Tipos extremos de distribuciones de probabilidad y funciones de

ESTADISTICA ESPAÑO^A
Núm. 144, 1984, págs. 35 a 47
Tipos extremos de distribuciones de probabilidad y
funciones de distribución asociadas
por J U LIO G RA^FE AR IAS
Departamento de Matemáticas.
Facultad de Ciencias Económicas y Ernpresariales.
Universidad dei País Vasco.
ROBERTO ESCUDER VALLES
Departamento de Estadística.
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.
Universidad de Va!®r^cia.
RESUMEN
La intención de este trabajo es doble: por una parte, ofrecer algunas
buenas razones par•a defender una clasificación completa de las distribuciones probabilísticas; por otra, estudiar la caracterización de sus funciones de
d istri bución asociadas .
Por razón de sencillez, nos limitaremos a las distribuciones probabilísticas univariantes (en IR). Et análisis se generatiza sencillamente al caso de
las distri buciones rnul tivariantes (en IR").
Pctlcthrct.s c^lut^e: Conjunto convexo; sistema fundamental'de caras; descomposición dé Lebesgue; función de distribución abso[utamente continua;
función de distribución discreta; función de distribución singular; medida
atómic^^; medida probabilística; medida absolutamente coniinua; rnedida
^ingular; medida inatómica; teorema de Radon-Nikodym.
.
ANALiSIS DEL PROBC.EMA
E1 justo lugar donde se ubica el concepto de distribución probabilística de la Teoria
de la Probabilidad es la zona de interacción de la Teoria de la Integración de StieltjesLebesgue (S-L) con la Teoría General de las Medidas Finitas.
3E1
[^sTADISTIC'A ESPANULA
E^1 punto que aquí nos interesa subrayar es que la convergencia de estas dos teorías
-la de la integral de S-L y la General de las Medidas 1~initas--- no eti en absoluto
casual, sino plenamente buscada. Cuando se definen los términos «variable aleatoria» y
Kdistribución de una variable aleatoria» en la forma:
«Dado un espacio probabilístico (S2, ,^, P) se Ilama " variable aleatoria" a toda
aplicacián mediable del espacio (52,,.^') en (R, ^ ( R)); se llama " distribución de la
variable aleatoria X" a la medida boreliana P,x que cumple la condición siguiente
d B E^^ (R),
Px(B) = p(}C- I(B)).^
la finalidad perseguida es bien clara: establecer los conceptos que permiten traducir
cualquier situación de azar a una formulación arquetípica que remite al uso de la
integración de S-L. A partir de este momento la Teoría de la tntegración de S-I_
gobierna la situación y se convierte en protagonista destacada en la Teoría de la
Probabil idad .
La solución al problerna de la clasificación en tipos de distribuciones probabilísticas
no sálo no debe dejar pasar inadvertido este hecho, sino que se fundará en él.
Dentro de !a Teoría de la [ntegración de S-L, un tipo especial de integral, la de
Lebesgue, desempeña un papel ceniral. I^a posibilidad o no de reconducir una determinada integral al arquetipo de la integral de Lebesgue se revela, pues, como un primer
criterio para clasificar las distribuciones estadísticas.
La clave para esta clasificación está en una combinación del teorema de descomposición de Lebesgue [ lj con el Teorema de Radon-Nikodym [ 2] . Según el primero, toda
medida finita de S-L µ puede descompon^rse de foI-ma única de la siguiente manera
donde ^. es la rnedida de Lebesgue sobre R.
Parte del destacado papel que esta descomposición reserva a la medida de Lebesgue
se hace inmediatamente aparente . La parte restante de este papel viene dictada por el
teorema de Radon-Nikodym. Según éste, existe la función .^^ E L,(R, ^.), tal que
.f^^,
µ;(B) =
(B E ^^(R))
e
donde B(R) es la cs-álgebra de los conjuntos borelianos de la recta real.
