DINAMICA DE LA PARTICULA - Universidad de Santiago

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
DEPARTAMENTO DE FISICA
FACULTAD DE CIENCIA
CARRERA: LIC. EN QUIMICA
PROFESORA: CECILIA TOLEDOV.
SEMESTRE PRIMERO DEL 2013
QUIMICOS USACH2012 <[email protected]>
FISICA I
I.-
DINAMICA DE LA PARTICULA
INTRODUCCION
De la experiencia se sabe que el cambio del movimiento de un cuerpo es el resultado directo
de su interacción con otros cuerpos y del medio que los rodea, estas interacciones, además
pueden producir deformaciones.
Cada ser humano tiene una idea intuitiva de fuerza relacionada con algún tipo de fuerza
específica y no con la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo. La idea intuitiva de fuerza neta
necesita de cierto grado de abstracción y se relaciona con el movimiento que experimenta el
cuerpo
En la naturaleza observamos un gran número de interacciones, estas pueden ser por contacto
directo o por acción a distancia, por ejemplo: empujar un cuerpo, atracción gravitacional
sobre los cuerpos, atracción magnética, atracción eléctrica etc. , esas interacciones se
expresan a través del concepto de fuerza.
Las fuerzas mecánicas se pueden medir con instrumentos denominados dinamómetros que
comparan fuerzas con patrones de fuerza pre establecidos. Los efectos de una fuerza neta
aplicada a un cuerpo dependen de la masa del cuerpo. La masa es propiedad intrínseca,
inherente de cada cuerpo, independiente de su ubicación y su medición se realiza con un
instrumento denominado balanza. La unidad de masa en el Sistema Internacional SI es el
kilogramo: (kg).
Se postula la existencia de sistemas inerciales y se definen como sistemas en reposo o que se muevan
con velocidad constante respecto a un sistema que puede imaginarse fijo en el espacio. Esta suposición
la plantea Isaac Newton al aceptar que las estrellas estaban fijas y que entonces era posible asociar a
ellas un sistema fijo.
El problema que se tratará de resolver es : ''se tiene una partícula sometida a ciertas
interacciones '' ¿cómo se mueve?''. La parte de la mecánica que estudia esta problemática es la
Dinámica.
LEYES DE DE NEWTON
Aristóteles (384-222) estudio el movimiento de los cuerpos, pero sólo lo hizo en función de
velocidades, no logró intuir el concepto de aceleración, y no logró iniciar el estudio de las
causas del movimiento, también no trabajo con la acción a distancia.. En el siglo XII aparece
la idea del conocimiento racional y de la demostración formal. Usando la lógica de Aristóteles
y de la matemática desarrollada por los griegos. San Agustín indicó que los sentidos son
engañosos y que sólo la razón puede alcanzar la verdad.
Ya hacia los siglos XVI y XVII se revitaliza la Geometría Euclidiana, se vuelve a la idea griega
de la explicación teórica de la ciencia. Es posiblemente con Leonardo da Vinci(1452-1519))
quien da los primeros pasos en este sentido. Con Galileo Galilei(1564-1642) se encuentra la
aplicación sistemática de los métodos experimentales y de razonamientos abstractos
matemáticos dando origen a una gran revolución, primero en la dinámica y luego en las demás
ciencias.
Galileo escribió:
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“La filosofía está escrita en este gran libro, que continuamente está abierto a nuestros
ojos, me refiero al universo, pero no puede ser entendido a menos que uno aprenda
primero el lenguaje y a interpretar las características en que está escrito. Está escrito
en el lenguaje de las matemáticas…”
Antes que Galileo y Newton la mayoría de los filósofos pensaban que el estado natural de los
cuerpos era el reposo y que para que un cuerpo estuviese en movimiento era necesario que
sobre él actuara un agente externo.
Galileo trabajó experimentalmente con superficies cada vez más lisas y horizontales, llegando
a la conclusión que en forma ideal un cuerpo puede moverse con velocidad constante si la
fuerza neta que actúa sobre él es cero. A éste cuerpo le llamaremos partícula libre.
Copérnico(1473-1543) realiza trabajos sobre el sistema solar, publicados es su libro de Revolutionibus
Orbium Coelestium, apoyados firmemente por Galileo.
TychoBrahe(1546-1630) realiza estudios sobre órbitas de planetas y satélites.
J.Kepler(1571-1630) realiza estudios sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol, también
entrega una teoría de la gravitación aplicada únicamente al sistema Tierra – Luna.
Estos investigadores dejan preparado el camino para la síntesis newtoniana.
Las ideas de Galileo, más nuevos aportes de Newton dan origen a los principios fundamentales
de la mecánica clásica llamados principios de Newton (también se le conoce como leyes de
Newton).
Newton(1643-1727) publica su primer libro a los 45 años,
“Philosophiae Naturales Principia Mathemática” en el cual
enuncia las tres leyes fundamentales de la Dinámica.
Desarrollos posteriores de la Dinámica clásica han consistido
en nuevas formulaciones que verifican los mismos principios
y que han sido desarrollados por Lagrange y Hamilton dando
lugar a la Dinámica analítica de planteamiento muy general
y de fácil aplicación a la mecánica cuántica, a la Mecánica
Estadística y a la electrodinámica.
Newton enunció sus leyes del modo que sigue : ( * )
I.II.III.-
Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo
uniforme, a menos que se vea obligado a alterar este estado por fuerzas
aplicadas a él.
La variación del momentum lineal con el tiempo es proporcional a la fuerza
neta aplicada y su dirección es la de esta fuerza.
A cada acción se opone siempre una reacción igual y de sentido contrario.
BREVE ANALISIS DE LAS LEYES NEWTON
En las leyes de Newton el concepto de cuerpo implica cuerpo rígido o partícula de masa
constante. Como ya se ha dicho anteriormente, movimiento es un concepto relativo, luego
será necesario especificar el sistema respecto del cual el cuerpo o partícula se mueve.
Las leyes de Newton enunciadas, se cumplen para sistemas inerciales de referencia, esto
significa, sistemas que se mueven con velocidad constante respecto de otro considerado fijo.
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Para nuestros estudios consideremos a nuestro planeta como un sistema inercial de
referencia, a pesar de que en forma estricta no es un sistema inercial de referencia debido a
sus movimientos propios (rotación y traslación).
Dé algunos ejemplos de sistemas inerciales y no inerciales de referencia.
En la segunda ley de Newton se introduce el concepto de momentum lineal o cantidad de
movimiento lineal p , éste se define como.
pmv
siendo m la masa y v la velocidad. Si llamamos F a la fuerza neta, entonces la segunda ley
toma la forma :
dm v
dp
;
F
dt
dt
dm
dv
F v
 m
dt
dt
F
Si la masa del cuerpo es constante, entonces el primer término se anula y se obtiene que:
F = ma
Se conoce como la ecuación fundamental de la dinámica
* Isacc Newton : Mathematical principles of natural Philosophy and Sistem of the World
Al interpretar la segunda ley de Newton aparece la necesidad de definir el concepto de masa.
Las diferentes épocas han visto la dificultad inherente al concepto de masa. A mediados del
siglo pasado Ernest Mach resolvió esta dificultad . (Complemente esta información en el
capitulo 5 de Física tomo I del autor Resnick).
La masa es una magnitud escalar constante, es un concepto absoluto, independiente del
espacio, del tiempo y de la velocidad ( mecánica clásica ).
La tercera ley de Newton se refiere a interacción entre dos partículas o cuerpos.
Si un cuerpo A ejerce una fuerza (acción ) sobre un cuerpo B, B ejerce simultáneamente una
fuerza (reacción) sobre A, de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto. Ambas
fuerzas tienen la misma línea de acción.
De esta ley se deduce que en la naturaleza las fuerzas se manifiestan de a pares.
F
AB
-F
BA
B

