Intervalos característicos en distribuciones N(0,1) En una

Intervalos característicos en distribuciones N(0,1)
En una distribución normal, (-k,k) es el intervalo característico correspondiente
a una probabilidad p si P(-k<z<k)=p, diremos que k es el valor crítico
correspondiente a p.
Habitualmente se designa p=1-α y k=zα/2 , esto es P(-z α/2<z<z α/2)= 1-α
p nivel de confianza, α nivel de significación, k=z α/2 valor crítico.
Ejemplo 1: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal
N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9.
P(-k<z<k)=p=0.9
2ϕ(k)-1=0.9
10.9
ϕ(k)=
=0.95
2
En las tablas encontramos ϕ(1,64) = 0,9495, ϕ (1,65) = 0,9505.
Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir,
k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,645) = 0,9.
Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,645], simétrico respecto al O, dentro
del cual hay un área del 90% del total.
Ejemplo 2: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal
N(0, 1) correspondiente al 95%.
P(-k<z<k)=p=0.95
2ϕ(k)-1=0.95
10.95
ϕ(k)=
=0.975
2
En las tablas encontramos ϕ(1,96) = 0,975.
Hemos encontrado un intervalo [-1,96; 1,96], simétrico respecto al O, dentro
del cual hay un área del 95% del total.
Ejemplo 3: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal
N(0, 1) correspondiente al 99%.
P(-k<z<k)=p=0.99
2ϕ(k)-1=0.99
10.99
ϕ(k)=
=0.995
2
En las tablas encontramos ϕ(2,57) = 0,9949, ϕ (2,58) = 0,9951.
Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 2,57 y 2,58.
Es decir, Zα/2 = 2,575
Principales valores críticos
1-α
z α/2
0,9
1,645
0,95
1,96
0,99
2,575
Intervalos caracterísiticos en distribuciones N(μ, σ)
En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una
probabilidad p=1 – α es (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ)
Ejemplo 1: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal
N(50, 6) correspondiente a la probabilidad p=0,9.
Queda claro que hemos de consultar el ejemplo 1 para calcular Zα/2=1.645
(μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,645*6 , 50 + 1,645*6) =
= ( 50 – 9,87, 50 + 9,87) = (40,13, 59,87)
Ejemplo2: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal
N(66, 8) correspondiente al 99%.
Queda claro que hemos de consultar el ejemplo 3 para calcular Zα/2 = 2,575
(μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (66 – 2,575*8 , 66 + 2,575*8) = ( 45,4, 86,6)
Ejemplo3: La duración de un tipo de pilas eléctricas tienen una distribución
normal con media 55 horas y desviación 6 horas. Hallar los intervalos
caracterísiticos correspondiente a probabilidades 0,75; 0,90; 0,95 y 0,99
interpretando lo que significan.
p
Intervalo
0,75
(48,1, 61,9)
0,9
(45,13, 64,87)
0,95
(43,24, 66,76)
0,99
(39,55, 70,45)