Integral de Trayectoria (Campos escalares)

Integral de Trayectoria (Campos escalares)
Pensemos en un alambre ` del cual se conoce su densidad lineal (en gr/cm) en cada punto,
por la función ρ. que asocia a cada punto p ∈ `, el número real ρ(p) = densidad del alambre,
podemos suponer que la imagen del alambre coincide con la imagen de cierta función escalar
λ : [a, b] → R3 . Si tomamos la partición a = t0 < t1 < ...tn = b cuya partición asociada es
λ(t0 ), λ(t1 ), ..., λ(tn ) y en cada [ti−1 , ti ] tomamos i y bajo λ tenemos λ(i ) ∈ [λ(ti−1 ), λ(ti )] y la
masa del alambre entre λ(ti−1 ), λ(ti ) es aproximadamente igual a la densidad del alambre en
λ(i ) multiplicada por la longitud del alambre entre λ(ti ), λ(ti−1 ).
Es decir
Z
Mi = masa del
ti
alambre en [λ(ti−1 ), λ(ti )] = ρ(λ(i )) ×
ρ(λ(t))kλ0 (t)kdt =
ti−1
ρ(λ(i ))kλ0 (∗i )k(ti − ti−1 )
∴ La masa total del alambre esta dada por
M` = lı́m
n→∞
n
X
ρ(λ(i ))kλ
0
(∗i )k(ti
Z
− ti−1 ) =
a
i=1
1
b
ρ(λ(t))kλ0 (t)kdt
Ahora supóngase que se tiene una barda cuya base tiene la forma de una curva c(t) = (x(t), y(t))
R
y cuya altura f (x(t), y(t)). La integral c f ds representa el área de un lado de la barda.
Definición.- La integral de trayectoria o la integral de f (x, y, z) a lo largo de la trayectoria
c esta definida cuando c : I = [a, b] → R3 es de clase c1 y cuando la función compuesta
t → (x(t), y(t), z(t)) es continua en I, definimos esta integral
Z
Z b
f ds =
f (x(t), y(t), z(t))kc0 (t)kdt
c
a
Ejemplo.-Evaluar la integral de trayectoria
√
α(t) = (ln(t), t, 8t) donde t ∈ [0, 3] y f (x, y, z) = ex + y + z 2
Sol.
Tenemos que
α0 (t) =
∴
Z
Z
f dt =
α
√
√
8t) = eln(t) + t + ( 8t)2 = t + t + 8t = 10t
v
u 2
r
√ !
√ !2 r
u 1
2
2
1
2
1 + t2 + 2t
1
⇒ kα0 (t)k = t
=
+
1
+
=
, 1, √
+1+ √
=
|t|
t
t2
t
t2
t
t
r
(t + 1)2
t+1
=
2
t
t
f (α(t)) = f (ln(t), t,
3
(10t)
0
t+1
t
Z
dt =
3
Z
10(t+1)dt = 10
0
(t+1)dt = 10
0
2
3
t2
+ t 30
2
= 10
9
+ 3 = 75
2