Variable Compleja I - Tema 1: Números complejos

Variable Compleja I
Tema 1: Números complejos
El cuerpo de los números complejos
1
El cuerpo de los números complejos
2
Conjugación y módulo
3
Argumentos
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto por escalares: λ (x, y) = (λx, λy) ∀ λ, x, y ∈ R
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la
suma
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la
suma
(x, y)(1, 0) = (x, y)
∀ (x, y) ∈ R2
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la
suma
(x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2
x
−y
= (1, 0)
(x, y) 2
,
x + y2 x 2 + y2
∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la
suma
(x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2
x
−y
= (1, 0)
(x, y) 2
,
x + y2 x 2 + y2
∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
Por tanto, con las dos operaciones tenemos un cuerpo conmutativo:
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la
suma
(x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2
x
−y
= (1, 0)
(x, y) 2
,
x + y2 x 2 + y2
∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
Por tanto, con las dos operaciones tenemos un cuerpo conmutativo:
El cuerpo de los números complejos, que se denota por C
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
El cuerpo C
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R
Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R
R2 con la operación suma es un grupo abeliano
El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la
suma
(x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2
x
−y
= (1, 0)
(x, y) 2
,
x + y2 x 2 + y2
∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
Por tanto, con las dos operaciones tenemos un cuerpo conmutativo:
El cuerpo de los números complejos, que se denota por C
Como conjuntos: C = R2
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Partes real e imaginaria de un número complejo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C:
λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y)
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C:
λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y)
Partes real e imaginaria de un número complejo
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C:
λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y)
Partes real e imaginaria de un número complejo
Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1
def
y (0, 1) = i
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C:
λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y)
Partes real e imaginaria de un número complejo
Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1
def
y (0, 1) = i
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi
Cada z ∈ C se escribe de manera única como z = x + iy con x, y ∈ R
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C:
λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y)
Partes real e imaginaria de un número complejo
Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1
def
y (0, 1) = i
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi
Cada z ∈ C se escribe de manera única como z = x + iy con x, y ∈ R
x es la parte real de z: x = Re z
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Partes real e imaginaria de un número complejo
Inclusión de R en C
x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos.
Por tanto, R ∼
= {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C
Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C
El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C:
λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y)
Partes real e imaginaria de un número complejo
Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1
def
y (0, 1) = i
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi
Cada z ∈ C se escribe de manera única como z = x + iy con x, y ∈ R
x es la parte real de z: x = Re z
y es la parte imaginaria de z: y = Im z
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Re(z + w) = Re z + Re w
Im(z + w) = Im z + Im w
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Re(z + w) = Re z + Re w
Im(z + w) = Im z + Im w
Producto
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Re(z + w) = Re z + Re w
Im(z + w) = Im z + Im w
Producto
Basta tener en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Re(z + w) = Re z + Re w
Im(z + w) = Im z + Im w
Producto
Basta tener en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1
zw = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i2 yv = (xu − yv) + i(xv + yu)
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Operaciones con parte real e imaginaria
z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R
Suma
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Re(z + w) = Re z + Re w
Im(z + w) = Im z + Im w
Producto
Basta tener en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1
zw = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i2 yv = (xu − yv) + i(xv + yu)
Re(zw) = Re z Re w − Im z Im w
Im(zw) = Re z Im w + Im z Re w
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación
Complejo conjugado
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Re z = Re z =
