Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la √ recta y = 1 la región acotada por y = x y las rectas y = 1, x = 4. M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 16 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución M. en C. Ricardo Romero (CBI) Método de los discos Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 17 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos V =π Z 4 R 2 (x)dx = π Z 4 √ 1 Z 4 =π x −1 2 dx 1 √ x − 2 x + 1 dx 1 x 2 4 3/2 =π − x +x 2 3 4 1 1 4 √ 3 = π 8− − 4 −1 +3 2 3 =π M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos 21 28 − 2 3 =π 63 − 56 7π = 6 6 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 18 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Volumen por medio de discos al girar alrededor del eje y V= Z d c A(y ) dy = Z d π [R(y )]2 dy c Determinar el volumen generado al hacer girar con respecto al eje y la 2 región comprendida entre la curva x = , 1 ≤ y ≤ 4 y el eje y y M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 19 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución M. en C. Ricardo Romero (CBI) Método de los discos Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 20 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos V =π Z 4 [R(y )]2 dy 1 =π Z 4 2 2 1 y dy = 4π Z 4 y −2 dy 1 4 1 1 = −4π = −4π − 1 = 3π y 1 4 M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 21 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar con respecto a la recta x = 3 la región comprendida entre la parábola x = y 2 + 1 y la recta x =3 M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 22 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos V =π Z √2 2 √ [R(y )] dy − 2 Z √2 =π √ − 2 Z √2 =π √ − 2 2−y2 2 dy 4 − 4y 2 + y 4 dy √2 4 3 y5 = π 4y − y + 3 5 −√2 √ 64π 2 = 15 M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 23 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de las rondanas Si la región que se hace girar para generar un sólido no cruza o no colinda con el eje de revolución, el sólido resultante tendrá un agujero. Las secciones perpendiculares al eje de revolución son rondanas en lugar de discos como antes M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 24 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución M. en C. Ricardo Romero (CBI) Método de las rondanas Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 25 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de las rondanas Radio exterior:R(x) Radio interior:r (x) Área de la rondana: A(x) = π [R(x)]2 − π [r (x)]2 = π [R(x)]2 − [r (x)]2 M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 26 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de las rondanas Volumen por medio de rondanas al girar alrededor del eje x V= Z b a A(x) dx = Z b π [R(x)]2 − [r (x)]2 dx a Determinar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x la región acotada por la curva y = x 2 + 1 y la recta y = −x + 3 M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 27 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución M. en C. Ricardo Romero (CBI) Método de las rondanas 1 Dibujar la región y un segmento de recta que la cruce y sea perpendicular al eje de revolución 2 Determinar los radios exterior e interior de la rondana que se generan al hacer girar el segmento de recta 3 Obtener los límites de integración determinando los puntos de intersección de las curvas 4 Evaluar la integral de volumen Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 28 / 29 Volúmenes de sólidos de revolución Método de las rondanas Radio exterior:R(x) = −x + 3 Radio interior:r (x) = x 2 + 1 Límites de integración: x 2 + 1 = −x + 3 x2 + x − 2 = 0 (x + 2)(x − 1) = 0 x = −2, x = 1 M. en C. Ricardo Romero (CBI) Volúmenes de Sólidos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 29 / 29