FBA

FAB
A
IDENTIFIQUE las fuerzas de acción y reacción en diferentes situaciones como por ejemplo un
cuerpo que se mueva sobre una superficie horizontal rugosa por la acción de una fuerza F ,
un cuerpo que cuelga de una cuerda, un cuerpo que esta ligado a un resorte estirado.
Mencionaremos algunos tipos de fuerzas.
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FUERZA PESO
Todos los cuerpos se ven afectados por la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre ellos, esta fuerza recibe el nombre de peso del cuerpo

P  m g donde g es la aceleración de gravedad.

En cinemática se analizó que la aceleración de gravedad g no es una
mg
constante, luego en forma estricta la fuerza peso tampoco lo es ( para el
análisis de problemas consideraremos a la aceleración de gravedad g como constante.)
FUERZA TENSION
La tensión es una fuerza que se hace a
través de una cuerda ( o cables) tal
como muestra la figura a modo de
ejemplo
CUERDA
T
T
FUERZA NORMAL

Se llama fuerza normal ( N ) a la
fuerza perpendicular que ejerce la
superficie donde se encuentra apoyado
un cuerpo sobre éste.

N

N
FUERZA ELÁSTICA
Le llamaremos fuerza elástica restauradora a la fuerza que ejerce un resorte cuando se le
trata de deformar aplicándole una fuerza. Es una fuerza de módulo variable que depende de
la constante de elasticidad k y de cuanto está alongado o comprimido ,( x ) respecto de su
largo natural. Se puede determinar mediante la expresión:
F  k x
Felástica
Faplicada
Unidades de Fuerza
En el S.I. se llama Newton (N)
En el C.G.S. se llama Dina
1N  1 Kg  m
2
s
1Dina  1 gr  cm 2
s
En el sistema técnico gravitacional es el kilogramo-fuerza.
1 kgf = 9,8 N
En el sistema inglés se llama libra-fuerza.
Para medir fuerzas se usa un resorte calibrado llamado DINAMÓMETRO, que puede encontrarse
calibrado en unidades de fuerza tales como Newton (N), Dina, Kilogramo-fuerza(kgf).
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IDENTIFIQUE las fuerzas de acción y reacción en las siguientes situaciones:
a.- un cuerpo que se mueva sobre una superficie horizontal rugosa por la acción de
una fuerza externa.
b.-
un cuerpo que cuelga de una cuerda.
FUERZAS DE ROCE O FRICCION
La experiencia nos dice que para sacar del reposo a un cuerpo que se encuentra sobre una
superficie rugosa, es necesario aplicar una fuerza mínima para lograr el efecto, esto significa
que existe una fuerza que se opone al inicio del movimiento la que se llama fuerza de roce

estático ( fs ) .
También se observa que si se lanza horizontalmente un cuerpo sobre una superficie horizontal
rugosa, éste al cabo de cierto tiempo se detiene, esto significa que hay una fuerza que se
opone al movimiento que se llama fuerza de roce cinético (

fk
).

