10.Campos conservativos

Capı́tulo 10
Campos conservativos
En este capı́tulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: ¿bajo qué circunstancias la integral
de linea de un campo vectorial no depende tanto del camino a lo largo del
que se integra, sino sólo de los puntos inicial y final de su trayectoria?
Comenzaremos con un resultado que generaliza el teorema fundamental
del cálculo y que también es muy útil para calcular las integrales de linea
de campos vectoriales que son gradientes (derivadas) de campos escalares;
en este caso la integral del campo vectorial gradiente dependerá solamente
del valor del campo escalar correspondiente en los extremos del camino.
Utilizaremos la siguiente notación: si f : A ⊆ Rn −→ R es un campo escalar
de clase C 1 , su función derivada se llama también gradiente, y se denota
∇f (x) = f 0 (x) =
∂f
∂f
∂f
(x),
(x), ...,
(x)
∂x1
∂x2
∂xn
para cada x ∈ A. En este caso se tiene que ∇f : A −→ Rn es un campo
vectorial continuo en A. Recı́procamente, se dice que un campo vectorial
continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un
cierto campo escalar f : A −→ R de clase C 1 tal que F = ∇f . En este caso
se dice que f es una función o campo potencial para F .
Teorema 10.1 Sean f : A ⊆ Rn −→ R es un campo escalar de clase C 1 , y
γ : [a, b] −→ A un camino C 1 a trozos. Entonces
Z
∇f · ds = f (γ(b)) − f (γ(a)).
γ
Por tanto, si F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente y f :
A −→ Rn una función potencial suya, entonces, para todo par de puntos
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106
CAPÍTULO 10. CAMPOS CONSERVATIVOS
p, q ∈ A y para todo camino C 1 a trozos γ con traza contenida en A y que
comience en p y acabe en q, se tiene
Z
F · ds = f (q) − f (p).
γ
Demostración: Consideremos la función g : [a, b] −→ R definida por
g(t) = f (γ(t)),
cuya derivada es
g 0 (t) = ∇f (γ(t)) · γ 0 (t).
Apligando el teorema fundamental del cálculo a esta función g obtenemos
lo que deseamos:
Z b
f (γ(b)) − f (γ(a)) = g(b) − g(a) =
g 0 (t)dt
a
Z b
Z b
0
∇f (γ(t)) · γ (t)dt =
∇f · ds.
2
=
a
a
Si un campo vectorial puede reconocerse como el gradiente de un campo
escalar, el cálculo de sus integrales de linea resulta mucho más sencillo.
Ejemplo 10.2 Sea γ(t) = (t4 /4, sin3 (πt/2)). Calcular la integral de linea
Z
ydx + xdy.
γ
Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre en el caso de funciones de una
variable (donde toda
R t función continua h : [a, b] −→ R tiene una primitiva,
a saber, g(t) = a h(s)ds), no todo campo vectorial F : A ⊆ Rn −→ Rn
es un gradiente, es decir, salvo en el caso n = 1, no tiene por qué existir
un campo escalar f : A −→ R tal que F = ∇f . Precisamente, un modo de
saber que un campo vectorial F no es un gradiente, es aplicar el teorema
anterior: basta entontrar dos caminos γ1 y γ2 , con los mismos
puntos
R
R inicial
y final, a lo largo de los cuales las integrales de linea γ1 F · ds y γ1 F · ds
toman valores diferentes.
Ejemplo 10.3 Sea F : R3 −→ R3 el campo vectorial definido por
F (x, y, z) = (xy, y, z).
Probar que no existe ninguna función f : R3 −→ R tal que ∇f = F .
107
De hecho, resulta que la condición de independencia del camino que nos
da el teorema 10.1 no sólo es necesaria, sino también suficiente (al menos
cuando el recinto A tiene una forma sencilla). El siguiente resultado complementan el teorema 10.1, caracterizando los campos gradientes como aquellos
campos vectoriales para los que las integrales de linea sólo dependen de los
puntos inicial y final del camino sobre el que se integran o también, si el
dominio sobre el que están definidos es convexo, como aquellos cuyas componentes tienen derivadas parciales que satisfacen una condición de simetrı́a.
Sea F : A ⊆ Rn −→ Rn un campo vectorial
continuo, y sea γ : [a, b] −→
R
1
A un camino C a trozos. Se dice que γ F · ds es independiente del camino
γ si para cualquier otro camino C 1 a trozos σ : [c, d] −→ A se tiene que
Z
Z
F · ds =
F · ds.
γ
σ
Teorema 10.4 Sea A un abierto de Rn y F : A −→ Rn un campo vectorial
continuo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. F es un campo gradiente, es decir, existe una función potencial f :
A −→ R de clase C 1 tal que F = ∇f ;
R
2. γ F · ds = 0 para todo camino cerrado γ;
R
3. γ F · ds es independiente del camino γ.
