Tema 3: Cinemática del punto

Tema 3: Cinemática del punto
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
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Índice
Introducción
Ecuaciones de una curva
Velocidad y aceleración
Movimientos elementales
Rectilíneo
Circular
Geometría de curvas
Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
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Introducción
Punto material: la partícula es un punto sin dimensiones
La posición en cada instante viene dada por el vector
de posición r=OP
P
El punto describe una curva en el espacio, la
trayectoria
La velocidad v da la tasa de variación de la posición
Z
La aceleración a da la tasa de variación de la velocidad
El tiempo es el parámetro en función del que se
X
Y
describe el movimiento
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Cinemática del punto
Introducción
Ecuaciones de una curva
Velocidad y aceleración
Movimientos elementales
Rectilíneo
Circular
Geometría de curvas
Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
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Ecuaciones de una curva
La posición del punto se describe con un vector de
posición referido al origen del triedro de referencia
P
Z
C
O
X
Y
Ecuaciones parámetricas de la curva C
El parámetro  varía al recorrer la curva
Se puede reparametrizar las ecuaciones
Ecuaciones implícitas de la curva C
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Ecuaciones de una curva: ejemplo
Z
x=0
z=0
C
Curva C : Eje OY
Y
X
Ecuaciones parámetricas
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Ecuaciones implícitas
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Ecuaciones de una curva: ejemplo
Curva C : Circunferencia de radio a, en el
plano z=0 y centrada en el origen
Z
x2+y2=a2
Y
z=0


C
X
Y
X
C
a
Ecuaciones parámetricas
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a
Ecuaciones implícitas
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Diferencial de una función
f(x)

f
df
x
dx
x
x+x
X
La derivada da la tasa de variación de la función
El diferencial es una pequeña variación de la función ante una pequeña variación
de la variable independiente
En Física, la derivada se puede tratar como el cociente de dos diferenciales
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Diferencial de una función
Ejemplo
df
f(x)
Diferencial de la función
df
dx
dx
X
Un dx produce df distintos según en que punto de
la curva nos encontremos
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Integral definida
f(x)
f(xi)
a
xi
b
X
En Física, una integral definida es una suma de cosas pequeñas
Se puede sumar cualquier objeto matemático: vectores, áreas,
volúmenes, productos escalares....
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Integral definida
Longitud de una circunferencia
Y
d

