Módulo 4: Deformaciones unitarias

Módulo
4
Deformaciones
El concepto de deformación es de fundamental importancia para el
ingeniero en lo que respecta al estudio de las deflexiones.
Es bien sabido que una pieza de máquina puede fallar en servicio si
sufre deformaciones excesivas, aún cuando los esfuerzos asociados
permanezcan por debajo de los valores de fluencia o fractura. Lo que
es más, el concepto de deformación juega un papel preponderante en
las técnicas experimentales utilizadas en los problemas de
resistencia de materiales puesto que los esfuerzos no son, en
general, cantidades medibles directamente, mientras que las
deformaciones si lo son.
Usualmente, esto implica el obtener datos experimentales de
deformaciones que luego serán transformados en términos de
esfuerzos.
Cualquier cuerpo sujeto a fuerzas, vale decir; a
esfuerzos se deforma bajo la acción de estos.
“Strain” es la dirección e intensidad de la
deformación en cualquier punto respecto de un
plano específico que pasa por dicho punto. Por
ende la deformación es una cantidad análoga el
esfuerzo.
El estado de deformación se define completamente
tanto en magnitud como en dirección en cualquier
punto respecto de todos los planos que pasan a
través del mismo. De aquí que el estado de
deformación es un tensor y es análogo al del
estado de esfuerzos
Definición matemática de la deformación (strain)
Como las deformaciones generalmente varían de punto a
punto, las definiciones de deformación deberán de
referirse a elementos infinitesimales.
Para caso bidimensional,
Una definición básica de
la deformación puede
ser expresada por la
siguiente expresión:
Si un cuerpo se deforma en direcciones ortogonales, como se
muestra para un caso bi-dimensional:
Si Ahora consideramos además las deformaciones angulares:
Deformaciones en un sistema de ejes cualquiera:
Consideremos ahora el sistema de ejes x’ e y’, y calculemos para ellos
las deformaciones unitarias axiales y angulares:
Para este sistema de ejes se tiene que:
Operando en la primera ecuacion:
Reordenando las ecuaciones anteriores se llega a que:
Observar que estas ecuaciones son similares a las vistas en cursos
anteriores para esfuerzos sobre un cuerpo o para inercias de una
seccion. Las ecuaciones anteriores corresponden al circulo de Mohr
de deformaciones.
Cortante puro
Tensión uniaxial
Por conveniencia, las deformaciones
son siempre representadas mediante
sus componentes normal ε y cortante γ
Para deformaciones suficientemente pequeñas (incluyendo aquellas que
ocurren dentro del rango elástico), las ecuaciones que vinculan los
esfuerzos normal y cortante con la orientación de los planos de corte son
análogas a las halladas para los esfuerzos.
De ahí que el estado de
deformaciones
puede
ser
convenientemente escrito como
tensor:
 εx
1
S =  2 γ yx
 12 γ zx

γ xy
εy
1
2 γ zy
1
2
Observar que mientras εx , εy y εz son análogos a σx, σy y σz,
respectivamente, la mitad de γxy , γxz y γyz lo es a τxy, τxz, y τyz.
1
2
1
2
γ xz 

γ yz 
ε z 
Puede ser de utilidad analizar el significado físico de porqué τ es
análogo a γ/2 en vez de γ. Esto se visualiza en la figura, cada lado
del elemento diferencial varía un ángulo de γ/2 cuando se le
somete a corte puro:
DEFORMACIONES Y PLANOS PRINCIPALES;
ANÁLISIS GRÁFICO Y ANALÍTICO
Habiendo observado la correspondencia entre deformaciones y
esfuerzos, es evidente que, mediante alguna transformación
conveniente se obtienen las expresiones del tensor de
deformaciones S’ , el cual es idéntico al T’ hallado para los
esfuerzos, excepto que en la diagonal principal están ε1 , ε2 y ε3 .
Esfuerzos principales en el plano xy
Máxima deformación cortante en el plano xy
Orientación de los ejes principales
ε1 , ε 2 =
εz +εy
γ max
2
±
(
1
2
εz −εy 
γ xy ) + 
2

εx −εy
2
1
(
)
= ±2 2 γ xy + 
 2
γ xy
2φ = arctg (
)
εx −εy
2



2


2
Análogamente:
σφ =
σ1 + σ 2
+
σ1 − σ 2
2
2
σ1 − σ 2
τφ =
sin 2φ
2
cos 2φ
εφ =
ε1 + ε 2
+
ε1 − ε 2
2
2
γ φ = (ε 1 − ε 2 ) sin 2φ
cos 2φ
(1)
(2)
Representación de un estado plano de deformación
mediante el círculo de Mohr
Círculo de Mohr de deformaciones construido a partir de valores conocidos
de εx, εy, y γzy.