TIPOS EXTRE:MOS DF DISTRIBL.ICIUIYES DE PROBABII_IDAI) Y Ft1N^'IONE=.S
37
L,a medida µ i es la mayor medida contenida en µ susceptible de tener una representación en términos de una integral de Lebesgue. ( Se trata de un caso extremo de Ia
integral de S-L. ) Dic ho de otro modo: µ; es la rnaxi mal componente de µ que tiene
función de densidad relati vamente a la medida de Lebesgue. Esta excluye el que [a
medida µ } tenga átomos . La componente restante, µ' , se concentra sobre un conjunto N
de medida de Lebesgue nula:
µ^(R) = µ^ (N)
Como la medida µ; tiene derivada de Radon-Nikodym relativamente a^. , es inmeciiato que los átomos de µ coinciden con los de µ' . Esto, naturalmente, es perfectamente
compatible con el hecho de que µ' sea singular relativamente a ti; pero no implica el
que µ' se concentre sobre el conjunto formada por los átomos de µ. La función ternaria
de Cantor es un ejemplo mediante el que se ilustra la asistencia de medidas finitas de
S-L singulares (relativamente a^. ) e inatómicas que no son nulas. (\ ✓éase Ash (1972),
Cap. 2, Ejerc . 3.)
La anterior consideración descubre una divisoria en el seno de las medidas de S-L
singulares (relativamente a^. ) y finitas. En efecto, si A C N es el conjunto de los
átomos de la medida singular µ' , definiendo las medidas µ, y µ 2 por
N,(B) = µ'(A (1 Bi, (B ^ ^ (^))
µ2 = µ^ - µ^
es inmediato hacer la comprobación de que µ, es una medida atómica que se concentra
sobre A, y que µ^ es una med ida singular inatómica. Esta descomposición de la medida
singular finita µ' en una medida µ, estrictamente atómica más que una medida µ2
singular inatómica es evidentemente única. Pero lo que aquí importa más es subrayar el
hecho de que la medida µ, es la mayor medida contenida en µ susceptible de representarse a través de una serie ( o suma finita}. ( Se trata de un caso extremo de la integral de
S-L. )
En resumen: disponemos de una descomposición de la medida finita de S-L µ en la
torma
µ ^ µ, + N^ ^` µ;
donde ^^ ^ e^ una mecfida estrictamente atúmica, µ^ es una medida singular inatórnica y
µ, es una medida absolutamente continua, dicho todo ello relativamente a la medida de
Lebesgue.
La descomposición de la meciida finita cie S-L, µ, en la t^ rma
µ = µ, + µZ + µ ^
ESTAD[ST1CA ESPA!'^(^l_A
i$
posee carácter estructural, toda vez que sus componentes tienen carácter extremal
relativamente a la teoría de la integración de Lebesgue. En efecto:
i)
µ^ es la mayor medida contenida en µ que admite representación en términos de
una integral de Lebesgue.
ii 1 µ, es la mayor med ida contenida en µ que puede representarse en forma de serie
(o suma finita).
iii )
N 2, cuando no se anula, es maximal entre todas 1as medidas contenidas en
µque, poseyenda contenida no nulo, carecen de representacián como una serie (suma
finita) o integral de Lebesgue. Por así decirlo, µ 2 reeoge todo, y sólo, el contenido
K patolágico» de µ .
2.
FORMA GEOMETRICA DE LA DESCOMPOS(CION
Es bien sabido que el conjunto Ma de las medidas de S-L signadas [ 3) finitas sobre
^2 tiene estructura de espacio vectorial. De otra parte, es inmediato comprobar que son
conos canvexos las conjuntos: M de las medidas finitas de S-L sobre IR; C de las
medidas finitas de S-L sobre ^t, que son absolutamente continuas (relativamente a^.); S
de las medidas finitas de S-L sobre Q^, que son inatómicas y singulares ( relativamente a
i^^ ), y A de las medidas finitas de S-L sobre ^t, que son estrictamente atómicas; siendo
C, S y A mutuamente cuasidisjuntos (4 j. Pues bien, usando del lengu^je de los conjuntos convexos, la descomposición a que se refiere el punto anterior puede expresarse
resumidamente dicienda que M es la cápsula convexa de la unión de los conjuntos C, S
y A: M= ^ C t.J S L...J A>.