La longitud es la suma de los módulos de todos los dr
Área del círculo
X
R
El área del círculo es la suma de las áreas de todos los triángulos
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Índice
Introducción
Ecuaciones de una curva
Velocidad y aceleración
Movimientos elementales
Rectilíneo
Circular
Geometría de curvas
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Movimiento unidimensional
Velocidad uniforme
x(t)
v
d
v0
T
t
T
t
El cociente es siempre el mismo
independientemente del intervalo
de tiempo considerado
x(t)
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Movimiento unidimensional
Velocidad no uniforme
Velocidad media
x(t)
El intervalo de tiempo de muestreo es muy grande
d
v(t)
No da una descripción precisa del movimiento
T
dt
t
Velocidad instantánea
El intervalo de tiempo de muestreo es muy pequeño
Proporciona una funcion v(t)
x(t)
La descripción del movimiento es precisa
T
t
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Movimiento unidimensional
Velocidad no uniforme
Aceleración
x(t)
El intervalo de tiempo de muestreo es muy pequeño
d
v(t)
Proporciona una funcion a(t)
La descripción del movimiento es precisa
t
T
dt
La aceleración es la derivada segunda de la posición
a(t)
T
t
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Movimiento tridimensional
La curva C es la trayectoria de la partícula: el
P
conjunto de puntos que recorre durante su
movimiento
Z
C
O
r (t) es la ley horaria
Las ecuaciones de las componentes en función del
Y
X
tiempo son las ecuaciones horarias
La misma trayectoria puede describirse de diferentes modos, es decir, con diferente
velocidad y aceleración
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Movimiento tridimensional
Intervalo temporal de muestreo grande
Z
C
O
No da una descripción precisa del movimiento
Y
X
Intervalo temporal de muestreo pequeño
Z
C
La descripción del movimiento es precisa
En cada instante, dr es tangente a la trayectoria
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O
Y
X
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Velocidad
Velocidad media
Z
C
O
No da una descripción precisa del movimiento
Y
X
Velocidad instantánea
La descripción del movimiento es precisa
Z
C
El dt es físico, no matemático
Unidades en SI
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O
Y
X
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Velocidad instantánea
ds
En cada instante es tangente a la trayectoria
Z
C
El desplazamiento en un instante dt y en un intervalo t son
O
Y
X
La distancia recorrida en un instante dt y en un intervalo t son
s
Z
C
O
El módulo de la velocidad es la celeridad
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Y
X
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Aceleración
Durante el movimiento, la velocidad puede cambiar su
módulo y su dirección
La variación del módulo está relacionada con la celeridad
Z
C
El cambio en la dirección está relacionado con como se curva
O
la trayectoria
Y
X
La aceleración es la tasa de variación de la velocidad
Z
C
O
Apunta hacia la parte cóncava de la trayectoria
Unidades en SI
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Y
X
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Triedro intrínseco (de Frenet)
Vector unitario tangente a la trayectoria
Vector tangente
Descomponemos la aceleración en una componente
tangente a la velocidad y otra perpendicular
C
Z
O
Vector normal
Completamos el triedro
Vector binormal
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Y
X
El triedro es intrínseco a la
curva. No depende de cómo
se recorra ni del sistema de
ejes y coordenadas que se
utilice
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Velocidad y aceleración en el triedro intrínseco
P
Velocidad
C
R
Aceleración
O
Tangencial
Normal
Radio de curvatura
Curvatura
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Centro de curvatura
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Velocidad y aceleración en el triedro intrínseco
P
Expresiones
C
R
O
Significado de las componentes de la aceleración
aT
aN
Información
Variación del módulo de v
Variación de la dirección de v
signo
Positivo (acelerado) o negativo (retardado)
Siempre positivo
Nulidad permanente
Movimiento uniforme (|v | constante)
Movimiento rectilíneo
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Determinación de los elementos de la trayectoria
Velocidad
P
C
R
Aceleración
O
Curvatura
Triedro intrínseco
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Índice
Introducción
Ecuaciones de una curva
Velocidad y aceleración
Movimientos elementales
Rectilíneo
Circular
Geometría de curvas
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Movimientos elementales: rectilíneo
La trayectoria es una línea recta
s( t
)
Aceleración
Velocidad
Posición
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s(0)
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Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado
Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.)
Aceleración
s( t
)
Velocidad
Posición
Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado (m.r.u.a.)
s(0)
Aceleración
Velocidad
Posición
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Movimiento circular
La trayectoria es una circunferencia
Velocidad angular
Y
Aceleración angular
Posición
s(t)
(t)
X
Velocidad
Aceleración
R
Relación entre magnitudes lineales y circulares
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Movimiento circular uniforme
La aceleración angular es cero
Velocidad angular
Y
Ángulo barrido
s(t)
Variables cinemáticas
(t)
X
R
El movimiento es periódico
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Movimiento circular: descripción vectorial
Se define el vector velocidad angular ω
Módulo
Recta soporte:
eje de giro
Sentido:
regla del tornillo
Se define el vector aceleración angular α
Velocidad y aceleración
O
P
Los vectores ω y α son vectores deslizantes
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Índice
Introducción
Ecuaciones de una curva
Velocidad y aceleración
Movimientos elementales
Rectilíneo
Circular
Geometría de curvas
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Parametrización de un curva
Una misma trayectoria puede ser recorrida con diferentes velocidades
La geometría de la trayectoria es independiente de como se recorra
Una curva se puede parametrizar de muchas maneras
El triedro intrínseco en cada punto es independiente del parámetro que se utilice
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Triedro intrínseco (de Frenet)
Curva parametrizada en función de un parámetro λ
Vector unitario tangente a la curva en cada punto
C
Z
Vector tangente
El vector normal indica la variación de la dirección de T
O
Y
X
Vector normal
Completamos el triedro
Vector binormal
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El triedro es intrínseco a la
curva. No depende de cómo
se recorra ni del sistema de
ejes y coordenadas que se
utilice
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Parametrización de una circunferencia
Y
Parametrización con el ángulo
Triedro intrínseco
a
X
Vector tangente
Vector normal
Indica la dirección en la que varía el vector tangente
Vector binormal
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Parametrización de una circunferencia
Y
Parametrización con el tiempo
Triedro intrínseco
a
X
Vector tangente
Vector normal
Vector binormal
En cada punto de la curva los vectores del tridero
son los mismos independientemente del parámetro
que se utilice
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Triedro intrínseco o de Frenet: siginificado
Línea recta
Línea plana
C
Vector tangente uniforme
Curva alabeada


Contenida en un plano
No contenida en un plano
Vector tangente variable
Vector binormal B = TN
Vector normal N apunta en
la dirección en que se tuerce
la curva
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Parámetro arco ( o natural)
El parámetro arco es la distancia recorrida sobre la curva
Y
s

X
La curvatura en cada punto es el módulo de la derivada
del vector tangente cuando está expresado en el
parámetro arco
R
Si se usa otro parámetro hay que utilizar la regla de la
cadena
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Resumen
Introducción
Punto material, posición, velocidad, aceleración, tiempo
Ecuaciones de una curva
Velocidad y aceleración
Triedro intrínseco: aceleración tangencial y normal
Movimientos elementales
Rectilíneo
Circular
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Resumen
Geometría de curvas
Parametrización
Triedro de Frenet
Parámetro arco
Curvatura
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