Clase 9

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 9
(1 mar. 2012)
Flujo de un campo en dos dimensiones
1.– Flujo de un fluido a través de una frontera rectilinea en el plano. 2.– Flujo de un campo a través de un segmento.
3.– Flujo de un campo a través de una curva orientada. 4.– Ejemplo: Flujo de F(x, y) = (x, y) a través de una
circunferencia. 5.– Flujo de los campos normales y tangentes a la curva frontera. 6.– Flujo a través de una curva
cerrada y definición de la divergencia de un campo.
1 Flujo de un fluido a través de una frontera rectilinea en el plano.
1.1 Caso de velocidad constante perpendicular a la frontera
Consideremos un fluido en dos dimensiones que se mueve de tal forma que el vector velocidad de cada
partı́cula es constante en el tiempo y el mismo para todas las partı́culas. Esta es la situación más sencilla
de movimiento de un fluido y es equivalente a una traslación continua del plano. Supongamos ahora que
señalamos dos puntos P, Q del plano tales que el segmento que los une es perpendicular al movimiento
del fluido. Se llama flujo del fluido a través del segmento P Q a la cantidad de fluido que atraviesa dicho
segmento por unidad de tiempo.
Si v es la velocidad lineal del fluido, su densidad de masa y ` es la longitud del segmento P Q
entonces la cantidad de fluido que atraviesa dicho segmento en un tiempo 1t es igual a por el área del
rectángulo de base v1t y altura `, por tanto el flujo es:
Flujo =
Cantidad de fluido
= `v
1t
1.2 Caso de velocidad constante que forma un ángulo arbitrario con la frontera
Supongamos ahora que el segmento P Q forma un ángulo no necesariamente recto con la dirección del
movimiento del fluido. Entonces la cantidad de fluido que atraviesa dicho segmento en un tiempo 1t es
igual a por el área de un paralelogramo de base v1t y altura ` cos ✓ donde ✓ es el ángulo que forma la
perpendicular al segmento P Q con el vector velociadad, por tanto el flujo es:
Flujo =
` cos ✓v1t
= ` cos ✓v = `(n̂ · v) = `v?
1t
donde n̂ es el vector unitario normal al segmento P Q, v es el vector velocidad del fluido, y v? = n̂ · v es
la componente de la velocidad perpendicular al segmento.
1.3 Regla para elegir el sentido del vector unitario normal
Dado que hay dos posibles vectores unitarios normales a un segmento y el uso de uno u otro afecta al signo del resultado, es necesario
dar una regla para la elección del vector unitario normal. Esta regla
se elige de tal forma que para un segmento orientado, el fluido que
pasa de izquierda a derecha cuando se mira en el sentido de la orientación, tenga un flujo positivo (como en la figura, donde se supone el
segmento orientado de P a Q) mientras que el que pasa de derecha
a izquierda tendrá un flujo negativo. Por tanto, se conviene que para
un segmento orientado, el vector unitario normal apunta hacia la
derecha.
1
Q
�
n
P
v �t
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2 Flujo de un campo a través de un segmento.
El ejemplo anterior de flujo de un fluido a través de una frontera motiva la siguiente definición: El flujo de
un campo de vectores F a través de un segmento P Q es el producto de la componente de F perpendicular
al segmento multiplicada por la longitud del mismo. Si la longitud del segmento es ` y su vector normal es
n̂, entonces la componente perpendicular de F es F? = F · n̂ y el flujo es:
Flujo P Q (F) = F? ` = (F · n̂)`.
En esta definición hemos supuesto que F es un campo constante a lo largo del segmento, es decir, que tiene
el mismo valor en todos los puntos del segmento P Q, pero en realidad sólo es necesario suponer que la
componente normal del campo es constante como ocurre en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Hallar el flujo del campo F(x, y) = (x, y) a través del segmento de la recta y = 1 que va desde P =
( 1, 1) hasta Q = (1, 1).
Solución:
En los puntos de este segmento la componente normal de F es
F? (x, 1) = F · n̂ = (x, 1) · (0, 1) =
1.
Ası́ pues, a lo largo del segmento P Q la componente perpendicular de F es constante e igual a
tanto, como la longitud del segmento P Q es ` = 2, el flujo de F es
Flujo P Q (F) = F? ` =
1, por
2.
El valor negativo de este flujo significa que la componente perpendicular del campo apunta en la dirección opuesta a la del vector unitario normal al segmento según la orientación elegida para éste. O dicho
de otra forma: Si el campo F fuese el campo de velocidades de un fluido, el fluido estarı́a pasando de la
derecha del segmento, mirando en el sentido de su orientación, a su izquierda.
3 Flujo de un campo a través de una curva orientada.
Supongamos ahora que la frontera a través de la que queremos calcular el flujo de un campo vectorial F es
una curva C del plano. Para ello es necesario que F esté definido en cada punto de C. Para calcular el flujo
de F a través de C imaginemos una subdivisión de la curva en m pequeños subintervalos de forma que en
cada uno de ellos el campo sea aproximadamente constante. Entonces podemos calcular el flujo en cada
subintervalo y el flujo total será la suma de todos esos flujos elementales.