z+ z
z− z
, Im z = − Im z =
2
2i
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Re z = Re z =
z+ z
z− z
, Im z = − Im z =
2
2i
Propiedades de la conjugación
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Re z = Re z =
z+ z
z− z
, Im z = − Im z =
2
2i
Propiedades de la conjugación
z+w = z + w
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Re z = Re z =
z+ z
z− z
, Im z = − Im z =
2
2i
Propiedades de la conjugación
z+w = z + w
zw = z w
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Re z = Re z =
z+ z
z− z
, Im z = − Im z =
2
2i
Propiedades de la conjugación
z+w = z + w
zw = z w
z =z
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Conjugación
Complejo conjugado
z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C
Re z = Re z =
z+ z
z− z
, Im z = − Im z =
2
2i
Propiedades de la conjugación
z+w = z + w
zw = z w
z =z
Automorfismo involutivo del cuerpo C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Módulo de un número complejo
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
= (Re z)2 + (Im z)2
1/2
∀z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
Propiedades del módulo
= (Re z)2 + (Im z)2
1/2
∀z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
Propiedades del módulo
|z| ∈ R+
0 ∀z ∈ C
= (Re z)2 + (Im z)2
1/2
∀z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
Propiedades del módulo
|z| ∈ R+
0 ∀z ∈ C
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
= (Re z)2 + (Im z)2
1/2
∀z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
= (Re z)2 + (Im z)2
Propiedades del módulo
|z| ∈ R+
0 ∀z ∈ C
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
|z| − |w| 6 |z ± w| 6 |z| + |w| ∀ z, w ∈ C
1/2
∀z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
= (Re z)2 + (Im z)2
1/2
∀z ∈ C
Propiedades del módulo
|z| ∈ R+
0 ∀z ∈ C
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
|z| − |w| 6 |z ± w| 6 |z| + |w| ∀ z, w ∈ C
max | Re z|, | Im z| 6 |z| 6 | Re z| + | Im z| ∀ z ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Módulo de un número complejo
Módulo de un número complejo
|z| = z z
1/2
= (Re z)2 + (Im z)2
1/2
∀z ∈ C
Propiedades del módulo
|z| ∈ R+
0 ∀z ∈ C
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
|z| − |w| 6 |z ± w| 6 |z| + |w| ∀ z, w ∈ C
max | Re z|, | Im z| 6 |z| 6 | Re z| + | Im z| ∀ z ∈ C
|z w| = |z| |w| ∀ z, w ∈ C
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Argumentos
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Arg z =
θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Arg z =
θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ
Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene:
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Arg z =
θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ
Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene:
(
cos θ = Re z / |z|
θ ∈ Arg z ⇐⇒
sen θ = Im z / |z|
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Arg z =
θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ
Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene:
(
cos θ = Re z / |z|
θ ∈ Arg z ⇐⇒
sen θ = Im z / |z|
Relación entre ellos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Arg z =
θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ
Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene:
(
cos θ = Re z / |z|
θ ∈ Arg z ⇐⇒
sen θ = Im z / |z|
Relación entre ellos
z ∈ C∗ , θ1 , θ2 ∈ Arg z =⇒ ∃ k ∈ Z : θ2 = θ1 + 2kπ
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumentos
Argumentos de un número complejo no nulo
def
z ∈ C∗ = C \ {0}
Arg z =
θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ
Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene:
(
cos θ = Re z / |z|
θ ∈ Arg z ⇐⇒
sen θ = Im z / |z|
Relación entre ellos
z ∈ C∗ , θ1 , θ2 ∈ Arg z =⇒ ∃ k ∈ Z : θ2 = θ1 + 2kπ
Por tanto:
θ ∈ Arg z =⇒ Arg z = {θ + 2kπ : k ∈ Z}
El cuerpo de los números complejos
El argumento principal
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
El argumento principal
Argumento principal
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El argumento principal
Argumento principal
Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al
intervalo semiabierto ] − π, π ] .
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El argumento principal
Argumento principal
Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al
intervalo semiabierto ] − π, π ] .
Se le llama argumento principal de z y se denota por arg z .
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El argumento principal
Argumento principal
Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al
intervalo semiabierto ] − π, π ] .
Se le llama argumento principal de z y se denota por arg z .
De hecho se tiene:
arg z = sgn Im z arc cos
entendiendo que sgn(0) = 1.
Re z
|z|
∀ z ∈ C∗
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
El argumento principal
Argumento principal
Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al
intervalo semiabierto ] − π, π ] .
Se le llama argumento principal de z y se denota por arg z .
De hecho se tiene:
arg z = sgn Im z arc cos
Re z
|z|
∀ z ∈ C∗
entendiendo que sgn(0) = 1.
