Solucionario desarrollado

1
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EN A
M
F UNDA
Solucionario desarrollado
Presentación
Estimado maestro:
En la búsqueda de facilitar la labor docente, Ediciones Castillo pone a su
alcance el presente Solucionario desarrollado como complemento de la
Guía para el maestro.
En este Solucionario encontrará respuestas detalladas que le permitirán
profundizar en la reflexión de los contenidos y en el análisis de las conclusiones que los alumnos obtengan al resolver las actividades del libro de
texto.
Asimismo, se muestran las operaciones y cálculos completos de los ejercicios numéricos.
En cuanto a las evaluaciones de los bloques se incluyen los argumentos
que dan validez a las respuestas.
En cada bloque las respuestas se organizan por página del libro de texto y
sus actividades correspondientes, las cuales se representan en una miniatura en los costados.
Confiamos en la utilidad de este material didáctico para favorecer el trabajo
dentro del aula y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados
y las competencias para la vida.
4
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
BLOQUE 1
L1
Fracciones y decimales
Página 22
Bloque
1
1. Fracciones y decimales
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Situación inicial
Décimos y fracciones de litro
1
Situación inicial
Alejandropintóunmurodesucasa,paralocualpreparóunlitrodepinturacon 3 delitrodepinturaamarillayelrestodepinturablanca.Parapintarotromuroconel
mismotono,adquirióenlatienda0.3delitrodelamismapinturaamarillaycompletó
ellitroconpinturablanca.Loscoloresdelosmurosnoquedaroniguales.Explicacuál
fueelerrordeAlejandro.
Analiza
1. En parejas, respondan lo siguiente.
1
a) ¿Qué representa 3 de una unidad?
b)¿Qué representa 0.3 de una unidad?
c) ¿De qué manera pueden concluir que las cantidades de pintura amarilla de las dos
mezclas no son iguales?
2. En grupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué.
Explora y construye
Analiza
De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes
Enelsistemadecimal,elvalordeundígitoenunnúmerodependedesuposición
enéste;esdecir,elsistemadecimalesposicional.
1 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) Elvalordeldígito2esdiferenteenelnúmero0.2queenelnúmero2.¿En
quéconsisteestadiferencia?
b) ¿Ycuálesladiferenciadelvalordeestedígitoenlosnúmeros0.2y0.02?
Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su
izquierda.
c) ¿Quéobtienenalmultiplicar0.1por10?
22
22
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1. a) La tercera parte de la unidad.
Si la unidad se divide en tres partes, tomar un tercio significa tomar una de esas tres
partes.
b) Tres décimas partes de la unidad.
Si la unidad se divide en 10 partes, al tomar tres décimos se toman 3 de esas 10 partes.
3
Hay que recordar que 0.3 es equivalente a 10
.
1
1
c) Mostrando que 3 es distinto de 0.3. Si 3 fuera igual que 0.3, se tendría que cumplir que
0.3 + 0.3 + 0.3 = 1, porque 31 + 31 + 31 = 33 = 1, pero eso no es cierto, ya que 0.3 + 0.3
+ 0.3 = 0.9. Por lo tanto 0.3 y 31 no son iguales.
2. El muro con el tono amarillo más intenso tiene mayor cantidad de pintura amarilla en la
mezcla. Como se aprecia en 31 + 31 + 31 = 1 y 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.9; tres veces 31 es 1, y tres
veces 0.3 es 0.9. Como 1 es mayor que 0.9, entonces 31 es mayor que 0.3.
Cuando se divide 1 entre 3 se advierte que el cociente tiene al menos una cifra decimal más
que 0.3; por ejemplo, se puede dividir hasta obtener 0.3333. Las cifras de este número son
mayores que las de 0.3000.
La conversión de decimales a fracciones decimales y sus equivalentes
1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en el número
2 representa dos unidades.
2
Además, 0.2 es la décima parte de 2, ya que 10
= 0.2. Conviene advertir que el dígito 2
en el número 0.2 vale 10 veces menos de lo que vale en el número 2.
b) En el número 0.2 el digito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en 0.02 representa dos centésimas partes de la unidad.
Además, 0.02 es la décima parte de 0.2, ya que 0.2
= 0.02, y por lo tanto el dígito 2 en el
10
número 0.02 vale 10 veces menos que en el número 0.2.
c) 1
El dígito 1 en el número 0.1 vale diez veces menos de lo que vale en el número 1.
Lección
1
d) ¿Yalmultiplicar13.25por10?
e) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar13.25paraobtener1325?
f) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar21.349paraobtener21349?
inicial
construye
g) ¿Porquénúmerodebendividir21349paraobtener21.349?
h) Expresenlaoperacióndelincisoanteriorcomounafracción.
i) ¿Quéfraccióncondenominador100tieneelmismovalorque13.25?
j) ¿Quéfraccióncondenominador10tieneelmismovalorque0.1?
Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus
múltiplos 100, 1 000, 10 000,...
2 Engrupo,escribanvariosnúmerosdecimalesenelpizarrónyparacadaunoden
unafraccióndecimalquetengaelmismovalor.
3 Hazlasiguientesuma:0.6+0.07+0.001.
a) ¿Quénúmeroobtienes?
b) Escribeelnúmeroanteriorcomosumadetresfraccionesdecimalescuyo
numeradorconstedeunasolacifra.
c) Escribeelresultadodelasumaanteriorcomounafraccióncondenominador
1000.
4 Escribeentucuadernocómoconvertirunnúmerodecimalaunafraccióndecimalydiscutetupropuestaengrupo.
5 Hazlosiguiente.
a) Escribeunafraccióndecimalquevalgalomismoque0.5
5
b) Encuentraunafracciónequivalentea 10 condenominador2.
5
c) Encuentraotrafracciónquetengaelmismovalorque 10 ycuyodenominador
seadistintode2.
d) Escribealmenostresfraccionesquetenganelmismovalorqueelnúmero
0.5ycuyodenominadornosea10,100,1000,…
e) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionescuyodenominador
nosea10,100,1000,…
• 12.76= •3.4= •5.78= •2.15=
f) ¿Esposibleexpresarelnúmero2.1comounafraccióncuyodenominadorno
sea10,100,1000,…?¿Porqué?
23
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23
Página 23
Lo que ya sabes
Para obtener fracciones equivalentes
se pueden dividir
(o multiplicar)
el numerador y el
denominador de
una fracción por
el mismo número
entero. Explica por
qué 8 es equiva40 1
1
lente a 5 , y 5 es
3
equivalente a 15 .
Entonces, ¿cómo
son 8 y 3 entre
40 15
sí? ¿Por qué?
30/03/12 10:29
d) 132.5
No olvidemos que cuando se multiplica una potencia de 10 (es decir 10, 100, 1 000,…)
por un número se recorre el punto hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la
potencia de 10; si quedan lugares vacíos se llenan con ceros. Así que al multiplicar 13.25
por 10 el punto se recorre un lugar.
e) 100
Como el punto se recorrió dos lugares hacia la derecha la potencia de 10 debe tener dos
ceros, así que es 100.
f) 1 000
Como el punto se recorrió tres lugares hacia la derecha la potencia de 10 debe tener tres
ceros, así que es 1 000.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
g)1 000
Cuando se divide un número entre una potencia de 10 (es decir 10, 100, 1 000,…) el punto
se recorre hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga dicha potencia; si quedan
lugares vacíos se llenan con ceros. Por lo tanto la potencia de 10 que se necesita es
1 000, ya que tiene tres ceros y ésos son los lugares que se movió el punto hacia la izquierda en 21 349 para obtener 21.349.
h) 21349
1000
i) 1325
100
1
j) 10
2. Respuesta libre.
3.a)0.671
6
7
1
b) 10
+ 100
+ 1000
.
671
c) 1000
Para sumar fracciones es necesario que todas tengan el mismo denominador, así que se
deben encontrar fracciones equivalentes cuyo denominador sea 1 000
6
6 × 100
600
= 10
= 1000
10
× 100
7
7 × 10
70
= 100
= 1000
100
× 10
600
70
1
671
y se suman 1000
+ 1000
+ 1000
= 1000
4. El estudiante debe deducir que cuando el número decimal tiene 1, 2, 3,… cifras decimales el
denominador de la fracción es 10, 100, 1 000,…
El numerador de la fracción serán los dígitos del número decimal sin tomar en cuenta el punto.
El denominador será la potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras decimales tenía el
número decimal. Por ejemplo, al convertir 0.035, el numerador será 35 y el denominador 1000.
5
5.a) 10
b) 21
5
5÷5
Las fracciones son equivalentes porque 10
= 10
= 21 .
÷5
1
c) Cualquier fracción equivalente a 2 .
Para encontrar las fracciones se puede multiplicar cualquier número por el numerador y
5
el denominador de 21 . Por ejemplo, si se usa 3 la fracción equivalente a 10
es 63 , porque:
1
1×3
3
= 2×3 = 6
2
4 6
d)Fracciones equivalentes a 21 , como: 63 , 8
, 12 .
5
20
También se pueden calcular fracciones equivalentes a partir de 10
, por ejemplo 40
, ya
5
5÷5
1
que: 10 = 10 ÷ 5 = 2
e) Fracciones no decimales. Ejemplos:
• 12.76 = 319
25
÷4
Porque 1276
= 1276
= 319
.
100
100 ÷ 4
25
• 3.4 = 17
5
÷2
Porque 34
= 34
= 17
.
10
10 ÷ 2
5
• 5.78 = 289
50
578
578 ÷ 2
Porque 100
= 100
= 289
.
÷2
50
43
• 2.15 = 20
215
215 ÷ 5
43
Porque 100
= 100
= 20
.
÷5
21
por un
f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador de 10
42
número diferente de 10, 100, 1 000,… para obtener una fracción equivalente, por ejemplo 20
.
21
Hay que notar que no se puede encontrar una fracción equivalente a 10 dividiendo el
5
6
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
numerador y el denominador entre el mismo número, pues 21 y 10 no tienen divisores
en común.
Página 24
Bloque
1
Se simplificaunafraccióncuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número distinto de 1 que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción
es irreducible.
g) Fracciones irreducibles.
9
• 0.45= 20
g) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionesirreducibles.
• 0.45= •3.6= •0.1= •2.25=
6 Enparejas,escribanensucuadernounprocedimientoparaconvertirnúmeros
decimalesafraccionescuyodenominadornosea10,100,1000,etc.,enlos
casosqueseaposible.
7 Engrupo,escribanalgunosnúmerosdecimalesenelpizarrónyconviértanlos
ensuequivalenteenfracciones.Comentencuántasfraccionesconelmismo
valorpodríanencontrarparacadanúmerodecimal.
De fracción a decimales
1 Enparejas,ysinusarlacalculadora,respondanlosiguiente.
2 ensuequia) Dividan2entre10hastaqueobtenganresiduoceroyescriban 10
45
45 ÷ 5
9
Porque 100
= 100
= 20
; como 9 y 20 no tienen divisores en común la fracción
÷5
ya no se puede simplificar.
÷2
• 3.6= 18
, porque 36
= 36
= 18
5
10
10 ÷ 2
5
valenteennúmerodecimal.
76 enformadecimal.
b) Escriban 136
y 100
10
2 Validensusrespuestasanterioresconlacalculadora.
3 Engrupo,discutanunprocedimientoparaconvertirunafraccióndecimalensu
equivalenteennúmerodecimalyescríbanloensucuaderno.
4 Enparejas,realicenlosiguiente.
a) Sinusarlacalculadora,dividan2entre5hastaqueobtenganresiduocero
Busca en...
la primera de las siguientes páginas la
fracción equivalente a una expresión
decimal y, en la
segunda, el decimal
equivalente a una
fracción:
www.edutics.mx/
Zoz
www.edutics.mx/
ZoK
2
yescriban 5 ensuequivalenteennúmerodecimal.
b) Escribanlassiguientesfraccionesensuequivalenteennúmerodecimal.
1
3
1
4
• 4 = • 4 = • 8 = • 5 =
c) Verifiquensusrespuestasalosincisosanterioresconlacalculadora.
5 Respondanlosiguiente.
2
a) Analicenlafracción 3 dividiendo2entre3sinusarcalculadora.¿Pueden
terminardedividir?¿Porqué?