Análisis de deformaciones mediante rosetas
El uso práctico de las relaciones
desarrolladas en este capítulo es
comunmente
realizado
en
conexión con procedimientos
experimentales de análisis de
esfuerzos
basados
en
la
utilización de los llamados strain
gages. Dichos indicadores marcan
deformaciones
normales
en
direcciones específicas en la
vecindad del punto de interés. Los
strain gages son usualmente
montados sobre una superficie
sin cargas, de forma que se sepa
que el estado de esfuerzos sea
plano.
Configuraciones de grillas de strain gages de láminas
metálicas.
En cualquiera de los casos, será posible establecer el estado de deformaciones en el
punto, vale decir; el definir los círculos de Mohr para deformaciones en dicho punto
midiendo directamente las dos deformaciones principales que actúan en planos
perpendiculares a la superficie. Desafortunadamente, la determinación directa y precisa
de los esfuerzos principales no es práctica. Lo que es más, las deformaciones cortantes
no pueden ser medidas directamente.
Cuando se trabaja con strain-gages sobre una superficie libre, la construcción de los
círculos de Mohr de deformaciones en un punto involucra la determinación de 3
incógnitas: los valores de dos de las deformaciones ppales. y su ángulo de orientación
respecto a alguna dirección arbitraria de referencia. Dicha determinación de las
incógnitas requiere la medida de 3 deformaciones independientes. Las mismas son
elegidas para ser las componentes normales de deformación en 3 direcciones (que es lo
usualmente realizado con los strain-gages convencionales)
Superficie de una pieza y localización del punto O donde
son realizadas las medidas de deformación. El plano de la
superficie es arbitrariamente llamado xy. Tres straingages miden las deformaciones normales en direcciones
arbitrarias aa, bb, y cc, las cuales están separadas por los
ángulos conocidos φ1 y φ2. La dirección aa forma un ángulo
desconocido αa con el eje 1-1 de la deformación principal
mayor.
La ecuación (1) da la deformación de la deformación
normal actuante en la dirección φ, donde dicho ángulo es
medido positivo en el sentido CCW desde el eje principal
1. Aplicando dicha ecuación a cada uno de los 3 straingages de la Fig. queda:
εa =
ε1 + ε 2
+
ε1 − ε 2
cos 2α a
2
2
ε1 + ε 2 ε1 − ε 2
cos 2(α a + φ1 )
+
εb =
2
2
ε1 + ε 2 ε1 − ε 2
εb =
+
cos 2(α a + φ2 )
2
2
(3)
Claramente, dichas ecuaciones
pueden ser resueltas para ε1 ,
ε2 y αa . En algunos casos un
cuarto medidor se utiliza para
verificación.
Análisis de deformaciones - rosetas equiangulares
La solución simultánea de las ecuaciones (3) para el caso: φ1 = 120º , φ2 = 240º ,
a = 0º , b = 120º , c = 240º es
ε 1, 2 =
ε 0 + ε 120 + ε 240
tan 2α a =
3
(2ε 0 − ε 120 − ε 240 ) 2 (ε 120 − ε 240 ) 2
±
+
9
3
3
2ε 0 − ε 120 − ε 240
Recordar que αa es positivo
cuando es medido en sentido
ε
CW desde
0 a
los ejes
principales de deformación. La
deformación principal mayor
forma30º con el mayor valor
entre ε0 , ε120 y ε240 .