E1 siguiente resultado se deriva inmediatamente do las consideraciones precedentes,
relativizándolas a las medidas probabilísticas.
Tec^rentct cle cle.^^c•n^nn^^.^^it•iún c!^ inecliclu.ti^ /^^ruhcthil^:^^tic•cts^.• Sean ^i^el conjunto (eonvexo) de las medidas probabilísticas sobre IIt y M, C, S y A tal y como se acaban de
a M n P es necesario y suficiente que exista
definir. Entonces, para que µ pertenez^
f..
^( C , x S , at A E jR
+ , ^ ^^JL C -+- ^J( S ^- x ,^ _ ]
y medidas
µcE C^1,^, µsE S(1^, µ,,E A^1.^
tales que
µ ^ a^µ^ + asµs
+ aAi^A
TIPO^ [^XTRf^MOS [}f: UtS"rRIBI.^(.'IONE:s Df; PRC)B^HII_II)A[)
1' [=l'tiC^It)ti[^.ti
.^y
Es más, est<^ ciescc^mposición eti única tanto en lo que tie refiere a los escalare^;
utílizacios, como a las medicla^+ (^^ alvca tdetores c1e sum^ncfos nulos).
Aunque el teoremt^ precedente hace sut^icientemente patente el carácter estructural
de ia descomposición anterior, por cuanto que ^cusa la interacción ^ie la Teoría de l^ti
Medidas prababilísticas de S-L con 1a Teoríd de la Integración de S-L, vía Teoría c^e la
Medicia cie S-L., ese car<ácter puede quedar subrayado por medio del próximo teorema,
cuyo significada geométrico sitúa a los conjuntas C^.:^, S^.;^y A^1 ,%a, respect© a1
conjunto M^,/a, en plano análogo al de las bases, respecto a los espacios vectoriales.
Antes que nacia, necesitamos una ciefinición.
Uc^/i^^ic•iúir
Llamaremos .^'i.^^tc•^^tcc ,jrcnc^ct^rt^irlul clc^ c^crrc^.^ clc^ c^ui^,j^intc, c•c^n ^ ^c^_t-c^ S a toda coleeeión
eie caras ( 5^ { F; };^^ de S que cumplan las siguientes condiciones:
rf
La cápsuta con vexa de ,U F; coi ncide can S.
ii ^ Todo punto _t E S se expresa la forma rínic•c^ como combinación lineal convexa
de puntas de los canjuntos { F^ }, r E 1, uno por cada conjunto; esto es, para .r E S,
existen ^ínic^r.,^ funciones
E .^ : 1 --^ ( 0 ,1)
y
c^ _^ : 1 --^ ;^ F;
que cumplen:
rt^
h^
,
^ E,r(i) =
;^c
1,
card {i E
Ilc^_r(i) > U} <+ f
c-r^i^ ^ F;. b i^ 1
tales que
.t^ =
,
^ E C(i)c'.r{il
;^^
EI siguiente ejemplo ilustra el hecho de que, incluso si existe una colección minima
de car•as { F,};E^ que cumple la conciición (i^, no tiene por qué existir un sistema
t`undamenial de caras.
ESTA[^[ST[CA ESPAÑ(JLA
^0
En el cuadrado del dibujo, las caras 1~, y F2 cumpien
en su conjunto i), pero el cuadrado carece de un sistema fundamental de caras. E[ conjuntu { F,, F;^} es
[
minimal.
Sin embargo, el conjunto M(^1 ,^.^^r' tiene un sistema fundamental de caras, según
establecemos en el siguiente teorema
TEOREMA
Las conjuntos C(7 ^^, S r1..^ y A ^.`^ forman un sistema fundamental de caras de1
conjunto convexo M i1 ,^.
f rrr^hu
Tan pronto veamos que C ("^ ^, S(^ .^ y A(^ ..^í^ son caras de M(^ ,^, el
teorema sigue, por reformulación en términos geométricos del Teorema de descomposición de medidas probabilísticas. Nos limitaremos a ver el conjunto C(^ ^,í^es una cara
del conjunto conve xo M^,^ . EI mismo argumento se aplica a los conj untos S(^ <<^ y
A i" ^ ^ .