5
b) Considerenlafracción 42 .Dividan5entre42,sinusarlacalculadora,hasta
obtener13cifrasdespuésdelpuntodecimal.
• ¿Quéobservan?
24
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24
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1
• 0.1= 10
Los números 1 y 10 no tienen divisores en común, de ahí que la fracción no se pueda
simplificar.
225
225 ÷ 25
• 2.25= 94 , porque 100
= 100
= 94 .
÷ 25
6. Se convierte el número decimal a una fracción decimal. Luego, si es posible, se simplifica al
máximo la fracción. Si la fracción no se puede simplificar, se multiplica tanto el numerador
como el denominador por cualquier número diferente de 10, 100, 1 000, ... para obtener
una fracción equivalente.
7. No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que la cantidad de números
(1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y al denominador de una fracción es infinita.
De fracciones a decimales
1. a) 0.2
136
76
0.2
10 20
– 20
0
b) 10 = 13.6; 100 = 0.76
En 136
el denominador 10 tiene un cero, de ahí que se recorra el punto un lugar hacia la
10
76
izquierda. En 100
el denominador 100 tiene dos ceros, por lo tanto se recorre el punto
dos lugares hacia la izquierda.
2. Respuesta libre.
3. Un método consiste en recorrer el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas
cifras como ceros tenga el denominador.
4. a) 0.4
0.4
5 20
–20
0
b)• 41 = 0.25
4
• 43 = 0.75
4
• 81 = 0.125
8
0.25
10
– 8
20
– 20
0
0.75
30
– 28
20
– 20
0
0.125
10
8
20
– 16
40
–40
0
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
4
• 5 = 0.8
0.8
5 40
–40
0
5. a) No, porque en cada paso de la división se obtiene el mismo residuo, que es 2, y como es
distinto de cero el procedimiento no termina.
3
0.66
20
– 18
20
– 18
2
b)• Despuésdelaprimeracifradecimal,quees1,serepitenlascifras190476.
42
0. 1 19 0 47619 0 476
50
– 48
80
– 42
380
– 378
200
– 168
320
– 294
260
– 252
80
–42
380
–378
200
–168
320
–294
260
–252
8
• Losresiduosseempiezanarepetir.
Página 25
Lección
1
• ¿Cuáleselresiduodeladivisión?
• ¿Podránllegaraobtenercerocomoresiduo,esdecir,terminardedividir?
• 8
Al calcular 11 cifras decimales del cociente el residuo que queda es 8.
• No,porqueserepitenlosresiduoscadaseispasos.
6. a) 43 = 0.75
= 2.14
b) 212
99
Aunque se continúe haciendo la división nunca se obtendrá cero como residuo, pues
siempre será 14 o 41. Las cifras que se repiten en el cociente son 14, así que sobre ellas
se pone una raya también llamada vínculo.
0. 2 1414
99 212
- 198
140
- 99
410
- 396
140
-99
410
- 396
14
¿Porqué?
Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su
equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero.
Este tipo de números se llaman númerosdecimalesfinitos.
2
5
Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones 3 y 42 en su equivalente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividiendo. A este tipo de números se les llama númerosdecimalesperiódicos.
2
Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción 3 se obtiene
0.666…, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 5 ,
42
ya que ésta vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras
190476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden
2
5
representar de la siguiente manera: 3 = 0.666… = 0.6 y 42 = 0.11904761… = 0.1190476,
donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces.
Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos:
•Númerosdecimalesperiódicospuros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un
mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6.
•Númerosdecimalesperiódicosmixtos: aquellos en los que después del punto decimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o
un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número
0.1190476.
6 Encuentrenelnúmerodecimalequivalentedecadaunalassiguientesfracciones.
3
a) 4 =
212
b) 99 =
1
c)11=
2
d) 3 =
7 Indiquensielnúmerodecimalequivalentedecadaunadelassiguientesfraccionesesfinito,periódicopurooperiódicomixto.Luego,sinusarlacalculadora,
verifiquensurespuesta.
1
7 = b) =
a) 30
7
51 =
c) 12
8 Engrupo,conayudadeunacalculadoraobtengantresfraccionesdemodoque
unadeellastengacomoequivalenteunnúmerodecimalfinito,otraunnúmero
decimalperiódicopuroylaterceraunnúmerodecimalperiódicomixto.
Toma nota
Localiza los siguientes conceptos
en el glosario (págs.
272-276) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
de cada uno:
• Fracción decimal
• Escritura decimal
de un número
• Fracción irreducible
25
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7
8
Bloque 1 / matemáticas 1
1
c) 11
= 0.09
Las cifras que se repiten en el cociente son 09 o 90. Se sabe que si se sigue haciendo la
división se volverán a repetir, ya que se obtuvo nuevamente 1 como residuo.
0.090909
11 100
– 99
100
–99
100
–99
1
d) 23 = 0.6
La cifra que se repite es 6, y sabemos que se seguirá repitiendo pues se obtuvo nuevamente 2 como residuo.
3
7. a)Periódico mixto.
7
Entonces 30
= 0.23.
b)Periódico puro.
0.66
20
– 18
20
– 18
2
0.233
30 70
–60
100
–90
100
–90
10
0. 1428571
7 10
–7
30
–28
20
–14
60
–56
40
– 35
50
– 49
10
–7
3
Entonces 71 = 0.142857. En la división se aprecia que nuevamente el residuo fue 3, lo
cual indica que se repetirán nuevamente todas las cifras.
c)Finito.
12
4.25
51
– 48
30
– 24
60
–60
0
9
8.Ejemplo de decimal finito: 8
, de decimal periódico puro: 91 , y de decimal periódico mixto:
9
.
105
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Página 26
9
Bloque
1
De decimales periódicos a fracciones
1 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.82yrespondanloquesepide.
a) ¿Cuálessonlosdígitosqueserepiten?
b) ¿Porquénosepuedeconvertiresenúmerodecimalensuequivalenteen
fracciónconelmétodoqueaprendieronenlasección“Dedecimalesafraccionesdecimalesysusequivalentes”?
De decimales periódicos a fracciones
Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número
decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo
de aproximación es “≈”.
Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la
última cifra. De ahí hay tres casos:
• Si ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42
• Si el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43
• Si el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que:
i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52
ii) Si ese dígito es impar, se le suma un 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54
1. a) El 8 y el 2.
b) Porque ese método sólo funciona para números decimales finitos. No se podría escribir
en el denominador una potencia de 10 que tuviera una infinidad de ceros.
828
c) Redondeo: 0.828. Como fracción: 1000
.
Para redondear 0.82 a tres cifras se observa el número de la cuarta cifra de 0.828282…,
que es 2. Como 2 es menor que 5 la cifra del tercer lugar queda igual, de ahí que se obtenga 0.828.
283
282 828
d) Redondeo: 0.828283 y 0.828282828. Como fracciones: 1 828
y 1 828
.
000 000
000 000 000
Para redondear a 6 cifras se observa que la séptima cifra es 8, mayor que 5, de ahí que
la colocada en la sexta posición aumente 1, y por eso la sexta cifra de 828 283 es 3. Al
redondear a 9 cifras, la décima cifra es 2, así que la novena se queda igual.
2. a) El número más cercano es 0.828282828, ya que tiene más cifras decimales en común
con 0.82.
b) Sí será más cercano, pues tendrá más cifras en común con 0.82. Ningún redondeo será
exactamente igual, ya que nunca se considerarán todas las cifras decimales de 0.82. Además, respecto a cada aproximación se puede obtener una aproximación mejor considerando un decimal más.
3. a) 0.2666
Página 27
2 666
266 666
b) Truncamiento de seis cifras: 0.266666. Las fracciones son 10 000 y 1 000 000 .
c) No, porque las fracciones se obtuvieron a partir de números decimales finitos. Si se hacen las divisiones se obtienen esos números decimales con residuo cero.
d) No, porque al truncarlo el resultado siempre es un número menor, ya que se omiten
cifras decimales. Tampoco se puede obtener con redondeo, ya que el resultado será un
número mayor debido a que la cifra decimal de 0.26 que se repite es 6, mayor que 5, así
que para cualquier cantidad de decimales que se haga el redondeo la cifra tendrá que
cambiar a 7 y dará un valor mayor que 0.26.
4. a) Las fracciones se igualaron con fracciones simplificadas.
515
303
• 241
= 48
.
10 000
2 000
El número se truncó a 4 cifras decimales.
45 666
22 833
= 50
.
• 100
000
000
El número se truncó a 5 cifras decimales.
•
47 777
.
10 000
El número se truncó a 4 cifras decimales.
143 243
.
• 101 000
000
El número se truncó a 7 cifras decimales.
b) El redondeo y el truncamiento son procedimientos que se emplean para hacer aproximaciones. Para obtener una fracción cuyo valor sea el mismo que el de un número decimal con una infinidad de cifras decimales sería necesario considerar todas esas cifras. Sin
embargo, con las fracciones que proceden del redondeo o el truncamiento se pueden
expresar los números periódicos de manera aproximada.
Reflexiona
1. a) Aquellas que en el numerador tengan un número que no se pueda dividir entre 2 o 5. Esto
se debe a que los divisores primos de 10 son 2 y 5, y los denominadores de las fracciones
c) Redondeen0.82a3cifrasdespuésdelpuntodecimalyescribanacontinuaciónesenúmeroensuequivalenteenfracción.
d) Ahoraredondéenloa6y9cifrasdespuésdelpuntodecimalyexpresenlos
númerosobtenidosensusrespectivosequivalentesenfracción.
2 Engrupo,respondanlosiguiente.
a) Comparenloscocientesdelasfraccionesdelosincisoscyddelejercicio
anterior,señalencuálseaproximamásalnúmero0.82yexpliquenporqué.
b) ¿Creenquesielredondeosehaceconmáscifrasdespuésdelpuntoelresultadoserámáscercanoalnúmero0.82?¿Yenalgúnmomentoseráexactamente
Regresa y revisa
igualaesenúmero?Justifiquensusrespuestas.
3 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.26yrespondanlosiguiente.
a) Escribanelnúmero0.26con4cifrasdespuésdelpuntodecimal.
A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad
de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es
mayor, menor o igual a 5.
26
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26
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10
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
decimales son de la forma 10, 100, 1 000,…, que se obtienen multiplicando varias veces el
número 10. Cada número de la forma 10, 100, 1000,… se puede ver como un producto de
2 y de 5. Por ejemplo:
1000 = 10 × 10 × 10 = 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5.
Así que una fracción decimal se puede simplificar cuando el numerador se puede dividir
entre 2 o entre 5.
150
1500
15 000
b) 100
, 1000
, 10
.
000
375
750
, 453
,
c) Ejemplos: 45
1000
10 000
Lección
1
9075
200
,
1815
40
.
Página 27
b) Ahoratrunquenelmismonúmerohasta6cifrasyescribanacontinuación,
paralostruncamientoshasta4y6cifrasdelnúmero0.26,suequivalenteen
fracción.
c) ¿Elcocientedealgunadelasfraccionesanterioresesigualalnúmero0.26?
¿Porqué?
d) ¿Hayunacantidaddecifrasdecimaleshastalaquesepuedatruncarelnúmero
Regresa y revisa
0.26demodoquelafracciónequivalentealnúmeroresultantetengaelmismo
valorque0.26?¿Ysienlugardetruncarseredondea?Justifiquensurespuesta.
4 Engrupo,haganloqueseindica.
a) Expresenlossiguientesnúmerosdecimalesperiódicosensuequivalenteen
fracción.Loscocientesdelasfraccionesdebentenerporlomenos4cifras
despuésdelpuntodecimal.
• 24.15=
•0.456=
• 4.7=
•0.11432=
b) Discutancuálessonlasdificultadesparaconvertirunnúmerodecimalperiódicoensuequivalenteenfracciónycomentenelerrorquesegeneraal
haceraproximaciones.
Reflexiona
1. Responde lo siguiente en tu cuaderno.
a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse?
15
b)El número 1.5 tiene el mismo valor que la fracción 10 . Escribe la fracción que vale lo
mismo que 1.5 cuyo denominador es: 100, 1 000 y 10 000.
c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos
denominadores sean múltiplos de 10.
Regresa y revisa
1 Leenuevamentelasituacióninicialyrespondeentucuaderno.
1
a) Expresa 3 ensuequivalenteennúmerodecimal,redondeadoa4cifrasdecimales,ycompáraloconelnúmero0.3.
