RESOLUCIÓN TEMA EMPRÉSTITOS DE OBLIGACIONES 1.

RESOLUCIÓN TEMA EMPRÉSTITOS DE OBLIGACIONES
1.- Sea un empréstito de obligaciones de las siguientes características:
- N = 100.000 títulos.
- C = 1.000€.
- n = 3 años.
- i = 0,0325.
- Obligaciones americanas, cupón anual.
Obténgase:
a) Cuantía de los términos amortizativos para el emisor y para una obligación.
b) Capital vivo del total del empréstito un año después de haberse emitido.
c) Capital vivo del total del empréstito un año y medio después de haberse
emitido.
Solución:
Lo plantearemos para una sola obligación y luego lo extenderemos a todo el empréstito, ya que
todas las obligaciones tienen las mismas características.
P:
C1
C
CP:
0
C1,5
Ci
Ci
1
2
Ci+C
3
a) Los términos amortizativos de los periodos intermedios sirven para pagar sólo los intereses:
a’1 = a’2 = C i = 1000 * 0,0325 = 32,5.
El último término amortizativo incluye los intereses del último periodo más toda la cuantía
prestada:
a’3 = C i + C = 32,5 + 1000 = 1032,5.
Para el caso de todo el empréstito, sólo hace falta multiplicar la cuantía obtenida para una
obligación por el número de obligaciones:
a1 = a2 = a’1 N = a’2 N = 32,5 * 100.000 = 3.250.000.
a3 = a’3 N = 1032,5 * 100.000= 103.250.000.
b) Al final del primer año se ha pagado la cuantía de los intereses generados durante el primer
periodo, con lo que la reserva coincide con el capital inicial:
CT1 = CT0 = C N = 1000 * 100.000 = 100.000.000.
c) Aplicando el método recurrente a partir de la reserva obtenida en el apartado anterior:
CT1,5 = CT1 (1+0,0325)0,5 = C1 N (1+0,0325)0,5 = 1000 * 100.000 (1,0325)0,5 = 101.612.007.
1
2.- Igual que el Ejercicio 1, pero considerando ahora obligaciones simples, es decir, cupón
cero, o intereses acumulados.
Solución:
Lo plantearemos para una sola obligación y luego lo extenderemos a todo el empréstito, ya que
todas las obligaciones tienen las mismas características.
P:
C1
C
CP:
C1,5
0
0
0
1
C3
2
3
a) Durante los periodos intermedios no se paga ni cuota de interés ni cuota de amortización.
a’1 = a’2 = 0.
El último término amortizativo incluye los intereses generados durante toda la operación
más toda la cuantía prestada, o lo que es lo mismo la cuantía equivalente a 1000 unidades
monetarias al cabo de tres años:
a’3 = C (1+0,0325)3 = 1.100,7.
Para el caso de todo el empréstito, sólo hace falta multiplicar la cuantía obtenida para una
obligación por el número de obligaciones:
a1 = a2 = a’1 N = a’2 N = 0.
a3 = a’3 N = 1.100,7 * 100.000= 110.070.307,8.
b) Al final del primer año la deuda será el capital equivalente al capital inicial:
CT1 = CT0 (1+i)1 = C N (1,0325)= 103.250.000.
c) Después de un año y medio la deuda será el capital equivalente al capital inicial:
CT1,5 = CT0 (1+i)1,5 = C N (1+0,0325)1,5 = 104.914.397.
3.- Igual que el Ejercicio 1, pero considerando ahora que las obligaciones pagan cupón
trimestral y que el tipo de interés nominal es el 5%.
Solución:
Lo plantearemos para una sola obligación y luego lo extenderemos a todo el empréstito, ya que
todas las obligaciones tienen las mismas características.
P:
C1
C
(4)
CP:
0
(4)
(4)
(4)
C1,5
(4)
Ci
Ci
Ci
Ci
Ci
1/4
2/4
3/4
1
1+1/4
(4)
Ci
C i(4)
1+2/4 ………..2+3/4
C i(4) + C
3
2
En primer lugar determinaremos el tipo de interés efectivo trimestral:
i(4) = j(4)/4 = 0,05/4 = 0,0125
a) Los términos amortizativos de los periodos intermedios sirven para pagar sólo los intereses:
a’1/4 = a’2/4 = … = a’2+3/4 = C i(4) = 1000 * 0,0125 = 12,5.
El último término amortizativo incluye los intereses del último periodo más toda la cuantía
prestada:
a’3 = C i(4) + C = 12,5 + 1000 = 1012,5.
Para el caso de todo el empréstito, sólo hace falta multiplicar la cuantía obtenida para una