La fuerza de roce estático fs resiste cualquier intento de poner un objeto en movimiento

respecto de otro y fk tiende a retardar el movimiento con respecto al otro, una vez que los
objetos se mueven; son fuerzas de sentido opuesto al deslizamiento respecto de la superficie
de apoyo.
Estas fuerzas de rozamiento se deben a la interacción entre
las moléculas de los cuerpos que están en contacto,
dependen de varios factores, como tipo de superficie,
velocidad relativa, de la fuerza que comprimen una
superficie contra la otra.

N

v

R

fk
Cuando un cuerpo se desplaza sobre una superficie, ésta

ejerce una fuerza de reacción (R ) sobre el cuerpo que no se conoce su dirección. Esta fuerza
se puede descomponer en una fuerza paralela a la superficie de contacto que es la fuerza de

roce, y en otra perpendicular a la de contacto, que es la fuerza reacción normal (N)
R  N  fk

FUERZA DE ROCE ESTATICO ( fs )
Experimentalmente se encuentra que para dos superficies secas y no lubricadas la fuerza de
roce estático entre ellas es aproximadamente independiente del área de contacto dentro de
amplios límites, pero es directamente proporcional al módulo de la fuerza normal que
mantiene en contacto a las dos superficies.
La expresión para el módulo de la fuerza de roce estático viene expresada como:
fs   s N
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
siendo  s el coeficiente de proporcionalidad entre fs y N , el cual es característico para cada
par de superficies, se le conoce como coeficiente de roce estático.
Sólo cuando el cuerpo está a punto de iniciar su movimiento, la fuerza de roce estático es
máxima y su expresión es:
fs = s N

FUERZA DE ROCE CINETICO ( fk )
Experimentalmente se encuentra que para dos superficies la fuerza de roce cinético entre
ellas es aproximadamente independiente del área de contacto y de la velocidad relativa entre
las superficies dentro de amplios límites, pero es directamente proporcional al módulo de la
fuerza normal que mantiene las superficies en contacto.
La expresión para el módulo de la fuerza de roce cinético viene expresado como:
fk  k N
siendo  k el coeficiente de proporcionalidad entre fk y N , el cual es característico para cada
par de superficies, se le conoce como coeficiente de roce cinético.
Para un par de superficies dadas generalmente  s es mayor que  k .
En los fluidos se presenta la fuerza de roce debido a la viscosidad. En los cuerpos que ruedan
la fuerza de roce estático “ayuda “ precisamente a que esto suceda en la mayoría de los
casos.
FUERZA NETA CONSTANTE.
De acuerdo a la expresión que da el segundo principio de Newton, si la fuerza neta es
constante la aceleración será constante, luego serán válidas las expresiones que se usaron en
cinemática para este tipo de movimiento, es decir, por ejemplo para el movimiento
rectilíneo:
F  m a
x(t) = xo + vot + 1/2at2
; a 
F
m
PROBLEMA DE APLICACION
La figura muestra un bloque masa 2kg que se encuentra a punto de deslizar por el plano
rugoso que muestra la figura. Se le da una pequeñísima perturbación y el cuerpo inicia su
movimiento. Si el coeficiente de roce cinético
es de
0,5:
a.b.c.d.-
realice un diagrama de cuerpo libre para
cuando esta a punto de moverse.
calcule el coeficiente de roce estático.
el módulo de la aceleración con que
baja.
la rapidez a los 2s de movimiento.
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USE:
sen 37º = 0,6
cos 37º = 0,8
g = 10 M/S2
37°
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DESARROLLO
a.-
Sobre el bloque actúa la fuerza peso, la normal y la fuerza de roce estático.
b.-
Como la fuerza de roce estático es igual al
coeficiente de roce estático por la normal,
cuando está a punto de moverse, deberemos
calcular la fuerza de roce estático
fs =
S N
Si está a punto de deslizar implica que la fuerza neta
debe ser nula. La fuerza peso conviene
descomponerla en una fuerza paralela al plano y en
otra perpendicular al plano.
Del diagrama se observa que
fS
N
mAg
37°
N
fS
Fuerzas paralelas:
1)
m g sen 
mg sen  - fS = 0
mg sen  - SN = 0
mg
Fuerzas perpendiculares
2)

m g cos 
N - m g cos  = 0
De las ecuaciones 1) y 2) se deduce que:
s =
c)
sen
cos 
= tg  = 0,75
Cuando viene bajando, la aceleración se obtendrá a partir de las ecuaciones:
Fuerzas paralelas:
3)
mg sen  - fk
=ma
mg sen  - k N = m a
Fuerzas perpendiculares
4)
N - m g cos  = 0
;
N = m g cos 
Reemplazando la ecuación 3) en la ecuación 4) se tiene
mg sen  - k N = m a
g sen  - k g sen  = a
Reemplazando se tiene: a = 2 m/s2
d)
Como la aceleración es constante se puede determinar la rapidez con la ecuación
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v(t) = v0 + a t
como partió del reposo v0 = 0
v(2) = 2 . 2 = 4 m/s
FUERZA NETA VARIABLE.