1
b) Convierteelnúmero0.3ensuequivalenteenfracciónycompáralocon 3 .
c) ¿ConquéconversiónteparecemássencilloconcluirquelacantidaddepinturaqueusóAlejandroparapintarcadamuronoeslamisma?¿Porqué?
1
2 Engrupo,discutanquépasaríasiexpresaran 3 ensuequivalenteennúmero
decimal,redondeadoaunacifradecimal,ylocomparanconelnúmero0.3.
27
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27
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1. a) 0.3333, el cual es mayor que 0.3.
El número decimal que corresponde a 31 es 0.3. Para redondear a 4 cifras observamos
que la quinta cifra es 3, menor que 5, así que la cuarta cifra se queda igual. Por lo tanto el
redondeo es 0.3333. Además el número 0.3 = 0.3000, así que 0.3333 es mayor porque
su primera cifra es igual, pero el resto tiene mayor valor.
3
b) 10
, el cual es menor que 31 .
9
3
9
10
10
3
y 31 = 30
= 30
, entonces 30
es mayor que 30 , es decir, 31 es mayor que 10
.
10
c) La respuesta dependerá de cada alumno.
2. Daelmismoresultado.
Es la aproximación menos exacta, ya que es la menor en cuanto al número de dígitos
considerados.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Suma y resta de fracciones
L3
Página 34
Bloque
1
3. Suma y resta de fracciones
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
Situación inicial
Consumo de agua
Situación inicial
EncasadeRosarioalmacenanelaguaenuntinaco,elcualsellenaaliniciodecada
díaydespuésnovuelvearecibiragua.Ellíquidoseusadiariamentedeestamanera:
lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartapartedesucapacidaden
lavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.¿Quépartedeltinaco
quedaalfinaldecadadía?
Analiza
1. En parejas, respondan lo siguiente.
a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?
b)Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?
2. Resuelvan el problema inicial y justifiquen su respuesta.
Explora y construye
Acopio, reparto, carga, equilibrio…
Consumo de agua/Analiza
1 Enparejas, resuelvanlossiguientesproblemas.
a) Enunaescuelaserealizaunarecoleccióndeperiódicosviejosparavenderlos
ydonarloqueseobtengaalaCruzRoja.Elprimerdía,unequipodecuatro
6 kg, 1 kgy 2 kg.
alumnosllevólassiguientescantidadesdepapel: 37 kg 10
2
3
•
Cadaunoestimementalmentelasumadelascantidadesanterioresy,
apartirdeello,digacuántofaltaparacompletarunnúmeroenterode
kilogramos.
•
1. a) Sobrarían 83 partes de la capacidad del tinaco.
surespuestacomofracción.
3
por lo tanto, en un día donde sólo se utiliza agua en el baño y en la cocina sobran 8
partes de la capacidad total del tinaco.
b) Sobrarían 82 partes del tinaco.
Aquí se repite el procedimiento del inciso anterior: restamos las partes que se consumieron de la capacidad total del tinaco, pero también es necesario encontrar fracciones
equivalentes para restar fracciones que tengan el mismo denominador.
4
En el baño: 21 = 42 = 8
En lavar la ropa se utiliza: 41 = 82
La capacidad total del tinaco se puede representar como: 8
.
8
4
2
8
6
2
–
Ahora restamos: 8
–
–
=
=
8
8
8
8
8
8
Si no se utiliza agua en la cocina sobran 82 partes de la capacidad total del tinaco.
2. Al final de cada día queda 81 parte del tinaco.
Se puede llegar al resultado a partir del inciso a o a partir del inciso b de la actividad anterior,
sólo hay que restar la parte del tinaco que no se tomó en cuenta. Por ejemplo, si partimos del
inciso a, en un día en que no se lavó ropa sobraron 83 partes del tinaco; si restamos las partes
que se gastan en lavar la ropa: 41 = 82 tenemos lo que sobra en un día normal: 83 – 82 = 81
Por lo tanto, tras hacer todas las actividades sobra cada día 81 parte del tinaco.
Acopio, reparto, carga, equilibrio…
1. a) 2 kg
Para hacer una estimación mentalmente hay que aproximar las fracciones a una que sea
6
kg y a 23 kg como 21 kg,
fácil sumar. Una estimación se puede hacer tomando a 37 kg, a 10
1
que junto con el otro 2 kg en total suman 2 kg. Con esta estimación ya tenemos un
número entero de kilogramos.
41
169
Hay 2 210 kg y para formar paquetes de 1 kg faltan 210
kg. Es más fácil sumar 37 kg,
6 kg, 1 kg y 2 kg si lo hacemos de la siguiente manera:
10
2
3
2
1 2
1
4
3
7
3
6
6
72
: 37 + 10
Primero 7 más 10
= 30
+ 42
= 70
. Y después 3 más 2 : 3 + 2 = 7 + 7 = 7 ,
70
70
Por último, sumamos los dos resultados anteriores: 72 + 7 = 432 + 490 = 922 = 461 ,
70
6
420
420
420
210
41
Tenemos que 461
es igual a 2 210
, y para completar 3 kilogramos hacemos la siguiente
210
resta: 1 – 41 = 169 . Así que faltan 461 para formar 3 paquetes de 1kg cada uno.
210
210
210
El resultado de la suma de todas las fracciones se descompuso en un número mixto,
41
.Despuésselerestóa1laparte
con una parte entera (2) y una parte fraccionaria 210
41
fraccionaria, pues es el entero más próximo 1 –
; así, al sumarlo resulta un número
210
entero 2 × 41 + 169 = 3 .
210
210
Expliquencómodeterminaroncuáleslacantidadquefaltaparaformar
unnúmeroenterodepaquetes.
•
Para saber cuántas partes sobran del tinaco en ese día hay que restar a su capacidad total
las partes que se consumieron, pero como las fracciones tienen diferente denominador
es necesario encontrar fracciones equivalentes.
4
En el baño: 21 = 42 = 8
.
1
En la cocina: 8 .
La capacidad total del tinaco se puede representar como: 8
: ahora sí restamos:
8
8
4
– 8
– 81 = 83 ;
8
Haganloscálculosnecesariosparaobtenereltotaldelperiódicojuntado
ycuántofaltaparaformarpaquetesde1kgdepapelcadauno.Expresen
•
Usenlacalculadoraparacomprobarsusresultados.
b) Enungrupodeprimerodesecundariatresalumnasfestejaronsucumpleaños.Para,ellosuscompañeroscompraronunpasteldedospisosdelmismo
tamaño:unodefresayotrodedurazno.Secortaron10rebanadasporpiso,
34
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34
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11
12
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Lección
3
todasdelmismotamaño.Cincopersonascomieron,cadauna,unarebanada
depasteldefresayotradedurazno,ycuatropersonassólocomieronuna
rebanadadepasteldefresacadauna.
Usandosólofraccionesrespondanlosiguienteensucuaderno.
• ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde
pasteldefresaquesobraron?
• ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde
pasteldeduraznoquesobraron?
• Escribanunasumadefraccionesquepermitadeterminarquépartedel
pastelsobró.Después,realicenlasuma.
• Apartirdelnúmerototalderebanadasqueseconsumieron,escribanuna
restadefraccionesquepermitadeterminarquépartedelpastelsobró,
yverifiquenquehayanobtenidoelmismoresultadodelpuntoanterior.
inicial
c) Jorgelepidióprestadaasutíosucamionetaparaentregarmercancía.
Cuandoempezóausarelvehículo,eltanquetenía 43 desucapacidadde
gasolina.Luegodeunrecorrido,Jorgenotóquehabíagastado 61 delaca3 de
pacidadtotaldeltanque.Siduranteelrestodeldíaseconsumieron 10
lacapacidadtotaldeltanque:
• Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquegastó
Jorgeesedía.
• Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquequedó
despuésdelrecorrido.
construye
d) Enunabalanzadedosplatossecolocaunobjetodepesodesconocidoenelderechoyunacargaformadaporvariaspesascon
untotalde5kgenelplatoizquierdo.Perolabalanzanoqueda
equilibrada;paralograrlo,selequitanalplatoizquierdodospesas
de 31 kgyunade 81 kgyseleagregandospesasde 21 kgyunade
1 kg.¿Cuántoskilogramospesalacargadelplatoderecho?
4
Página 35
Verificar resultados con calculadora
Busca en...
1
el siguiente libro información
sobre la resolución de problemas con fracciones en el antiguo Egipto: Miguel Ángel Pérez
García (2009). Una historia de las
matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes.
Madrid. Visión Libros.
b) 20
El pastel tiene en total 20 rebanadas; 10 de ellas son de fresa, y de ésas se comieron 9,
1
5
por lo que sólo queda una rebanada de fresa que corresponde a 20
del todo el pastel. 20
Delas20rebanadasquetieneelpastel10sondedurazno,ydeésassecomieron5,por
5
representa las 5 rebanadas que sobraron de las 20 que tenía el pastel de dos
lo que 20
pisos.
1
5
+5
6
+ 20
= 120
= 20
20
Para encontrar más problemas
de fracciones, consulta Claude
Irwin Palmer et al. (2003). Matemáticas prácticas. Barcelona.
Reverté.
1
4
1
8
1
3
1
3
1
2
?
1
2
Fig. 1.3.1.
2 Engrupo,haganlosiguiente.
a) Redactendosproblemascuyaresoluciónimpliqueoperacionesde
sumayrestadefracciones.Antesdehacerloscálculosrespectivosestimenmentalmentelosresultadosydespuésresuelvanlos
problemas.
b) Discutancuáleslautilidaddeestimarresultadosmentalmente.
c) Analicenquéotroproblemaoproblemasdelejercicioanteriorpodríanhaberseresueltomedianteestimaciónyexpliquenporqué.
35
35
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20
9
5
– 20
– 20
=
20
20
14
6
– 20
= 20
20
puesto que se comieron 9 rebanadas de fresa y 5 de durazno.
7
de la capacidad total del tanque.
c) ∞ Jorge gastó 15
Se suma la cantidad que se gastó en el primer camino con lo que se gastó en el día.
17
1
3
10
18
28
7
+ 10
= 60
+ 60
= 60
= 15
6
∞ 60 quedaron después del recorrido.
7
A los 43 que quedaban en el tanque se le restan los 15
que gastó Jorge en el recorrido.
11
3
7
45
28
17
– 15
= 60
– 60
= 60
4
d) 5 24 kg.
Una forma de resolver el problema es encontrar la diferencia entre el valor de las pesas
que se le quitaron y el de las pesas que se le agregaron y después sumar esa diferencia
a los 5 kg iniciales.
Para encontrar la diferencia se suman primero todos los valores de las pesas. La suma de
16
3
19
las pesas que se quitaron es: 31 + 31 + 81 = 23 + 81 = 24
+ 24
= 24
.
La suma de las pesas que se agregaron es: 21 + 21 + 41 = 22 + 41 = 44 + 41 = 45 .
19
19
11
Para calcular la diferencia se le resta la cantidad menor a la mayor: 45 – 24
= 30
– 24
= 24
.
24
Finalmente, para saber cuánto pesa el objeto desconocido sumamos esa diferencia a los
11
11
5 kg iniciales: 5 + 24
= 5 24
.
2. a) Respuesta libre.
b) Es útil para resolver un problema cuando no se requiere una respuesta exacta, como por
ejemplo para saber si una cantidad es menor o mayor que otra sin especificar cuánto.
c) Depende de cada alumno, aunque en general es necesario escribir los cálculos para
resolver esos problemas.
Página 36
Bloque
1
d) Comentenloquehicieronpararesolverlosproblemas.Identifiquencuándo
usaronrestasdefraccionesycuándosumasdefracciones,yporquéfueasí.
3. a) 45 partes de la tabla.
5
1
Si se representa la tabla que tenía Alejandra como 5 y se le restan 5 que le pidió Isaías,
2
que le dio a Tere y 51 que le dio a Rodolfo: 1 + 2 + 1 = 4 .
5
3 Enequiposdetres,resuelvanelsiguienteproblema.
Alejandrahizounlibrerodemaderaylesobróunatabla.SuamigoIsaíaslepidió
laquintapartedelatablaparaterminardeconstruirunamesa;Terequisodos
quintaspartesdelatablaparaunarepisayRodolfo,unaquintapartedelatabla
parahacerunjoyeroparasuesposa.
a) ¿QuépartedelatablaentotalregalóAlejandra?
b) ¿QuépartedelatablalequedabaantesdedarlelaquintaparteaRodolfo?
c) ¿Quépartedelatablalequedó?
