Capítulo 3 Relación tensión - deformación

Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
Capítulo 3
Relación tensión - deformación
3 - 1 : INTRODUCCIÓN
En forma independiente hemos estudiado relaciones que cumplen las tensiones τ ij y por otro
lado las deformaciones γ ij independientemente también del material analizado.
Cada tipo de material puede dar origen a un modelo que nos permita relacionar las tensiones
con las deformaciones.
Los materiales que utiliza comúnmente la Ingeniería presentan gran variedad en su
comportamiento, dependiendo este además, del tipo de material, de la intensidad de las
tensiones, temperatura (T) y del tiempo (t) de exposición a las cargas.
Todas estas variables dan, en base a características físicas experimentales, modelos Físicos Matemáticos que relacionan las tensiones con las deformaciones mediante ecuaciones
denominadas "Ecuaciones Constitutivas" que toman la forma de:
f (τ ij ) = g(γ ij , T, t )
Como caso particular podemos considerar modelos sin la intervención de la temperatura (T) y
el tiempo (t) quedando las ecuaciones:
f (τ ij ) = g (γ ij )
Asimismo las relaciones τ ij con γ ij pueden ser de tipo elástico o presentar características
plásticas a partir de un determinado nivel de tensiones.
3 - 2: FUNDAMENTOS TERMODINÁMICOS
Existen diversas formas de establecer algunas de las relaciones básicas entre el problema
térmico y el mecánico: Aquí se verá muy brevemente, un enfoque global que puede ser
pormenorizado mediante lectura de textos especializados.
Así como en mecánica es fundamental establecer la idea de posición en determinado
momento, en termodinámica es fundamental establecer la idea de “estado termodinámico” o
“ecuación de estado” (siempre que nos manejemos en termodinámica del equilibrio).
Para llegar a este concepto, recordaremos las siguientes ecuaciones fundamentales para las
que consideraremos un volumen de materia determinado que se desplaza en el espacio con el
tiempo (volumen material) que no intercambia masa y que llamaremos, sistema termodinámico
(ST).
3 – 2- 1 Primer Principio:
Un ST sometido a una entrega de potencia mecánica y calorífica:
∫ (Pentra + Q entra )dt = 0
Que, empleando algunos postulados básicos, puede expresarse de manera compacta y
simplificada:
•
•
K+ u = P + Q
•
•
con K tasa de energía cinética, u tasa de energía interna por unidad de volumen (ρu es energía
interna específica si ρ es densidad), P Potencia, Q Potencia calorífica.
Así como el “lugar” nos da una idea de donde está el cuerpo, la temperatura absoluta θ, nos
dice cuan caliente está. Esto tiene un límite inferior θ>0.
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La energía interna se almacena por efecto del trabajo mecánico más el calor y como indica la
experiencia, aumenta la temperatura. Pero la inversa, es decir, la disminución de la temperatura
no necesariamente libera la energía que se había ganado, no devuelve trabajo mecánico. Desde
un cierto ángulo, esto podría verse como si el calor tuviera un “límite” superior que lo
“absorbe”, siendo usado este término solo a efectos didácticos:
Q ≤ B (Potencia calorífica acotado superiormente).
3-2-2 Segundo principio:
Continuando con la línea dejada en el párrafo anterior, ese “límite” tiene que ver con la
temperatura absoluta θ y una variable extensiva llamada entropía.
•
•
B = θ. S con . S velocidad de almacenamiento de entropía.
El cuerpo, a lo largo de un proceso termodinámico, almacena entropía a una velocidad igual a
la potencia calorífica dividida la temperatura absoluta.
Lo anterior permite expresar el segundo principio (usando el primero):
•
•
•
u + ( K − P) ≤ θ S
que es la muy utilizada ecuación de Clausius – Plank
Podría definirse a la entropía como la porción de la energía interna que no produce trabajo,
pero existen otras definiciones aplicables a este principio y útiles para entender su implicancia.
Este principio permite determinar cuando un proceso es factible y cuando ese proceso es o no
reversible. También a partir del segundo principio se justifica que el calor fluya de zonas de
mayor temperatura hacia las de menor (todo lo dicho es sobre una base estadística).
3-2-3 Tercer principio:
Esta relacionado con la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto (θ=0) en un numero finito
de pasos y que es en ese cero absoluto, donde la energía total es nula. Según la tercera ley de la
termodinámica, la entropía (o desorden) de un cristal puro sería nula en el cero absoluto; esto
tiene una importancia considerable en el análisis de reacciones químicas y en la física cuántica.
También con este principio se puede calcular la entropía de una cierta masa a determinadas
temperaturas.
3-2-4 Termodinámica del equilibrio. Ecuación de estado.
En base a esta simple formulación del primer y segundo principio, podemos relacionar los
conceptos de energía interna (además de otros como energía libre, entalpía, etc.) con la entropía.
Así podrá enunciarse que la energía interna será función del estado termodinámico el cual viene
definido por un conjunto de “n” variables observables por experimentación, llamadas ν i con
i=1,n y la entropía S. Estas variables pueden ser mecánicas, electromagnéticas, etc. Serán
definidas de acuerdo a la necesidad pero siempre teniendo en cuenta que la manifestación de
estas “n” variables implica que solo existan esas “n”. El número de variables es en realidad
infinito, pero en cada caso podemos considerar solo las más relevantes.
Así, un “proceso termodinámico”, que es aquel proceso por el que pasa un ST, contará con las
variables de estado relevantes, la ecuación de estado y los principios termodinámicos.
•
Se cuenta con las variables: θ ; ν i ; P − K ; u ; S ; Q
•
•
+ primera ley
K + u = P + Q (1)
+ segunda ley
Q ≤ θ S (2)
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•
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que combinadas
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•
•
•
•
•
•
u − (P − K ) ≤ θ S (3) ó θ S− u +(P − K ) ≥ 0 (4)
3-2-5 El problema de la Entropía.
La expresión (2) llevará signo igual cuando el proceso sea reversible, es decir, el calor alcanza
el límite superior y se transforma totalmente en
•
Q = θS
•
Aquí, un proceso adiabático (Q = 0) es equivalente a decir isentrópico ( S = 0 ) (la entropía
permanece constante).
En los procesos irreversibles (estrictamente todos):
•
Q ≤ θS
•
Ahora, repitiendo el análisis anterior, un proceso adiabático implica que S > 0 , una tasa
positiva que indica que la entropía crece siempre. Esto permite razonar algo fundamental:
Supongamos un sistema en equilibrio, sin entrega ni cesión de calor, básicamente “estable”,
como lo es un sólido en equilibrio mecánico. De acuerdo a lo visto, tendrá un cierto nivel de
entropía “SA” y un cierto nivel de energía interna “uA”, que llamaremos “estado A”.
Admitamos la existencia de un estado vecino con el mismo nivel de energía interna pero un
nivel de entropía S B = S A + ΔS , que llamaremos “estado B”.