(ε 120 − ε 240 )
(a) ε 1, 2 =
( b) ε 0 =
ε 0 + ε120 + ε 240
3
ε 0 + ε 120 + ε 240
±R
+ R cos 2α a
3
2ε − ε − ε
ó cos 2α a = 0 120 240
3R
ε +ε +ε
(c) ε 120 = 0 120 240 − R cos(2α a − 120º )
3
ε +ε +ε
(d) ε 240 = 0 120 240 − R cos(2α a + 120º )
3
(e) Usando la relación : cos( A ± B) = cos A cos B m sin A sin B, (c) y (d)
ε120 =
ε 240 =
ε 0 + ε120 + ε 240
3
ε 0 + ε 120 + ε 240
+ R (−0.5 cos 2α a + 0.866 sin 2α a )
+ R (−0.5 cos 2α a − 0.866 sin 2α a )
3
(f) Restando las ecuaciones anteriores :
ε120 − ε 240 = 3R sin 2α a ó sin 2α a =
ε 120 − ε 240
3R
Ejemplo - de un sistema equiangular de strain-gages se obtuvo:
ε 0 = −0.00075in / in
ε 120 = +0.0004in / in
ε 240 = +0.00185in / in
− 0.00075 + 0.0004 + 0.00185
( −0.0015 − 0.0004 − 0.00185) 2 (+0.0004 − 0.00185) 2
ε1, 2 =
±
+
3
9
3
.0020in / in analíticamente las magnitudes y orientaciones de las deformaciones
ε1 = 0Determinar
ε 2 = −principales
0.0010in / iny verificar los resultados utilizando un círculo de Mohr.
3 (+0.0004 − 0.0185)
= 0.67
− 0.0015 − 0.0004 − 0.00185
2α a = 340 ,2140
(b) tan 2α a =
α a = 17 0 ,107 0
(c) Los ejes de las deformaciones principales están a 17 y 107° CW desde el indicador de
0°. Aplicando la regla de los 30°, es el eje de ε2 el que está a 17° de ε0 (o, como ε0 es la
única indicación negativa, es intuitivo que la deformación principal solamente a 17° de
de ella sería -0.0010in/in en vez de +0.0020 in/in).
(d) En la figura se puede ver una representación vectorial de la solución.
(e) Como forma de verificar, (1) dibujar el círculo de Mohr correspondiente a ε1 = 0.0020, ε2 = -0.0010, (2) marcar sobre el círculo los puntos cuta orientación angular
alrededor de la circunferencia correspondan a ε0 , ε120 y ε2 40 como se puede ver en la
figura (y recordando doblar todos los ángulos cuando se vayan a representar en el
círculo de Mohr), y (3) verificar que las abcisas corresponden al las deformaciones
lineales para las posiciones de indicador 0, 120, y 240°.
Análisis de deformaciones - rosetas rectangulares
La solución simultánea de las ecuaciones (3) para el caso: φ1 =
45º , φ2 = 90º , a = 0º , b = 45º , c = 90º es
ε 0 + ε 90
(ε 0 − ε 45 ) 2 + (ε 45 − ε 90 ) 2
±
ε 1, 2 =
2
2
ε 0 − 2ε 45 + ε 90
tan 2α a =
ε 0 − ε 90
Notar cuidadosamente que cuando αa es
positivo uno mide en sentido CCW desde
el eje de deformación al eje
ε0
ε0 o CW desde
al eje de la deformación principal. Se
definen direcciones perpendiculares para
ε1 y ε2 . A los efectos de ver cual dirección
coincide con la de los ejes principales de
aplica la regla de que la deformación
principal deberá formar un ángulo menor
a 45º con la mayor de las deformaciones
principales normales ε0 y ε90.
ε1,2 =
ε 0 + ε 90
2
±R
R = A2 + B2
A = ε0 −
ε 0 + ε 90
2
; B = −ε 45 +
ε 0 + ε 90
2
Notar cuidadosamente la convención de
signos
luego, Tan 2α=B/A
Ejemplo- Las lecturas obtenidas con una roseta rectangular se muestran en las figuras
(las lecturas son en µm por m ). Determínese la magnitud y orientación de las
deformaciones principales y verifique mediante el círculo de Mohr.
(a) Lectura de medidores. (b) rosetta equiv.
1. Con objeto de adecuarse al incremento de 45º en el sentido contrario al de las
manecillas del reloj, las calibraciones deben designarse como se muestra en (b).
2.Sustituyendo en las ecuaciones se obtienen ε1,2 y los α y se representan.
3. Se dibuja el círculo de Mohr con base a los valores calculados.
RELACIONES ESFUERZODEFORMACIÓN ELÁSTICA
Los dos capítulos precedentes trataban separadamente con los
conceptos de esfuerzo y deformación en un punto. Las relaciones
entre dichas cantidades tienen gran importancia para el diseño y
el análisis de esfuerzos. Aparecen dos tipos de problemas:
1. Determinación del estado de esfuerzos en un punto desde un estado de
deformaciones conocido. Se da cuando hay que evaluar esfuerzos a partir de
deformaciones halladas experimentalmente.
2. Determinación del estado de deformaciones en un punto desde una estado
conocido de esfuerzos, esto problema se encuentra durante el diseño de
partes, cuando se asume que actúan ciertas cargas y se quiere chequear
holguras críticas y rigideces.