4 Engrupo,considerenquelalongituddelatabladeAlejandraerade3metrosy
respondanlosiguienteensucuaderno.
a) ComoIsaíasrecibió 51 detabla,entonceslalongituddesupedazoesde
3 metros.Expresenconfraccionesdemetrolaslongitudesdelospedazos
5
deTereyRodolfo.
b) ExpliquencómoobtendríanlalongituddelpedazoquelequedóaAlejandra
enfraccionesdemetro.
Invención de problemas
Regresa y revisa
1 En equiposyconbaseenlasimágenessiguientes,respondanlaspreguntas.
I
Fig. 1.3.2.
b) 25
III
II
a) ¿Quéfraccióndelcírculorepresentasuáreasombreada?
• I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndecadacírculonoestásombreada?
• I. • II. 3 Elijanunodelosproblemasqueplantearonenelejercicio2,resuélvanloyexplíquenloalgrupo.
4 Enequiposdetres,cadaunoelijaunadelassiguientesoperaciones.
d) 45 – 35 – 81 b) 87 – 37 + 71 c) 87 – 41 + 23 e) 57 – 61 – 23 f) 25 + 57 + 51 36
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36
5
5
5
Despuésdehaberledado 51 a Isaías y 25 a Tere le quedaron a Alejandra: 55 - 51 - 25 = 25 .
1
• III. 2 Cadaintegrantedelequipoelijauncírculodelafigura1.3.2,planteeunproblema
apartirdeélyexpliquesuplanteamientoasuscompañeros.
a) 4 21 + 31 – 45 5
30/03/12 10:29
c) 5
Despuésdehaberdado 45 partes de la tabla a sus amigos, sólo le sobró: 55 - 45 = 51 .
4. a) A Tere le tocaron 65 m y a Rodolfo 35 m.
Como a Tere le tocaron 25 de la tabla y ésta mide 3 m, se multiplica el número de metros
por la parte de la tabla que recibió para saber cuántos metros le correspondieron: 3 × 25
= 65 m. Se hace lo mismo con lo que recibió Rodolfo, a quien le toco 51 parte de la tabla:
3 × 51 = 35 m.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
b) El pedazo que le quedó a Alejandra mide 35 de metro, y para saberlo hay que multiplicar
la longitud de la tabla por la parte que le quedó, es decir, 3 × 51 = 35 m.
Invención de problemas
1
1. a) I. 2
Ya que se encuentra sombreada la mitad del círculo.
1
II. 4
Pues se encuentra sombreada la cuarta parte del círculo.
1
III. 8
Porque sólo está sombreada la octava parte del círculo.
b) I. 21 parte, pues el área completa del círculo representa la unidad, y al restarle 21 , que
corresponde al área pintada, tenemos el área que no lo está: 1 - 21 = 22 - 21 = 21 .
II. 43 partes, pues se sigue el mismo procedimiento que en el punto anterior: se le resta
el área pintada a toda el área del círculo.
1 – 41 = 44 – 41 = 43
III. 87 partes. Se hace lo mismo que en los dos puntos anteriores.
1 – 81 = 8
– 81 = 87
8
2. Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelatina circular con la cual celebraría en la
escuela su cumpleaños.
Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué parte de la gelatina sobró?
3. Solución del problema anterior: sobró la mitad.
4. Respuesta libre.
Página 37
Lección
3
5 Cadaquienplanteeunproblemaconlaoperaciónqueeligió.
6 Expliquenelplanteamientoasuscompañerosdeequipo.
5. Por ejemplo, si se elige la operación del inciso a, Roberto tiene que llenar un contenedor de
5 litros de agua. Primero agregó 4 21 litros y después 31 de litro. Si retiró de lo que había en
el contenedor 45 de litro, ¿cuántos litros hacen falta para llenarlo por completo?
29
de litro, pues primero se suman los litros que agregó: 4
7. Respuesta del ejemplo: le faltan 30
1
1
3
2
5
+
=
4
+
=
4
,
y
resulta
que
Roberto agregó 4 65 litros.Despuéslerestaaesos
2
3
6
6
6
5
25
24
1
litros la cantidad que retiró, es decir: 4 6 – 45 = 4 30
– 30
= 4 30
.
1
1
29
= 4 30
– 4 30
= 30
.
Y para completar 5 litros hay que restar: 5 – 4 30
30
29
litros.
Así que para que Roberto complete 5 litros, hacen falta 30
Reflexiona
1. a) 81 , pues en la hoja se marcaron 8 rectángulos iguales y en el tercer doblez sólo se representa uno.
1
4
1
2
1
8
1
16
1
, porque la hoja está dividida en 16 rectángulos iguales y en este doblez se representa
b) 16
sólo uno.
7 Elijanjuntosunodelosproblemas,resuélvanloyexplíquenloalgrupo.
Reflexiona
1. José leyó que hay un límite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma
cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que
puedas y después responde lo siguiente.
a) ¿Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez?
b)¿Y el cuarto doblez?
c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja,
¿el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta.
d)Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones.
Regresa y revisa
1 Enparejas,leanlasituacióninicialyelsiguienteplanteamiento.Después,respondan.
EltinacodelacasadeRosariotieneunacapacidadde1200L.Losvecinostienenuntinacode2000Ldecapacidadquetambiénsellenaaliniciodeldíay
despuésnovuelvearecibiragua;ellosempleanelaguadeltinacocadadíadela
siguienteforma:lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartaparte
desucapacidadenlavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.
a) Observenlafigura1.3.3,lacualrepresentaalosdostinacos,ydibujenqué
partedelacapacidaddecadaunodelostinacosseocupóparaelbaño,cuál
paralavarropaycuálparalacocina.
b) ¿Quéfraccióndelacapacidaddeltinacode
Nivel de
2 000 L
losvecinosquedaalfinaldeldía?
2 Engrupo,respondanenquéseparecenyen
quédifierenelconsumodeaguadelafamilia
Nivel de
1 200 L
deRosarioyeldelosvecinos
Vecinos
Rosario
Fig. 1.3.3.
37
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37
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Bloque 1 / matemáticas 1
1
c)Será menor, pues el primer doblez representa la fracción 2 , el segundo representa la
fracción 1 , el tercero la fracción 1 y el cuarto la fracción 1 , y aunque se sumen las 4
4
8
16
fracciones de los primeros cuatro dobleces el número será menor que 1.
1
d) 21 + 41 + 81 + 16
=
8
4
2
1
15
+ 16
+ 16
+ 16
= 16
16
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Regresa y revisa
1.a)
Nivel de
1200 L
Nivel de
2000 L A’
A
Baño
Baño
Lavar ropa
Lavar ropa
Cocina
Cocina
B
Resto
Rosario
B’
Resto
Vecinos
b) 81 . Ya que ellos utilizan el agua del tinaco de igual manera que Rosario.
2. Se parecen en que Rosario y sus vecinos distribuyen el agua en la misma proporción, pero
difieren en que los tinacos tienen diferente capacidad.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Figuras de tres y cuatro lados
L6
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Lección
6
6. Figuras de tres y cuatro lados
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
Situación inicial
Una tarea con un juego de geometría incompleto
Situación inicial
Regresa y revisa
Carlostienelatareadetrazarensucuaderno,consujuegodegeometría,untriángulo
equiláteroapartirdeunsegmento de recta queseráunodeloslados.Sinembargo,
sólocuentaconuncompásyunareglasingraduar.¿Cómolotrazaríastúconestas
herramientas?
1 Respondelosiguiente.
a) ¿Cuántosvérticestieneuntriángulo?
Glosario
segmento de recta.
Porción de recta
que queda delimitada por dos de sus
puntos, llamados
extremos del segmento.
b) ¿Cuántosvérticeshayenunladodeuntriángulo?
2 Carlosencontróenunlibroelsiguienteprocedimientoparatrazareltriángulo.
Llevaacabolospasosycontestalaspreguntas.
▶ Trazaentucuadernounsegmentoderecta,queserálabasedeuntriángulo
equilátero.Señalaconrojodóndeestaríanlosvérticesdeeselado.
▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenunodelosextremosdelsegmentoycon
unradioquemidalomismoqueelsegmento.
a) ¿Porquéelotrovérticedeltriángulodebeestarenalgúnpuntodelacircunferenciaquetrazaste?
Una tarea con un juego de geometría incompleto
▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenelotroextremodelsegmentoderecta
yconunradioquemidalomismoqueelsegmento.
b) ¿Dóndeseencuentraelotrovérticedeltriángulo?
▶ Trazaeltriánguloydespuésverificaconunareglagraduadaqueseaequilátero.
Analiza
1. a) Tiene 3 vértices.
Por ejemplo, los vértices del siguiente triángulo son A, B y C.
1. En grupo, discutan lo siguiente.
a) Su respuesta al inciso b del ejercicio 2.
b)¿Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos
equiláteros diferentes?
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b) Hay 2 vértices.
Por ejemplo, en el triángulo de la figura anterior el lado x tiene como vértices al punto A
y al punto B.
2. a) Porque el otro vértice y el centro de la circunferencia forman otro de los lados del triángulo y ese lado debe medir lo mismo que el segmento original, pero esa medida se tomó
como el radio, así que el segmento que une al nuevo vértice y al centro de la circunferencia mide lo mismo que un radio, y el vértice está sobre la circunferencia. Conviene
recordar que todos los puntos de una circunferencia están a la misma distancia (que es el
radio) de un punto fijo llamado centro.
b) En la figura de arriba (ejercicio 1) se muestran los trazos que se deben hacer para obtener
el tercer vértice. El segmento original es x, y sus extremos son A y B. El punto C es la intersección de las dos circunferencias y está a la misma distancia de A que de B, ya que los
radios de las circunferencias miden lo mismo, y a su vez esa medida es la del segmento .
Analiza
1. a) Un tema de discusión es que siempre habrá dos únicos puntos en donde se puede encontrar el otro vértice del triángulo. En la figura los puntos se marcaron como C y D.
b) Porque hay dos puntos donde se intersecan las circunferencias. En la figura se puede
observar el triángulo ABC y también se puede trazar el triángulo ABD.
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Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
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Bloque
1
Explora y construye
Trazo de triángulos
Enestaseccióndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelas
herramientassolicitadasencadacaso.
Triángulos equiláteros
Explora y construye
1 Enparejas,tracenensucuaderno,conreglagraduada,untriánguloequilátero
cuyosladosmidan4cmcadauno.
2 Comentenengrupolasdificultadesparahacerelejercicioanterior.
3 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) ¿Paraquésirveeltransportador?
b) ¿Cuántomidenlosángulosdeltriángulodelasituacióninicial?
4 Tracenensucuadernountriánguloequiláterocuyosladosmidan5cmutilizandotransportadoryreglagraduada.
5 Describanensucuadernoelprocedimientoqueutilizaron.
6 Eljuegodegeometríaincluyedosescuadrascomolasdelafigura1.6.1.Midan
una de ellas y
coneltransportadorlosángulosdecadaunadeellasyanotensusvaloresen
lamisma.
Trazo de triángulos
Fig. 1.6.1.
7 Enparejas,tracenensucuaderno,conescuadrasyreglagraduada,untriángulo
equiláterode5cm.
8 Engrupo,discutanlasventajasdecadaunodelossiguientesprocedimientos
paratrazaruntriánguloequilátero.Después,respondanlaspreguntas.
• Concompásyreglasingraduar.
• Contransportadoryreglagraduada.
• Conescuadrasyreglagraduada.
a) ¿Midenlomismolosángulosdecualquiertriánguloequilátero?
b) ¿Cómovalidaríanlarespuestaanterior?
Triángulos equiláteros
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2. La dificultad reside en trazar el tercer segmento y que mida exactamente 4 cm. Para que el
trazo del tercer segmento sea exacto, el segundo segmento debe trazarse de manera que
forme un ángulo de 60 grados con el primer segmento, y eso no es fácil de hacer utilizando
únicamente una regla graduada.
3. a) Para medir ángulos.
b) Al medir los ángulos con el trasportador se observa que cada uno mide 60 grados (60°).
4.