Si se propusiera un salto espontáneo del estado A hacia el B, esto no debería ser posible
debido a que el estado A es estable (la experiencia indica que ese sólido no cambia
espontáneamente). Entonces, Cómo se previene ese salto?: Si ΔS ≥ 0 , como la entropía de
cualquier proceso crece siempre, el salto será termodinámicamente posible. Entonces, no queda
más remedio que ΔS ≤ 0 porque esto violaría el segundo principio y no sería
termodinámicamente posible (en realidad la palabra mas correcta es probable..) lo que hace
automáticamente estable al “estado A”. Esto quiere decir que de todos los infinitos estados
posibles, el que perdura es el de máxima entropía.
3-2-6 El problema de la Energía interna.
Observando la ecuación (4), podemos realizar el análisis de la energía interna. Si repitiéramos
el ejercicio mental previo, suponiendo ahora constante la entropía y variando la energía interna,
de modo que el estado A sea semejante al apartado anterior, pero el B correspondiera a una
entropía SB=SA y una energía u B = u A + Δu , para prevenir el salto espontáneo solo debemos
•
considerar la ecuación mencionada. El proceso sería viable si u ≤ 0 (aquí decimos sin probarlo,
•
que la energía interna tiene componentes independientes de (P − K ) y que cuando el proceso es
isentrópico (teórico) la potencia calorífica es negativa, o sea, cede calor), por lo que para
•
prevenir, u ≥ 0 , o sea Δu ≥ 0 concluyendo que de todos los estados posibles, el que perdura es
el de mínima energía interna.
Para los problemas comunes de ingeniería, existe un estado en que el sólido esta descargado y
es también un estado estable, denominado “natural”. Allí, la energía interna pasa por un mínimo
y a los efectos del análisis estructural, la consideramos igual a cero de modo que la energía
interna es un valor positivo definido:
u≥0
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3 - 3: MATERIAL HIPERELASTICO.
Para el desarrollo de este punto, se necesita recurrir al Primer Principio mencionado en el
punto anterior y aplicar lo visto en Teorema de las Fuerzas Vivas, aquel que permite decir que la
potencia mecánica menos la cinética es igual al producto de las tensiones por la velocidad de
•
•
deformación ( P − K = T. D ). Si a lo anterior, sumamos que la potencia calorífica sea nula
(adiabático), queda:
•
•
u = T. D
•
Si además suponemos que el proceso es reversible e isentrópico ( S = 0 ), la expresión anterior
verifica también el Segundo Principio.
3-3-1 Ley de Hooke generalizada. Potencial Elástico.
Esta ley ampliamente experimentada y difundida, fue explicada por Hooke en 1678 con una
expresión del tipo "la fuerza aplicada a un cuerpo elástico está en relación con su extensión" casi
dos décadas después de haberla descubierto, marcando así el comienzo de la teoría de la
elasticidad.
Navier, plantea en 1820 la teoría tridimensional de la elasticidad, desarrollando Cauchy los
conceptos de tensión y deformación unitarias y formulando las relaciones lineales entre las
mismas que denominamos "Ley de Hooke generalizada".
Una relación lineal entre dos tensores (o matrices) de 9 elementos implica la cantidad de 9 x 9
= 81 constantes.
T = C : D ó Tij = C ijkl : D kl con C ijkl 81 constantes.
Si reemplazamos esta expresión en la de la tasa de energía interna del punto anterior:
•
•
d (D.C.D)
u = D .C.D = 1 2
dt
La segunda expresión vale si se asume simetría en C y está probada la simetría de D. La
expresión anterior puede ser integrada en el tiempo asumiendo como condición inicial o de borde
el estado natural del cuerpo, es decir, en t=0 está descargado y la energía es nula al igual que la
tensión y deformación.
u = 1 2 D.C.D
De la anterior expresión, si se deriva la energía con relación a la deformación, quedaría:
du
= C.D = T
dD
Esto permite enunciar que la energía interna es un Potencial Elástico.
Ahora bien, podemos anunciar que la existencia de un potencial elástico condiciona la
relación constitutiva del siguiente modo:
u ≥ 0 => 1 2 D.C..D ≥ 0 => D.C.D ≥ 0
que por ser cuadrática en D, la única posibilidad que se cumpla esto es:
C≥0
Entonces, por cuestiones termodinámicas, la matriz constitutiva deberá ser simétrica y positiva:
C ijkl ≥ 0 y C ijkl = C klij
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3-3-2 Isotropía.
A lo largo de Estabilidad II, capítulo I, se ha presentado las constantes para materiales
elásticos, módulo de elasticidad transversal, longitudinal y de Poisson.
Durante el capítulo III, se presentaron las relaciones tensión - deformación para cuerpos
tridimensionales. Trataremos ahora aquí el mismo problema, pero desde una visión mas global.
Para que un material sea considerado isotrópico, debe cumplirse que los coeficientes de la
relación constitutiva (los que componen C) no varíen sea cual sea la dirección que se tome para
el estudio. Para que esto sea posibles, es necesario restringir a la matriz C obligándola a que
presente simetría total , del siguiente modo:
C ijkl = C jikl = C jilk = C ijlk = C klij = C klji = C lkji = C lkij
La simetría total puede obtenerse aplicando dos condiciones simultáneas:
1)La condición:
C ijkl = C jikl = C jilk = C ijlk
llamada simetría menor, se obtiene a partir de la simetría de los tensores de deformación y
tensión.
2) La condición:
C ijkl = C klij
llamada simetría mayor, se obtiene por cuestiones termodinámicas (ya vistas).
La unión de las dos restricciones, reduce la cantidad de elementos de la matriz original de 81
a 21 (de 81 pasan a 36 por la primera y de 36 a 21 por la segunda).
Veamos en el apartado siguiente en detalle, como se produce esta trasformación en la cantidad
de coeficientes.
3-3-2-1 Aplicación de simetría menor.
Según se dijo, se debe a la simetría en los tensores de deformación y tensión.
Tij = Tji , D lk = D kl => C ijkl = C jikl = C jilk = C ijlk
Para hacer el análisis debemos distinguir diferentes tipos de elementos:
a) C ijkl con i=j=k=l, (ejemplo C1111 ), son 3 elementos y aparecen 1 vez cada uno.
b) C ijkl con i=j , k=l, pero i=j ≠ k=l (ejemplo C1122 ), son 6 elementos y aparecen 1 vez cada
uno.
c) C ijkl con i=j , k≠l ; i≠j , k=l, (ejemplo C1112 , C1222 ), son 36 elementos y aparecen repetidos
2 veces cada uno ( C1112 = C1121 .)
d) C ijkl no contenidos antes. Aquí hay dos tipos, con 2 pares de índices (ejemplo
C1212 , C 2323 ), o 2 índices iguales (ejemplo C1232 , C 3121 ). Son 36 elementos y aparecen repetidos
4 veces cada uno. ( C1232 = C 2132 = C 2123 = C1223 .)
