1 Modelo de crecimiento con factor tierra

César Antúnez. I
Notas de Crecimiento Económico
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
(Universidad del Perú, Decana de América)
Modelo de crecimiento con factor tierra
Este modelo ya era planteado de la época de Malthus en su libro sobre la población
donde plantea las hipótesis que hoy son llamadas “Hipótesis de Malthus”, en ella nos
dice que la población crece en forma geométrica, mientras los alimentos lo hacen en
forma aritmética.
La implicancia de esta hipótesis es que al crecer la población en forma geométrica
esto generara una escasez de alimento aumentando la brecha entre el crecimiento
de la población y la producción de alimentos, por ende se ocasionara en el mundo
hambruna, aumento de la pobreza, guerras por los alimentos, etc.
Pero en la revolución industrial se demostró que esta hipótesis no era valida, por
que la producción supero los rendimientos decrecientes.
Para comenzar a desarrollar el modelo mencionaremos que es una extensión de
modelo de Solow ya estudiado en páginas anteriores de este libro, solo al modelo
mencionado se le añade implícitamente el factor tierra.
Supuestos del modelo
A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos
particulares:
 Existe una función de producción que coincide con el factor tierra.
 La tierra es de oferta fija.
Función de producción agregada
Se plantea la siguiente función:
Yt  Bt K t T  L1t     ( FPA)
0    1
s.a : 
0    1
Donde
T : Stock de tierra agregado fijo.
K t : Stock de capital agregado.
Lt : Fuerza de trabajo agregada.
Yt : Producción agregada.
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 : Elasticidad producto respecto al capital.
 : Elasticidad del producto respecto a la tierra.
Bt : Índice del nivel de tecnología.
B(t )  B0e m L .t
Con las propiedades
Si t  0 entonces B( t  0 )  1
Si t  1 entonces B( t )  1 

B (t )  0
Propiedades de la función de producción
1º. F K t , T , Lt   BK t T  L1t   
Si multiplicamos a la función por un   0
F K t , T , Lt   B (K t ) (T )  (Lt )1  


F K t , T , Lt    . BK t T  L1t     Yt
La función presenta rendimientos de escala constante
2º. Los productos marginales del capital y trabajo son positivos.
Yt
 PmgK  BK t 1T  L1t     0
K t
+
+
Yt
 PmgT   BK t T  1L1t     0
T
+
+
Yt
 PmgL  (1     ) BK t T  Lt (   )  0
Lt
+
+
Sabemos que 0    1  0    1 , si sumamos estas dos desigualdades
obtenemos


0      2 x  1
0  (   )  2  1
1  1  (   )  1 , para nuestros fines tomaremos los valores positivos de esta
desigualdad.
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a. La derivada de los productos marginales on crecientes y negativos
 2Yt PmgK

  (  1) BKt  2T  L1t     0
2
K t
K t
+ +
Recordemos 0    1 , entonces 0    1  1  1    1  0 es una
constante negativa.
 2Yt PmgT

  (   1) BK t T   2 L1t     0
2
T
T
+ +
Recordemos 0    1 , entonces 0    1  1  1    1  0 es una
constante negativa.
 2Yt PmgL

    (1     ) BK t T  Lt (1   )  0
2
Ltt
Lt
+
+
3º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se
cumplen:
(1 / )  0
Lím PmgK  B
K 
1
K
.T  L1t     0
1 
t
(1 / 0)  
Lím PmgK  B
K 0
1
K
. t L1t   
1 
t
(1 / )  0
Lím PmgT   .BK 
K 
1
T
1 
L1t     0
(1 / 0)  
Lím PmgK  BK t
K 0
1
T
1 
L1t     
(1 / )  0
Lím PmgL  (1     ) BK t T 
L
1
 
t
L
0
(1 / 0)  
Lím PmgL  (1     ) BK t T 
L0
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1
 
t
L

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Vemos que cumple las condiciones de INADA
 Ahora dividiremos la función de producción entre Yt
Yt
K t  1  

B
T Lt
t
Yt
Yt
 K
Yt1  Bt  t
 Yt
  1   
T Lt

 K
Yt   Bt  t
  Yt
 1 
T  L1t    





1

1
1
t
 K t 1 1 11 
  T Lt
 Yt 
1
1 
t
 Kt

 Yt
Yt  B
Yt  B

1 1 1 1
 T Lt
( I )

Determinación de la tasa de crecimiento
Para determinar la tasa de crecimiento de la
natural a la ecuación (I).
economía, aplicaremos logaritmo
 
 1 
    K t    

Ln(Yt )  
 Ln( Bt )  
 Ln   
 Ln(T )  1 
 Ln( Lt )
1 
 1     Yt   1   
 1 
Tomando la derivada temporal a la ecuación anterior, nos ayuda a obtener la tasa de
crecimiento de la economía.
dLn (Yt )  1  dLn ( Bt )    dLn K t / Yt     dLn (T ) 
  dLn ( Lt )



 1 




dt
dt
 1    dt
1 
 1    dt
 1    dt
 
 1 
  
  

gY  
gB  
 g( K / Y )  
 g T  1 
 g L  ( II )
1 
1 
1 
 1 


dLn( K t / Yt ) ( K t / Yt )  (Y t / Yt )( K t / Yt )

Nota:
dt
K t / Yt
[email protected]
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

dLn( K t / Yt ) K t / Yt

 (Y t / Yt )
dt
K t / Yt
dLn ( K t / Yt )
 g K  gY  g ( K / Y )
dt
Puesto que se asume que la tierra es de oferta fija entonces gT  0 . Así mismo
sabemos que la relación capital-producto K / Y  v , es una relación constante
entonces g ( K / Y )  0 .
Reemplazando estos dos supuestos en la ecuación (II) obtenemos:
 
 1 

gY  
 g B  1 
 g L ( III )
1 
 1 
Asumiendo que la tasa de crecimiento poblacional esta representado por n ,
entonces g L  g poblacional  n .
Reemplazando en la ecuación (III), tenemos:
 
 1 

gY  
 g B  1 
n( IV )
1 
 1 
Donde
g B  mL : Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo.
La ecuación (IV) nos quiere decir, que en una economía capitalista en la cual se esta
considerando la tierra como un factor fijo, la tasa de crecimiento del producto (PBI)
en el largo plazo dependerá de la tasa de progreso Tecnológico ( g B ) y de la tas de
crecimiento de la población ( n ).
 Para hallar la tas de crecimiento por trabajador que es lo que nos importa,
pasaremos a reemplazar la tasa de crecimiento del producto por su equivalente
en términos per cápita.
yt 
Yt
dLn ( yt ) dLn (Yt ) dLn ( Lt )



Lt
dt
dt
dt
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
g y  gY  n

gY  g y  n(V )
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Reemplazando la ecuación (V) en la ecuación (IV)
 
 1 

gy  n  
 g B  1 
n
1 
 1 
 1 
  
gy  
gB  
n (VI )
1 
1 
La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del producto por
trabajado depende directamente de la tasa de progreso tecnológico e inversamente
de la tasa de crecimiento poblacional.
Tipología
En este caso se abstrae el progreso tecnológico de la ecuación (VI), quedando:
  
g y  
n
1 
Lo que nos da el caso de Malthus, por que no considera el progreso tecnológico,
esto implica que en esta economía la tasa de crecimiento del producto por trabajador
va ser negativo por que no considera la tasa de progreso tecnológico y esto lleva a
la llamada “profecía de Malthus”.
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