Si además F es de clase C 1 y A es un abierto convexo, las afirmaciones
anteriores también equivalen a la siguiente:
4. Para todos i, j = 1, ..., n se tiene que
∂Fj
∂Fi
=
.
∂xj
∂xi
De un campo F que satisfaga una de estas propiedades (y por tanto todas)
se dice que es un campo conservativo.
Demostración:
(1) =⇒ (2): Es consecuencia del teorema 10.1
(2) =⇒ (3): Sean γ1 : [a1 , b1 ] −→ A y γ2 : [a2 , b2 ] −→ A dos caminos C 1 a
trozos con el mismo comienzo p = γ(ai ) y el mismo final q = γ(bi ), i = 1, 2.
Entonces, si −γ2 es el camino inverso a γ2 , Rse tiene que γ = γ1 ∗ (−γ2 ) es un
camino cerrado en A luego, por hipótesis, γ F · ds = 0. Pero
Z
Z
Z
Z
Z
F · ds =
F · ds +
F · ds =
F · ds −
F · ds,
γ
γ1
−γ2
γ1
γ2
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CAPÍTULO 10. CAMPOS CONSERVATIVOS
R
R
y se deduce que γ1 F · ds = γ2 F · ds.
(3) =⇒ (1): sea a ∈ A. No hay pérdida de generalidad en suponer que A es
conexo (si no lo fuera podrı́amos trabajar en cada una de sus componentes
conexas). Como A es un abierto de Rn , resulta que A es conexo por caminos
e incluso conexo por caminos poligonales; en particular A es conexo por
caminos C 1 a trozos. Ası́, dado cualquier x ∈ A podemos escoger un camino
C 1 a trozos γx : [0, 1] −→ A tal que γx (0) = a y γx (1) = x. Definamos
entonces f : A −→ R por
Z
F · ds
f (x) =
γx
para cada x ∈ A. Por la condición (3), es claro que la definición de f (x)
no depende de la elección de γx . Veamos que f es diferenciable en A y que
∇f (x) = F (x) para cada x ∈ A. Fijemos x ∈ A. Como F es continuo en x,
dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si khk ≤ δ entonces kF (x + h) − F (x)k ≤ ε.
Nótese que, por la condición (3), si σ denota el segmento [x, x + h], entonces
Z
Z
Z
Z
F · ds + F · ds =
F · ds =
F · ds,
γx
γx ∗σ
σ
γx+h
puesto que tanto γx+h como γx ∗σ son caminos que empiezan en a y terminan
en x + h. Entonces tenemos que
Z
Z
f (x + h) − f (x) =
F · ds −
F · ds
γx+h
Z
γx
Z
1
F · ds =
=
σ
F (x + th) · hdt,
0
y por tanto
f (x + h) − f (x) − F (x) · h = Z
1
F (x + th) − F (x) · hdt
0
Z 1
Z 1
≤
kF (x + th) − F (x)k · khkdt ≤
εkhkdt = εkhk,
0
0
para todo h tal que khk ≤ δ. Esto prueba que f es diferenciable en x y
∇f (x) = F (x).
(1) =⇒ (4): Si ∇f = F (es decir, ∂f /∂xi = Fi , i = 1, ..., n) y F es C 1
entonces f es de clase C 2 y, por el teorema de Schwarz,
∂2f
∂2f
=
,
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
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lo que significa que
∂Fj
∂Fi
=
.
∂xj
∂xi
(4) =⇒ (1): Fijemos un punto a ∈ A. Para cada x ∈ A sea σx el segmento
que une a con x,
σx (t) = tx + (1 − t)a,
t ∈ [0, 1].
La traza de σx está dentro de A por ser este conjunto convexo. Definamos
f : A −→ R por
Z
f (x) =
F · ds
σx
para cada x ∈ A. Tenemos que comprobar que ∇f (x) = F (x), es decir,
∂f
(x) = Fj (x)
∂xj
para cada x ∈ A, j = 1, ..., n. Utilizando el teorema de derivación bajo el signo integral (ver 8.5) y la hipótesis de simetrı́a de las derivadas, e integrando
por partes al final, tenemos que
Z 1X
n
∂f
∂f
(x) =
Fj (a + t(x − a))(xj − aj )dt
∂xi
∂xi 0
j=1



Z 1
n
X
∂Fj

=
t
(a + t(x − a))(xj − aj ) + Fi (a + t(x − a)) dt
∂xi
0
j=1
=
=
1
n
X
Z 1
∂Fi
Fi (a + t(x − a)) dt
(a + t(x − a))(xj − aj )dt +
∂xj
0
0
j=1
Z 1
Z 1
=
t∇Fi (a + t(x − a))(x − a)dt +
Fi (a + t(x − a))dt
0
0
Z 1
Z 1
Fi (x) −
Fi (a + t(x − a))dt +
Fi (a + t(x − a))dt = Fi (x),
Z
t
0
0
que es lo que querı́amos. 2
Observación 10.5 Cuando F = (P, Q) es un campo vectorial definido en
un abierto del plano R2 , la condición (4) del teorema anterior significa simplemente que
∂P
∂Q
=
.