Con lo anterior, quedan en total 3+6+36/2+36/4=36
3-3-2-2 Aplicación de simetría mayor (y menor).
Se debe a cuestiones termodinámicas.
C ijkl = C klij
También, hacemos el análisis por grupos::
a) C ijkl con i=j=k=l, (ejemplo C1111 ), son 3 elementos y aparecen 1 vez cada uno.
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b) C ijkl con i=j , k=l, pero i=j ≠ k=l (ejemplo C1122 ), son 6 elementos y aparecen repetidos 2
veces cada uno ( C1122 = C 2211 ).
c) C ijkl con i=j , k≠l ; i≠j , k=l, (ejemplo C1112 , C1222 ), son 36 elementos y aparecen repetidos
4 veces cada uno ( C1112 = C1211 = C 2111 = C1121 .)
d) C ijkl con 2 pares de índices iguales y no contenidos antes. Son 12 elementos y aparecen
repetidos 4 veces cada uno. ( C1212 = C 2112 = C 2121 = C1221 .)
e) C ijkl no contenidos antes. Son 24 elementos y aparecen repetidos 8 veces cada uno.
( C1232 = C 2132 = C 2123 = C1223 = C 2312 = C 2321 = C 3221 = C 3212 ) .)
Con lo anterior, quedan en total 3+6/2+12/4+24/8=21
3-3-2-3 Aplicación de la condición de isotropía.
Se ha dicho que la condición de isotropía implica que el material presenta las mismas
constantes en cualquier dirección que se lo analice. Esta es una restricción aún más fuerte que la
ya vista simetría total. Las modificaciones que produce en la ecuación constitutiva provoca que
las constantes pasen de 21 a 2 (λ y G), y la relación tensión deformación se puede expresar (el
detalle de estos cambios se puede ver en la bibliografía):
[
]
Tij = λδ ij δ lk + G (δ ij δ jk + δ ik δ jl ) D lk
que, si se descompone el tensor de deformación en esférico y desviador, queda:
Tij = λD kk δ ij + 2GD ij con D kk deformación media.
Si en la anterior se hace i=j,
Tii = (3λ + 2G )D ii o, cambiando índices D kk =
Usando esto en la ecuación de arriba:
λδ ij
Tkk
.
(3λ + 2G )
1
Tij
2G (3λ + 2G )
2G
que son las deformaciones en función de las tensiones. λ y G se denominan constantes de
Lamé, fueron introducidas en 1852 y se pueden poner en función de las constantes conocidas,
E,G y μ.
D ij = −
Tkk +
E
μE
λ=
2(1 + μ)
(1 + μ)(1 − 2μ)
Si en la ecuación constitutiva general isotrópica se usan las relaciones:
G=
Tij′ = Tij − 1 Tkk δ ij y D′ij = D ij − 1 D kk δ ij
3
3
se llega a una expresión que vincula a la presión media con la deformación volumétrica y a las
tensiones y deformaciones desviadoras:
Tij ' = 2GD ij '
τ 0 = Tkk
3
= K.D kk = K.e
2
E
con K = λ + G =
modulo volumétrico.
3
3(1 − 2μ)
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3-3-3 Restricciones a las constantes conocidas.
Si se aplican las relaciones anteriores a la ecuación de energía:
u = 1 2 T..D
y se reagrupan los términos según componentes esféricas y desviadoras:
u = 1 2 Ke 2 + G.D ' D '
si u ≥ 0 → K ≥ 0 → G ≥ 0 , pero las igualdades a cero no tienen sentido (u es cero cuando las
deformaciones y tensiones son cero).
Esto provocará restricciones al valor de las constantes clásicas:
E
K=
>0
3(1 − 2μ)
E
G=
>0
2(1 + μ)
E > 0 ⇒ −1 < μ < 1 2
3-3-4 Consideraciones sobre μ< 0.
Si bien desde el punto de vista teórico un módulo de Poisson negativo es admisible, no se han
encontrado en la naturaleza demasiados ejemplos de esta situación. Como un material elástico e
isotrópico puede tener este valor en su modulo, se cree que la mayoría de ellos no han sido
descubiertos aún.
Hay registros de un caso de un cristal cúbico de pirita que presentó un modulo μ= - 0.14
sugiriendo que el efecto se debía a un cristal mellizo. Otros ejemplos de módulos negativos, se
han determinado en estructuras no homogéneas ni isotrópicas y en algunas direcciones
solamente. Existen algunos polímeros que, sin ser anisotrópicos, presentan valores negativos de
Poisson.
Un observador incauto puede suponer que un valor negativo en Poisson carece de sentido
porque el material no conservaría volumen luego de la carga. La verdad es que no hay ninguna
ley de conservación de volumen (de hecho, un modulo positivo menor de 0.5 no conserva
volumen).
Una visión física de porque sería negativo el modulo se puede ver en
la celda de la figura lateral:
Una tensión aplicada en el eje vertical, produce que la celda se
despliegue y expanda lateralmente
3 - 4: NOTACION DE VOIGT. RELACION ENTRE EJES PRINCIPALES
Si aprovechamos la simetría de T y D, podemos sustituir la matriz que los representa por un
vector que contenga solo los seis valores diferentes. Si se hace esto, la matriz de cuarto orden
que representa la relación constitutiva, puede tratarse como una de segundo orden. Esto facilita
la representación computacional de estas magnitudes y se conoce esta notación como de VOIGT:
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⎡1 μ
⎢μ 1
⎢
⎢μ μ
⎢
⎢0 0
⎢
⎢0 0
⎢
⎢
⎢0 0
⎣
que es la relación constitutiva para tres D.
⎡ τ11 ⎤
⎢τ ⎥
⎢ 22 ⎥
⎢ τ 33 ⎥
E
⎢ ⎥=
2
⎢ τ12 ⎥ 1 − μ
⎢ τ 23 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ τ 31 ⎥⎦
μ
μ
1
0
0
0
1− μ
0
2
0
0
0
0
0
0
1− μ
2
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1− μ⎥
⎥
2 ⎦
0
0
0
⎡ ε1 ⎤
⎢ε ⎥
⎢ 2⎥
⎢ ε3 ⎥
⎢ ⎥
⎢ γ 12 ⎥
⎢ γ 23 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ γ 31 ⎥⎦
3-4-1 Relación entre ejes principales:
Que efecto tiene la relación constitutiva con los ejes principales de tensión y deformación???
Observando la ecuación
T = λeI + 2GD
con
μE
E
λ=
G=
2(1 + μ)
(1 + μ)(1 − 2μ)
queda:
⎛
⎞
μ
T = 2G⎜⎜ D +
.e.I ⎟⎟
1 − 2μ ⎠
⎝
Analicemos ahora como está conformado el tensor T y podremos ver que es la suma del
tensor deformación D más un tensor (esférico) cuya diagonal tiene el valor de sus tres términos
⎛
⎞
μ
μ
igual a
.e y sus otros términos nulos. La suma mencionada ⎜⎜ D +
.e.I ⎟⎟ tiene
1 − 2μ
1 − 2μ ⎠
⎝
dimensiones de deformaciones (muy pequeñas) y multiplicadas por 2G nos da magnitudes de
tensiones.