De acuerdo a la expresión F  m a , si F es variable la aceleración también será variable.
Luego habrá que determinar para cada caso las ecuaciones que permitan conocer la
trayectoria del cuerpo ó partícula que se mueve.
La(s) fuerza(s) que intervienen en el movimiento pueden ser función de la velocidad, de la
posición, etc. Ejemplos de esas fuerzas son las fuerzas amortiguadoras de los fluidos, la
fuerzas elástica.
La fuerza elástica se analizará cuando se estudie el M.A.S.
FUERZA NETA EN EL MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Para el análisis del movimiento curvilíneo, la fuerza neta conviene descomponerla en una

componente tangente a la trayectoria que es una fuerza tangencial Ft y una componente

perpendicular a la fuerza tangencial que es la fuerza centrípeta o normal FC dirigida hacia

el centro de curvatura. Así la fuerza neta F se expresa como:
 

F  Fc  Ft
t
Como
el módulo de la aceleración normal o
centrípeta es v2/  = v2 /R, entonces
n
v2
Fc  FN  m


F

FN
dv
Como la aceleración tangencial es de módulo at=
dt
entonces
Ft  m

Ft
 = radio d e curvatura
dv
dt
MOVIMIENTO OSCILATORIO
Los movimientos periódicos ocurren en forma frecuente en la naturaleza y por lo tanto la
Física puede en general tratar de describir dichos movimientos.
Los que pueden describirse en función de una sola coordenada de distancia se llaman
oscilatorios.
Por ejemplo vibración de una cuerda de violín, balanceo de un péndulo,
pulsación de los átomos en un cristal, latido del corazón.
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Hay varios tipos de movimiento oscilatorio uno de los más simple y que se presenta con
bastante regularidad es el MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S.).
El nombre de armónico se debe a que las ecuaciones que dan cuenta de este movimiento
contienen las funciones matemáticas llamadas seno y coseno.
El M.A.S. es un movimiento oscilatorio, periódico que se caracteriza porque la fuerza neta que
actúa sobre la partícula que oscila o vibra es una fuerza recuperadora o restauradora del tipo

F  kxi
ó bien F  kx
El signo negativo indica que es una fuerza que se opone a la deformación. La letra x indica la
separación respecto de la posición de equilibrio. La letra k representa la constante de
elasticidad. Esta fuerza es de tipo elástica recuperadora o restauradora que es la que se
origina siempre que se deforma un cuerpo.
El estudio del problema de oscilación armónico simple es de importancia ya que cualquier
problema de vibración mecánica se reduce al de oscilador armónico simple para pequeñas
amplitudes de vibración o una combinación de vibraciones de este tipo. Se presenta en una
gran variedad de análisis de problemas físicos.
DEFINICIONES:
MOVIMIENTO OSCILATORIO: es el que tiene una partícula que va de un lado a otro de la
posición de equilibrio estable, siguiendo la misma trayectoria.
MOVIMIENTO PERIÓDICO: movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo (Período
T). Transcurrido un período, la partícula tiene la misma posición, velocidad y aceleración.
OSCILACIÓN O VIBRACIÓN: recorrido entre una posición y vuelta a dicha posición, teniendo
igual velocidad.
ELONGACIÓN (X): es la distancia medida desde la posición de equilibrio hasta donde se
encuentre la partícula.
AMPLITUD (A): es la elongación máxima.
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
La fuerza que actúa no es constante, luego no son aplicables las ecuaciones del M.R.U.A.
Analicemos una partícula de masa m que oscila con M.A.S, como indica la figura.
F  kx
x=0
x
Amplitud
x
Amplitud
La fuerza que actúa en la dirección del movimiento es kx y es función de la posición


De la segunda ley de Newton ( F  m  a ) se tiene que:
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k x  m a ;
k x  m
d2 x
dt 2
La solución para esta ecuación diferencial es una función sinusoidal del tipo seno ó coseno que
está fuera del alcance de este curso, pero que se da una posible solución para dicha ecuación
que es de la forma:
x (t)  A cos ( t  )
Ecuación de la posición para el M.A.S.
En esta ecuación A, y  son constantes. Donde A es la amplitud,  es la frecuencia
angular,  es la constante de fase o fase inicial del movimiento la cual se mide en radianes.
Las constantes A y  quedan determinadas por las condiciones iniciales del movimiento.
1.
x  A cos  t   
2.
v   A sen  t   
3.
a   A2 cos  t   
La ecuación 1) nos da la posición con respecto al tiempo. La ecuación 2) nos entrega la
velocidad y la encontramos derivando la posición con respecto al tiempo. La ecuación 3) nos
entrega la aceleración y la deducimos derivando la velocidad respecto al tiempo.
La frecuencia angular es una característica del sistema que vibra y se puede deducir que se
puede expresar como:

T
A
partir
k
m
Está relacionado con el período de vibración a través de la expresión
2

de
T  2
m
k
x
x
la
ecuación
x (t)  A cos ( wt   ) ,
con
  0, las gráficas x versus t,
toma la forma:
A
t
T/4
0
T/2
3T/4
t
T
x  Acos  t   
cos   1
Haga la grafica
-A
vx versus t
y
ax versus t.
Del análisis que se puede hacer de las gráficas representadas se puede decir que:
- La componente de la aceleración y de la posición siempre son de sentido opuesto, es decir,
si la posición es positiva, la aceleración tiene componente negativa.
- Para valores máximos de la posición y de la aceleración, la velocidad es nula.
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- Para valores mínimos de la posición y aceleración la rapidez es máxima.

