C´ALCULO

CÁLCULO
Práctica 1.2
Complejos
(Curso 2013-2014)
1.– Evaluar las siguientes expresiones:
1 1+i
2 1 − i−7
1
i+
1
1
i+ i+1
2.– Escribir los siguientes números complejos en forma polar:
(1 + i)(1 − i)
√
1 + 3i
√
1 − 3i
3.– Hallar los números complejos cuyo cubo sea igual al cuadrado de su conjugado
4.– Encontrar en C
I las raı́ces cuadradas de −2i y las raı́ces sextas de 1. Escribir los resultados en
forma binómica.
5.– Resolver en C
I la siguiente ecuación z 3 z̄ = −1
6.– Resolver en C
I las ecuaciones siguientes:
(a) z 3 − z 2 − 3z + 6 = 0
(b) z 4 + 7z 2 − 144 = 0
(c) (1 + i)z 3 − 2i = 0
√
(d) z 4 = −8(i − 3)
(e) z 5 + 1 = 0
q
√
6
(f) z = 1 − 3i
7.– Calcular el módulo del siguiente número complejo
√
√
(2 + i 5)(1 + i 3)3
√
√
( 5 + i 3)
√
8.– Encontrar todos los números naturales n tales que el número (−1 + i 3)n sea real
9.– Se consideran los números complejos de la forma
z=
1 − αi
, α ∈ IR
α − 2i
(a) Calcular todos los valores de α para los que z es un número real.
(b) Calcular todos los valores de α para los que el módulo de z es
√1
3
10.– Determinar y representar los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes
expresiones, siendo z ∈ C,
I Img=parte imaginaria y ||:módulo:
a) |z − 2i| ≤ 1
b) |z| < 1, Imgz > 0
c) z z̄ > 4
d) |z − 2| > |z − 3|
11.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:
(a) En el cuerpo de los números complejos
el producto de dos números complejos no reales es siempre otro número complejo no real.
la suma de dos números complejos no reales es siempre otro número complejo no real.
el producto de dos números imaginarios puros es siempre un número real.
el inverso de un número complejo no real puede ser un número real.
(b)Sea z un número complejo no nulo
Si z no es real, tiene una sola raı́z cuadrada
Los números z + z̄ y z z̄ son siempre reales
Hay sólo dos valores r (mayor que 0) y θ ∈ IR tales que z = reθi
El módulo de 1/z coincide con el de z
(c)Si dividimos un número complejo no nulo por su conjugado, obtenemos siempre
Un número real
Un número imaginario puro
Un número complejo de módulo 1
Un número complejo cuya parte real coincide con su parte imaginaria
(d)Otra expresión para i2007 es
1
i
−1
−i