Visto desde el punto de vista tensorial, o si se prefiere del geométrico, la mencionada suma
tiene las mismas direcciones principales de D por ser el otro término un tensor esférico y por lo
tanto el tensor T tiene las mismas direcciones principales de D.
3 – 5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELASTICO
En general dado un sólido, en este caso elástico, sometido a acciones externas, en todos sus
puntos se produce un estado de tensiones determinado por la matriz T. Asimismo cada uno de
sus puntos (partículas) sufre desplazamientos que definen una matriz de deformación D. Estas
dos matrices T y D se encuentran relacionadas entre si mediante ecuaciones lineales que pueden
tomar distintas formas según la conveniencia para su utilización.
Sabemos que las componentes de T deben cumplir con las Ecuaciones de Equilibrio, mientras
las de D deben cumplir con las condiciones de Compatibilidad. A similitud de lo visto en
Estructuras Hiperestáticas, estos grupos de ecuaciones correctamente aplicadas permiten la
solución del problema que puede clasificarse de 3 maneras:
Primer Problema:
Se conocen las fuerzas externas t aplicadas al sólido elástico y las fuerzas de masa, y se deben
→
calcular las tensiones (T), deformaciones (D) y los corrimientos de las partículas δ .
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Segundo Problema:
Se conocen las fuerzas de masa y los corrimientos de las partículas superficiales del sólido en
→
equilibrio. Se deben calcular (T), (D) y los corrimientos δ .
Problema Mixto:
Se conocen las fuerzas de masa, las cargas superficiales en un sector y los desplazamientos en
→
otro sector, debiéndose calcular también (T), (D) y δ .
Las ecuaciones a utilizar son:
Equilibrio:
∂τ11 ∂τ 21 ∂τ 31
+
+
+ X1 = 0
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂τ12 ∂τ 22 ∂τ 32
+
+ X2 = 0
+
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂τ13 ∂τ 23 ∂τ 33
+
+ X3 = 0
+
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
Borde o Contorno:
X 1 = τ11 .n 1 + τ 21 .n 2 + τ 31 .n 3
X 2 = τ 21 .n 1 + τ 22 .n 2 + τ 32 .n 3
X 3 = τ 31 .n 1 + τ 32 .n 2 + τ 33 .n 3
Compatibilidad:
∂ 2 ε1
∂
2
=
∂x 2 ∂x 3 ∂x 1
⎛ ∂γ 23 ∂γ 31 ∂γ 12
⎜⎜ −
+
+
⎝ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
⎞
⎟⎟
⎠
∂ 2 γ 12
∂ 2 ε1 ∂ 2 ε 2
=
+
∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 2 ∂x 1 2
∂ 2ε2
∂
=
∂x 3 ∂x 1 ∂x 2
⎛ ∂γ 31 ∂γ 12 ∂γ 23
⎜⎜ −
+
+
∂
∂x 1
x
x
∂
2
3
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
∂ 2 γ 23
∂ 2ε 2 ∂ 2ε3
=
+
∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 2 ∂x 2 2
2
∂ 2 γ 31
∂ 2 ε 3 ∂ 2 ε1
∂ 2ε3
∂ ⎛ ∂γ 12 ∂γ 23 ∂γ 31 ⎞
⎟
⎜−
=
+
=
2
+
+
∂x 3 ∂x 1 ∂x 1 2 ∂x 3 2
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎜⎝ ∂x 3
∂x 1 ∂x 2 ⎟⎠
Además tenemos las ecuaciones que relacionan tensiones con deformaciones expresadas según:
Ley de Hooke Generalizada:
1
2(1 + μ )
ε 1 = [τ11 − μ(τ 22 + τ 33 )]
γ 12 =
τ12
E
E
1
2(1 + μ )
ε 2 = [τ 22 − μ(τ 33 + τ11 )]
γ 23 =
τ 23
E
E
2(1 + μ )
1
γ 31 =
τ 31
ε 3 = [τ 33 − μ(τ11 + τ 22 )]
E
E
∂u
∂u
∂u
μ
O bien, las Ecuaciones de Lame, con e = 1 + 2 + 3 y λ = 2G
(1 − 2μ )
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
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Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
τ11 = 2Gε 1 + λe = 2G
∂u 1
+ λe
∂x 1
τ12 = 2G
∂u ⎤
γ 12
1 ⎡ ∂u
= 2G ⎢ 1 + 2 ⎥
2
2 ⎣ ∂x 2 ∂x 1 ⎦
τ 22 = 2Gε 2 + λe = 2G
∂u 2
+ λe
∂x 2
τ 23 = 2G
∂u ⎤
γ 23
1 ⎡ ∂u
= 2G ⎢ 2 + 3 ⎥
2
2 ⎣ ∂x 3 ∂x 2 ⎦
τ 33 = 2Gε 3 + λe = 2G
∂u 3
+ λe
∂x 3
τ 31 = 2G
γ 31
∂u ⎤
1 ⎡ ∂u
= 2G ⎢ 3 + 1 ⎥
2
2 ⎣ ∂x 1 ∂x 3 ⎦
Según el tipo de problema presentado debemos plantear la solución utilizando uno u otro
método para resolver el sistema. A tal efecto pondremos las ecuaciones de equilibrio en términos
de deformaciones o las ecuaciones de compatibilidad en términos de tensiones.
3 - 5 . 1 : ECUACIONES DE NAVIER. PROBLEMA ELÁSTICO EN
TÉRMINOS DE DEFORMACIONES
Consiste en poner las Ecuaciones de Equilibrio en términos de desplazamientos.
Sea la primera de las ecuaciones de equilibrio:
∂τ11 ∂τ 21 ∂τ 31
+
+
+ X1 = 0
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
μ
utilizando las Ecuaciones de Lame, con λ = 2G
(1 − 2μ )
2G
⎤
∂ ⎡ ∂u 1
μ
∂ ⎡ ∂u 1 ∂u 2 ⎤
∂ ⎡ ∂u 3 ∂u 1 ⎤
+
+
+
.e⎥ + G
⎢
⎥ + X1 = 0
⎢
⎢
⎥+G
∂x 1 ⎣ ∂x 1 1 − 2μ ⎦
∂x 2 ⎣ ∂x 2 ∂x 1 ⎦
∂x 3 ⎣ ∂x 1 ∂x 3 ⎦
⎡ ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ⎤
μ ∂e
∂ ⎡ ∂u 1 ∂u 2 ∂u 3 ⎤
+G
+
+
+
+ 2G
+
G⎢
⎢
⎥ + X1 = 0
2
2
2⎥
∂x 1 ⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
1 − 2μ ∂x 1
∂x 2
∂x 3 ⎥⎦
⎢⎣ ∂x 1
∂u
∂u
∂u
Teniendo en cuenta que e = ε 1 + ε 2 + ε 3 = 1 + 2 + 3
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂2 ( ) ∂2 ( ) ∂2 ( )
+
+
∂x 1
∂x 2
∂x 3
μ ∂e
∂e
G∇ 2 (u 1 ) + 2G
+G
+ X1 = 0
1 − 2μ ∂x 1
∂x 1
Y el operador Δ( ) = ∇ 2 ( ) =
∇ 2 (u 1 ) +
Análogamente:
∇ 2 (u 2 ) +
1
∂e X 1
+
=0
1 − 2μ ∂x 1 G
X
1
∂e
+ 2 =0
1 − 2μ ∂x 2
G
1
∂e X 3
+
=0
1 − 2μ ∂x 3
G
Sistema de ecuaciones de Navier que representan a las ecuaciones de equilibrio en términos
de desplazamientos.