5. Paso 1: se traza un segmento de recta de 5 cm.
Paso 2: desde uno de sus extremos se traza otro segmento de 5 cm a 60° del primero con
ayuda del transportador.
Paso 3: se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de los otros dos.
6.
7. Se puede utilizar el método de la actividad 5, pero en lugar del transportador se usa la escuadra que tiene un ángulo de 60°.
8. a) Sí, 60°.
b) Una posible respuesta es: construir varios triángulos equiláteros de diferentes tamaños y
verificar que sus ángulos midan lo mismo. No se persigue que el alumno verifique que
en un triángulo los ángulos interiores sumen 180°, pues este tema se estudiará hasta segundo grado de secundaria.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
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Lección
6
Explora y construye
Triángulos isósceles
1 Anotacómosonentresílosángulosdeuntriánguloisósceles.
2 Trazaentucuaderno,conreglagraduadayescuadras,untriánguloisóscelescuyo
ladodiferentemida6cmycuyosángulosigualesseande45°.
3 Revisatutrazoconuncompañeroyescribanlasmedidasdelosladosigualesy
elángulodiferentedeltriángulotrazado.
4 Engrupo,discutanporquéentodoslostriángulostrazadosdeberíanobtenerse
lasmismasmedidas.
5 Enequiposdetres,trazaránensucuaderno,conreglagraduadaytransportador,
trestriángulosisósceles.Paraello,observenelcuadro1.6.1ysiganlospasos.
Triángulos isósceles
Triángulo
Medida
I
II
III
Ángulo diferente
de cada triángulo
55°
55°
55°
Lados iguales
de cada triángulo
4 cm
5.5 cm
9 cm
Ángulos iguales
de cada triángulo
Lado diferente
de cada triángulo
Cuadro 1.6.1.Medidasdetrestriángulosisósceles.
1. En un triángulo isósceles hay dos ángulos que tienen la misma medida.
▶ Tracenlostrestriángulosapartirdelasmedidasanteriores.
▶ Midanlosángulosyladosdelostriángulosresultantesycompletenlosespacios
blancosdelcuadroanterior.
6 Proponganotralongitudparalosladosigualesdeuntriánguloisóscelesconla
mismamedidadelángulodiferentedelcuadroanteriorytraceneltriángulo.
7 Expliquenquérelaciónhayentrelosángulosdeloscuatrotriángulos.
8 Comparenelejercicioanteriorconeldeotroequipoyobservencómosonlos
ladosylosángulosdelostriángulosqueellostrazaron.
2.
9 Engrupo,discutanlosiguiente.
a) Dadounángulo,¿cuántostriángulosisóscelespuedentrazarsesiconsideran
queeseánguloseencuentraentrelosladosiguales?Expliquen.
b) Dadoelánguloqueseencuentraentrelosladosigualesdeuntriánguloisósceles,
¿cambiarálamedidadelosotrosdosángulossicambialalongituddeesos
lados?
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Paso 1: se traza un segmento de 6 cm.
Paso 2: se coloca la escuadra que tiene un ángulo de 45° en uno de los extremos del segmento y se traza una semirrecta.
Paso 3: se repite lo anterior pero en el otro extremo del segmento. El punto donde se intersecan las dos semirrectas es el tercer vértice del triángulo.
3. El ángulo diferente mide 90° y los lados iguales 4.2 cm.
4.Elladoylosángulosdadosdeterminaneltercervértice.Despuésdehacerlostrazossólo
hay una opción para el tercer vértice, de ahí que no sea posible construir un triángulo diferente, ya que no se considera que dos triángulos sean diferentes porque están en posiciones distintas.
5.
Medida
I
II
III
Ángulos
iguales
de cada
triángulo
62.5°
62.5°
62.5°
Lado
diferente
de cada
triángulo
3.7 cm
5 cm
8.3 cm
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Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
7. Los ángulos de los cuatro triángulos miden lo mismo.
8. Todos los triángulos que se trazaron tienen un ángulo de 55° y dos de 62.5°.
9. a) Una infinidad de triángulos, pues aunque el ángulo mida lo mismo en todos los triángulos, los lados iguales pueden tener cualquier medida.
b) No, siempre miden lo mismo. Por ejemplo, aunque en el ejercicio 5 cambió la longitud
de los lados iguales, los ángulos iguales siempre midieron 62.5°.
Bloque
1
Triángulos escalenos
1 Construyeentucuaderno,conreglagraduadaycompás,untriángulocuyos
ladosmidan5cm,6cmy8cm.
2 Explicatuconstruccióndelejercicioanterioratrescompañerosycomparensus
construcciones.¿Quéobservan?
3 Trazaentucuaderno,conescuadraytransportador,untriángulocuyosángulos
midan15°,25°y140°ycompáraloconlostrazadospordoscompañeros.
4 Discutanengrupocuántostriángulossepuedenobtenerenlosejercicios1y3,
respectivamente.
5 Engrupo,analicencuántostriángulossepuedentrazarapartirdelassiguientes
características.
a) Unángulode30°yotrode70°,quecompartenunladode4cm.
b) Unladode4cmyotrode7.5cmqueformenunángulode37°.
Llamatriadaaunconjuntodetresnúmerosquecorrespondanalaslongitudes
detressegmentos;porejemplo,latriada(1,2,3)serefiereasegmentosque
miden1cm,2cmy3cm.
6 Enparejas,tracenensucuaderno,coneljuegodegeometría,eltriángulocorrespondienteacadaunadelassiguientestriadas:(5,3,3),(6,3,7)y(4,6,5).
7 Engrupo,expliquenporquélassiguientesafirmacionessonverdaderas.
• Conunatriadadelaforma(a, a, a)noesposibleconstruiruntriánguloescaleno.
• Esposibleconstruiruntriángulorectánguloconunatriadadelaforma
(a, a, b).
Trazo de cuadriláteros
Enestaseccióntambiéndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelasherramientassolicitadasencadacaso.
Cuadrados
1 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) SielladodelcuadradoAmide3cmyeldelcuadradoBmide5cm,¿entonces
losángulosdelcuadradoAmidenmenosgradosquelosdelcuadradoB?¿Por
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qué?
2 Planteenunprocedimientoparatrazaruncuadradode4cmconunareglagraduadayescuadras,yllévenloacabo.
3 Discutansusprocedimientosengrupo.
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Triángulos escalenos
1.
2. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm. Con ayuda del compás trazar
una circunferencia de 6 cm de radio con centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia de 8 cm de radio con centro en el otro extremo del segmento.
Uno de los dos puntos de intersección de las circunferencias será el tercer vértice del triángulo. Al comparar dicho triángulo con el que trazaron otros alumnos se advierte que todos
tienen las mismas medidas. Aunque sus posiciones sean distintas se consideran como el
mismo triángulo, ya que sus lados miden lo mismo.
3. Los triángulos trazados pueden tener o no las mismas medidas, ya que aunque los ángulos
sean iguales, cada alumno puede escoger la medida que quiera para uno de los lados. Por
ejemplo, para el triángulo azul (paso 1) se traza una semirrecta (paso 2), luego se traza otra
semirrecta a 15° a partir del extremo y sobre ella se marca un segmento de 5 cm (paso 3),
luego se traza una semirrecta a 25° a partir del extremo del segmento y se prolonga hasta
que corte a la primera semirrecta que se trazó (paso 4); la intersección es el tercer vértice y
se puede verificar que el ángulo que allí se forma es de 140°. En el segundo triángulo se repitieron los pasos anteriores, pero se escogió que la medida del segmento del paso 2 fuera
de 8 cm.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
4.En el ejercicio 1 se puede obtener sólo un triángulo. En el ejercicio 3 no hay límite, pues al
cambiar la medida de uno de los lados del triángulo, la de los otros lados también cambia.
5. a)Sólo se puede trazar un triángulo. Como se aprecia en la siguiente figura, el tercer vértice
queda determinado por la intersección de las semirrectas.
b)Sólo se puede trazar uno, pues el lado que falta se obtiene uniendo los extremos de los
segmentos, de ahí que sólo haya una opción para ese segmento y que, por lo tanto, no
se puedan formar triángulos diferentes.
6. Basta con repetir la construcción que se desarrolló en el ejercicio 1 con las medidas indicadas.
Triada (5, 3, 3).
Triada (6, 3, 7).
Triada (4, 6, 5).
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20
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
7. ∞ Con la triada (a, a, a) sólo se pueden construir triángulos equiláteros, pues todos los lados
tienen la misma medida.
∞ Sí, pero los catetos del triángulo (o sea los lados que forman el ángulo recto) deben ser los
que midan a unidades, y por lo tanto la medida b se determinará al unir los extremos de
los segmentos que miden a unidades.
Trazo de cuadriláteros
Cuadrados
1. No, porque una figura es un cuadrado si todos sus ángulos miden 90° y sus lados tienen
la misma medida. Por lo tanto, aunque cambie la medida de los lados entre un cuadrado y
otro, los ángulos siempre medirán 90°.
2. Una posible construcción sería: trazar un segmento de 4 cm con la regla; desde uno de los
extremos y con ayuda de la escuadra trazar un segmento de 4 cm que sea perpendicular al
primero; desde el otro extremo del segmento original hacer lo mismo; por último, se unen
los extremos de los dos segmentos que se trazaron.
Lección
6
4 ACarlosledejaronotratarea:trazaruncuadradousandosólouncompásyuna
reglasingraduar.Paraello,partiódeunsegmentoderectaalquellamóAB,que
seríaunodelosladosdelcuadrado(enlafigura1.6.2,correspondealsegmento
azul).Leelospasosquesiguióparaobtenerun lado adyacentealprimeroy
analízalosenlafigura.
▶ ProlongarconrojoelsegmentoABporambosextremos,conlongitudesalmenosigualesaladedichosegmento.
▶ Trazarunacircunferencia(decolorverde)concentroenAyconunradioque
midamenosqueAB.
▶ LlamarCyDalospuntosdondelacircunferenciacortaalsegmento ABysu
prolongación.
▶ TrazardoscircunferenciasderadioCD:unaconcentroenCyotraconcentroenD.
▶ Trazarunarectasobrelospuntosdondesecortanlasdoscircunferenciasde
igualtamaño.
▶ TrazarotracircunferenciaconcentroenAyradioAB.
▶ Marcarelpuntodeinterseccióndelacircunferenciaconlaúltimarectatrazada
yllamarloE.
Glosario
lados adyacentes.
Aquellos que comparten un vértice.
E
A C
D
B
Fig. 1.6.2.
5 Respondelosiguiente.
a) ¿CómoeselánguloentreelsegmentoABylaúltimarectatrazada?
b) ¿Cómosonambasrectasentresí?
c) ¿PasalaúltimarectatrazadaporelpuntoA?
d) ¿PorquéelsegmentoAEmidelomismoqueelsegmentoAB?
Busca en...
www.edutics.mx/
Zoj
actividades y ejercicios acerca de
la construcción de
triángulos.
e) ¿Quépartedelaúltimarectatrazadacorrespondealnuevoladodelcuadrado?
6 ConbaseenelprocedimientodeCarlos,trazaentucuadernouncuadradode
6cmdelado.
7 Verificaquesecumplanlaspropiedadesdeestafigurageométricarespectoala
longituddesuslados,asícomoladimensióndesusángulos.Sinoesasí,revisa
laactividadconalgúncompañerocuyostrazossílascumplan.
8 Revisenengrupolasdudasrespectoalaconstrucciónanterior.
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5. a) Mide 90°.
b) Perpendiculares.
c) Sí.
d) Porque ambos segmentos son radios de la última circunferencia que se trazó.
e) El segmento AE, pues forma un ángulo recto con el segmento AB y además tiene la misma medida.
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Bloque
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Rectángulos
1 Respondelosiguiente.
a) ¿Cómoserelacionanentresílasmedidasdelosladosdeunrectángulo?
Rectángulos
b) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosdeunrectángulo?
2 Supónquecuentasconuntransportadoryunareglagraduadayquierestrazar
unrectángulo.
a) ¿Quépropiedaddelosrectángulosjustificaelusodeltransportador?
b) ¿Cómotrazaríasconestosinstrumentosunrectángulocuyosladosmidan5
y7cm?Propónunprocedimientoyverifícaloentucuaderno.
Deltoides y rombos
1 Realizaelprocedimientosiguienteyrespondelaspreguntas.
▶ TrazaunsegmentoABde5cmenelcentrodeunapáginadetucuaderno.
