PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UNA DETERMINADA

- 17 -
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UNA DETER M INA DA
SECUE NCIA DE OlAS HUMEDOS Y SECOS
por Vicente lbañez Orts y Francisco Elías Castillo
Ores. Ingenieros Agrónomos
In t roducció n
se dan unos listados de ordenador para calcular la prc,babilidad de una de terminada se-
El exceso o falta de precipitación juega
cuencia de días húmedos o secos en los meses
un importante papel en muchas de las acti-
de agosto, septiembre y octubre. Un día se
vidades humanas. Así, por ejemplo, en cier-
considera húmedo si la precipitación registra-
tas labores agrícolas, ocurre que la presencia
da es igual o superior a lmm.
o ausencia de lluvia en una época determinada, puede suponer el éxito o el fracaso . ..Es
A partir de los datos de los listados, se
sabido que la fiabilidad de los pronósticos
pueden dar respuestas a las siguientes pregun-
del tiempo sobre la posibilidad de precipita-
tas:
ción disminuye a medida que aumenta el periodo de predicción, si bien a largo plazo,
A) ¿Cuál es la probabilidad de que un
es posible acercarse a la realidad mediante un
día determinado sea seco o húmedo?
estudio estadístico de las lluvias caídas en
B) ¿Cuál es la probabilidad de que una
el pasado; ello es de gran utilidad en la estra-
determinada secuencia de días húmedos y / o secos se dé en un período de
tegia de planificación de cultivos.
tiempo concreto?
Este artículo es un intento de describir
C ) ¿Cuál es la probabilidad de un deter-
las secuencias de días húmedos y secos en la
minado número de días secos o hú-
comarca arrocera de Sueca (Valencia), donde
medos en un periodo de
pueden presentarse dificultades para la reco-
prefijado?.
tiempo
lección del arroz al coincidir con las borras-
El modelo de cadena de Markov supone
cas y aguaceros de los últimos días de sep-
que existe persistencia, es decir, que dado un
tiembre y primeros de octubre. El estudio
d í a seco, la probabilidad de que el día siguien-
se basa en las precipitaciones diarias registra-
te sea seco es mayor que la que se obtiene si el
das duran te el periodo de 30 años comprendi-
primer día llueve. La probabilidad inicial
do entre 1949 y 197 8. Al final del artículo
en toda cadena de Markov se conoce como
(*)
En es te artíc ulo se ha seguido la metodología propuesta por !os siguientes au t ores: GABRIEL y N EUMA NN
(1962), C ASKEY (196 3 ) , WE IS S ( 1964) y H E ERMANN et
al(l9 71 ).
- 18 -
probabilidad absoluta. La probabilidad absoluta de que el segundo día sea seco (independientemente del primero), se encuentra comprendida entre la probabilidad de que el segundo esté seco, suponeinto que el día primero esté húmedo, y la probabilidad de que estando el primer día seco también lo esté el
segundo. Estas dos últimas probabilidades
condicionales reciben el nombre de probabilidades de transición. Las diferencias entre
las probabilidades de transición entre sí,
y de éstas respecto a la absoluta, reflejan
la persistencia del modelo de precipitación.
Un intervalo seto de longitud n se define
como una secuencia de n días secos precedidos y seguidos por días húmedos.
La probabilidad de un intervfn) secd de
longitud n días del tipo SSS . , . ~ ... SH,
suponiendo que las probabilidades relativas no
varían en el intervalo considerado, e5:
y la prob abilidad de un intervalo húmedo de
longitud n será:
(l
El model o de probabil idad de las cadenas de
Markov
En 1962 GABRIEL y NEUMANN al
estudiar las secuencias de días de lluvia
ocurridas en Tel Aviv durante 27 años, encontraron que podían describirse bien mediante un
modelo de probabilidad de cadena de Markov
de primer orden. No se trataba de una explicación física de la ocurrencia de precipitación,
sino de una aproximación estadística al fenómeno.