obligación por el número de obligaciones:
a1/4 = a2/4 = …= a2+3/4 = a’1/4 N = a’2/4 N = … = a’2+3/4 N = 12,5 * 100.000 = 1.250.000.
a3 = a’3 N = 1012,5 * 100.000= 101.250.000.
b) Al final del primer año se ha pagado la cuantía de los intereses generados durante todo el
primer año, con lo que la reserva coincide con el capital inicial:
CT1 = CT0 = C N = 1000 * 100.000 = 100.000.000.
c) Al final del año y medio se ha pagado la cuantía de los intereses generados durante todo ese
periodo, con lo que la reserva coincide con el capital inicial:
CT1,5 = CT0 = C N = 1000 * 100.000 = 100.000.000.
4.- Sea un empréstito de obligaciones de las siguientes características:
- N = 125.000 títulos.
- C = 500€.
- n = 4 años.
-Obligaciones americanas, cupón anual.
-Tipo de interés indexado. Periodos de interés anuales.
-Tipo de interés aplicable al primer periodo: 4%.
-Resto de la operación: Valor del índice de referencia menos 0,25 puntos
porcentuales.
Sabiendo que el valor del índice de referencia ha sido: ir2 = 4,25%; ir3 = 6 %; ir4 =5%,
obténgase:
a) Cuantía de los términos amortizativos para el emisor y para una obligación.
b) Capital vivo del total del empréstito a los dos años.
c) Tanto efectivo de rendimiento de un obligacionista que adquiere 100 títulos a
través de un intermediario financiero que le cobra una comisión de suscripción del
0,5% y una de amortización del 0,25% ambas sobre el nominal.
d) Tanto efectivo de coste para el emisor sabiendo que la operación tiene unos gastos
iniciales unilaterales de 513.248€.
Solución:
Lo plantearemos para una sola obligación y luego lo extenderemos a todo el empréstito, ya que
todas las obligaciones tienen las mismas características.
3
P:
CP:
C 2
C
C i2
C i1
0
1
2
C i3
3
C i4 + C
4
Como ya se conocen los índices de referencia se puede determinar los tipos de interés aplicables
a los diferentes periodos:
i1 = 0,04.
i2 = 0,0425 - 0,0025 = 0,04.
i3 = 0,06 - 0,0025 = 0,0575.
i4 = 0,05 - 0,0025 = 0,0475.
a) Los términos amortizativos de los periodos intermedios sirven para pagar sólo los intereses,
aunque serán diferentes entre sí al ser distintos los tipos de interés:
a’1 = C i1= 500 * 0,04 = 20.
a’2 = C i2= 500 * 0,04 = 20.
a’3 = C i3= 500 * 0,0575 = 28,75.
El último término amortizativo incluye los intereses del último periodo más toda la cuantía
prestada:
a’4 = C i4 + C = 500 * 0,0475 + 500 = 523,75.
Para el caso de todo el empréstito, sólo hace falta multiplicar la cuantía obtenida para una
obligación por el número de obligaciones:
a1 = a’1 N = 20 * 125.000 = 2.500.000.
a2 = a’2 N = 20 * 125.000 = 2.500.000.
a3 = a’3 N = 28,75 * 125.000= 3.593.750.
a4 = a’4 N = 523,75 * 125.000 = 65.468.750.
b) Al final de los dos años se ha pagado la cuantía de los intereses generados durante todo ese
periodo, con lo que la reserva coincide con el capital inicial:
CT2 = CT0 = C N = 500 * 125.000 = 62.500.000.
c) El tanto efectivo de rendimiento para el obligacionista que compra 100 obligaciones será el
mismo que para una única obligación, ya que la comisión se aplica como un porcentaje
sobre el nominal:
500 + 0,005 * 500 + 0,0025 * 500 (1+ia)-4 = 20 (1+ia)-1 + 20 (1+ia)-2 + 28,75 (1+ia)-3 +
523,75 (1+ia)-4,
de donde ia = 4,405645%
d) El tanto efectivo de coste para el obligacionista se obtendrá a partir de la siguiente ecuación:
500 * 125.000 – 513.248= 2.500.000 (1+ip)-1 + 2.500.000 (1+ip)-2 + 3.593.750 (1+ip)-3 +
+ 65.468.750 (1+ip)-4,
de donde ip = 4,831832%
4
5.- Sea la siguiente emisión de cédulas hipotecarias de Caja Canarias:
Importe nominal del empréstito, número de valores, importe nominal y efectivo de cada
valor:




8.000.000.000 pesetas
160.000 títulos
Nominal: 50.000 pesetas
Efectivo: 45.000 pesetas (existe una prima de emisión del 10%).
Naturaleza, denominación de los valores, fecha de emisión y fecha de amortización:



Cédulas hipotecarias, representadas en anotaciones en cuenta, con pago anual de
cupones.
Fecha de emisión: 18/06/1999
Fecha de amortización: 18/06/2004. La amortización se realizará a la par.
Comisiones y gastos a cargo del suscriptor:
La suscripción y amortización de los valores se realizará libre de gastos para el suscriptor
por parte de la entidad emisora.
Cláusula de interés:


El tipo de interés nominal es el 1,50% anual, durante toda la vida de la emisión.
Los cupones se pagarán el 18 de junio de cada año.
Gastos de emisión:
Concepto
Registro Folleto en la CNMV
Anuncios oficiales
Publicidad
Registro e inclusión en AIAF
Pesetas
1.120.000
500.000
6.000.000
640.000
8.260.000
Colocación de la emisión:
La emisión está dirigida al público en general. Los valores serán colocados por la entidad
emisora. No existe ningún intermediario en condición de entidad colocadora ni
aseguradora ni Directora.
En las condiciones descritas para la emisión de cédulas hipotecarias de Caja Canarias,
obténgase:
1. Términos amortizativos del emisor y términos amortizativos de una obligación.
2. Tanto efectivo de una obligación y tanto efectivo del emisor en el supuesto de que
la emisión se coloque en su totalidad.
3. Tanto efectivo a vencimiento de un obligacionista que suscribe 100 títulos del
empréstito sabiendo que la entidad bancaria con la que opera le aplica las
siguientes comisiones:
a. Suscripción: 0,5% sobre el efectivo (mínimo de 1.000 pts)
b. Administración (semestral): 0,35% sobre el nominal (mínimo de 750 pts)
c. Cobro de cupones: 0,7% sobre el efectivo mínimo de 250 pts)
d. Amortización: 0,5% sobre el efectivo (mínimo de 500 pts).
5
Solución:
1. a’1 = a’2 = a’3 = a’4 = C i = 50.000 * 0,015 = 750.
El último término amortizativo incluye los intereses del último periodo más toda la
cuantía prestada: a’5 = C i + C = 750 +50.000 = 50750.
Para el caso de todo el empréstito, sólo hace falta multiplicar la cuantía obtenida para
una obligación por el número de obligaciones:
a1 = a2 = a3 = a4 = 750 * 160.000 = 120.000.000.
a5 = a’5 N = 50750 * 160.000= 8.120.000.000.
2. Tanto efectivo una obligación:

50000  1  0,1  750  a 5 i  50000  (1  i a ) 5
a

i a  0,037292
Tanto efectivo del emisor:
50000  160.000  8.260.000  120.000.000  a 5 i  8.000.000.000  (1  i p ) 5 


p
i p  0,037538
Lógicamente el coste del emisor es superior al anterior tanto efectivo de rendimiento de
cada obligación debido a los gastos iniciales de naturaleza unilateral.
3. Tanto efectivo de un obligacionista sujeto a varias características comerciales
unilaterales:
Comisiones:
Suscripción: 0,005  45000  100  22.500
Administración: 0,0035  50000  100  17.500
Cobro cupones: 0,007  50000  0.015  100  525
Amortización: 0,005  50000  100  25.000
Por tanto:

50000  1  0,1  100  22.500  17500  a 10 i 2   750  100  525  a 5 i  50000  100  25.000 (1  i a ) 5
a
a
i a2   0,013712  i a  0,027612
6.- El Sr. Pérez suscribió 100 Bonos de Tesorería de la emisión realizada por BANCAJA
en las siguientes condiciones:
Nominal: 600 euros.
Precio de emisión: Los bonos suscritos entre los días 11.06.99 y 15.06.99 se desembolsarán
el día 15.06.99 y lo harán al 99.677% de su valor nominal. Los suscritos entre el 16.06.99 y
el 15.07.99 lo harán a la par y se desembolsarán el 15.07.99
Amortización: La emisión se amortizará a la par y en su totalidad el 15 de julio de 2011.
6

Interés nominal: 3,95% anual.
Los cupones serán pagaderos por trimestres vencidos el día 15 de los meses de enero, abril,
julio y octubre de cada año. El primer cupón comenzará a devengarse el 15.07.99 y se
pagará el 15.10.99.
La entidad financiera con la que opera le aplica las siguientes comisiones:
Suscripción: 0,35% sobre el nominal (mínimo 3,01 euros)
Venta: 1% sobre el nominal.
Cobro de cupones: 0,25% sobre el importe del cupón.
En estas condiciones, obténgase:
1. Rentabilidad a vencimiento de los bonos de tesorería, sin características
comerciales, si se suscriben el 14 de junio de 1999.
2. Tanto efectivo de rendimiento si el Sr. Pérez vende los bonos de tesorería, suscritos
el 14 de junio de 1999, el 18.09.00 y el tipo de interés de mercado en esa fecha es
del 5%.
Son obligaciones americanas a tipos de interés fijo y con cupon trimestral.
Suscripción: 14.06.99
Desembolso: 15.06.99
Precio suscripción: 99,677% = V
a) Rentabilidad
j(4)= 0,0395  i(4) = 0,009875


99,677  0,9875  a 48 i  4   100  (1  i a4  )  48 (1  i a4  )
a
4 
1
3
i a  0,009874 (previamente en excel hemos calculado i a12   0,0032805 )
Por tanto, i a  0,040085
Nótese que si hubiese suscrito después, sin obtener prima de emisión, en ese caso sería una
operación pura y el tanto de rendimiento, pasando simplemente de nominal a efectivo, hubiese
sido
4
 0,0395 
i a  1 
  1  0,040088
4 

b)
Necesitamos calcular primero el valor de venta de los bonos
i m  0,05  i m4   0,01227
En % sobre el nominal :
7


V18.09.00  0,9875  a 44 0,01227  100  (1'05) 11 (1'05)
En cuantias:


V18.09.00  5,925  a 44 0,01227  600  (1'05) 11 (1'05)
65
65
365
365
 92,689%
 556,1343
Para hallar la rentabilidad, hay que tener en cuenta las características comerciales:
La ecuación será:


V0T  G S  C T i 4   GC  a 4 i  4   1  i a 
1
12
a


 V1T  GV 1  i a 
 467
365
donde:
V0T  0,99677  600  100  59.806,2
C T i 4   0,009875  600  100  592,5
V1T  556,1343  100  55.613,43
GS  0,0035  C T  0,0035  100  600  210
GC  0,0025  C T i 4   1,48
GV  0,01  C T  0,01  100  600  600
i a  0,035595
Nótese que esta rentabilidad negativa se debe tanto a las características comerciales
perjudiciales para el inversor como a la variación desfavorable de los tipos de interés (y, por
tanto, de los precios) en el momento de la venta.
Si no incluyésemos las comisiones, la rentabilidad sería i a  0,02464 (esta rentabilidad
negativa sería debida solo a la variación de tipos).
Si, por ejemplo en la fecha de venta, i m  0,04 , en ese caso V18.09.00  100,7782% , por lo que
V1T  60.466 y la rentabilidad sería i a  0,02961 con características comerciales y
i a  0,04061 sin considerar las características comerciales.
7.- El 10.03.00 se emitió un empréstito de las siguientes características:
-
C = 60€.
N = 100.000 títulos.
n = 3 años.
i = 0,06.
Obligaciones americanas con pago anual de cupones.
Con estos datos, y sabiendo que el tipo de interés de mercado para operaciones
equivalentes el 10.03.01 y el 10.06.01 era igual al 6,5% y al 7%, respectivamente,
obténgase el valor del empréstito y el valor de una obligación en esas dos fechas.
8
Solución:
Lo plantearemos para una sola obligación y luego lo extenderemos a todo el empréstito, ya que
todas las obligaciones tienen las mismas características.
El esquema de la operación es el siguiente:
V10  03  01
V10  06  01
CP:
Ci
10-03-01
10-06-01
C i+C
10-03-02
10-03-03
La cuantía del cupón anual es:
C i = 60 * 0,06 = 3,6.
a) V10-03-01 = 3,6 (1+im)-1 + (60 + 3,6) (1+im)-2;
Para im = 0,065, V10-03-01 = 59,45.
El valor financiero para todo el empréstito es:
VT10-03-01 = V10-03-01 N = 59,45 * 100.000 = 5.945.381.
b) V10-06-01 = 3,6 (1+im)-9/12 + (60 + 3,6) (1+im)-[1+(9/12)].
Para im = 0,07, V10-06-01 = 59,92.
El valor financiero para todo el empréstito es:
VT10-06-01 = V10-06-01 N = 59,92 * 100.000 = 5.992.020.
8.- El 15.11.00 se emitió un empréstito de las siguientes características:
-
C = 150€.
N = 100.000 títulos.
n = 3 años.
i = 0,06.
Obligaciones cupón cero.
Con estos datos, obténgase el valor del empréstito y el valor de una obligación el 15.05.03
bajo cada uno de los tres supuestos siguientes en lo referente al tipo de mercado en dicha
fecha:
a) El tipo de interés vigente el mercado el 15.05.03 era el 6,5%.
b) El tipo de interés vigente el mercado el 15.05.03 era el 6%.
c) El tipo de interés vigente el mercado el 15.05.03 era el 5,5%.
Asimismo, indique cuál sería la rentabilidad asociada a la operación de compra-venta en
cada uno de los tres supuestos señalados.
9
Solución:
Lo plantearemos para una sola obligación y luego lo extenderemos a todo el empréstito, ya que
todas las obligaciones tienen las mismas características.
El esquema de la operación es el siguiente:
P:
CP:
V150503
150
0
15-11-00
0
15-11-01
C3
15-11-02
15-05-03
15-11-03
En primer lugar determinaremos la cuantía de la contraprestación para una obligación:
C3 = 150 (1+0,06)3 = 178,65
El Valor financiero de una obligación viene determinado por la siguiente ecuación:
V15-05-03 = C3 (1+im)-0,5.
Mientras que el Valor financiero de todo el empréstito, se obtendrá al multiplicar el valor
financiero de una obligación por el número de obligaciones:
VT15-05-03 = V15-05-03 * N.
a) Para im = 0,065,
V15-05-03 = 173,11.
VT15-05-03 = 17.311.474,13
b) Para im = 0,06.
V15-05-03 = 173,52.
VT15-05-03 = 17.352.255,04
c) Para im = 0,055.
V15-05-03 = 173,93.
VT15-05-03 = 17.393.325,52
Ecuación para obtener la rentabilidad:
a) Para im = 0,065
5
2
 i a  0,059
2
V15-05-03 = 173,52
150  173,52  (1  i a )
c) Para im = 0,055
5
V15-05-03 = 173,11
150  173,11(1  i a )
b) Para im = 0,06
V151100  V150503 (1  i a )
5
2
 i a  0,06
V15-05-03 = 173,93
150  173,93  (1  i a )
