La desigualdad entre la media aritmética y geométrica en

Título: La desigualdad entre la media aritmética y geométrica en
problemas de olimpiadas.
Resumen:
En el presente artículo se pretende mostrar la utilidad de una desigualdad tan
elemental como la relación entre las medias aritmética y geométrica para
resolver problemas de olimpiadas, se ofrece una demostración algebraica y
una geométrica para esta relación en dos elementos, a continuación se ofrece
la demostración realizada por Cauchy al caso general y se proponen problemas
con soluciones de olimpiadas realizadas en diferentes países.
Palabras claves: desigualdades, media aritmética, media geométrica,
olimpiadas de Matemática.
Summary:
Presently article is sought to show the utility of such an elementary inequality as
the relationship among the stockings arithmetic and geometric to solve
problems of olympiads, he/she offers an algebraic demonstration and a
geometric one for this relationship in two elements, next he/she offers the
demonstration carried out by Cauchy to the general case and they intend
problems with solutions of olympiads carried out in different countries.
Key words: inequalities, half arithmetic, mediates geometric, olympiads of
Mathematics.
Desarrollo:
Se conoce que la media aritmértica entre dos valores no negativos a y b se
calcula como
que
y la media geométrica como
entonces demostraremos
. Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos
permitirá analizar algunas de las interconexiones conceptuales que se
establecen entre estas dos disciplinas de la Matemática.
Vía algebraica: Conocemos que
, si en la desigualdad que queremos
demostrar multiplicamos por 2 y transponemos todo al miembro izquierdo,
obtenemos
cumple.
Vía Geométrica:
, factorizando tenemos
, que se
Utilizando el teorema de las alturas se
A
tiene que
h
D
B
es decir la media
geométrica entre x, y. Por otra parte
O
x
C
y
podemos percatarnos que
, es
decir la media geométrica, que en este
caso es la hipotenusa del triángulo rectángulo AOD y la media geométrica es
uno de sus catetos, entonces se tiene que
.
Esta desigualdad se cumple además si la cantidad de valores aumenta. Según
Bulajich, Gómez y Valdés (2008), Cauchy probó esta desigualdad utilizando
una inducción de la siguiente forma:
1. Probar que se cumple para dos números.
2. Probar que si se cumple para n elementos entonces se cumple para n –
1 elementos.
3. Probar que si se cumple para n elementos entonces se cumple para 2n
elementos.
En el caso que nos ocupa el primer paso está probado. Probaremos el segundo
y el tercer pasos:
2)
Tomamos
n
–
1
números
no
negativos
y
sea
, como tenemos como premisa que se cumple para n
elementos entonces:
Entonces se cumple para n – 1 elementos.
3) sean 2n números reales no negativos
A continuación analizaremos algunos problemas de olimpiadas donde se puede
utilizar esta desigualdad.
Problema 1. (Bulgaria, 1995) Sean SA, SB y SC las áreas de los heptágonos
regulares A1A2…A7, B1B2…B7, C1C2…C7, respectivamente. Si se sabe que
A1A2 = B1B3 = C1C4. Prueba que
Solución:
Si a = A1A2, b = B1B3 y c = C1C4, usando el teorema de Ptolomeo se deuce que
ab + ac = bc. Usando esto concluimos que
,
y
. Usando la desigualdad entre media aritmética y media
geométrica concluimos que
Problema 2. (Estonia, 1995) Sean a, b, c las longitudes de los lados de un
triángulo y α, β y γ los ángulos opuestos a esos lados. Prueba que si r es el
radio
de
la
circunferencia
inscrita
en
el
triángulo,
entonces:
.
Solución:
Sea S el área del triángulo, tenemos
,
,
y
Por la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica
y
Multiplicando se cumple lo buscado.
Problema 3. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 2000) Prueba que para todos a, b
reales positivos se cumple que:
Solución: Haciendo
resolver
desigualdades,
y
pues
(Esto es fundamental a la hora de
en
muchas
ocasiones
una
adecuada
transformación puede facilitarnos mucho la demostración.
En este caso
Que se puede transformar en:
Aplicando dos veces la desigualdad entre la media aritmética y la media
geométrica tenemos:
Sumando las dos desigualdades miembro a miembro se tiene la desigualdad
deseada. La igualdad se cumple si y solo si
Problema 4. (Brasil, 2001) Prueba que
,
Solución:
Vamos a transformar
Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica se
tiene:
Problema 5. (IMO, 2001) Prueba que para
Solución:
se cumple:
Podemos percatarnos que la solución de la desigualdad es equivalente a
demostrar:
. Aplicado a los tres sumandos. Esta última desigualdad se
puede transformar como:
Entonces esto es equivalente a demostrar que:
Aplicando dos veces la desigualdad entre la media aritmética y la media
geométrica:
Multiplicando miembro a miembro se tiene el resultado deseado.