 
- Para un período T, los términos de x, v y a se repiten.
PÉNDULO SIMPLE
El péndulo simple es un
cuerpo ideal
constituido por una masa puntual y una
cuerda de masa despreciable y largo L.

g

L
T
mg cos 
mg sen
s=Lx

mg
Puede oscilar en un plano vertical cuando se
le separa un ángulo  respecto de la posición
de equilibrio. El movimiento es periódico.
La componente mg sen  es la fuerza
restaurada que tiende a regresar a su
posición de equilibrio no es lineal, luego el
movimiento no es armónico simple.
El movimiento de un péndulo simple se le puede considerar como un movimiento armónico
simple si el ángulo  de separación respecto de la posición de equilibrio es pequeño, ya que
bajo esa situación el sen   

F  mg  mg
F
kg
x
L
x
L
mg
representa la constante k
L
La constante
Luego el período de un péndulo simple es
T  2
m
mg / L
T  2
L
g
La ecuación de movimiento toma la misma ya dicha anteriormente, es decir,
x (t)  A cos ( t  )
Ecuación de la posición para el M.A.S.
PROBLEMA DE APLICACION
Una partícula de masa m=1 kg oscila con M.A.S. de acuerdo a la ecuación itinerario:
X(t) = 0.1 cos (20t + /2 ) (m)
a) identifique en la ecuación dada la amplitud, la frecuencia angular, la constante de fase del
movimiento
b) calcule el período y la constante de restitución.
c) calcule la posición de la partícula en el instante t=0
d) escriba la ecuación que entrega la velocidad para cualquier instante t, y calcule su valor
para el instante inicial del movimiento.
e) calcule el valor máximo de la rapidez, de la aceleración y de la fuerza neta.
g) haga los gráficos, x versus t y vx versus t ,
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DESARROLLO
a)
comparando con la ecuación itinerario x (t)  A cos ( t  )
La amplitud A = 0,1m;
= /2
b)
se tiene que:
la frecuencia angular es de  = 20 rad/s y la constante de fase es 
Como el período es T 
2
, entonces

T
2 
 s
20 10
La expresión que relaciona la frecuencia angular con la constante de restitución es

k
,
m
luego se tiene que
k= 2 m = 202 1= 400 N/m
c)
Para t=0 la ecuación es x(0) = 0,1 cos /2, como el cos /2 = 0, la posición de la
partícula es cero.
d)
La ecuación para la velocidad es
(t)  0,1  20 sen 20t   / 2
   A sen t  
luego con los valores se tiene
Para t= 0 se tiene que v(0) = - 2 sen /2, como sen /2 = 1, entonces la velocidad es:
v(0) = -2 m/s.
Corresponde al máximo valor ya que en t=0 la partícula está en la posición de
equilibrio, es decir, en x=0. El signo negativo nos indica que se dirige hacia la
izquierda.
e)
El valor máximo para la velocidad está respondido en la respuesta anterior y es 2m/s
La máxima aceleración se produce cuando el cos t   = 1, luego en la ecuación
a   A 2 cos t   tendremos que en general
amax   A 2 .
Reemplazando los valores se tiene que amax   0,1  20 2 = - 40 m/s2
La fuerza neta máxima es m.aMÁX luego se tiene que:
FMAX= 1 x 40 = 40N
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TRABAJO Y ENERGIA
Los conceptos de energía y trabajo están ligados. La energía es uno de los conceptos físicos
importante en la ciencia y esta se presenta de diferentes formas. En nuestros alimentos que
ingerimos por ejemplo nos preocupa ver cuanta energía nos aportan cada uno de ellos.
Diversos tipos de energía se conocen así podemos hablar de energía química, energía
nuclear, energía calórica, energía mecánica, energía electromagnética, energía eólica, etc.
Estos tipos de energía se pueden relaciona entre sí.
La transformación de un tipo de energía en otra es una parte esencial del estudio no sólo de
la física sino que también de la química y de la biología, como también de la ingeniería, de la
astronomía etc.
CONCEPTO FÍSICO DE TRABAJO ( W)
En el lenguaje cotidiano la palabra trabajo presenta varias acepciones, pero en física tiene un
significado preciso, los conceptos de fuerza y desplazamiento contemplan esa definición.

TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE ( F )

Una fuerza F se aplica sobre al bloque que muestra la figura entre los puntos P1 y P2. El
cuerpo se desplaza por la superficie, entonces el trabajo realizado por dicha fuerza entre
esos puntos viene dado por el producto punto entre los vectores fuerza y desplazamiento.