Sea Fi = (Mi , Ni ) el campo en el subintervalo i-ésimo y sea 1ri = (1xi , 1yi ) el vector cuyo origen
es el comienzo y su extremo el final de dicho subintervalo, tal como hicimos para definir la circulación a
lo largo de una curva (Clase 6, sección 3). Entonces, la longitud de 1r es aproximadamente la longitud de
arco del subintervalo i-ésimo, 1si = k1rk. Si T̂i es el vector unitario en la dirección de 1ri , entonces
T̂i =
1ri
1
(1xi , 1yi )
=
1si
1si
lo cual significa que el vector unitario normal y la componente perpendicular del campo son respectivamente:
1
1
n̂i =
(1yi , 1xi ) , y F? = F · n̂ =
Mi 1yi Ni 1xi
1si
1si
Ası́ pues, el flujo en este subintervalo es:
Fi · n̂i 1si = Mi 1yi
Ni 1xi
La suma de los flujos en los m subintervalos es:
m
X
i=1
Fi · n̂i 1si =
m
X
i=1
2
Mi 1yi
Ni 1xi
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y el flujo a través de la curva completa es el lı́mite de esa expresión cuando m ! 1 y 1xi ! 0, 1yi ! 0,
es decir, la integral
Z
Z
F · n̂ds =
M dy N dx .
C
C
Obsérvese que esta integral es la misma que se obtendrı́a para calcular la circulación a lo largo de C del
campo perpendicular a F, cuyas componentes son: ( N , M). Ası́ pues:
El flujo de un campo F = (M, N ) a través de una curva orientada C es igual a la circulación a lo
largo de C del campo de componentes ( N , M).
Lo que acabamos de decir implica que desde el punto de vista del cálculo no hay diferencia entre
calcular un flujo y calcular una circulación. Ambos se calculan de la misma forma. La única diferencia
entre flujo y circulación es su significado geométrico y, sobre todo, de su significado fı́sico.
4 Ejemplo: Flujo de F(x, y) = (x, y) a través de una circunferencia.
Si queremos calcular el flujo de F(x, y) = (x, y) a través de la circunferencia de centro en el origen y radio 1 orientada en sentido
antihorario, podemos hacer dos cosas:
1. Calcular la componente perpendicular de F en cada punto de
la circunferencia:
F? (x, y) = F · n̂ = (x, y) · (x, y) = x 2 + y 2 = 1,
y viendo que es constante:
Flujo(F) = F? ` = 1 · 2⇡ = 2⇡.
2. Calcular la circulación de ( N , M) = ( y, x) a lo largo de dicha circunferencia, (lo cual hemos
hecho anteriormente):
Z
Z 2⇡
Z 2⇡
( y)dx + x dy =
( sen ✓)( sen ✓ d✓) + cos ✓ cos ✓ d✓ =
1d✓ = 2⇡.
C
0
0
5 Flujo de los campos normales y tangentes a la curva frontera.
5.1 Caso de un campo perpendicular en todo punto a la curva
Si F es un campo de vectores y C una curva orientada y son tals que para todo punto de C, F es paralelo
al vector unitario normal a la curva, entonces el ángulo que forman F y n̂ es cero en todos los puntos de la
curva y por tanto su producto escalar (la componente perpendicular de F) es: F · n̂ = F, el módulo de F.
De aquı́ que el flujo de F a través de C sea:
Z
Z s2
F · n̂ds =
F ds.
C
s1
Es decir: Si en todo punto de una curva orientada un campo de vectores tiene la dirección y el sentido del
vector unitario normal a la misma, entonces el flujo de ese campo a lo largo de esa curva se reduce a una
integral definida del módulo del campo como función de la longitud de arco de la curva.
5.2 Caso de un campo tangente en todo punto a la curva
En el caso de que en cada punto de C el campo de vectores F sea tangente a la curva, entonces, el ángulo
que forman F y n̂ en cualquier punto de la curva es un ángulo recto y por tanto su producto escalar es
siempre cero. De aquı́ que el flujo sea en ese caso:
Z
Z s2
F · n̂ds =
0 ds = 0.
C
s1
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Es decir: Si en todo punto de una curva un campo de vectores es tangente a la misma, entonces el flujo de
ese campo a través de esa curva es cero.
6 Flujo a través de una curva cerrada y definición de la divergencia
de un campo.
Según se observó más arriba, el flujo de un campo F = (M, N ) a través de una curva orientada C es igual
a la circulación a lo largo de C del campo de componentes ( N , M). Supongamos que C es una curva
cerrada simple orientada positivamente, que encierra una región R. Entonces el teorema de Green nos dice
que el flujo de F a través de C, por ser igual a la circulación de ( N , M), es igual a la integral doble sobre
R del rotacional de ( N , M), el cual es:
rot( N , M) =
@M
@x
@( N )
@M
@N
=
+
@y
@x
@y
es decir:
FlujoC (F) =
I
C
F · n̂ds =
I
C
N dx + M dy =
ZZ
ZZ ⇣
@M
@N ⌘
+
rot( N , M)d A =
d A.
@y
R
R @x
El integrando de la última integral doble es una importante cantidad conocida como divergencia de F =
(M, N ) y se escribe:
@M
@N
+
div F =
.
@x
@y
Esta fórmula para la divergencia de un campo es muy fácil de recordar si pensamos que es algo ası́
como el producto escalar del operador nabla, r = ( @@x , @@y ), por el vector F = (M, N ):
div F = r · F =
@M
@N
+
.
@x
@y
En la próxima clase veremos el significado fı́sico de la divergencia. De momento nos quedamos solamente
con la versión del teorema de Green para el flujo:
Teorema 1 (Teorema de Green para el flujo) Sea F = (M, N ) un campo vectorial cuya divergencia está
definida en todo el plano, sea R una región del plano cuya frontera es una curva diferenciable a trozos, C,
orientada positivamente. Entonces:
I
ZZ
Z
ZZ ⇣
@M
@N ⌘
F · n̂ds =
div F d A o también:
M dy N dx =
+
dx dy.
@y
C
R
C
R @x
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