La solución de este sistema que cumpla con las condiciones de borde o contorno es la
solución del problema.
∇ 2 (u 3 ) +
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10
Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
3 - 5 . 2 : ECUACIONES DE BELTRAMI - MITCHELL. PROBLEMA
ELÁSTICO EN TÉRMINOS DE TENSIONES.
Consiste en expresar las Condiciones de Compatibilidad en términos de tensiones, utilizando
las ecuaciones de equilibrio y la Ley de Hooke.
Indicaremos el desarrollo numerando las ecuaciones:
∂τ11 ∂τ 21 ∂τ 31
+
+
+ X1 = 0
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂τ12 ∂τ 22 ∂τ 32
+
+
+ X2 = 0
(1)
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂τ13 ∂τ 23 ∂τ 33
+
+
+ X3 = 0
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
De la segunda y tercera obtenemos:
⎞
⎛ ∂τ
∂τ 23
∂τ
= −⎜⎜ 22 + 12 + X 2 ⎟⎟
∂x 3
⎠
⎝ ∂x 2 ∂x 1
⎛ ∂τ
⎞
∂τ 23
∂τ
= −⎜⎜ 33 + 13 + X 3 ⎟⎟
∂x 2
⎝ ∂x 3 ∂x 1
⎠
derivando la primera respecto de x2 y la segunda respecto de x3 y s.m.a.m.
∂ 2 τ 23
∂ 2 τ 22 ∂ 2 τ 33
∂ ⎛ ∂τ12 ∂τ 31 ⎞ ∂X 2 ∂X 3
⎜
⎟−
−
−
+
=−
2
−
2
2
∂x 2 ∂x 3
∂x 1 ⎜⎝ ∂x 2 ∂x 3 ⎟⎠ ∂x 2 ∂x 3
∂x 2
∂x 3
Reemplazando la expresión bajo corchetes por su igual extraída de la primera ecuación del
grupo (1)
∂ 2 τ 23
∂ 2 τ11 ∂ 2 τ 22 ∂ 2 τ 33 ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3
2
−
−
=
−
−
+
(2)
2
2
2
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂x 2 ∂x 3
∂x 1
∂x 2
∂x 3
De las ecuaciones de compatibilidad tenemos:
∂ 2 γ 23
∂ 2ε 2 ∂ 2ε3
+
=
(3)
∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 2 ∂x 2 2
por ley de Hooke:
(1 − 2μ) 3τ 0
e = ε 1 + ε 2 + ε 3 = (τ11 + τ 22 + τ 33 )
=
(1 − 2μ)
E
E
μE
Eε 1 = τ11 (1 + μ) −
e
(1 − 2μ)
a) Eε 1 = (1 + μ)τ11 − 3μτ 0
b) Eε 2 = (1 + μ)τ 22 − 3μτ 0
c) Eε 3 = (1 + μ)τ 33 − 3μτ 0
y además:
d) Eγ 12 = 2(1 + μ)τ12
e) Eγ 23 = 2(1 + μ)τ 23
f) Eγ 31 = 2(1 + μ)τ 31
Eliminando de (2), (3), b), c) y e) los valores de τ23, ε2, ε3, y γ23 tendremos:
De la (3)
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11
Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
∂ 2 τ 33
∂ 2τ0 ⎤
∂ 2τ0
∂ 2 τ 22
2(1 + μ) ∂ 2 τ 23
1⎡
3
(
1
)
3
−
μ
+
+
μ
−
μ
= ⎢(1 + μ)
⎥
2
2
2
2
E
∂x 2 ∂x 3 E ⎢⎣
∂x 3
∂x 3
∂x 2
∂x 2 ⎥⎦
2
2
∂ 2 τ 23
∂ 2 τ 22 ∂ 2 τ 33
3μ ⎛⎜ ∂ τ 0 ∂ τ 0
2
+
−
+
=
2
2
(1 + μ) ⎜⎝ ∂x 3 2 ∂x 2 2
∂x 2 ∂x 3
∂x 2
∂x 3
⎞
⎟
⎟
⎠
Reemplazando en la (2)
∂ 2 τ 22
∂x 3
2
∂ 2 τ 33
+
∂x 2
2
3μ ⎛⎜ ∂ 2 τ 0 ∂ 2 τ 0
−
+
(1 + μ) ⎜⎝ ∂x 3 2 ∂x 2 2
Sumando los dos términos
∂ 2 τ11
∂x 3
2
∂ 2 τ11
∂x 1
2
+
∂ 2 τ11
+
∂ 2 τ11
∂x 3
∂x 2
2
2
+
∂ 2 τ 22
+
∂ 2 τ11
∂x 3
∂x 3
2
2
∂ 2 τ11
∂x 2 2
+
∂ 2 τ 33
−
∂ 2 τ 22
∂x 2
2
2
∂x 2
+
⎞ ∂ 2 τ11 ∂ 2 τ 22 ∂ 2 τ 33 ∂X1 ∂X 2 ∂X 3
⎟=
−
−
+
−
−
⎟ ∂x 2
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂x 2 2
∂x 3 2
1
⎠
∂ 2 τ11
∂x 3 2
3μ ⎛⎜ ∂ 2 τ 0 ∂ 2 τ 0
−
+
(1 + μ) ⎜⎝ ∂x 3 2 ∂x 2 2
−
∂ 2 τ 33
2
∂x 3
Por pasaje de términos y con ∇ 2 (τ11 ) =
∂2
∂x 2
(τ11 + τ 22 + τ 33 ) +
2
3τ 0 = (τ11 + τ 22 + τ 33 )
∂2
∂x 3
+
⎞
⎟=
⎟
⎠
∂X1 ∂X 2 ∂X 3
−
−
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂ 2 τ11
∂x 3 2
−
(τ11 + τ 22 + τ 33 ) −
2
∂ 2 τ11
−
∂x 2 2
∂ 2 τ11
∂x 3 2
3μ ⎛⎜ ∂ 2 τ 0 ∂ 2 τ 0
+
(1 + μ) ⎜⎝ ∂x 3 2 ∂x 2 2
⎞
⎟ = ∇ 2 τ11 + ∂X1 − ∂X 2 − ∂X 3
⎟
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
⎠
tenemos:
2
⎛ ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0 ⎞
⎛ 2
⎞
⎟ − 3μ⎜ ∂ τ 0 + ∂ τ 0 ⎟ = (1 + μ)∇ 2 τ11 + (1 + μ) ⎡⎢ ∂X 1 − ∂X 2 − ∂X 3 ⎤⎥
3(1 + μ)⎜
+
2
2
2
2
⎜ ∂x
⎜ ∂x
∂x 3 ⎟⎠
∂x 2 ⎟⎠
⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
⎝ 2
⎝ 3
⎛ ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0 ⎞
⎟ = (1 + μ)∇ 2 τ11 + (1 + μ) ⎡⎢ ∂X 1 − ∂X 2 − ∂X 3 ⎤⎥
(4)
Luego: 3⎜
+
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ⎟
⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
3 ⎠
⎝ 2
⎛ ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0 ⎞
⎟ = (1 + μ)∇ 2 τ 22 + (1 + μ) ⎡⎢ ∂X 2 − ∂X 3 − ∂X 1 ⎤⎥
Análogamente 3⎜
+
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ⎟
⎣ ∂x 2 ∂x 3 ∂x 1 ⎦
1 ⎠
⎝ 3
⎛ ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0 ⎞
⎤
⎡
⎟ = (1 + μ)∇ 2 τ 33 + (1 + μ) ⎢ ∂X 3 − ∂X 1 − ∂X 2 ⎥
3⎜
+
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ⎟
⎣ ∂x 3 ∂x 1 ∂x 2 ⎦
2 ⎠
⎝ 1
Sumando m.a m.