Ley de Hooke generalizada y ecuaciones
esfuerzo vs. deformación
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C14γ xy + C15γ yz + C16γ zx
Para el estado general
de esfuerzos en tres
dimensiones, la ley de
Hooke
fue
generalizada por Louis
Cauchy
(189-1857)
diciendo que cada una
de
las
seis
componentes
de
esfuerzo es función
lineal de todas las
componentes
de
deformación:
σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ xy + C25γ yz + C26γ zx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
τ zx = C61ε x + C62ε y + C63ε z + C64γ xy + C65γ yz + C66γ zx
Afortunadamente, se puede deducir de la teoría de elasticidad
que materiales elásticos e isotrópicos sólo 2 de dichas constantes
son independientes :
C15 = C16 = C25 = C26 = C35 = C36 = C45 = C46 = 0
C14 = C24 = C34 = C41 = C42 = C43 = C56 = C65 = 0
C51 = C52 = C53 = C54 = C61 = C62 = C63 = C64 = 0
C12 = C13 = C21 = C23 = C31 = C32
C11 = C22 = C33
C44 = C55 = C66
C44 = 12 (C11 − C12 )
Sea C12 = λ y C44 = G , las ecuaciones anteriores se reducen a :
σ x = (2G + λ )ε x + λ (ε y + ε z )
σ y = (2G + λ )ε y + λ (ε x + ε z )
σ z = (2G + λ )ε z + λ (ε x + ε y )
τ xy = Gγ xy
τ yz = Gγ yz
τ zx = Gγ zx
La constante G se llama usualmente módulo de corte o módulo de rigidez. Es
definida por las tres últimas ecuaciones como el cociente entre el esfuerzo
cortante aplicado y la correspondiente deformación cortante asociada.
La constante λ se conoce como la constante de Lamé.
Ecuaciones esfuerzo vs. Deformación en
función de E y υ (coef. de Poisson)
[
]
[
]
[
]
1
σ x − υ (σ y + σ z )
E
1
ε y = σ y − υ (σ x + σ z )
E
1
ε z = σ z − υ (σ x + σ y )
E
τ
2(1 + υ )
γ xy =
τ xy = xy
E
G
τ yz
2(1 + υ )
γ yz =
τ yz =
E
G
2(1 + υ )
τ
γ zx =
τ zx = zx
E
G
εx =
[
]
[
]
[
]
E
(1 − υ )ε x + υ (ε y + ε z )
(1 + υ )(1 − 2υ )
E
(1 − υ )ε y + υ (ε x + ε z )
σy =
(1 + υ )(1 − 2υ )
E
(1 − υ )ε z + υ (ε x + ε y )
σz =
(1 + υ )(1 − 2υ )
E
τ xy =
γ xy = Gγ xy
2(1 + υ )
E
τ yz =
γ yz = Gγ yz
2(1 + υ )
E
τ zx =
γ zx = Gγ zx
2(1 + υ )
σx =
Para el caso especial en que los ejes x, y , z sean coincidentes con los ejes
principales 1, 2 y 3, las ecuaciones anteriores pueden simplificarse puesto
que tanto las deformaciones cortantes cono los esfuerzos cortantes son cero
Para el caso particular de esfuerzos biaxiales: uno de
los esfuerzos principales (σ3 = 0), entonces:
Resolviendo y simplificando:
−υ
ε3 =
(ε1 − ε2 )
1−υ
E
(ε1 +υε2 )
σ1 =
2
1−υ
E
σ2 =
(ε2 +υε1)
2
1−υ
σ3 = 0
1
E
1
ε2 = (σ2 −υσ1)
E
ε1 = (σ1 −υσ2 )
υ
ε3 = − (σ1 +σ 2 )
E
Para el caso de esfuerzos
uniaxiales:
1
ε1 = σ 1
E
υ
ε 2 = ε 3 = − σ1
E
σ 1 = Eε 1
σ2 = σ3 = 0
Ejemplo:
Un cilindro de goma R de longitud L y área transversal A es comprimido
dentro de un cilindro de acero S mediante la aplicación de una fuerza F que
aplica una presión uniformemente distribuida a la goma.
a) Derive una fórmula para la presión lateral p entre la goma y el acero
(depreciar la fricción entre la goma y el acero y asumir que el cilindro de
acero es rígido comparado con la goma)
b) Derive la fórmula para el acortamiento δ del cilindro de goma.