▶ SobreelsegmentoABtrazadoscircunferencias,unaconcentroenAyotracon
centroen B,cuyosradioscumplanlosiguiente.
• Quemidanlomismo.
• QuesulongitudseamayorquelamitaddeladelsegmentoAB,demodoque
lascircunferenciasseintersequenendospuntos.
▶ Marcaelpuntodeinterseccióndelascircunferenciasqueseencuentraporarriba
delsegmentoAB;llámalo C.
▶ Trazaotrasdoscircunferenciascuyosradiosmidanlomismo,concentroen
cadaunodelosextremosdelsegmentoAB;lalongituddelosradiosdebeser
mayorqueladelosradiosdelasotrascircunferencias.
▶ Marcaelpuntodeinterseccióndeambascircunferenciasqueseencuentrapor
debajodelsegmentoAByllámaloD.
▶ TrazaconrojolossegmentosAC,CB,BDyDA.
a) ¿Quéformatieneelcuadriláteroqueconstruiste?Describesusladosyángulos.
b) ¿Cómosonlosladosyángulosdeunrombo?
2 Lafiguraquetrazasteenelejercicio1sellamadeltoide.Básateenelprocedimientoquepermitetrazarundeltoideparaescribirentucuadernolospasos
conlosqueseconstruyeunrombo.
3 Después,engrupo,revisenesteprocedimiento.
4 Leelosiguienteyresponde:“enuncuadrilátero,unadiagonaleslarectaqueva
deunvérticealotroquenoseencuentraenunladoadyacente”.
¿Cuántasdiagonalestieneunrombo?
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1. a) Los lados opuestos de un rectángulo miden lo mismo, pero las medidas de los lados
adyacentes son distintas.
b) Miden 90°.
2. a) Se necesita trazar los ángulos de 90°.
b) Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm y en sus extremos trazar
dos segmentos perpendiculares de 7 cm cada uno hacia la misma dirección. Por último,
unir estos segmentos por sus extremos para trazar el otro lado.
Deltoide y rombo
1.
a) Los lados AC y BC miden lo mismo. Los lados AD y BD miden lo mismo. EL ángulo que
está en el vértice A mide lo mismo que el ángulo que está en el vértice B, además, el
ángulo del vértice D mide lo mismo que el ángulo del vértice C.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
b) Los lados de un rombo son todos iguales y sus ángulos opuestos miden lo mismo.
2. Una posible construcción, a partir del procedimiento del ejercicio 1, es usar las primeras
circunferencias que se trazaron y tomar las dos intersecciones.
4. Un rombo tiene dos diagonales.
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Lección
6
5 Trazaentucuadernodosrectasperpendicularesde5cmqueseintersequenensu
puntomedioyúnelasporsusextremos.
a) ¿Cuántomidenlosladosdelcuadriláteroresultante?
5.
b) ¿Cuántomidensusángulos?
c) ¿Cuálessonlasdiagonalesentutrazo?
6 Enparejas,revisenlostrazosdelejercicioanteriorydigandequécuadrilátero
setrata.
7 Engrupo,modifiquenelprocedimientoanteriorparaobtenerunrombo.
8 Hazlosiguiente.
▶ Marcalospuntosmediosdelosladosdelcuadradoydelrectángulosiguientes.
▶ Unelospuntosmarcadosconlospuntosdelosladosadyacentes.
▶ Midelosladosylosángulosdeloscuadriláterosresultantes.
Fig. 1.6.3.
9 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelcuadrado?
b) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelrectángulo?
10 Engrupo,discutancuálessonlasdiferenciasysimilitudesentreuncuadrado
yunromborespectoasuslados,ángulosydiagonales.
Romboides
1 Pruebaesteprocedimientoparatrazarrectasparalelasusandodosescuadras:
▶ Manténfijaunadelasescuadras.
▶ Colocalaotraescuadrademaneraqueunodesusladossedeslicesobreunode
losladosdelaescuadrafija,comosemuestraenlafigura1.6.4.
▶ Trazaunarectaconalgunodelosladosdelaescuadramóvilquenoestáen
contactoconlaescuadrafija.
▶ Arrastralaescuadramóvilytrazaotrasrectasparalelasalaprimera.
2 Entucuaderno,describelosladosyángulosdeunromboide.
3 Engrupo,discutanunprocedimientoparatrazar,conreglagraduadaydos
escuadras,unromboidecuyosladosigualesmidan4cmy7cm,respectivamente.
4 Enparejas,tracenensucuadernoelromboideymidansusángulosinternos.
Fig. 1.6.4.
57
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a) 3.54 cm.
b) 90°
c) Las diagonales del cuadrilátero resultante son las rectas perpendiculares que se trazaron
al principio.
6. Se trata de un cuadrado.
7. Basta con repetir el procedimiento del ejercicio 5 pero con rectas de distinta longitud. Por
ejemplo, el siguiente rombo se formó con un segmento de 5 cm y el otro de 7 cm.
57
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Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
8.
9. a) Un cuadrado.
b) Un rombo.
10. En el cuadrado y en el rombo todos los lados miden lo mismo. Todos los ángulos de un
cuadrado miden 90°, mientras que en un rombo la medida de los ángulos opuestos es
la misma, pero distinta respecto del otro par. Las diagonales de un cuadrado miden lo
mismo, mientras que las de un rombo son distintas. En ambos cuadriláteros las diagonales
son perpendiculares.
Romboides
2. Los lados opuestos miden lo mismo y los ángulos opuestos también, pero en ambos casos
su medida es distinta respecto al otro par.
3. Un procedimiento correcto sería: trazar un segmento de 4 cm, luego trazar un segmento
de 7 cm desde cada extremo del segmento, de modo que estos segmentos sean paralelos
(hay que usar el procedimiento del ejercicio 1); por último, se unen los extremos de dichos
segmentos para obtener el cuarto lado.
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5. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 4 cm; con ayuda del transportador,
trazar desde uno de sus extremos un segmento de 7 cm a 75° en sentido antihorario; luego
trazar otro segmento de 7 cm a 105° en sentido horario desde el otro extremo del primer
segmento; al final se unen los extremos de los dos segmentos que se trazaron
Bloque
1
5 Engrupo,discutancómotrazaríanunromboideparaquedosdesusángulos
seande75°y105°ydosdesusladosmidan4cmy7cm.
Trapecios
Situación inicial
1 Enequiposdetres,haganlosiguiente.
a) Tracentrestriángulosisóscelescondosladosde7cmyunode6cmusando
compásyreglagraduada.
b) Concadaunodelostriángulosanteriorestracenuntrapecioisóscelescuya
basemayorseade6cm.Elprimertrapeciodebetenerunaalturade2cm;
elsegundo,unade3cm,yelúltimo,unade4cm.Usenescuadrasyregla
graduada.
c) Obtenganlabasemenordelostres.
Trapecios
2 Engrupo,verifiquenqueobtuvieronlaslongitudescorrectasdelasbasesmenores;delocontrario,revisenenquépartedelprocedimientoseequivocaron.
Reflexiona
1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y
justifiquen cada respuesta.
a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo.
b)Se puede construir un único triángulo si se conoce la longitud de su base y su altura.
1. a) y b).
Regresa y revisa
1 Enequipos,analicenlostrazosquehicieronenlalección.Elaborenuncartelcon
unatabladedoscolumnas:enlaprimeradibujenuninstrumentodeljuegode
geometríayenlasegundaredactensusaplicacioneseneltrazodetriángulosy
cuadriláteros.Incluyantodaslasherramientasconquetrabajaron.
Resuelve y practica
1. Traza los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno, mide sus lados y ángulos, e identifica de qué figura se trata en cada caso.
▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
medio.
▶ Sus diagonales miden 5 cm,no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
medio.
▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
medio.
▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su
punto medio.
2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si los triángulos en
que un cuadrilátero quedó dividido por su diagonal son equiláteros, ¿de qué tipo de
cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posibles respuestas a esta pregunta?
58
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58
30/03/12 10:30
c) Las bases menores son aproximadamente: 4.1 cm, 3.1 cm y 2.2 cm, respectivamente.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Reflexiona
1. a)Es falsa. Con distintos ángulos entre los dos segmentos se obtienen distintos triángulos.
b)Es falsa, pues la posición depende de la altura en la base. Por ejemplo, los siguientes
triángulos tienen la misma medida de altura y la misma de base, pero son diferentes.
Resuelve y practica
1. a)Un cuadrado.
b)Un rectángulo.
c) Un rombo.
d)Un romboide.
2.El cuadrilátero sería un rombo en el cual una de las diagonales mide lo mismo que sus
lados. No hay ninguna otra respuesta posible. Por ejemplo, en la siguiente figura todos los
segmentos miden lo mismo.
23
24
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Reparto proporcional
L8
Lección
8
Página 69
8. Reparto proporcional
Resolución de problemas de reparto proporcional.
Situación inicial
Tienda de buceo
Situación inicial
Tresamigos:Alfonso,TereyRocío,seasociaronparaponerunatiendadebuceo
yparaelloaportarondiferentescantidadesdedinero.Alfonsopuso$40000;Tere,
$60000,yRocío,$100000.Sialfinaldelprimerañotuvierongananciasde$60000,
¿cómodebenrepartirseesedinerodeacuerdoconloqueaportócadauno?
Analiza
1. En parejas, respondan las siguientes preguntas en su cuaderno.
a) Si los amigos se repartieran las ganancias en partes iguales, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno?
b)¿Consideran que las ganancias deben repartirse en partes iguales entre los tres? ¿Por
qué?
c) ¿Qué parte del total del dinero para iniciar el negocio aportó cada uno de los socios?
d)De acuerdo con su respuesta anterior, ¿qué parte de las ganancias le corresponde a
cada uno de los socios? Expliquen su respuesta.
Explora y construye
Repartición justa
Tienda de buceo/Analiza
Esprobablequehayasparticipadoenunrepartoequitativo.Enlaprimariaseresuelvenproblemasdondeladistribuciónesasí,peropregúntatesiesoesjustoen
todosloscasos.
1 Consideraelproblemadelasituacióninicialyrespondelosiguiente.
a) Silasgananciashubieransidode$50000,¿cómoserepartirían?
b) Silasaportacionesinicialeshubieransido:$100000deAlfonso,$120000
deTerey$100000deRocío,ylasgananciasalfinaldelprimerañohubieran
sidode$60000,¿cómodeberíarepartirseesedinerodemodoproporcional
aloqueaportócadauno?
2 UnaunidadhabitacionalcontratóaDavidyDanielcomovigilantesparatrabajar
delunesaviernes.Davidloharáde6ama6pmyDaniel,de6pma6am.La
semanapasada,DavidtrabajódosturnosqueletocabanaDaniel.
69
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69
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1. a) $20 000
= 20 000
Pues el dinero de la ganancia se dividiría entre 3 60 000
3
b) No, porque la inversión de cada socio fue diferente.
3
c) 51 Alfonso, 10
Tere y 21 Rocío.
La inversión total de los amigos fue de $200 000, que es la suma de las aportaciones de
cada uno.
Para encontrar qué parte del total invirtió cada uno hay que dividir la cantidad que puso
cada socio entre 200 000; el cociente es la parte del total que aportó.
40 000
Alfonso aportó: 200 000
= 51
60 000
3
Tere aportó: 200 000
= 10
100 000
Rocío aportó: 200 000
= 21
d) $12 000 para Alfonso, $18 000 para Tere y $30 000 para Rocío, ya que los $60 000 de la
ganancia se multiplican por la parte del total que aportó cada socio.
A Alfonso le tocan: 51 × 60 000 = $12 000.
3
A Tere le tocan: 10
× 60 000 = $18 000.
Y a Rocío le tocan: 21 × 60 000 = $30 000.
Página 69
Explora y construye
Reparto justo
1. a) $10 000 para Alfonso,
$15 000 para Tere y $25 000 para Rocío.
Se conserva la proporción porque la inversión fue la misma, sólo que esta vez cambió la
ganancia. Se multiplica la parte que le toca a cada uno por la ganancia.
A Alfonso le tocan: 51 × 50 000 = $10 000.
3
A Tere le tocan: 10
× 50 000 = $15 000.
Y a Rocío le tocan: 21 × 50 000 = $25 000.
b) Tere $18 750, Alfonso $22 500 y Rocío $18 750.