⎞
⎡ ∂X
∂X 2 ∂X 3 ⎤
⎟ = (1 + μ) ∇ 2 τ11 + ∇ 2 τ 22 + ∇ 2 τ 33 − (1 + μ )⎢ 1 +
+
⎥
⎟
⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
⎠
⎡ ∂X
∂X 2 ∂X 3 ⎤
+
6∇ 2 τ 0 − 3(1 + μ )∇ 2 τ 0 = −(1 + μ )⎢ 1 +
⎥
∂x 3 ⎦
⎣ ∂x 1 ∂x 2
⎛ ∂ 2τ0 ∂ 2τ0 ∂ 2τ0
6⎜
+
+
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2
2
3
⎝ 1
(
⎡ ∂X
∂X 2 ∂X 3 ⎤
3(1 − μ )∇ 2 τ 0 = −(1 + μ )⎢ 1 +
+
⎥
∂x 3 ⎦
⎣ ∂x 1 ∂x 2
)
(5)
La (4) puede ser escrita:
⎛ ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0 ∂ 2 τ0
3⎜
+
+
−
⎜ ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2
2
3
1
⎝ 1
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⎞
⎡ ∂X
∂X 2 ∂X 3 ⎤
⎟ = (1 + μ)∇ 2 τ11 + (1 + μ) ⎢ 1 −
−
⎥
⎟
∂x 3 ⎦
⎣ ∂x 1 ∂x 2
⎠
12
Estabilidad IV -a
3∇ 2 τ 0 − 3
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
⎡ ∂X
∂ τ0
∂X 2 ∂X 3 ⎤
− (1 + μ)∇ 2 τ11 = (1 + μ) ⎢ 1 −
−
⎥
∂x 1
∂x 3 ⎦
⎣ ∂x 1 ∂x 2
2
Reemplazando 3∇ 2 τ 0 por su igual en (5)
−
(1 + μ ) ⎡ ∂X1 + ∂X 2
(1 − μ ) ⎢⎣ ∂x 1 ∂x 2
+
⎡ ∂X
∂ 2 τ0
∂X 3 ⎤
∂X 2 ∂X 3 ⎤
3
−
− (1 + μ)∇ 2 τ11 = (1 + μ )⎢ 1 −
−
⎥
⎥
2
∂x 3 ⎦
∂x 1
⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
Pasando términos y multiplicando por −
∇ 2 τ11 +
1
(1 − μ )
2
3 ∂ τ0
1 ⎡ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎤ ⎡ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎤
=−
+
+
−
−
−
2
(1 + μ ) ∂x 1
(1 − μ ) ⎢⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎥⎦
Con lo cual llegamos y con analogía para las otras 2 direcciones:
∇ 2 τ11 +
2
∂X 1
μ ⎡ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎤
3 ∂ τ0
=
−
+
+
2
⎢
⎥
(1 + μ ) ∂x 1 2
∂x 1 (1 − μ ) ⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
∇ 2 τ 22 +
2
∂X 2
μ ⎡ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎤
3 ∂ τ0
=2
−
+
+
⎢
⎥
2
(1 + μ ) ∂x 2
∂x 2 (1 − μ ) ⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
∇ 2 τ 33 +
2
∂X 3
μ ⎡ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎤
3 ∂ τ0
=2
−
+
+
⎢
⎥
2
(1 + μ ) ∂x 3
∂x 3 (1 − μ ) ⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
Por la transformación de las otras tres ecuaciones de compatibilidad del tipo:
2
∂ 2 ε1
∂ ⎡ ∂γ 23 ∂γ 31 ∂γ 12 ⎤
=
+
+
⎢−
⎥
∂x 2 x 3 ∂x ⎣ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎦
se puede llegar a expresiones del tipo:
⎡ ∂X
∂ 2 τ0
∂X 2 ⎤
3
= −⎢ 1 +
(1 + μ ) ∂x 1 x 2 ⎣ ∂x 2 ∂x 1 ⎥⎦
⎡ ∂X
∂ 2 τ0
∂X 3 ⎤
3
+
= −⎢ 2 +
(1 + μ ) ∂x 2 x 3 ⎣ ∂x 3 ∂x 2 ⎥⎦
∇ 2 τ12 +
∇ 2 τ 23
⎡ ∂X
∂ 2τ0
∂X 1 ⎤
3
= −⎢ 3 +
(1 + μ ) ∂x 3 x 1 ⎣ ∂x 1 ∂x 3 ⎥⎦
Si las fuerzas de masa X1 X 2 X 3 son nulas o constantes, las ecuaciones de Beltrami - Mitchell
∇ 2 τ 31 +
se reducen:
∂ 2τ0
(1 + μ )∇ τ11 + 3
=0
∂x 1
2
(1 + μ )∇ 2 τ 22 + 3
∂ 2τ0
(1 + μ )∇ 2 τ 33 + 3
∂ 2τ0
(1 + μ )∇ 2 τ12 + 3
∂ 2τ0
=0
∂x 1 x 2
(1 + μ )∇ 2 τ 23 + 3
∂ 2τ0
=0
∂x 2 x 3
(1 + μ )∇ 2 τ 31 + 3
∂ 2τ0
=0
∂x 3 x 1
∂x 2
∂x 3
2
2
=0
=0
El conjunto de las seis ecuaciones de compatibilidad expresadas en términos de tensiones
permite calcular las tensiones en un sólido elástico simplemente conexo.