A partir del argumento principal obtenemos los demás:
Arg z = arg z + 2kπ : k ∈ Z
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Argumento de un producto
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
2πZ = {2kπ : k ∈ Z}
es un subgrupo aditivo de R
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
2πZ = {2kπ : k ∈ Z}
es un subgrupo aditivo de R
Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que
Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗
luego tenemos una aplicación (sobreyectiva)
Arg : C∗ → R/2πZ
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
2πZ = {2kπ : k ∈ Z}
es un subgrupo aditivo de R
Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que
Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗
luego tenemos una aplicación (sobreyectiva)
Arg : C∗ → R/2πZ
Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
2πZ = {2kπ : k ∈ Z}
es un subgrupo aditivo de R
Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que
Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗
luego tenemos una aplicación (sobreyectiva)
Arg : C∗ → R/2πZ
Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos
Para cualesquiera z, w ∈ C∗ se tiene:
Arg (z w) = Arg z + Arg w = θ + ϕ : θ ∈ Arg z , ϕ ∈ Arg w
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
2πZ = {2kπ : k ∈ Z}
es un subgrupo aditivo de R
Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que
Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗
luego tenemos una aplicación (sobreyectiva)
Arg : C∗ → R/2πZ
Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos
Para cualesquiera z, w ∈ C∗ se tiene:
Arg (z w) = Arg z + Arg w = θ + ϕ : θ ∈ Arg z , ϕ ∈ Arg w
Ası́ pues, Arg : C∗ → R/2πZ es un epimorfismo de grupos
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto
Planteamiento algebraico:
2πZ = {2kπ : k ∈ Z}
es un subgrupo aditivo de R
Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que
Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗
luego tenemos una aplicación (sobreyectiva)
Arg : C∗ → R/2πZ
Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos
Para cualesquiera z, w ∈ C∗ se tiene:
Arg (z w) = Arg z + Arg w = θ + ϕ : θ ∈ Arg z , ϕ ∈ Arg w
Ası́ pues, Arg : C∗ → R/2πZ es un epimorfismo de grupos
def
Restringido a T = {z ∈ C : |z| = 1} es un isomorfismo: T ∼
= R/2πZ
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Argumento de un producto (cont.)
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Argumento de un producto (cont.)
Consecuencias
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Consecuencias
Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Consecuencias
Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗
Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Consecuencias
Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗
Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗
Inconvenientes de elegir un argumento
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Consecuencias
Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗
Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗
Inconvenientes de elegir un argumento
Para z = w = −1 se tiene arg z + arg w = 2π 6= 0 = arg (zw)
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumentos
Argumento de un producto (cont.)
Consecuencias
Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗
Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗
Inconvenientes de elegir un argumento
Para z = w = −1 se tiene arg z + arg w = 2π 6= 0 = arg (zw)
No existe una función ϕ : C∗ → R que verifique ϕ(z) ∈ Arg z ∀ z ∈ C∗ y
ϕ(zw) = ϕ(z) + ϕ(w) ∀ z, w ∈ C∗
El cuerpo de los números complejos
Argumento de un producto (cont.)
Conjugación y módulo
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Interpretación geométrica del producto
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Interpretación geométrica del producto
Dado u ∈ T, la aplicación z → uz es el giro de ángulo θ = arg u:
|uz| = |z| , arg u + arg z ∈ Arg (uz)
∀ z ∈ C∗
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Interpretación geométrica del producto
Dado u ∈ T, la aplicación z → uz es el giro de ángulo θ = arg u:
|uz| = |z| , arg u + arg z ∈ Arg (uz)
∀ z ∈ C∗
Dado ρ ∈ R+ la aplicación z → ρz es la homotecia de razón ρ:
|ρz| = ρ |z| , arg (ρz) = arg z
∀ z ∈ C∗
Argumentos
El cuerpo de los números complejos
Conjugación y módulo
Argumento de un producto (cont.)
Interpretación geométrica del producto
Dado u ∈ T, la aplicación z → uz es el giro de ángulo θ = arg u:
|uz| = |z| , arg u + arg z ∈ Arg (uz)
∀ z ∈ C∗
Dado ρ ∈ R+ la aplicación z → ρz es la homotecia de razón ρ:
|ρz| = ρ |z| , arg (ρz) = arg z
∀ z ∈ C∗
Por tanto, dado w ∈ C∗ , la aplicación z → wz es composición de la
homotecia de razón ρ = |w| con el giro de ángulo θ = arg w.
Argumentos