Ejemplo de ``mean preserving spread

Ejemplo de “mean preserving spread”
Ricard Torres
ITAM
Economía Financiera, 2015
Ricard Torres (ITAM)
Ejemplo de “mean preserving spread”
Economía Financiera
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Valores variables aleatorias
Partimos de las variables aleatorias que toman los valores siguientes (que,
abusando notación, también identificaremos con vectores cuando
convenga):
X = (10, 20, 30, 40),
Y = (5, 10, 20, 40, 60)
Las probabilidades marginales de X vienen dadas por el vector de
probabilidad:
pX =
(
1 2 4 1
)
, , ,
8 8 8 8
Las probabilidades marginales de Y las vamos a construir a partir de una
matriz de probabilidades condicionales (matriz de transición), de tal forma
que la variable aleatoria Y se convierta en el resultado de aplicar a X un
mean preserving spread
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La matriz de transición
Y
X
5
10
20
40
60
10
4
10
4
10
2
10
0
0
20
0
6
10
1
10
3
10
0
30
0
0
5
10
5
10
0
40
0
0
4
10
2
10
4
10
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Matriz de transición y mean preserving spread
Como la matriz de transición P son probabilidades condicionales P(Y | X),
hallamos las marginales de Y multiplicando las marginales de X por las
condicionales, pY = pX ∗ P, que resulta en:
pY =
(
4 16 28 28 4
,
,
,
)
,
80 80 80 80 80
Para que sea un mean preserving spread, la matriz de transición P debe
satisfacer P ∗ Y = X.
Esto quiere decir que, para cada valor x que X puede tomar, se debe cumplir
E(Y | X = x) = x.
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Funciones de distribución
A partir de los datos anteriores, podemos computar los valores de salto de
las funciones de distribución que corresponden a los distintos valores de
cada variable aleatoria.
0
5
10
20
30
40
60
FX
0
0
10
80
30
80
70
80
80
80
80
80
FY
0
4
80
20
80
48
80
48
80
76
80
80
80
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Criterio de Rothschild-Stiglitz
Podemos completar el cuadro de las funciones de distribución con el cálculo
de las diferencias entre las áreas bajo ambas funciones, de forma que
verificamos el criterio de Rothschild-Stiglitz para un mean preserving
spread (con un cambio de unidades por conveniencia).
0
5
5
5
10
10
20
10
30
10
40
20
60
FX
0
0
10
30
70
80
80
FY
0
4
20
48
48
76
80
Parcial
0
−20
−100
−180
+220
+80
0
Acum
0
−20
−120
−300
−80
0
0
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Transformaciones cuantales
De la misma forma, podemos computar los valores de salto de las
transformaciones cuantales que corresponden a distintas probabilidades
acumuladas.
4
80
0
10
80
20
80
30
80
48
80
70
80
76
80
80
80
QX
10
10
20
20
30
30
40
40
QY
5
10
10
20
20
40
40
60
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Criterio de las transformaciones cuantales
También podemos completar el cuadro de las transformaciones cuantales
con el cálculo de las diferencias entre las áreas bajo ambas funciones, de
forma que verificamos el criterio de las transformaciones cuantales para un
mean preserving spread (con el mismo cambio de unidades que antes).
4
0
4
80
6
10
80
10
20
80
10
30
80
18
48
80
22
70
80
6
76
80
4
QX
10
10
20
20
30
30
40
40
QY
5
10
10
20
20
40
40
60
Parcial
+20
0
+100
0
+180
−220
0
−80
Acum
+20
+20
+120 +120 +300
+80
+80
0
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