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13
Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
Como son ecuaciones diferenciales se deben cumplir las condiciones de borde o contorno que
definen la solución para cada caso particular.
3 - 6: CAMPO NO ELÁSTICO.
Es claro que es imposible sostener indefinidamente la idea de que la Ley de Hooke es de
cumplimiento ilimitado. Ante un cierto tenor de deformaciones, el cuerpo se romperá y no
cumplirá más el mandato de proporcionalidad entre tensión y deformación. Ahora bien, no
solamente es la rotura la que limita la mencionada, existen materiales cuya relación constitutiva
se ve afectada por el tiempo, otros que presentan cambios en dicha relación a partir de un cierto
rango de tensiones y materiales que combinan ambos efectos. Sin pretender entrar en detalles,
podemos sintetizar algunas de las posibilidades que se presentan:
3-6-1 Campo de pequeñas deformaciones:
Material de Hooke: Es el desarrollado en el curso y la relación constitutiva viene dada
por
Tij = C ijkl : D kl con C ijkl = cte.
Material Viscoelástico: Este material presenta una elasticidad parcial y un
comportamiento viscoso combinado con el anterior. Este último provoca deformaciones no
elásticas y dependientes del tiempo siendo esta última fase crucial. La relación viene dada por:
Tij = Cijkl : D kl con Cijkl = Cijkl ( W, η, t ) (tan gente.)
donde W es potencial de tensiones (puede ser “u”), η viscosidad, t tiempo.
El diagrama es del tipo:
Dentro de este tipo de material se distinguen tres efectos a destacar:
Fluencia lenta (creep): A tensión constante, se producen deformaciones en el tiempo.
Relajación: A deformación constante, se produce una caída de tensión.
En resumen, la no linealidad viene dada porque al intervenir en la relación tensión
deformación tanto la deformación como la velocidad de deformación, la integral resulta en una
función no lineal.
Material Elastoplástico: Este material presenta un módulo de elasticidad que es función
del nivel de tensiones. A partir de un cierto valor, el módulo sufre un “desgaste” que genera
deformaciones plásticas permanentes.
EP
EP
EP
= C ijkl
Tij = C ijkl
: D kl con C ijkl
(F(σ), h ) (tan gente.)
donde F es modelo de rotura, h endurecimiento
El diagrama es del tipo:
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14
Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
Dentro de este tipo de material debe distinguirse la plasticidad perfecta (h=0) de la plasticidad
con endurecimiento y ablandamiento.
En resumen, la no linealidad proviene porque la matriz constitutiva tiene como insumo a la
tensión que pretendemos calcular con esta relación.
Material Viscoplástico: Este material es en realidad una regularización (entiéndase por
esto, una descripción matemática mas consistente) del anterior. Mediante una relación
constitutiva que depende del tiempo, se reproduce un comportamiento que, en t=infinito la
solución es igual al caso elastoplástico, esto es, el módulo agrega el tiempo + coeficiente η
(viscosidad):
VP
VP
VP
= C ijkl
Tij = C ijkl
: D kl con C ijkl
(F(σ), h , η, t ) (tan gente.)
La no linealidad proviene por lo mismo que el caso anterior, mas una integral en el tiempo de
la deformación que es una solución de tipo exponencial (no lineal).
3-6-2 Campo de deformaciones finitas:
Acá hay que distinguir dos tipos de enfoques. Aquellos que utilizan tensores referidos a las
coordenadas del cuerpo iniciales o no deformadas (materiales) y a los que usan las coordenadas
de las partículas después de la deformación (espaciales).
Material de Hooke: Cuando lo referimos a ejes materiales, las relaciones constitutivas
son muy parecidas en su formulación al problema de pequeñas. Son del tipo
Sij = C SL ijkl .L kl con C SL ijkl = cte.
La no linealidad se establece entre “T” y “u”, ya que en “L” intervienen derivadas segundas
de desplazamiento.
Si lo referimos a ejes espaciales, podemos expresar relaciones en tensiones – deformaciones o
tasas de tensiones - tasa de deformaciones.
Tij = C Tlijkl .l kl con C TIijkl = Variable (no usado).
•
•
⎧
PF
P
.
F
=
C
⎪
•
•
⎪
o algunas relaciones en tasas ⎨
τ = C τ D . D con D = R T D.R
⎪Jaumann, truesdell, etc = C J, Tr, etc..D
⎪
⎩
Los diagramas para estos casos son:
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15
Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
-1,5
DESCENSOS
-1,2
-0,9
-0,6
-0,3
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
CARGA
Elastico Peq. Def.
Elastico Gran. Def.
ElastoPlast. Peq. Def.
Elas.Plas. Gran.Def.
La no linealidad se establece entre “T” y “u” porque, o cambia el modulo o se debe integrar
en el tiempo ecuaciones diferenciales no lineales (dependientes de las tensiones y las tasas de
tensiones).
Material Viscoelástico: Este material combina efectos de la no linealidad de material
con la necesidad de formular el problema con algunos de los tensores de grandes deformaciones.
Son modelos de alta complejidad.
Material Elastoplástico: La combinación de efectos de plasticidad y grandes
deformaciones se puede hacer en ejes materiales o espaciales. La formulación mas usada es la
espacial pues se llega a ecuaciones parecidas a pequeñas. Un ejemplo de este tipo de diagramas
se ve en el anterior.
Material Viscoplástico: Idénticas consideraciones que el anterior.
3-6-3 Materiales reales y su modelado:
Los materiales tipo elastómero, plástico o vidrio pueden tratarse como viscoelásticos. Un
material muy usado en la construcción civil como lo es el hormigón se encuentra bastante bien
representado si se lo trata como vicosplástico o elastoplástico. En cambio, los aceros dúctiles, el
suelo o roca no presentan fenómenos importantes en el tiempo por lo que se comportan como
elastoplásticos.
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16
Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
PRÁCTICO DE RELACION TENSION - DEFORMACION
Problemas resueltos
Problema 1:
Dados los tensores de tensiones en el que se considera nula toda deformación en la que interviene el
eje 3 (estado plano de deformaciones), sin embargo existen tensiones en esa dirección (la 3, τ3 = μ(τ1 + τ 2 ) ):
2
x 1 − 3x 2
τ ij = 24 − 2x 1 x 2
0
a)
2
− 2x 1 x 2
2
2
x1 + x 2
0
0
0
2
2
2μ x 1 − x 2
(
)
Determinar las deformaciones ocasionadas suponiendo válida la ley de Hoke.
ε ij = (1 + μ )
τ ij
E
− μ.δ ij
τ kk
E
b) Verificar luego que se cumplan las condiciones de compatibilidad para el estado indicado (solo queda un
ecuación).