El modelo asume que la probabilidad de
un día de lluvia depende únicamente de las
condiciones del día precedente. La cantidad
de precipitación sólo se refleja en la definición
previa de ocurrencia o no de lluvia. Este modelo de probabilidad es una cadena de Markov cuyos parámetros son las dos probabilidades condicionales P 0 y ( 1 - P 1 ) , don de P0 es
la probabilidad de un día húmedo, si el día
anterior fue seco, y ( 1 - P 1 ) es la probabilidad de un día seco, si el día ante rior fue húmedo. Por consiguiente :
P 1 = P (H/ H)
Po= P (H/S )
( 1 - P 1 ) = P (S/H)
(1- P 0 ) = P (S/S)
d onde H y S son las abreviat uras de día h úm edo y seco .
-
p 1 ) pn-1
1
La probabilidad acumulada de que existan hasta n días secos en un cierto in tervalo,
es :
ya que se trata de una progresión geométrica
.
de razón 1- P0 •
Lo mismo se puede obtener para secuen~
cias húmedas de hasta n días consecutivos :
La probabilidad de una secuencia seca
may or que n, dado que es el complemento de
la anterior, será:
y la prob ab ilid ad de secuencias húmedas
mayores qu e n: P ~ .
-
19 -
En realidad basta con de terminar sola-
Aplicación y ejemplos
mente la probabilidad absoluta de que un dí a
Para la estación de Sueca (Valencia )
esté seco (PSEC), y la probabilidad de transi-
se han confeccionado las Tablas que se inclu-
ción de un día seco al siguiente P(S / S), ya
yen al final de este artículo utilizando los
que a partir de es tas dos probabilidades se
datos de lluvia diarios durante un período
pueden calcular las restantes aplicando las
de 30 años (agosto, septiembre y octubre).
fórmulas siguientes:
Estas tablas dan la siguiente información:
P(H¡) = 1 -- P(S¡ )
A) Fijado
el
nivel
de
precipitación
( 1 mm), se muestra para los días
del mes, aquellos en los que ha ocurrido o no precipitación (Ocurrencia= i ; no ocurrencia= 0).
B) Seguidamente se da el total de días
secos y húmedos (SECO; HUMD),
que se han presentado en las fechas
de cada mes, para los treinta años
estudiados.
C) A continuación se da la probabilidad
absoluta para el carácter seco o húmedo de un día X determinado
(PSEC y PHUM), que se calcula
como el número de años en los
cuales el día X está seco o húmedo,
dividido por el número total de años
( 30).
P(H¡/S¡_ 1 ) = 1- P(S¡/S¡_ 1 )
P(S¡)- P(S¡_ 1 ).P(S¡/S¡_ 1 )
P(S¡/H¡_ 1 )
=
P(H¡_ 1 )
P(H¡/H¡.¡ )
=
1 - P(S¡/ H¡ _1 )
Ejemplo de aplicación
Si se está interesado solamente en calcular la probabilidad de que un día determinado sea húmedo o seco, basta simplemente
con leer en los listados el valor de la probabilidad absoluta que corresponde a la fecha que
se busca.
Para calcular la probabilidad de una
determinada secuencia de días húmedos y
secos, al primer día de la secuencia se le aso-
D) Después se da la probabilidad de
cia la probabilidad absoluta, y a los restantes,
transición de que el día de hoy (X¡)
las de transición. Esto se cumple por muy lar-
esté seco si el día anterior (X¡_ 1 )
ga que se a la secuencia.
fue también seco. Se calcula como
el número de años en los cuales el
Por ejemplo: ¿Qué probabilidad existe
día X¡ y el día X¡_ 1 están secos ,
divididos por el número de años en
de que del día 13 al 15 de septiembre, en la
estación
los que el día X¡.¡
(s eco-húmedo-seco)?
está seco, va-
riando el índice i entre 1 y 91 ,
de
Sueca, la secuencia sea SHS
(se
a 1
bre tienen 31 día y septiembre 30.
siguientes probabilidades.
Análogamente se han calculado las tres
mm) .
En los listados buscamos las
SUECA-ESTACION ARROCERA (1 mm ).