Sean p,, p 2^ M^^ .;r^ . De acuerdo con el Teorema de descomposición existen
^c^ ^s. ^c,,. ^3c. ^3s^ R^,
µ^.^^^cn^
E 1R +
N S• v S E S^ .'J-
v,,EA(^^^
^
tales que
xc + ^cs + x^ = 1,
^3c + Rs + ^3A = l
Y
^^ ,
= ^( ^ ^,l ^ -^- CX `I t? ^ , +
0( ,^ ^.l A ,
^z = a^v^ + ^s^^.s^ + a^^^^
Supongamos que para un y, tal que 0< Y< 1 es yp, +(1 - Y)p^ E C^1
Entonces, escribiendo
YP^ + (^ ! Y)P2 = ( Yarµ^ + (1 + Y)a^v^^ + IYasµs + (1 ! Y)^SVSj +
+ Í Y«^µ ^ + ^ 1 ^ Y )R^v^^
I^If'()S F-:?^i1^E.Mt)S 1.)F^ f)l^i'FtIBI'C`IC);`iF_S DI^ PFZ()R^I^It_II)AI) l F^l'tit IC)!^F_ti
y teniendo en cuent<^ la uniciddd de I^i ciescc^mpo^ición, Se cieris"a que
't x .S N s + I 1 ^ 't ) ^3 .s ^' .ti = U
,tx^^, A ^.. { 1 _ ,r I^3A,,A - {}
Ahora bien, como
[ _ ,^, ^ U, ^ S ^. ^, R S > U, ^ A >_ 0. ^3 A >_ U
,^, ^, a ,
y l ds med id as µ S, v s, µ^ y ^'w toman el valor 1 sobre IR, resulta que
^s=^^s=^,,=^^^,=o
De esto se sigue que x e- ^3c =
1, y en resumen que
^, ^ = µ ^- ^ C ^^l
3.
= ti1 c ^^ C ^ ^.
T[POS EXTREMOS DE DISTRIBUC[ONES DE PROBABIL[DAD EN R
E1 anterior Teorerna opera a favor de una clasificación de las distribuciones univa-
riantes en tres ti^^c^.ti^ cj.^trc^^nc^.^^,
según que pertenezcan a las caras C n,^, S ^^ . ^°o
A^^ ,^^. Las primeras pueden ser llamadas legitimamente cli.titrihirc•ruc^cj.^ c^^,nrinrul.,'; las
segundas, al concentrar-se sobre un conjunto de medicia de Lebesgue nula y carecer cie
átomos, c!r".^^trihiicic^rrc^.^' c!i/r^.^^cr.^', y las tercerds, concentradas sobre sus propios átomos,
que desde un punto de vista topolcigico constituyen un subespacio discreto de tR,
clr.^'trih^^c•i^^nPS cli.ti^cirPtus' .
Naturalmente, cuáles sean los términos que se utilicen pdra denotar cada uno de
estos tipos es algo inesencial. Esencial desde un punto de vistd estructural es solamente
la determinacián de estos tipos atendiendo a su papel estructural en Id geometría del
conjunto de las distribuciones probabilísticas, según se derivd de aplicar los teoremas
fundamentales de descomposición de medidas {relativdmente a la medida de Lebesgue),
propios del andlisis real , al concepto de distribuci©n de una «vdriable aleatoria univariante», y que los tipos resultantes tormen un sistema f'unddmental de caras del conjunto convexo de las distribuciones univariantes.
4.