∂y
∂x
110
CAPÍTULO 10. CAMPOS CONSERVATIVOS
En el caso de un campo vectorial F definido sobre un abierto del espacio
R3 , recordemos que puede definirse el rotacional de F = (F1 , F2 , F3 ) por
i
j
k
∂
∂
∂ rotF (x, y, z) = ∂x ∂y ∂z .
F F F 1
2
3
En el caso n = 3 la condición (4) del teorema anterior significa ası́ que
rotF (x, y, z) = (0, 0, 0) para todo (x, y, z) ∈ A (ver el ejercicio 10.13). Se
dice en este caso que el campo F es irrotacional.
Observación 10.6 La prueba de la parte (1) ⇐⇒ (4) del teorema anterior
muestra que la hipótesis de que A sea convexo puede sustituirse por una más
débil, por ejemplo que A sea un abierto estrellado, es decir que exista un
punto a ∈ A tal que para cualquier otro punto x ∈ A el segmento [a, x]
está contenido en A. Sin embargo, el teorema anterior no es cierto para todo
conjunto abierto A; si A no es simplemente conexo entonces el enunciado
del teorema no es cierto en general, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.7 Sean A = R2 \ {0}, y F : A −→ R2 definido por
F (x, y) = (P, Q) =
−y
x , 2
.
2
+ y x + y2
x2
Comprobar que
∂Q
∂P
=
∂y
∂x
en A, y que sin embargo F no es un campo gradiente: por ejemplo,
R si σ es un
camino que recorre una vez la circunferencia unidad entonces σ F · ds 6= 0.
No obstante, en R3 las cosas son un poco diferentes: puede probarse que
si F es un campo vectorial de clase C 1 definido en todo R3 salvo quizás
una cantidad finita de puntos entonces las cuatro condiciones del teorema
anterior son equivalentes. Por ejemplo, para el campo gravitatorio de la
tierra, definido por
F (x, y, z) =
(x2
−GM m
(x, y, z),
+ y 2 + z 2 )3/2
y que tiene una singularidad en el origen, el teorema es válido.
111
Problemas
10.8 Calcular:
R
(a) γ xdy + ydx, si γ es un camino de (−1, 2) a (2, 3).
(b)
R
γ
yzdx + zxdy + xydz, si γ es un camino de (1, 1, 1) a (1, 2, 3).
10.9 Probar que dos funciones de potencial para un mismo campo vectorial
(definido en un abierto conexo) difieren a lo sumo en una constante
10.10 Calcular una función de potencial para el campo
F (x, y) = (3x2 + y, ey + x)
en R2 .
10.11 Sea F : R2 \ {(0, 0)} −→ R2 el campo definido por
F (x, y) = (
−y
x
,
).
x2 + y 2 x2 + y 2
R
(a) Calcular γ F , siendo γ(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π. Deducir que F
no es conservativo.
(b) Encontrar un abierto A ⊂ R2 \ {(0, 0)} tal que F|A sea conservativo.
10.12 Comprobar que el campo F : R3 −→ R3 definido por
F (x, y, z) = (y, z cos yz + x, y cos yz)
es conservativo, y calcular un potencial.
10.13 Sea F un campo vectorial definido en un abierto de R3 . Comprobar
que se satisface la condición de simetrı́a del teorema 10.4
∂Fj
∂Fi
=
,
∂xj
∂xi
i, j = 1, 2, 3, si y sólo si rotF = 0.
112
CAPÍTULO 10. CAMPOS CONSERVATIVOS
10.14 Sea σ : [1, 2] −→ R2 el camino definido por
π
σ(t) = (et−1 , sin ).
t
Calcular la integral de linea
Z
2x cos ydx − x2 sin ydy.
σ
10.15 Demostrar que el campo gravitatorio de la tierra es irrotacional, y
calcular una función de potencial suya.
10.16 Sea F (x, y, z) = (2xyz + sin x, x2 z, x2 y). Encontrar una función f
tal que ∇f = F .
R
10.17 Calcular γ F · ds, donde γ(t) = (cos5 t, sin3 t, t4 ), y F es el campo
del ejercicio anterior.