Mes de septiembre.
bilidad de que un día sea húmedo si el ante-
P (S 1 3 ) = 0,83
rior fue seco P(H/ S), probabilidad de qu e
P (H 14 / S 1 3 ) = 0,04
am bos días sean húmedos P( H/H), y la probabilidad de que el día de hoy esté seco cuando el anterior fue húmedo P(S / H ).
de
lluvia si la precipitación es mayor o igual
ya que los meses de agosto y octu-
probabilidades de transición restantes. Proba-
considera día
P (S 1 5 /H 14 ) = 0 ,33
por lo tanto
- 20 -
pregunta se formularía del ~odo sigueinte:
¿Cuál es la probabilidad de que exista al menos un día húmedo en el periodo que abarca
del 13 al 1S de septiembre?. Para ello se recurre a la Tabla que nos da la lista de las posibles secuencias de días húmedos y secos para
PsHs = P(Sl3)xP(Hl4/Sl3)xP(Sls/Hl4)
= 0,83
X
0,04
X
0,33 = 0,01
y la probabilidad encontrada de que ocurra la
secuencia SHS es del 1 por ciento.
un periodo de longitud n = 2, 3, 4 y S días
(permutaciones con repetición). La probabilidad de obtener O, 1, 2 ó 3 días húmedos es
la siguiente:
También se podría calcular el número de
días húmedos que pueden producirse en el periodo estudiado de tres días. En este caso la
P(O días húmedos)= P 585 = 0,83 x 0,06 x 0,8S =0,677
P(1díashúmedos)=PHss + PsHs + P 5 5 H = 0,09+0,01+0,12= 0,217
P(2 días húmedos)= P 8 H H + PH SH + PH H s = 0,02 + 0,02 + 0,02 = 0,060
P( 3 días húmedos) ~ P H H H= 0,17 x 0,40 x 0,67 = 0,046
Suma
La suma de probabilidades para todas
octubre . Las lluvias durante ese periodo pro-·
las posibles secuencias deberá lógicamente
ser igual a 1,00 (dentro del error de redondeo)
La respuesta a la pregunta sería 1~ suma de las
tres probabilidades de que exista 1, 2 ó 3
días húmedos, o bien el complemento a 1 de
d ucen graves trastornos ya que impide n que
las máquinas cosechadoras trabajen, y si las
precipitaciones son muy intensas, los daños
pueden ser cuantiosos. Nos proponemos calcular a partir del 1 de septiembre, y de 5 en
5 días, para la estación de Sueca y los niveles
de precipitación de 2,5 y 25 mm, cuál es la
probabilidad de que haya 5 días secos conse~
cutivos (*).
ningún día húmedo (1 - 0,677 = 0,323).
Por tanto, la probabilidad buscada es del
32,3 por ciento.
Como
un nuevo ejemplo de
mayor
aplicación práctica se propone el siguiente .
La cosecha de arroz se suele recolectar en
Levante entre el 15 de septiembre y el S de
Fecha
1 - 5 sept.
6-10sept.
11-15 sept.
16-20 sept.
21-25 sept.
26-30 sept.
1 - 5 oct.
6 - 1 O oct.
11-15 oct.
16-20 oct.
Probabilidad de 5 días secos consecutivos:
P(S)
Nivel de precipitación 2,S mm
0,93 X
0,97 X
1,00 X
0,87 X
0,87 X
0,90 X
0,97 X
0,83 X
0,83 X
0,80 X
0,89
0,90
0,90
0,92
0,96
0,93
0,90
0,88
0,88
0 ,92
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
0,93 X
0,96 X
0,89 X
0,93 X
0,9 6 X
0,86 X
1,00 X
0,96 X
0,88 X
0,88 X
0,81
0,86
0,96
0,96
0,86
0,96
0,7S
0,96
0,88
0,9 2
1,00
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1,00 =
1,00 =
0,89 =
0,89 =
0,88 =
0,88 =
0,77 =
0,82 =
0,85 =
0,88 =
(•)
Se han elaborado ta m bién T ablas para los niveles
de p recip it aci ón de 2 ,5 , S ; lO y 25 mm que no se incluyen en este art ícu lo.