1~UNC[ONES DE DISTRIBUC[ON ASOCIADAS A L.AS DISTR[BUC[ONES DE
T1P0 E^CTREMO
Dado que entre el conljunto de todas las medidas probabilísticas de S-L y el conjunto
de todas las funciones de distribución probabilisticas sobre [R existe una corresponcien-
.^z
I^STAI)lSTi('A t SPAN()l.A
ci^^ hiyecti^^a, una clasit`icaciún de Ids últimas puede fundamentarse en estd correspon^iencia :
r^
E mpecemos estud iandca las funciones de distribución asociadati a las distribucio-
nes continuas.
cr ^
Siendo ,/ ^ L' (R, í. ), ./ >_ 0, eligiendo c• E IR y poniendo
F(.z^ ^-
. f clít
(.t- c R)
Ir.x^
se cumple
F' (.r ^_, f(.r1 pard casi todo .r E QZ
hi Ue otra parte es bien conocida la equivalencia: µ es absolutamente continua
(relativ, a i^) ^ H^, es absolutamente continua.
c•^
Y para las funciones abso{utamente continuas se tiene:
F^ es absolutamente continua ^ Fíh^ -
F(c1^ =
F'cl)^,
((cr, h^ E iR)
lu,b)
En consecuencia, toda función de distribución F asociada a una distribución continua se caracteriza por cualquiera de estos dos hechos:
• F es absol utamente conti nua .
• F' existe c.p.d. y
F(h^ - F(u^ =
F'cl^,
( (cr, h] ^.
fu.hj
Pues bien:
A toda función de distribución sobre R que cumple una de estas --y por consiguiente ambas--- cardcterizaciones se le llama ./rrnci^ír^ clc^ cli.^^rihrrc•iúrr crh.ti'c^Irrlur^l^llle
c'^^r^rirr^^^l. A veces, por abuso de lenguaje, se les califica simplemente de c•vn^irz^^u.^ *.
* No hay inconveniente en calificar de continuas a las medidas probabi{ísticas absolutamente
continuas realiivamente a^, puesto que na se incurre en peligro de confusión. Sin embargo,
Ilamando continuas a las funciones de distribución probabilísticas asociadas a distribuciones continuas se corre el riesgo de inducir 1a creencia de que éstas son las únicas funciones de distribución
probabilísticas que satisfacen la condición de continuidad. Esto está alejado de la verdad, pues toda
distribucíón inatómica es continua. De todas formas, la inercia de la tradición en rnateria terminológica es un hecha que no puede ser olvidado.
"TIP()S EXTREM().'i [)F: [)1sTRIBI..'C,'I()NE^;S Df: F'EZOHAE3IF.IUr^I_) 1^" I l^Ptit. I()!`iE !^
ii ^ En segundo lugar, nos ocupamos de las funciones cie distribución corretipondientes a !as distribuciones difusas.
c,^ Empezamos estableciendo la correspondencia bien conocida: µ es inatómica
(relativ. a^. ) p Fµ es continua.
h^ Además, se puede demostrar ( ver Taylor (1973>, Lema S, Sec. 3, Cap. 9) la
siguiente equivalencia: µ es singular ( relativ. a h) p Fµ = 0 casi por doquier.
c•^ En [ 6^ probamos la siguiente proposición: Toda función continua no decreciente
cuya derivada se anula fuera de un conjunto no vacío y contable es constante.
En consecuencia, toda función de ciistribucicin F asociada a una distribución difusa
se caracteriza por und cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes).
• F es contin ua y F' = 0 casi por doquier.
• F es continua y F' ^ 0 precisamente sobre un conjunto no contable de medida
nula.
Pues bien:
A toda función de distrib^ución sobre R que cumple esta condición se la Ilama
.jr^nci^^n ch cl^s^trihrrc•i^^n .ti'in^,l«^clr.
iir'^ Para acabar, nos ocupamos de las funciones de distribución correspondientes a
las distribuciones discretas.
u)
De acuerdo con iib) se cumple: µ es discreta ^ F^, = 0 casi por doquier.
h)
De acuerdo con iic) también se cumple: µ es discreta ^ F^,` ^ 0 precisamente
sobre un conjunto no vacío y contable.
La cuestión es si esta implicación es reversible. Esto es si µ es discreta ^ F' ^ 0
precisamente sobre un conjunto no vacío y contable. {Lamentablemente no hemos
podido demostrar ni tampoco encontrar contraejemplo para la implicación ^. La mantenemos como conjetura. )
c•)
De otra parte, es claro que
µ es discreta
y
A es el conjunto
de sus á tomos
existe un conjunto contable A, tal que Fµ falta a la conti^ nuidad precisamente sobre A; Fµ es continua a la derecha y
.