W  F  r
W = F d cos 
Figura Nº1

P1
P2
Rugosa


F es la fuerza aplicada,  r el desplazamiento entre los puntos P1 Y P2,
d es el módulo del desplazamiento y
desplazamiento
 es el ángulo que forma la fuerza con el
De acuerdo a la definición que se dio para trabajo se puede deducir que:
1.2.-
El trabajo es una magnitud escalar
El trabajo que realiza una fuerza puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo del
valor del ángulo que forma la fuerza que actúa sobre el cuerpo y el desplazamiento.
En la figura presentada se observa que hay otras fuerzas que actúan sobre el bloque y que

podemos examinar si hacen trabajo sobre él entre los puntos P1 y P2 . Además de la fuerza F ,

actúa la fuerza peso (m g ), la fuerza de roce y la fuerza normal.
Normal
TRABAJO REALIZADO POR EL PESO:
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desplazaniento
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Peso
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

W = mg   r = mg d. cos 90º = 0
Ya que el cos 90º= 0. En general cuando una fuerza es perpendicular al desplazamiento, el
trabajo es cero, ya que el cos 90º es cero.
TRABAJO REALIZADO POR LA NORMAL:
La fuerza normal es perpendicular a la dirección del desplazamiento así es que su trabajo
también es cero.
TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE ROCE


W  fk   r  fk  d cos180º   fk  d

F
Normal
desplazaniento
Roce
Aquí el módulo de la fuerza de roce es k N y de la
normal es N = F sen  + mg
Peso
Para el caso en que la fuerza no es constante se debe usar otra forma para calcular el
trabajo.
El trabajo neto será la suma de todos los trabajos parciales que experimenta el cuerpo, es
decir,
WNETO = WPeso + Wnormal + Wroce + WF
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA.
Un teorema importante es EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA, el cual establece que el
trabajo neto realizado sobre un cuerpo entre dos puntos es equivalente a la variación de la
energía cinética (K= 1/2m v2) entre esos puntos
Wneto  K
Wneto  KFINAL  KINICIAL
WF + WPESO + ........+WROCE = K
Esta expresión se puede deducir para una situación general, pero por las restricciones
matemáticas se deducirá para el caso en que el trabajo neto sea realizado por una fuerza neta
constante que actúa a lo largo de una dimensión , como por ejemplo el eje x. Entonces se
tiene que:
Fuerza neta
WNeto = FNeta .d
d
De acuerdo a la segunda ley de Newton FNETA  m a
1)
WNETO = m. a . d
Pero de acuerdo a ecuaciones cinemáticas que son válidas para un movimiento rectilíneo con
aceleración constante se tiene que:
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2)
a=
v  vo
t
3)
d  vo t 
1 2
a. t
2
Despejando el tiempo t de la ecuación 2) y reemplazándola en la ecuación 3) se tiene que
d
v 2  v 2o
2a
Al reemplazar ese valor en la ecuación (1) se tiene que:
W = m. a .
v 2  v 2o
2a
WNETO 
mv2
2
W=m.