Problema 6. (Balcanes, 2002) Sean a, b, c reales positivos, prueba que:
Solución: aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media
geométrica
Apliquemos dos veces más la desigualdad media aritmética – media
geométrica
;
; entonces
Problema 7. (Canadá, 2002) Prueba que
, se cumple que
. ¿Cuándo ocurre la igualdad?
Solución: teniendo en cuenta que
por
podemos multiplicar la desigualdad
con lo cual transformamos lo que queremos demostrar en:
Transformando el miembro izquierdo,
Si aplicamos media aritmética – media geométrica a cada sumando tenemos:
Aplicando nuevamente la desigualdad media aritmética – media geométrica
tenemos que:
La igualdad si y solo si a = b = c.
Problema 8. (Rusia, 2002) Prueba que
, para
Solución:
Esta desigualdad puede ser transformada de la siguiente forma:
Entonces la demostración de la desigualdad original se reduce a demostrar que
Vamos a utilizar 3 veces la desigualdad entre las medias aritmética y
geométrica:
, de la misma forma
;
, sumando estas desigualdades se tiene la deseada.
Problema 9. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 2003) Demuestra que si
, entonces
.
Solución: Esta desigualdad se puede transformar en
, vamos a demostrar por partes
utilizando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica.
,
,y
de
manera
análoga
. Sumando miembro a miembro obtenemos
la desigualdad deseada.
Problema 10. (Lista corta, OIM 2004) Si los números positivos
satisfacen
que
la
suma
es
1,
prueba
,
que:
.
Soludión:
Haciendo
Es evidente que
equivalente a:
,
,
,
definimos
;
, la desigualdad es
. Usando la desigualdad media aritmética – media
geométrica deducimos que:
, usando la desigualdad media aritmética –
media geométrica
Problema 11. (Ucrania, 2004) Sean
Solución:
, con
. Prueba que
Por la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica esta última
expresión:
, de
manera análoga
;
; por tanto
Problema 12. (Kazajstán, 2009) Prueba que
, se cumple
que:
Solución:
La desigualdad se puede transformar multiplicando por
,
Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica en ambos
factores del miembro izquierdo tenemos:
, entonces
; y además
Entonces
Y
, sumando miembro a miembro
tenemos la desigualdad que queremos demostrar.
Problema 13. (Grecia, 2010) Si
y
prueba que
,
. ¿Cuándo ocurre la igualdad?
Solución:
La desigualdad se puede transformar en
Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica
;
, entonces:
,
por
tanto
es
suficiente
demostrar
y
que
, que se cumple por ser
.
La igualdad se verifica si y solo si x = y = z = 1.
Problema 14. (Prueba de selección de Cuba, 2006) Encuentra el mayor valor
posible de k tal que para todo polinomio de grado n > 1 cuyas raíces son todas
reales positivas
se cumple
que y determina en qué casos se cumple la igualdad.
En este problema se establecen relaciones entre elementos propios del
Álgebra como es el caso del trabajo con polinomios y la desigualdad entre las
medias.
Solución:
Sean r1, r2, r3, … , rn las raíces de p(x). Según las fórmulas de Vieta se tiene
n 1
n 1
( 1)i a n
que
n 1
( 1)i ( 1)i
1
i )1
i 1
r j1 ...r ji
=
rj1 ...rji
1 j1 ... ji n
i 1 1 j1 ...
n 1
n
Una doble sumatoria con un total de
2n
ji
n
2 términos. Ahora por la
i
i 1
desigualdad Media Aritmética-Media Geométrica (aplicable porque los ri son
positivos) se sabe que
n 1
r ...r ji
j1
i 1 1 j1 ... ji n
n
2
n 1
2n 2
2
r ...r ji
j1
i 1 1 j1 ... ji n
Para simplificar la raíz (2n-2)-ésima obtenida en este punto nótese que
n
n 1
2
n
2
n 1
r ...r ji = 2n
j1
i 1 1 j1 ... ji n
2n 2
n
= 2( 2
n
2)
rk
2
k 1
r ...r ji
j1
i 1 1 j1 ... ji n
i 1 1 j1 ... ji n
r j1 ...r ji
n
=
k 1
rk
n 1
rk = a0
k 1
Una recopilación de los resultados obtenidos hasta el momento permite
concluir que
i
( 1) an
i 1
2
n 1
n 1
i
(2
n
2) ao
i
entonces
( 1) an 1
i 1
(2 n
2) 2 ao
Se tiene que la constante k es (2n -2)2, y en este caso es fácilmente verificable,
por las condiciones de la desigualdad Media Aritmética-Media Geométrica, que
la igualdad en este caso es alcanzada cuando
r1 = r2 = … = rn = 1 y solamente en ese caso, con lo que se obtienen además las
condiciones de igualdad. Además, por existir igualdad par este valor de k, es
claro que no puede encontrarse ninguno mayor.