Ff.r^ =
F(x+^ - F(^^
z 5 x, zEA
E.STAD[tiT iC'A l^.SPAN()1_A
En consecuencia, toda función de distrihución F asociada a una distribución discreta
que^iaria caracterizada pur cualquiera de las do4 condicione^ mutuamente equivalentes:
• F nc^ es cantinua precisamente sobre un conjunto contable A, es continua a la
derecha y
F(.r ^ -
^^ F(..1 - F(:, - J
zSx.z^A
• F' # 0 precisamenie sobre un conjunto no vacío contable y F es continua a la
derecha.
Pues bien :
A toda función de disiribución sobre R que cumple la primera de las condiciones
anteriores --y en el caso de que se demuestre acertadd la conjetura, si cumple la segunda
se le Il arna./^rnc•iún cl^ cli.^^trih^^c•iún u.^^ultc^.^^. En particular, si el conjunto A está formado
por puntos dislados se diee que es una.tr^nc•i^ín r1P c^i.ti^trihr^ci^^n u eru^rtv,s v^n ^^.^^culc^ru.
EI siguiente cuadra resume y amplía tribialmente todo lo anterior:
RELACIONES ENTRE LOS TIPOS EXTREMOS DE DISTRIBUCIONES Y LOS TIPOS DE FUNCIONES DE
DISTRIBUCION
T^pa dt
dtslnbucrón
Se tt^nceMra
soArt un
coryuna A
awRhww
A
med^da nonula
Tepo ds
funcán de
drstrrbucán F
no coatabk
+^Mr•
^N^^ ^ F lrents
a la cont^nwdad
^
^o^^ ^kvante de F
al^solutam conirnur
f^
^^
conunua
sobrt un
^ p prrcrsamerne ^
no conlablt
^
Cíkub dt
F^hi - Fru,
CaractenzacK3n de la funcrbn
^ distnbucrón F
Frh, - Fiu, = j^u M F' Ji.
^
•+^olutamcnte contieua
F earste c p d
I
A
•
F
c^to.
de n+e0rds
r
F' di.
l.r i^ J ^-,., ^
no nula
no contabk
^^y^
^,^t
I11lIi^IÑ^ AN^<I
no absotutam
F'
contrnua
sotxe un
no contabk
contaMe
mcdrda nul+^
a^^
nn aMolutam
F
camrnus
.ubre un
cr A esta for.
^
drscont^nua
mrrdo por pun.
I.ntxc ,^1
los arslados: r
^r^ r^^.
contmu. a la dcha.
IEn prrtrcula^r,
I
c^tu
wtxt un
cuntaMe
.ont^bk .
^
c^to
u
^cltu
de medrda nula
F contrnu^r
F= 0 precrsYmente
• 0 prec^samente
t
^no contabk
1
• II
dt medrda
nuta
:
rntepales dt LebesSue
sobre un
y^ O Strlt^.
cpo
,^,^t
F.s r^reducrble al usode
F' • 0 prtasamentt
* 0 precrsameme
COnIMU^
de medrda nul^
de medi^fy
!
t t. contmua a i,r derecha
nula
^
calatr't
Exrste un con^uMu contaMe
Fi„ _
1
` Fr:, . M:
^ ^.:tA
F^ e^ conunua a I^ dcha
NUTAS • CoMttun ro 0•waalnd•. ( La uworY dt Ir taMr Ir rse{wae. La (•Ma It oortr•^q•npk^• y hxe werwlrnl.l
•• CaMnun rMuwotutla ous se dsnvr ,^w•Orunwte de 1'1
Fru, =
Frh,
^. ta! Que
i
._
^
_
•,<:sh
F^:, - N, -^
TIPOS E^XTRFMOS DF DISTRIBUCIONES DE PR4BABILIDaD Y FLIVCIC^NES
5.
45
CONCLUSIONES
l.