Se ejecuta el mismo procedimiento que en el inciso c de la actividad “Analiza”. La suma
total de la nueva inversión es $320 000, y para determinar la parte del total que puso cada
uno hay que dividir lo que invirtió entre la cantidad total.
100 000
5
Alfonso aportó: 320 000
= 16
.
120 000
3
Tere aportó: 320 000 = 8 .
100 000
5
= 16
.
Rocío aportó: 320 000
Para saber qué cantidad ha de recibir cada uno es necesario multiplicar la parte que le
corresponde por la ganancia.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
5
A Alfonso le tocan: 16
× 60 000 = $18 750
A Tere le tocan: 83 × 60 000 = $22 500
5
Y a Rocío le tocan: 16
× 60 000 = $18 750
Bloque
1
a) Silacantidaddedinerodestinadaalavigilanciaesde$5000porsemana,
¿cuántoledebendepagaracadaunodeellosporsutrabajodelasemana
Página 70
pasada?¿Porqué?
3 Rosa,JavieryHerminiohicieron100tamalesoaxaqueños.Paracomprarlos
ingredientesaportaronlascantidadesde$80,$120y$200,respectivamente,
yserepartieroneltrabajodemaneraequitativa.Enparejas,analicencómose
debenrepartirlostamales,respondiendolaspreguntas.
a) ¿Consideranquesedebenrepartirlostamalesencantidadesiguales?¿Porqué?
2. a)Delosdiezturnosquecubrieronentrelosdos,DavidtrabajósieteyDanieltres;porlo
7
3
tantoaDavidlecorresponden 10
partesyaDaniel 10
partes.
7
PorlotantoaDavidledebenpagar:5 000× 10 = 3 500 pesos.
3
YaDaniel:5 000× 10
= 1 500 pesos.
3. a) Se espera que el alumno responda que no, pues las aportaciones no fueron equitativas.
b) Para Rosa 33 tamales, para Javier 32 tamales y para Herminio 35 tamales, ya que en total
son 100 tamales y la suma de las edades es igual a 100.
c) Se espera que el alumno responda que no, pues la edad no es un criterio justo para hacer
el reparto.
d) A Rosa le tocarían 20; a Javier 30 y a Herminio 50.
Para saber cuántos tamales les corresponden primero se tiene que conocer el total que
se juntó y luego la parte que aportó cada uno. Si reunieron $400, la parte que aportó
80
Rosa respecto al total fue: 400
= 51 .
b) Rosa,JavieryHerminiotienen33,32y35añosdeedad,respectivamente.
¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehacedemanera
proporcionalasusedades?
c) ¿Piensanqueesjustorepartirlostamalessegúnsusedades?¿Porqué?
d) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcionalmentealaportemonetarioparalacompradelosingredientes?
e) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcionalmentealaportedetrabajoparahacerlostamales?
4 Engrupo,verifiquensusprocedimientosyanalicensilosdistintoscriteriosseñaladosenelproblema,comoeltrabajohechoporcadapersona,laedaddecada
unooelaporteeconómicoparacomprarlosingredientes,sonigualmenteválidos.
Dinero y chocolates
1 Enparejas,resuelvanlossiguientesproblemas.
a) Cadaunodeloscincointegrantesdeunafamiliaahorróduranteunañopara
pagarunviajealaplaya.Aportaronlassiguientescantidades.
Integrante
Ahorro ($)
María
Cuadro 1.8.1.
Devolución
3 500
Silvia
4 000
Rogelio
4 000
Concepción
4 500
Sergio
5 500
70
70
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30/03/12 10:30
120
3
= 10
.
La parte que aportó Javier fue: 400
200
Y la parte que aportó Herminio fue: 400 = 21 .
Para saber cuántos tamales le corresponden a cada uno hay que multiplicar la parte de
cada uno por el total de tamales:
A Rosa le tocan: 51 × 100 = 20 tamales.
3
× 100 = 30 tamales.
A Javier le tocan: 10
Y a Herminio le tocan: 21 × 100 = 50 tamales.
e) Se le distribuyen 33 tamales a cada uno, pues el trabajo de elaboración se repartió de
manera equitativa, de ahí que la cantidad total de tamales se deba dividir entre 3.
Dinero y chocolates
1. a)
Integrante
Ahorro($)
Cantidad que aportó
respecto del total reunido
Devolución
María
3 500
7
43
$325.58
Silvia
4 000
8
43
$372.09
Rogelio
4 000
8
43
$372.09
Concepción
4 500
9
43
$418.60
Lección
8
• Enlaprimeraceldadelaterceracolumnadelcuadroanterior,escriban
“Cantidadaportadarespectoaltotalreunido”ycompletenelrestodela
columnaconlasfraccionescorrespondientes.
• Sialregresardelviajelessobraron$2000,¿cómosedebenrepartirese
Sergio
5 500
11
43
dinero?
• Anotenenlacuartacolumnacuántoletocaríaacadaquienyverifiquen
susresultadosconelrestodelgrupo.
$511.63
Toma nota
Localiza reparto
proporcional en
el glosario (págs.
272-276) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
del término.
b) Jorge,RocíoySamuelcompraronunacajadechocolatescon60piezas.Rocíoaportólamitaddelcostototal;Jorge,laterceraparte,ySamuel,elresto.
Siserepartieranlaspiezasdemaneraproporcionalasuaportación:
• ¿Cuántoschocolatesletocaríanacadauno?
• Expliquenensucuadernoelprocedimientoqueusaronparaobtenerla
respuestaanterior.
c) JuanyCarlos,doscompañerosdetrabajo,compraronunboletodeunsorteo
yganaron$20000.Elrepartodelpremiosehizodemaneraproporcionalde
acuerdoconloqueaportaronyaJuanletocaron$7500.
• ¿QuépartedelcostodelboletoaportóJuan?
• ¿YquéparteaportóCarlos?
• Sielboletocostó$600,¿cuántodineroaportócadaunodeellos?
Página 71
• Expliquenensucuadernoquéhicieronparadeterminarelresultadode
laspreguntasanteriores.
d) Elgobiernofederalasigna$800000alañoalmunicipiodeSantiagoHuauclilla,Oaxaca,elcualestáconformadoporcuatropueblos:SantiagoHuauclilla
(239habitantes),SanBartoloméZotula(66habitantes),SanJuanTlalixtlahuaca(52habitantes),SantiagoIxtlahuaca(103habitantes).Ladistribucióndel
dinerosehacedemaneraproporcionalalnúmerodehabitantesdecada
pueblo.Respondanlassiguientespreguntas.
• ¿Quépartedeltotaldeldineroasignadolecorrespondeacadaunode
∞ El dinero que sobró se debe repartir de manera proporcional a lo que aportaron.
∞ Para obtener cuánto le toca a cada uno hay que multiplicar 2000 por los valores de la
7
tercera columna; por ejemplo, para saber cuánto le toca a María: 2 000 × 43
= 325.58.
Busca en...
el siguiente enlace actividades
y ejercicios sobre
reparto proporcional:
www.edutics.
mx/Zoy
loscuatropueblos?
• ¿Quécantidaddedineroletocaacadapueblo?
2 Engrupo,respondanlaspreguntasdelincisoddelejercicioanteriorperoahora
considerenunaasignacióndeunmillóndepesos.
Fuentes: “SantiagoHuauclilla”,enEnciclopedia de los Municipios de México.Enwww.e-local.gob.mx/
work/templates/enciclo/oaxaca/municipios/20463a.htm
Consultadael14dediciembrede2011.
“SantiagoHuauclilla”.Enwww.nuestro-mexico.com/Oaxaca/Santiago-Huauclilla
Consultadael14dediciembrede2011.
71
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71
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25
26
Bloque 1 / matemáticas 1
b)• A Rocío le tocarían 30 piezas; a Jorge 20, y a Samuel 10.
Para que el reparto sea proporcional se ha de saber primero cuánto aportó cada uno
respecto al precio total de la caja. Sabemos que Rocío aportó 21 , Jorge 31 , y para conocer lo que aportó Samuel hay sumar lo que aportaron Rocío y Jorge y restarlo de 1,
porque 1 representa el precio total de la caja de chocolates, así que:
1
+ 31 = 63 + 62 = 65
2
1 – 65 = 66 – 65 = 61
Por lo tanto Samuel aportó 61 .
Finalmente, para saber cuántos chocolates le corresponden a cada uno tenemos que
multiplicar el número total de chocolates por la parte que aportó cada quien respecto
al precio total.
A Rocío le corresponden: 60 × 21 = 30 chocolates, a Jorge: 60 × 31 = 20 chocolates
y a Samuel le tocan: 60 × 61 = 10 chocolates.
• El procedimiento consiste en multiplicar la fracción del costo total que aportó cada
uno por la cantidad de piezas que tiene la caja de chocolates.
c) • Juan aportó 83 del costo del boleto, y como se repartieron el premio de manera proporcional a lo que cada uno aportó fue necesario hacer la siguiente división para saber
7 500
qué parte le tocó: 20 000
= 83
5
• Carlos aportó 8 del costo del boleto, ya que éste es el complemento de la unidad, la
cual representa el precio total. 1 – 83 = 85 .
• Juan aportó $225 y Carlos $375.
Para obtener el resultado hay que multiplicar lo que cada uno aportó por el precio del
boleto: Juan aportó: 83 × 600 = 225.
Carlos aportó: 85 × 600 = 375.
• Se puede dividir la cantidad que ganó Juan ($7 500) entre el total de dinero que ganaron ($20 000) para conocer la fracción del total que él aportó.
Para calcular la fracción que aportó Carlos se resta de la unidad la parte que aportó
Juan. Finalmente se multiplican esas fracciones por el costo del boleto ($600).
239
d)• Al pueblo de Santiago Huauclilla le corresponden 460
del total municipal, a San Bar66
52
103
tolomé Zotula 460 , a San Juan Tlalixtlahuaca 460 , y a Santiago Ixtlahuaca 460
.
Para obtener las partes que le corresponden a cada pueblo respecto del total de habitantes
del municipio primero hay que sumarlos todos: 239 + 66 + 52 + 103 = 460 habitantes.
Después se dividen el número de los habitantes de cada pueblo entre el total de habitantes
del municipio.
∞ Para Santiago Huauclilla $415 652.17, para San Bartolome Zotula $114 782.61, para San
Juan Tlalixtlahiaca $90 434.78 y para el pueblo de Santiago Ixtlahuaca $179 130.44.
Estas cantidades se obtienen multiplicando la cantidad que el gobierno federal le asigna al todo el municipio por el número de habitantes de cada pueblo respecto al total
del municipio.
239
Para Santiago Huauclilla: 800 000 × 460
= 415 652.17 pesos.
66
Para San Bartolome Zotula: 800 000 × 460
= 114 782.61 pesos.
52
Para San Juan Tlalixtlahiaca: 800 000 × 460
= 90 434.78 pesos.
103
Y para Santiago Ixtlahuaca: 800 000 × 460
= 179 130.44 pesos.
2.A Santiago Huauclilla, $519 565.22; a San Bartolomé Zotula, $143 478.26; a San Juan
Tlalixtlahuaca, $113 043.47, y a Santiago Ixtlahuaca, $223 913.04.
Se repite el mismo procedimiento del inciso d de la actividad anterior, pero ahora se multiplica 1 000 000 por el número de habitantes de cada pueblo respecto al total del municipio.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
27
239
Para Santiago Huauclilla: 1 000 000 × 460
= 519 565.22 pesos.
66
= 143 478.26 pesos.
Para San Bartolome Zotula: 1 000 000 × 460
52
Para San Juan Tlalixtlahuiaca: 1 000 000 × 460 = 113 043.47 pesos.
103
= 223 913.04 pesos.
Y para Santiago Ixtlahuaca: 1 000 000 × 460
Bloque
1
Página 72
Reflexiona
1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 2 de la página 70), si Rosa y Herminio hubieran aportado cada quien 200 pesos para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero pero hubiera hecho todos los tamales él solo, ¿cómo repartirías los
100 tamales? ¿Qué dificultad plantea esa repartición?
Situación inicial
Regresa y revisa
1 Enequiposdetres,leannuevamentelasituacióninicialyanalicenelsiguiente
planteamiento.Respondanlaspreguntasensucuaderno.