0,69
0,72
0,68
0,64
Q, 61
0,61
0,50
0 ,55
0,48
0 ,52
X
P(S/S)
X
P(S/S)
X
P(S/S)
X
P(S/S).
Nivel de precipitación 25 mm
0 ,97 X
1,00 X
1,00 X
1,00 X
0 ,97 X
1,00 X
0, 97 X
0,97 X
0 ,93 X
0 ,97 X
1,00 X
1,00 X
0,93 X
1,00 X
1,00 X
1 ,00 X
0,97 X
0,97 X
0 ,9 6 X
0 ,9 0 X
1,00 X
0,97 X
0,9 3 X
0,97 X
1,00 X
1,00 X
1,00 X
1,00 X
0,9 7 X
0 ,93 X
1,00 X
1,00 X
1,00 X
1,00 X
0 ,97 X
1,00 X
1,00 X
1,00 X
0 ,9 3 X
1 ,00 X
1,00 =
1,00 =
0 ,97 =
1,00 =
1,00 =
1,00 =
1,00 =
1,00 =
1,00 =
0 ,97 =
0,97
0,97
0,84
0,97
0,94
1,00
0,94
0, 94
0,8 1
0, 79
- 21 -
Se observa que para el nivel de 2,5 mm
de precipitaci6n, la probabilidad de tener 5
días secos, que es el complemento a la unidad
de que exista al menos algún día con lluvia,
disminuye para el mes de septiembre desde
aproximadamente 0,70 entre el día 1 y el 20,
a 0,60 entre el 20 y el 30, y en octubre desciende hasta un valor paroximado de 0,50.
Si se considera el nivel de precipitación
de 25 mm, la probabilidad se sitúa prácticamente alrededor del 0,9 5 entre el 1 de septiembre y ellO de octubre, paradescenderal
0,80 a partir de esa fecha.
Ambos casos reflejan estadísticamente la
notable frecuencia de los aguaceros en el mes
de octubre por comarcas de Levante.
Los ejemplos son interesantes para planificar las faenas de recolección del arroz
aprovechando la secuencia de días secos intercalados entre las épocas de aguaceros.
BIBLIOGRAFIA
Caskey, J.E. Jr. (1963). "A Markov chain
model jor the probability of precipitation
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and dry days fo r eleven western states and
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Weiss, L. L. ( 1964). {{Secuences oj wet or dry
days described by a Markov chain probability
modezn. Monthly Weather Review. Vol. 92.
pp. 169 -176.
- 22 -
TAB LA
SECUENCIAS POSIBLES DE DIAS HUMEDOS O SECOS PARA PERIODOS DE LONGITUD
n = 2, 3, 4 y S días
Núm. de días húmedos
Secuencias posibles
Núm. de días húmedos
n= 2
n = 5
o
s,s
o
1
H,S
1
2
Secuencias posibles
S,S,S,S,S
H,S,S,S,S
S,H
S,H,S,S,S
H,H
S,S,H,S,S
S,S,S,H,S
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2
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H,H,S
H ,S ,H
S,H,H
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S,S,H,S
H,S ,S,H,H
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S ,H,H,H,S
H,H,S,S
S,H,H,S,H
H,S,H,S
S,H,S,H,H
H,S,S,H
S,S ,H,H,H
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H,H,H ,S ,H
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H,H,S,H ,H
H,H,H,S
H,S,H,H,H
H ,H,S,H
H,S,H,H
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4
4
S,H,S,H
H,H ,H ,H
5
S,H,H,H,H
H,H ,H,H H
-
23 -
LISTADOS DE ORD E NADO R QUE D AN
LA PROBABILID AD ABSOLUTA Y DE
TRANSICION D E UN DIA SECO O HU MEDO EN EL OBSERVATO R IO D E SUECA
(VALENCIA ), PARA UN NIVEL DE PRE CIPITACION DE 1 mm.
- 24 -
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ESTACION DE SUECA
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1950
1951
1952
1953
1954
1955
l956
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1958
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