Los conjuntos de las distribuciones de los tipos que hemos llamado c^orrtinr^c^, cli-
./r^.^^c^ y clisc•reto:
-- engendran, mediante combinaciones lineales convexas adecuadas, la totalidad del
conjunto de las distribuciones;
-- son caras del con^junto Convexo de las distribuciones, que constituyen un sistema
fundamental del mismo.
2.
En relación con 1: Los conjuntos de las funciones de distribución de ti^c^ conlinrrr^,
de tipo singular y de tipo a saltos engendran, mediante combinaciones convexas, la totalidad de las distribuciones .
3.
Para el manejo de tas distribuciones continuas basta la integral de Lebesgue; el
cómputo de la expresión F(h^ - F(u^ se reduce a la realización de una integral asi. La
función de densidad {de Randon-Nikodym es casi por doquier igual a F' y se cumple
F` c,l^. ,
F(hl - F(ul =
( (u, h ) ^ , ^t)
(a. b )
Esta última integral podr-á iraducirse a una integral de Riemann cuando sea continua
c.p.d. en QZ. En particular, si F es continua a tramos, la expresión F(h^ -- F(u1 se traduce
en la suma de un númerc^ ^init^^ de integrales de Riemann de funciones continuas.
^. Las distribuciones F de ti^^^ c^isc•ret^^ son fácilmente manejables; el cómputo de la
expresión F(h/ - F(u^ se reduce a la suma de una serie que en casos puede reducirse
incluso a la suma de un número finito de términos.
S. Las distribuciones F de tipo sin^^ulur o cliJrrsu.s son refractarias a cualquier tratamiento mediante series o integrales de Lebesgue: carecen de átomos y se cumple
F^cI^. = o,
((c!, h) C IR)
(a,b ^
No disponiéndose de ningún algoritmo apropiado para tratarlas, no ts de extrañar que
sean las grandes ausentes de los textos de Estadística.
APENDICE
[ 1] Teor^mu de descomposiciún cle Leheskue: Si µ es una medida v^-finita sobre e1 espacio (X,
.saa^), entonces, para cualquier otra medida cs-finita v sobre (X, ,sa^) existen dos únicas medidas v, y v u,
tales que
v= vs + va. vs..j... µa• vu C!^ y us -L-^a
ESTADISTICA ESPAr10i.A
^^j
[ 2) Tc^orc^ mu dc Ruclvn-Nikuú^^m ^ Si la medida µ definida sobre un espacio medible (X, .^> es
a-finita, entonces, para toda medida v< µ existe una funciónj ? Oµ-integrable, tal que para todo S^
a se cumple:
^^ ( A ^^
A j^dµ
Esta funciónj^, llamada c^eri^^udu de Rundon-Nikodym de v relativamente a µ, está determinada de
forma única µ-casi por doquitr.
( 3] Medidu siknudu jinitu es toda aplicacián a: .r^-- ♦ R(donde a es un Q-álgebra definida sobre un
conjunto X) que se anula sobrt el conjunto vacío, cumple la propiedad de la aditividad contable y para
todo E E .^ver^ca ^µ(E)^ < +x .
[4]
Conos cuasidisjuntos son los que sólo tienen en común el vértice.
[ S] Curu de un conjunto convexo S es todo subconjunto S' C S, tal que si contiene un punto no
extremo de un segmento en S contiene a los extremos del mismo.
[6) T^oremu: Sea k: R-^ R una función continua con derivada nula en todo punto fuera de un
conjunto contable. Entonces k(h/ -- k(u^ <_ 0, para todo b> u.
La demostración es una adaptación del resultado (1.4.4) de Flett: Differential Analysis.
TEOREM^
Sea k: R-^ R no decrcciente sin derivada nula en un punto c• E R. Entonces existen b> u, tales
que k(ul < k(bj.
3^> 0, tal que d ó> 0, 3 ^h ^< b para el que se cumple
x(c + hl - k(cl
[*l
Elegido un 8> 0, tómese un h y escríbast c = u, c+ h= h, si h> 0, o c= b, c+ h= u, si h< 0.
De [*] resulta lo afirmado.
CUI'UÍUrlO
Toda función R-^ R co^tinua no decreciente cuya derivada se anula de un conjunto no vacío y
'
contable es cor^stante.
