UU., la población
en ese entonces era de 281,421,906 habitantes. ¿Qué porcentaje de
estas personas se graduaron de secundaria en el año escolar
1999–2000?
f.
Consulta la tabla de datos y las partes d y e. Compara de dos maneras
diferentes el número de graduados de secundaria en el año escolar
1899–1900 con el número de graduados en el año escolar
1999–2000.
LECCIÓN 7.4
Volumen y área de superficie de figuras semejantes 513
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Repaso&
autoevaluación
Capítulo 7
Resumen del capítulo
V O C A B U L A R I O
ángulos
correspondientes
congruente
contraejemplo
factor de escala
homotecia o transformación de
semejanza
lados
correspondientes
razón
razones
equivalentes
semejante
En este capítulo, examinaste dos diferentes maneras de determinar el parecido
entre dos figuras: congruencia y semejanza.
Observaste las características que presentan figuras congruentes y figuras
semejantes. Por ejemplo, las figuras congruentes deben tener exactamente la
misma forma y tamaño, mientras que las figuras semejantes pueden tener
diferentes tamaños pero deben tener la misma forma.
En las figuras congruentes, los lados correspondientes y los ángulos correspondientes deben ser congruentes. Mientras que en las figuras semejantes, los
ángulos correspondientes deben ser congruentes y los lados correspondientes
deben tener longitudes que compartan una razón común.
Descubriste pruebas que te permiten determinar si dos triángulos son semejantes o congruentes, sin tener que calcular tanto las medidas de los ángulos
como las medidas de los lados.
Aprendiste que cuando transformas una figura por un factor de escala n, el
perímetro se transforma por n y el área se transforma por n2. Cuando transformas un objeto tridimensional por n, el área de superficie se transforma por n2
y el volumen se transforma por n3. Incluso demostraste estos hechos con ciertos tipos de figuras y objetos.
Estrategias y aplicaciones
Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y
estrategias importantes desarrolladas en este capítulo.
Entiende congruencia y semejanza
1.
514 C A P Í T U L O 7
Considera las diferencias entre semejanza y congruencia.
a.
¿Las figuras semejantes pueden ser también congruentes?
¿Las figuras semejantes deben ser congruentes?
b.
¿Las figuras congruentes pueden ser también semejantes?
¿Las figuras congruentes deben ser semejantes?
2.
Explica cómo puedes determinar si dos ángulos son congruentes.
3.
Supón que sabes que dos triángulos son semejantes.
Semejanza
a.
¿Qué sabes acerca de la longitud de sus lados?
b.
¿Qué sabes acerca de sus ángulos?
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Pruebas de congruencia y semejanza entre figuras
4.
Considera las pruebas que conoces sobre congruencia y semejanza entre
triángulos.
a. Describe una prueba de congruencia que incluya sólo los lados de los
triángulos.
b. Describe una prueba de semejanza que incluya sólo los lados de los
triángulos.
c. Describe una prueba de semejanza que incluya sólo los ángulos de
los triángulos.
d. Compara las tres pruebas que describiste.
5.
¿Cómo puedes determinar si dos polígonos son semejantes? ¿Cómo
puedes determinar si dos polígonos son congruentes?
Entiende cómo las transformaciones afectan las medidas
6.
Un pastizal está limitado por un camino y un lago. El campo cubre 12
mi2 de superficie. El mapa está dibujado sobre un cuadriculado de un
cuarto de pulgada.
El pastizal Daisyfield ocupa 103 cuadrados del cuadriculado. Estima
el factor de escala del mapa en relación al pastizal real.
b. El perímetro del pastizal en el mapa mide 10.5 pulgadas.
¿Aproximadamente cuánta cerca se necesitará para cercar todo el
pastizal?
a.
7.
Un fabricante de muñecas usó su propia casa como modelo para una
casa de muñecas grande. El área de superficie del exterior de la casa de
muñecas mide 2,628 yd2. El factor de escala entre la casa real y la casa
de muñecas es 0.25.
a.
¿Cuál es el área de superficie de la casa de muñecas?
b.
Si la casa original tiene un volumen de 6,160 yd3, ¿cuál será el
volumen de la casa de muñecas?
Repaso y autoevaluación 515
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8. ¿Pruébalo!
El área de un pentágono regular
cuyos lados miden s, mide aproximadamente 1.72s2.
s
a.
¿Cuál es el perímetro del pentágono siguiente?
b.
Supongamos que transformas el tamaño del pentágono por
un factor n. ¿Cuál será la longitud de cada lado en el nuevo pentágono? Usa esta longitud para demostrar que el perímetro del nuevo
pentágono medirá n veces el perímetro del pentágono original.
c.
Demuestra que el área del nuevo pentágono mide n2 veces el área del
pentágono original.
Demuestra tus destrezas
Indica si cada par de figuras es congruente, semejante o ninguna de las dos.
9.
10.
30
20
10
15
24
16
11.
12.
15
15
10
10
En t u s
10
propias
palabras
Describe cómo
construir un
ángulo congruente
a otro ángulo.
Luego, dibuja un
ángulo y construye un ángulo que
sea congruente a
ese ángulo.
15
13.
14.
12
16
8
8
16
12
15.
16.
9 115° 9
111°
115°
16
12
9
111°
12
111°
16
12
111°
115°
115°
12
516 C A P Í T U L O 7
Semejanza
12
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Determina si las razones en cada conjunto son equivalentes.
17.
2
18. 3
3:5 y 9:15
y 32
19.
6:18, 3:9, 26 y 1:3
Cada par de triángulos son semejantes entre sí. Calcula los valores de x y y.
20.
1
x
y
1
1
2
1
21.
40°
125°
40°
x
22.
y
5
12
x
15°
3
y
90°
z
15
Para las preguntas 23 y 24, contesta las partes a y b.
a.
Calcula el factor de escala de la figura pequeña a la figura grande.
b.
Calcula el área de la figura grande.
23.
0.3
0.2
24.
3
6.6
Repaso y autoevaluación 517