Solución:
a) ε ij = (1 + μ )
τ ij
E
− μ.δ ij
τ kk
E
Empecemos por:
τ + τ 22 + τ 33
τ11
− μ 11
E
E
τ + τ 22 + τ 33
τ
= (1 + μ ) 22 − μ 11
E
E
τ
γ 12 = 2(1 + μ ) 12
E
ε11 = (1 + μ )
ε 22
b)
∂ 2 γ 12
∂x 1∂x 2
2
= ∂ ε11
∂x 2
2
+ ∂ ε 22
2
∂x 1
2
(1 + μ )
= −4
∂x 1∂x 2
E
2
(1 + μ ) (4μ − 6)
∂ ε11
2 =
∂x 2
E
2
(1 + μ ) (2 − 4μ)
∂ ε 22
2 =
∂x 1
E
∂ 2 γ 12
−4
(1 + μ )
E
=
(1 + μ ) (4μ − 6 + 2 − 4μ)
E
Con lo que se prueba la identidad.
Problema 2:
A
D
D'
C'
A'
F2
En el bloque de hormigón de la figura, calcular la deformación
volumétrica.
F
Las fuerzas actúan sobre el plano 2 y 3.
E = 2,8 x 105
μ = 0,1
F = 12.000
Lado a del cubo = 15 cm
B'
F3
C
a)
F
B
Disponiendo fuerzas F2 = F3 = F 2
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Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
b) Tensiones: τ1 = 0 , τ 2 = τ3 = −
c)
F 2
a2
Deformación volumétrica: ε 1 + ε 2 + ε 3 =
Δv
= −1,45cm 3
v
Problema 3:
En el caso general de relación tensión deformación, la cantidad de constantes implicadas en la relación:
τij = Cij kl ε kl o T = C * D , llegan a 81. Probadas las simétricas, hiperelasticidad e isotropía, este
número desciende considerablemente. Responder:
a) Cuantas constantes reduce la simetría T y D (tomar caso triaxial)
b) Si se supone que existe W potencial elástico, que reducción se tiene? (tomar caso plano).
c) Asumiendo Isotropía, ninguna tensión normal será afectada por distorsiones, y ninguna tangencial
por elongaciones. Probar esto.
Soluciones:
a) Por simetría de T y D, el numero de incógnitas en ambos tensores es de 6. Las constantes se reducen de 9x9
(81) a 6x6 (36).
b) La existencia de un potencial indica: w = w (ε11 , ε 22 ,K)
w = τ11 ε11 + τ 22 ε 22 + 2τ12 γ 12
∂w
= τ11 c
∂ε11
∂w
= τ 22 d
∂ε 22
Aplicando Hooke:
∂w
∂ε11
∂w
τ 22 = C 21ε11 + C 22 ε 22 + K =
∂ε 22
∂τ11
∂τ
Derivando las expresiones:
= C12 ; 22 = C 21 e
∂ε 22
∂ε11
τ11 = C11ε11 + C12 ε 22 + K =
Pero sustituyendo c y
∂2w
= C12 ,
∂ε11∂ε 22
d en e
∂2w
= C 21
∂ε 22 ∂ε11
Pero si existe w, entonces las derivadas conjugadas son iguales: C12 = C21.
Así se demuestra la simetría de C, entonces las constantes pasan a ser 21 (en el espacio).
c)
Podemos analizar el problema por reducción al absurdo. Supongamos dos casos con la única diferencia de
tener ejes rotados:
1
τ11
2
Ea
τ22
τ12
τ22
τ22
τ11
τ11
1
Eb
τ12
τ21
τ11
2
τ21
c
τ22
d
Supongamos válidas las siguientes relaciones (se aplica la ley de Hooke):
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Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
EPT : ε 33 = − μ E (τ11 + τ 22 )
EPD : τ 33 = μ(τ11 + τ 22 )
⎧τ11 = .......... + C13 γ 12
c ⎪⎨τ 22 = .......... + C 23 γ 12
⎪τ = C γ
33 12
⎩ 12
Como hay Isotropía Cij
c
c
τ11 = C13
c
⎧τ11 = ......... + C 23 γ 12
d ⎪⎨τ 22 = ......... + C13 γ 12
⎪τ = C γ
33 12
⎩ 12
= Cij
γ12
c
d
esto implica.
d
d
=τ22 = C13
d
γ12
Pero, los signos de γ y τ son inversos en c y d
τ12
γ12
τ12
c
τ12
τ12
c
τ12
d
γ12
d
τ12
c
d
Por lo que se debería cumplir que C13 = - C13 ,
anulando el concepto de isotropía. Por lo que una tensión
normal no puede verse influida por γ. Aplicando el
concepto inverso, ningún τ puede depender de ε. Como a
su vez C es simétrica surge lo dicho en (b), quedará:
τ11 = C1ε11 + C12 ε 22 ⎫
⎪
τ 22 = C12 ε11 + C 2 ε 22 ⎬ aquí C1=C2 por definición de isotropía
⎪
τ12 = C 33 γ 12
⎭
Problemas propuestos
Problema 1:
Muestre que si un tensor Tij = δ ij en un sistema cartesiano, al rotar los ejes se cumplirá que Tpq = δ pq . (se prueba
así que el único tensor cartesiano de 2do. orden isotrópico es el delta de Kronecker).
Problema 2:
Se dice comúnmente que los ejes principales de tensiones y deformaciones coinciden cuando el material presenta
características isotrópicas en su relación constitutiva. Muestre que esto es verdad cuando un sólido elástico es
gobernado por una relación del tipo T ' ij = 2.G.ε ' ij , pero no necesariamente cuando la relación es gobernada por
T ' ij = 2.G.ε ' ij + 2η dε ' ij dt .
Problema 3:
Para el caso de elasticidad isotrópica en deformación plana, se cumple que:
1+ μ
ε11 =
[(1 − μ).τ11 − μ.τ 22 ]
E
1+ μ
ε12 =
.τ12
E
1+ μ
ε 22 =
[−μ.τ11 + (1 − μ).τ 22 ]
E
Con E modulo de elasticidad, μ modulo de Poisson. Use estas ecuaciones para escribir la ecuación de
compatibilidad en término de tensiones.
Problema 4:
El caso general de relación tensión - deformación para cuando existe una función potencial, viene dado por 21
constantes ( C ij = C ji ).
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Estabilidad IV -a
Capítulo 3:Relación Tensión-Deformación
⎡ C11
⎢C
⎢ 21
⎢C
[C] = ⎢ 31
⎢C 41
⎢C 51
⎢
⎢⎣C 61
C12
C13
C14
C15
C 22
C 23
C 24
C 25
C 32
C 33
C 34
C 35
C 42
C 52
C 43
C 53
C 44
C 54
C 45
C 55
C 62
C 63
C 64
C 65
C16 ⎤
C 26 ⎥⎥
C 36 ⎥
⎥
C 46 ⎥
C 56 ⎥
⎥
C 66 ⎥⎦
Si se presenta un plano de simetría elástica, mostrar como se modifica la matriz anterior.
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