BIBLICIGRAFIA
AsH, R.: Meusure, lntekrution und Functionu! Anu/ysis. Academic Press, 1972.
BAUER, N.: Prohaói/ity theory und Elements oj' Meusure Theorv. Holt Rinehart and Winston,
1968.
CRAMEN, H.: Mathemuticul Methods oj' Stutistic. Pricenton, 1946.
Tlr'()S E:XTREMUS DE: [^1STRrBUCIC)NES UE PR{)BAr3IC.IDA[^ Y` FE'NCIUNFS
47
Ht.ETT, "t'. M.: 1)i/^rc,ntk ^ ! Anul^•.ci.c; hiJ/c^rc^ntutiun, c/iJJE^rE^rtticcl c^c^rcutiur ^ .^ urrc/ cli//i^rc^ntiul inc^y ^ cccl^•tic^.^. Cambricige University Press, 19#30.
HAWK[NS, T.: L^hc^.^^,frcE^' ^ t/tc^c^n^ u/ Intc^,^jrutic ^it; it.s crri,^^i^t.ti cc^tcl clc^ ^ ^c^lc^^^^ ctc^rlt,
KrNGHAtit, J., y TAYLOR, S.: /ntrcrclrrt•Ircan tu .^1^1^^u.ticcrc^ urrcl f'rc^hcthil:tt•.
Pre^s, I973.
1975.
Cambridge University
LAHA, R. G., y R(JHATGI, V. K.: Nruhuhilit^^ T/rE^c^n•. Wiley, 1979.
LOEVE, M.: f'rc,huhilit^^ tlr^c,r,•. Van Nostrand. lnc., 19ó3.
HEwITT, E., y STROMBERG, K.: R^ul unJ Ahstruc•1 Anul^^.^i.ti^.
MAR1.E, C.: .M1^1c^u.^^icr^.^ E^t ^^rnhuhilit^s.
Springer Verlag, 1969.
Herrnann, 1974.
ROCKAFEL_LAR, R. T.: C'c^n ^ •c^_t^ Anuh^.^i.ti. Pricentun University Pre^s, 1972.
RoHATGI, V. K.: Ait intr^^ c/rcc•tiu^r tr ^ ^rc^hcahi/it^• crnuf alctt/^ c^ ^ rtcitic^ul .Stccti.^tic^.^. Wiley, 1976.
ROYDEN, H. L..: KE-ul Anul^•.^i.^. Macmillan, 19f^K.
TaYLOR, S.: lntruclrrc•ticrn tu .1^1c^cr.^^rrrc^ ur^c! lntc^,^^rutiurr.
VALENTINE, 1^. A.: Cc^^c ^ •t^.^^ S^t.^.
Camhridge University Press, 1973.
McGrdw-Hill, 19ó4.
SU MMARY
EXTREME TYPES (JF PROBABILlTY DISTRIBUTIUNS AND
ASSOClA^ TED D[STRIBUTION F UNCTIONS
Thi^ work has double purpose: to construct a cl^i^it'icatiun of the proh^^hiti^tic cii^trihutions hased upon the geometry uf convex sets, a^ well a^ tu
inve^tigate the ch^r"acterizaiion of the ciistribution functiun ussc)ciatect with
each of the resutting classes. En the process, we intraduce the fundament^rl system uf faces, ^^s new concept in cc^nvexity thPCar•y.
By ^implicity reasans, we will only stuciy univariate prohability distributions. This analysis can be generalízated to multivariate distríbutions.
h^^^• ^^•r,1•c^.,: Convex set. Funciamental system of f^^ce^.
Lebe^^ue de^composition. Atisoiutely continuous distribution function.
Discrete
ciistribution function. Singular di^;trihution function. Atamie me^isure. Probahili^tic me^i^ure. Ah^calutely cuntinuc^u^ measure.
Sin^;u1ar me^i:^ure. In^^tc^mic mea^ure. Rancfon-Nikodym theorem.
AMS, 1^^5().
Subjec:t c.^lassific^itic^n: f^()Ey^.