5
2
 i a  0,061
10
9.- El Sr. Pérez decidió invertir parte de sus ahorros adquiriendo títulos de renta fija en el
mercado financiero y con este fin formó el 15.10.00 la siguiente cartera:
-
50 bonos de 60€ de nominal, con cupón anual del 5% y con fecha de
vencimiento 15.10.03.
-
30 obligaciones de 150€ de nominal, con cupón anual del 4,5% y amortizables
el 15.10.05.
-
100 bonos cupón cero de 60€ de nominal y emitidos el 15.03.00 y amortizables
al 200% de dicho valor el 15.03.05.
Sabiendo que el tipo de interés de mercado para este tipo de títulos en la fecha de compra
de los mismos, 15.10.00, era el 4,5%, calcule cuál fue el desembolso que tuvo que realizar
el Sr. Pérez para poder formar la cartera señalada.
Solución:
Los esquemas se van a plantear para una sola obligación y luego el cálculo lo extenderemos al
número de obligaciones adquiridas, ya que todas las obligaciones tienen las mismas
características.
I) El esquema de la primera operación es el siguiente:
V151000
CP:
15-10-00
El cupón anual es:
Ci
Ci
15-10-01
15-10-02
Ci+C
15-10-03
C i = 60 * 0,05 = 3.
El valor financiero para una obligación del primer tipo será:
I
3
V15
 3 a 3 0,045  60 (1  0,045) 3  60,82
1000  C i a 3 i  C (1  i m )
m
II) El esquema de la segunda operación es el siguiente:
V151000
CP:
15-10-00
Ci
Ci
15-10-01
15-10-02
Ci
15-10-03
Ci
Ci+C
15-10-04
15-10-05
El cupón anual es:
C i = 150 * 0,045 = 6,75.
El valor financiero para una obligación del segundo tipo será:
II
5
V15
 6,75 a 5 0,045  150 (1  0,045) 5  150
1000  C i a 5 i  C (1  i m )
m
Coincide con el valor nominal del título ya que el tipo de interés de mercado y el tipo de interés
pactado en la operación es el mismo.
11
III) El esquema de la tercera operación es el siguiente:
V151000
CP:
2C
15-10-00
15-03-05
El valor financiero para una obligación del tercer tipo se obtendrá desplazando la cuantía que
recibirá el 15-03-05 hasta la fecha del 15-10-00:
III
V15
1000
 2 C (1  i m )
( 4
5
)
12
 2 * 60 (1  0,045)
( 4
5
)
12
 98,80
Para obtener el desembolso que tuvo que realizar sólo hace falta multiplicar cada valor
financiero por el número de obligaciones compradas y sumarlo:
Desembolso15-10-00 = 50 * 60,82 + 30 * 150 + 100 * 98,80 = 17.421,10.
10.- El Sr. Pérez suscribió el 03.01.00 100 títulos de la 16ª Emisión de Bonos de Tesorería
realizada por BANCAJA (véase condiciones de emisión en la fotocopia):
Sabiendo que la entidad financiera con la que opera le aplica las siguientes comisiones:
Suscripción: 0,35% sobre el nominal (mínimo 3,01 euros)
Venta: 1% sobre el nominal.
Cobro de cupones: 0,25% sobre el importe del cupón.
En estas condiciones, obténgase:
1. TAE de la emisión que aparece publicada en el folleto.
2. Tanto efectivo de rendimiento para el Sr. Pérez en caso de que mantenga los títulos
hasta su vencimiento.
3. Tanto efectivo de rendimiento para el Sr. Pérez si éste vende los bonos de tesorería
el 10.01.07 y el tipo de interés de mercado en esa fecha es el 5% efectivo anual.
Solución:
a)
 12
 24
600  5, 25  a12 i 4 +6  a12 i 4  (1  iTAE
)  7,5  a 8 i 4  (1  iTAE
)
4
TAE
 9,75  a 8 i 4  (1  i
4
TAE
 4  32
TAE
)
TAE
 600  (1  i
 4  40
TAE
)
TAE

iTAE
 0,0110603  i TAE  0,0449807  4,50%
4
12
b)
600 1  0,0035   5, 25  1  0,0025   a12 i 4 +6  1  0,0025   a12 i 4  (1  ia  ) 12
4
a
 7,5  1  0,0025   a 8 i 4  (1  i a )
 4
a
24
a
 9,75  1  0,0025   a 8 i 4  (1  ia4 ) 32
a
 600  (1  ia  ) 40
4
ia   0,010928  i a  0,044433
4
c)
El precio de venta se calcula a partir del tipo de interés vigente en el mercado:
im4  1  im 
1
4
 1  1  0,05  4  1  0,01227223
1
Pvta  7,5  a 4 i 4  9,75  a 8 i 4  (1  im4 ) 4  600  (1  im4 ) 12  617,75
m
m
Por tanto, la rentabilidad asociada a la operación de compra-venta será :
600 1  0,0035   5, 25  1  0,0025   a12 i 4 +6  1  0,0025   a12 i 4  (1  ia  ) 12
4
a
 7,5  1  0,0025   a 4 i 4  (1  i a )
 4
a
a
24
  617,75  0,01  600  (1  ia  ) 28
4
ia   0,0101663  i a  0,0412896
4
13