Despuésdelprimeraño,lostresamigosqueríanhacercrecersunegocioeinvitaron
aJulietayEstheraasociarseconellosparaasítenermáscapital.Lasdosaceptaron
ycadaunaaportó$25000.Loscincoamigostrabajaronporigualpero,alfinalizar
elaño,nohubogananciassinopérdidas.Ademásdeperdereldinerodelainversión,
teníanquepagar$100000entretodos.
Reflexiona
a) Proponganunamanerapararepartirelpagoentrelossociosyexpliquenpor
quélodecidieronasí.
b) Silosamigoshubierandecididorepartirelpagopendientedemaneraproporcionalalacantidadquecadaquieninvirtió,¿cuáldeloscincohabríatenido
quepagarmás?¿Cuántohubierapagadocadauno?
2 Engrupo,discutansusrespuestasanterioresyexpliquenenquésituacioneses
aplicableelrepartoproporcional.
1. Una posible respuesta es que los tamales se podrían distribuir en partes iguales si se sustituyera todo el trabajo de Javier por la aportación económica de Rosa y Herminio. Nuevamente
habría que repartir 100 entre 3; la dificultad es que resulta complicado reconocer que la
aportación económica y el trabajo que se ejecutó son equivalentes.
Página 72
Regresa y revisa
1. a) Se podrían repartir las pérdidas de manera proporcional de acuerdo con lo que cada uno
invirtió, pero sería injusto, porque quien invirtió más pierde más.
Para repartir la deuda de una manera más justa se le pediría a los 5 socios que pagaran
lo mismo.
b) Julieta y Esther tendrían que pagar $10 000 cada una, Alfonso $16 000, Tere $24 000, y
Rocío $40 000. Rocío habría pagado más.
Primero se suman las aportaciones de cada uno para conocer el total de la inversión:
40 000 + 60 000 + 100 000 + 25 000 + 25 000 = 250 000 pesos.
Para saber cuánto invirtió cada uno respecto al total se divide:
40 000
4
Alfonso: 250 000
= 25
60 000
6
Tere: 250 000
= 25
100 000
Rocío: 250 000
= 25
25 000
1
Julieta: 250 000
= 10
25 000
1
Esther: 250 000
= 10
Finalmente se multiplican los $100 000 del monto a pagar por lo que aportó cada uno
respecto a toda la inversión:
4
= 16 000 pesos.
Alfonso: 100 000 × 25
6
= 24 000 pesos.
Tere: 100 000 × 25
Rocío: 100 000 × 25 = 40 000 pesos.
1
= 10 000 pesos.
Julieta: 100 000 × 10
1
= 10 000 pesos.
Esther: 100 000 × 10
2. En este caso no se tiene que aplicar un reparto proporcional, ya que la deuda no creció ni
disminuyó como consecuencia de que un socio hubiera invertido más o menos capital.
Observa y relaciona
a) El primer criterio favorecería a todos de igual manera si hubieran trabajado los mismo
días, mientras que el segundo beneficia más a los que tienen un sueldo mayor.
Observa y relaciona
Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (ptue)
Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores.
Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corresponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios:
•
Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de la utilidades disponibles
($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumularon entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por
día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre
3 761.
Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando
el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir,
cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número
que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100.
a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados?
b)Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre
la ptue (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/).
Explora y construye
•
72
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72
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28
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Autoevaluación
Autoevaluación
Página 83
1 Leecadaunodelossiguientesenunciados.
2 Señalasiesfalso(F)overdadero(V).
3 Explicacómoverificaríasturespuesta.
Enunciado
F
V
Propuesta de verificación
1/2/3.
1
a) 5 es igual a 0.26.
3
b) Si un número a es menor que 5 y otro
3
número b es mayor que , entonces, en
5
la recta numérica, a está a la izquierda de b.
7
c) Si en un rectángulo el perímetro es de 3 cm
y uno de los lados mide 3 cm, entonces el otro
4
5
lado mide
cm.
12
d) La sucesión 7, 9, 11,… es de progresión
geométrica.
e) Si un triángulo de base m y altura z aumenta
su altura al doble, entonces el área del triángulo
resultante es m por z.
f) Dado un segmento, es posible construir un
triángulo equilátero sólo usando compás y regla
no graduada.
g) En un triángulo con un ángulo obtuso, el
ortocentro siempre se ubica fuera de él.
h) Cecilia trabajó tres días de 8 am a 1 pm, y
Juan, dos días de 8 am a 6 pm, por lo cual a
ambos deben pagarles la misma cantidad de
dinero.
i) Si se va a lanzar 11 veces un dado, una
estrategia para adivinar el número que caerá
en el volado número 11 consiste en elegir el
número que caiga más veces en los primeros
10 tiros.
4 Enlapágina85podrásrevisarcuálesenunciadossonfalsosycuálesverdaderos.
Revisaentulibrolostemasdelasrespuestaserróneas;desernecesario,replanteatuspropuestasdeverificaciónyaplícalas.
83
SFUMA1SB_B1.indd 83
83
30/03/12 10:30
a) Falso.
20
= 100
= 0.20 en
Si se convierte la fracción 51 en un número decimal se obtiene: 51 × 20
20
donde se puede ver que 0.20 no es igual a 0.26.
b) Verdadero.
En la recta numérica el número a se localiza a la izquierda de 35 (pues a es menor que 35 ),
y el número b se localiza a la derecha de 35 (pues b es mayor que 35 ), entonces a está a la
izquierda de b.
a
b
c) Verdadero.
Se puede calcular el perímetro con los datos que se indican:
3
5
5
+ 43 + 12
+ 12
= 64 + 10
= 18
+ 10
= 28
= 37 .
4
12
12
12
12
por lo tanto, el enunciado es cierto.
d) Falso.
Para saber si una progresión es geométrica, el cociente entre un elemento y el próximo
debe ser igual al cociente de otro elemento y su próximo. En esta sucesión los cocientes
7
9
= 0.778 y 11
= 0.818 son distintos, por lo tanto, no es una sucesión con progresión
9
geométrica.
e) Verdadero.
m×z
Para calcular el área del triángulo se ocupa la fórmula:
, pero si la altura aumenta
2
2 mz
m×z
m × 2z
al doble, la fórmula cambia a:
=
= 2 =mz.
2
2
f) Verdadero.
Los extremos del segmento son los vértices del triángulo (el punto A y el punto B); para
encontrar el tercer vértice se trazan dos circunferencias, cada una con centro en un
extremo del segmento, con un radio igual a la medida de éste; esas circunferencias se
intersecan en dos puntos (punto C y punto D), y cualquiera de ellos es el tercer vértice
del triángulo equilátero.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
g)Verdadero.
Porque al menos una de las alturas queda afuera del triángulo.
h)Falso.
Hay que repartir una cantidad de dinero entre las dos personas de manera proporcional a
las horas trabajadas. Cecilia trabajó 5 horas por día, y en total por los 3 días trabajó 15 horas. Mientras que Juan, por día trabajó 10 horas, con un total por los dos días de 20 horas.
Y como el reparto es una manera proporcional, Juan trabajó más horas que Cecilia, por
lo que a él le deben pagar más.
i)Falso.
Al lanzar un dado todos los resultados tienen la misma posibilidad de salir, por lo que no
hay forma de predecir el resultado del tiro número 11, es decir, no hay ninguna estrategia.
29
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Evaluación ENLACE
Página 84
Evaluación
ENLACE
1 ¿Cuáleselnumeradordelafraccióncondenominador3queocupalamisma
posiciónque0.3enlarectanumérica?
a) 8
b) 12
c) 1
d) Noexistetalfracción.
2 Observalasiguienterectanumérica.
0
1
b
¿Quénúmerocorrespondealaposiciónb?
13
a) 5
5
b) 8
8
c) 5
d) 1.3
3 Trespersonascompraronunboletodeloteríaen$60yganaronunpremiode
1.5millonesdepesos.Sielrepartosehizoproporcionalmenteyaunaletocó
mediomillóndepesos,¿cuántoaportódichapersona?
a) $20
b) $25
c) $30
d) $40
4 Lainterseccióndelasmediatricesdeuntriánguloseencuentraenelpunto
mediodeunodesusladoscuandoeltriánguloes…
a) equilátero.
b) isósceles.
c) rectángulo.
d) escaleno.
5 Unafórmulaparaprepararunamezcladicelosiguiente:“Enunmatrazaforado
5
deunlitromezcle 8 delitrodelasoluciónAy0.1litrosdealcoholetílico.Completelamezclaconaguadestiladahasta1litro”.¿Cuántoslitrossenecesitande
aguadestilada?
2
3
a) 8 b) 9 11
15
c) 40 d) 8
84
84
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1. c). Porque 31 = 0.3333... = 0.3
2. c). Pues en la recta hay cinco divisiones entre el 0 y el 1, esto quiere decir que cada división representa 51 . Entonces, desde el 0 hasta el punto b hay 8 divisiones, que es igual a
8 × 51 = 85 .
3. a). El reparto del premio se hizo de manera proporcional a la cantidad que cada quien
aportó para comprar el boleto. Medio millón representa una tercera parte de 1.5 millones
porque 1.5 millones
= 0.5 millones. Entonces dicha persona aportó una tercera parte del
3
costo total del boleto, 60
= 20 pesos.
3
4. c). Un triángulo rectángulo puede obtenerse a partir de trazar una diagonal de un rectángulo. Y si se trazan las mediatrices de los lados a y b, éstas se intersecarán en el centro del
rectángulo, y como el otro lado del triángulo es la diagonal del rectángulo, la intersección de las 3 mediatrices pasará a la mitad de la diagonal.
5. c). Primero se suman los litros que hay en el matraz aforado antes de verter el agua destila1
50
8
58
29
da: 85 + 0.1 = 85 + 10
= 80
+ 80
= 80
= 40
. Entonces, para determinar cuánto falta para
29
29
11
completar un litro, hay que hacer la siguiente resta: 1 – 40
= 40
– 40
= 40
.
40
11
Por lo que la cantidad de agua destilada es de 40 litro.
Evaluación PISA
Evaluación
PISA
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5
1 Parahacerunosbastidores,uncarpinteroutilizaráclavosquemiden 8 depulgada,demodoquealclavarlosquedenfueradelamadera0.1pulgadaspara
colocarunasabrazaderas.Determinacuántomidelapartedecadaclavoque
quedarádentrodelamadera.
21
1. 40
pulgadas.
Dadoque 85 pulgadas es lo que mide el clavo y 0.1 pulgadas es lo que está afuera, hay que
restar a la longitud del clavo lo que está afuera para encontrar la longitud de la parte del
clavo que está adentro de la madera.
2 Indicaenlareglacorrespondientelalongituddecadaunodelosclavoscuyas
medidassepresentanacontinuación.
Clavo
Longitud
M
3
de pulgada
4
N
5
de pulgada
8
O
1
1
pulgadas
4
X
1.2 cm
Y
3.8 cm
Z
7.6 cm
Pulgadas
Centímetros
3 Enuncentrocomercialseapilanlatasdeduraznosdelsiguientemodo.
5
1
50
8
42
21
– 0.1 = 85 – 10
= 80
– 80
= 80
= 40
pulgadas.
8
a) ¿Cuántaslatashabráapiladasenunarreglocon20niveles?
b) ¿Yenunode100niveles?
Respuestasdelaautoevaluacióndelapágina83.Enunciadosfalsos:a, d, h, i; enunciadosverdaderos: b, c, e, f, g.
30
85
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2.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
3. a)210 latas.
Pues puede sumar todas las latas de los 20 pisos: 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 18 + 19 + 20 que es
igual a 210 latas.
Otra manera es ir sumando los extremos, hasta que las sumas no se repitan, es decir,
1 + 20 es igual a 20 + 1.
1 + 20 = 21
2 + 19 = 21
3 + 18 = 21
4 + 17 = 21
5 + 16 = 21
6 + 15 = 21
7 + 14 = 21
8 + 13 = 21
9 + 12 = 21
10 + 11 = 21
Y después multiplicar 10 por 21 para obtener el resultado final, pues son 10 sumas que
dan el mismo resultado, que es 21. De aquí que hay 10 × 20 = 210 latas.
b)5 050 latas.
Se puede seguir el siguiente algoritmo:
Y como todas las sumas dan como resultado 101, y son 50 sumas en total, para obtener
el resultado de sumar del 1 hasta el 100, hay que multiplicar 50 × 01 = 5050.
31