v2  v2o
2
mvo2
2
Al término ½ m v2 en general se le llama energía cinética y se le designa con la letra K
W NETO =  K
Luego
ENERGIA POTENCIAL
Hemos dicho que cuando un cuerpo está en movimiento tiene energía cinética. Los cuerpos
también tienen energía debido a su posición o configuración ( a su forma o estructura). Este
tipo de energía se conoce con el nombre de ENERGIA POTENCIAL . Hay varias formas de
energía potencial como por ejemplo la energía que tiene un resorte que está comprimido o
estirado, la energía potencial que tiene un cuerpo que está a cierta altura respecto de un
nivel de referencia, la energía potencial eléctrica.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ( Ug )
tierra
Para levantar el cuerpo de masa m desde h1 hasta h2 se
requiere realizar un trabajo en contra de la fuerza de
gravedad. La modificación de la posición implica un cambio en
la energía potencial del cuerpo.
h
h2
h1
El trabajo que realiza la fuerza peso lo podemos determinar a
partir de la definición de trabajo para una fuerza constante:
W  F  r  F.r.cos 
Wpeso= mg.  h . cos 180º
= - mg .  h
= - mg(h2 – h1 )
En general al término mgh = Ug lo llamamos energía potencial gravitatoria, luego el trabajo
realizado por la fuerza peso también lo podemos expresar como:
Wpeso = - Ug
El mismo valor se habría obtenido si se
calcula el trabajo realizado por la fuerza
peso al seguir una trayectoria como la que
indica la figura, es decir el trabajo realizado
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h2
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h1
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por la fuerza peso es independiente de la trayectoria, sólo depende de la posición inicial y
final
Las fuerzas que tiene la característica de que el trabajo que realizan resulta ser
independiente de la trayectoria, sólo dependen de la posición inicial y final, o bien el trabajo
en un a trayectoria cerrada es nulo, reciben el nombre de fuerzas conservativas. Su
característica es que se les puede asociar una función potencial ( en este caso Ug ).
ENERGIA POTENCIAL DE UN RESORTE
Para un resorte que pueda estar comprimido o estirado también tiene una energía potencial
elástica.
F
F  kx
½ kx2
x
x=0
En la figura se representa un resorte que está comprimido en un largo “x”. Tiene acumulada
una energía potencial elástica equivalente al trabajo que es capaz de realizar cuando
recupere su largo natural.
En el gráfico se ha representado la fuerza elástica recuperadora, -kx, en función de la
compresión x, el área bajo la curva representa el trabajo realizado que es equivalente a la
energía potencial elástica ( UE ) acumulada por el resorte en esa situación.
UE = ½ K X2
La fuerza elástica presentada también es del tipo conservativa, es decir su trabajo depende
de la posición inicial y de la final, se le puede asociar una función potencial. En general
podemos decir que:
W = - U
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
La energía mecánica E de un sistema es la suma de la energía cinética más la energía
potencial gravitatoria y/o elástica.
El principio de conservación de la energía mecánica establece que para un sistema en que
sólo actúen fuerzas conservativas, la energía mecánica del sistema se debe conservar.
E1 = E2
E1= (1/2mv2 + mgh + ½ k x)1
Ug = mgh
energía potencial gravitatoria
K = 1/2m v2
Ue = ½ k x2
E2= (1/2mv2 + mgh + 1/2k x2)2
energía cinética.
energía potencial elástica
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Tal como se ha dicho anteriormente, la energía existe de muchas formas, además de la
mecánica , así por ejemplo un objeto caliente transmite energía al medio que la rodea por
medio de la conducción, convección y de la radiación por medio de ondas electromagnética.
En los enlaces químicos de las moléculas se encuentran presentes las fuerzas eléctricas, estos
enlaces se pueden romper o alterar haciendo que liberen energía química. El cuerpo humano
usa los alimentos para sintetizar moléculas que luego se rompen para proporcionarnos la
energía necesaria, así se tiene el consumo medio diario de energía en forma de alimentos de
un ser humano adulto es aproximadamente de 107 Joule.
POTENCIA
En algunas oportunidades interesa conocer la rapidez con que se realiza el trabajo,
a esta relación se le conoce como potencia.
Se define como POTENCIA MEDIA como la razón entre la cantidad de trabajo
realizado W y el intervalo de tiempo t en el cual se realiza:
Pmedia 
W
t
La potencia instantánea P se halla considerando intervalos de tiempo cada vez más
pequeños de modo que la expresión que la rige es::
Pinstantnea 
dW
dt
Las unidades para medir la potencia son
Watt =
joule
kw
erg
:
;
: cavallo vapor(c.v) ; horse power( hp)
s
hora
s
ANALISIS DE PREGUNTAS
EN LAS AFIRMACIONES SIGUIENTES EXPLIQUE PORQUÉ SON VERDADERAS(V), FALSAS(F)
O SE CUMPLEN A VECES (A.V)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
La fuerza neta que actúa sobre una partícula que oscila con MAS es constante no nula.
El período con que oscila la partícula en un M.A.S depende del valor de la masa.
La amplitud del movimiento M.A.S depende de la velocidad inicial
La constante de fase en un M.A.S es una condición inicial del problema que permite
determinar la posición inicial.
El movimiento de un péndulo simple corresponde a un MAS.
La fuerza tangencial es nula en un movimiento circunsferencial.
La fuerza peso es siempre constante.
La fuerza elástica de un resorte en constante.
La tensión que ejerce una cuerda siempre es constante
La fuerza es una magnitud escalar que depende de la masa del cuerpo.
El trabajo es una magnitud escalar y que depende de la masa del cuerpo.


El trabajo que realiza un fuerza F constante en un desplazamiento  r se determina


por la expresión F .  r
La fuerza tensión que hace una cuerda, siempre hace un trabajo nulo.
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n)
o)
p)
q)
r)
s)
Para determinar el trabajo de la fuerza elástica de un resorte se debe conocer su
desplazamiento.
La energía potencial gravitatoria asociada a un cuerpo de masa m es siempre positiva.
La energía cinética del cuerpo en un instante t puede ser positiva o negativa, eso
dependerá del sistema de referencia elegido.
El trabajo que realiza la fuerza de roce cuando una partícula se mueve sobre una


curva, se puede calcular como fk ·  r
La variación de la energía cinética de un cuerpo entre dos puntos se puede conocer si
se conoce el trabajo de cada una de las fuerzas que actúa sobre él.
La energía mecánica de una partícula que oscila con MAS es constante.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Un hombre de 80 kg salta desde un aeroplano, cuando viene cayendo verticalmente
siente una fuerza de 225 N, ejercida por el aire hacia arriba. Calcule la fuerza neta que
actúa sobre el hombre.
2.
Para determinar la masa de una caja, usted la empuja sobre una superficie horizontal
lisa aplicándole una fuerza horizontal de módulo 120 N.
a.-
Si la aceleración que experimenta la caja es de 3 m/s2 ¿Cuál es
la masa de la caja?
b.-
Si la fuerza de 120N se aplica tirando la caja bajo un ángulo de
37º con la horizontal ¿ cambia el valor de la aceleración? .Si su
respuesta es positiva ¿ cuál es el valor que adquiere la
aceleración?
A
B
3.
Una fuerza horizontal de módulo 20 N proporciona a un
cuerpo de masa m1 una aceleración de 8 m/s2, y a un
cuerpo de masa m2 una aceleración de 24 m/s2.
Determine la aceleración de las masas m1 y m2 cuando se mueven juntas bajo la acción
de la misma fuerza sobre la superficie horizontal lisa.
4.
Dos bloques de masas mA =6kg y mB = 2kg. respectivamente, se encuentran en contacto
sobre una superficie horizontal lisa. Si se aplica una fuerza de 6 N al sistema formado
por los dos cuerpos, determine:

F
a) La aceleración del sistema
b) La fuerza que el bloque A ejerce sobre el B.
5.
A
Dos bloques idénticos, cada uno con una masa de 0,6 kg, se encuentran en reposo sobre
una superficie horizontal lisa, unidos por una

cuerda de masa despreciable e inextensible.
F
Si el sistema experimenta una aceleración
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
de 4 m/s2 cuando se encuentra bajo la acción de una fuerza horizontal F , calcule el

valor de F y la tensión de la cuerda.
6.
Un bloque que pesa 44 N se encuentra sobre un plano inclinado. Si el coeficiente de roce
estático s es de 0,5; determine bajo que ángulo deberá estar el plano inclinado con la
horizontal para que el bloque empiece a moverse.