Problema 15. (Prueba de selección cubana, 2006) Sean a, b y c números
positivos tales que
1
abc
33
ab + bc + ca = 1. Probar que
3
6( a b c )
3
.
abc
Solución:
Escribamos
=
3
3
3
3
3
3
1
abc
1 3ab(ac bc) 3bc(ba ca) 3ca(ab bc)
abc
3
3
3
3
3
3
como ab + bc + ca = 1 tenemos
=
1 6a 2 bc 6ab 2 c 6abc 2
=
abc
3
3
6(a b c)
3
4 3(ab) 2
3
(bc) 2
abc
(ca) 2
3
3
3
1 3ab 3(ab) 2
3
3bc 3(bc) 2
abc
3ca 3(ca) 2
=
.
Es fácil ver que 3((ab)2 + (bc)2 + (ca)2) ≥ (ab + bc + ca)2 = 1 con lo que se
prueba que
3
3
3 3 abc
3
1
1
, que es equivalente a que (abc)2 ≤
y por la
27
abc
relación entre la media aritmética y la media geométrica se tiene que (abc) 2 =
ab bc ca
(ab)(bc)(ca) ≤
3
2
=
1
.
27
La igualdad se cumple si y solo si a = b = c =
1
3
.
Otros problemas donde se utiliza la desigualdad
En los problemas que se muestran a continuación se evidencia la utilización de
la desigualdad entre las medias en otros contextos, donde no se solicita
explícitamente la demostración de una desigualdad. Esto muestra las
relaciones internas que se establecen en el Álgebra.
Problema 16. (Grecia, 2009) Determina
que satisfacen el sistema
Y tienen la menor suma posible.
Solución:
Sea
la solución del sistema con la menor suma posible, entonces por
la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene:
, con la igualdad para
Problema 17. (Grecia, 2010) Resolver en reales positivos el siguiente sistema:
Solución:
Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene que:
La segunda ecuación se transforma en
Usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene:
,
entonces
Con la igualdad para
Por (1) y (2),
, que es posible cuando
Por tanto la única solución
Problema 18. (Rumanía, 2002) Sea
,
reales tal que
, y
, funciones
. Demuestra que la ecuación
tiene
soluciones
si
y
solo
si
las
tienen ceros comunes.
a) Resuelve la ecuación
Solución:
Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica tenemos:
funciones
Entonces
se
cumple
la
igualdad
en
esta
desigualdad:
y como
,
porque tiene que cumplirse la igualdad
, entonces los
valores de x tienen que ser ceros comunes.
a) La ecuación puede escribirse en la forma:
,
por
,
tanto
,
considerando
, tenemos
,
el
resultado
anterior implica que la solución está formada por las raíces comunes a las
tres funciones
, que son
.
Problema 19. (China, 2006) Sea
y
el máximo valor de la suma
. Determina
, donde
Solución: Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica:
, luego
La igualdad se logra si y solo si
, luego el máximo es
.
Problema 20. (Primera prueba selectiva de Cuba, curso 2006 – 2007) Hallar el
valor mínimo posible de
condición
si
son números reales que satisfacen la
, con
Solución:
Sea A = x2 + y2 y B = x2 – y2 entonces x2 =
xy =
x2y2 =
A B
A B
y y2 =
, tenemos que
2
2
A B A B
, notemos que debemos asumir que xy > 0.
2
2
Sustituyendo en la ecuación dada tenemos A = B
A B A B
(1)
2
2
De acuerdo a la relación entre la media aritmética y geométrica se cumple que
A B A B
2
2
A B
2
A B
2 = A teniendo que A
2
2
A
ByB
2
Reordenando (1) encontramos que 4a2 = B2(A2 – B2) y A2 =
2.
B4
B2
4
luego B
2
obteniendo que B > 2.
Ahora, (B2 – 8)2
0, y B4
16B2 – 64 = 16(B2 – 4), teniendo que
teniendo entonces que x2 + y2 = A
B4
B2
4
16
4. Finalmente notemos que x2 + y2 puede
tomar el valor 4, por ejemplo para x =
2
2,y=
2
2.
Problema 21. (Pruebas de selección Cuba, 2006) Una circunferencia de radio r
y centro S está inscrita en el triángulo ABC. Una recta que pasa por el punto S
interseca a los lados BC y CA en los puntos D y E respectivamente. Si P es el
área del triángulo CED, probar que P
2r2. determina para qué casos se
cumple la igualdad.
Solución:
El área A del triángulo CED satisface que
C
CE CD
A = ACES + ACSD= ½ CE r + ½ CD r =
r.
2
Por la desigualdad entre la media aritmética y la media
CE CD
CE CD por
geométrica tenemos que
r
2
D
E
S
A
B
CE CD r. El producto de las longitudes de los lados de un triángulo no
lo que A
es menor que el doble del área del triángulo.
En nuestro caso CE CD
2A, donde la igualdad se cumple si y solo si el ángulo del
vértice C es recto, entonces A
CE CD r
igualdad se cumple si y solo si CE = CD y
2 A r y A2
2Ar2 donde A
2r2. La
C = 900.
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