7.
a)
b)
Un grupo de estudiantes trata de mover una caja de
madera de 100 kg de masa tirando de una cuerda
que se encuentra atada a la caja. Si la caja se
encuentra sobre un piso de madera siendo el
coeficiente de roce estático 0,58. Determine:
37º
La fuerza horizontal necesaria que deben aplicar al tirar la cuerda para poner en
movimiento la caja.
Si la cuerda forma un ángulo de 37º con la horizontal, ¿qué fuerza deben aplicar para
poner en movimiento la caja?
8. La figura muestra dos bloques de masas mA = 3 kg y mB = 5kg unidos por una cuerda de
masa despreciable que pasa por la polea fija ( no considere la masa de la polea).
Determine:
a.b.-
El módulo de la aceleración con la que se mueven los bloques.
La tensión de la cuerda
9.
Un montacargas coloca una caja de madera de 80 kg de masa coloca sobre una rampa
que forma un ángulo de 37º con la horizontal. Si los coeficientes de roce estático y
cinético entre la caja y la rampa son s = 0,5 y k = 0,40 respectivamente. Determine:
a)
b)
Si la caja permanecerá en reposo o descenderá por la rampa.
La fuerza necesaria paralela a la superficie a la caja para moverla con rapidez constante
sobre la rampa.
10.
Justo en el momento que se abre su paracaídas, un paracaidista de 60 kg desciende con
una rapidez de 50 m/s. Después de 0,8 s el paracaídas está totalmente abierto y la
rapidez se reduce a 12 m/s. Calcule la fuerza retardadora promedio en ese intervalo de
tiempo suponiendo un descenso uniforme.
11.
Un trabajador aplica una fuerza horizontal de 500 N para mover una caja de 40kg en una
distancia de 6 m a lo largo de una superficie horizontal. Determine el trabajo neto
realizado por el operario al trasladar la caja si la superficie se considera lisa
Un resorte se estira 0,01 m cuando se suspende de él una masa de 5,0 Kg ¿Cuánto
trabajo se debe realizar para comprimir el resorte en 0,15 m a partir de la posición de
equilibrio?
12.
13. Un balde de 5kg se hace descender en un pozo mediante un sistema de cuerda ¿Cuánto
trabajo realiza la cuerda en el balde si éste se hace bajar 9m?.
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14. Un estudiante excursionista de 80kg de masa escala un cerro de 400m de altura.
a) Cuánto trabajo realiza en contra de la gravedad?
b) Depende este trabajo de la ruta que siga?
c) Si tarda 90 minutos en subir, ¿Qué potencia media estará desarrollando?.
15. Un bloque de masa m = 2 kg. ligado a un resorte de constante elástica de 200 N/m oscila

con MAS. En t = 0 la fuerza neta es cero y su velocidad es de 2 i m/s. Calcular:
a) la frecuencia angular  y la frecuencia f .
b) la constante de fase 
c) Fuerza neta en t = T/4 s
d) Represente al movimiento mediante gráficos x versus t, vx versus x, Fx versus t, vx
versus t
16. Una partícula de 10 kg. que está ligada a un resorte, se encuentra en estado de reposo en

la posición que muestra la figura debido a la acción de la fuerza F . En t = 0 deja de actuar

la fuerza F y la partícula se mueve con MAS.. Calcular
a) Constante elástica del resorte.
b) Período del movimiento.
c) Energía potencial máxima.
d) Energía mecánica del sistema .
e) Ecuación itineraria x (t).
f) Primer instante en que la
velocidad es nula, fuera de la trivial.
F = 20 N
53°
x=0
17. Una partícula de masa m =1kg se
0,3 m
mueve bajo la acción de una fuerza


elástica F = kx i , moviéndose en un plano horizontal suave siendo su período de 16 s. En t=
2s, la partícula pasa por la posición de equilibrio en el sentido negativo del eje x y en t =

4s su velocidad es de - 4 i m / s . Calcular :
a) Frecuencia angular y frecuencia.
b) Rapidez máxima.
c) Energía mecánica del sistema.
d) Ecuación itineraria x(t).
18. .- Una partícula de masa 2kg oscila con MAS. A partir
del gráfico ax versus t determine:
a) Período y frecuencia
b) Frecuencia angular
c) Rapidez en el instante t =t1 .
d)Módulo de la máxima fuerza
restauradora
e) Ecuación
itineraria x(t) .
f) Energía mecánica en t = 0,2
g) Haga un gráfico vx versus t
ax (m/s2)
0,05 2
4
t1
( t + 4) s
t (s)
0
s .
-0,1 2
4
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