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c
x x x x x x
x
d
b
n= número de espiras por unidad
de longitud
a
L
r r b r r c r r d r r a r r b r r
∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = BL = µ0 I enc
a
I enc = nLI
b
c
d
a
El número de espiras en el tramo L es nL
BL = µ 0 nLI
⇒ B = µ 0 nI = µ 0 I
L
n=
L
N= número total
de espiras
APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
Campo de un solenoide toroidal
Un solenoide toroidal es un solenoide con las espiras enrolladas en forma de
rosquilla (toroide).
Si el toroide tiene radio R, la longitud del solenoide
es L=2πR, entonces:
B=0
B=0
µ 0 I
B = µ 0 nI = µ 0 I =
L
2πR
N= número total
de espiras
El campo magnético afuera del anillo y en la región central
del anillo es 0.
28.38 Un solenoide toroidal tiene un radio interior r1=15 cm y un radio exterior
r2=18 cm. El solenoide tiene 250 espiras y una corriente de 8.5 A. ¿Cuál es la
magnitud del campo magnético a las distancias siguientes del centro del
toro?
a) 12 cm;
b) 16 cm;
c) 20 cm;
a) B = 0
Afuera del toroide
µ 0 I (4π 10 −7 Tm / A)(8.5 A)(250)
b) R = 0.16m B =
=
= 2.66 10 −3 T
2πR
2π (0.16m)
c) B = 0
Afuera del toroide
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Casi todos los dispositivos y máquinas modernas tiene circuitos eléctricos.
Sabemos que para que en un circuito circule una corriente se necesita una
fuerza electromotriz. En la mayoría de los dispositivos eléctricos la fuente NO
es una batería, sino una estación generadora de electricidad.
¿Cuál es la física en la que se apoya la producción de casi toda la energía
eléctrica que necesitamos?
La respuesta es un fenómeno conocido como inducción electromagnética: si el
flujo magnético a través del circuito cambia, se induce una f.e.m. y una
corriente en el circuito.
Un campo magnético que varía con el tiempo actúa como una fuente de campo
eléctrico.
EXPERIMENTOS DE INDUCCIÓN
Durante la década de 1830, varios experimentos con fem inducidas por medios
magnéticos fueron realizados por M. Faraday (Inglaterra) y J. Henry (Estados
Unidos).
S
Imán en reposo
N
S
Imán en movimiento
N
bobina
galvanómetro
Cuando el imán está
inmóvil, el medidor no
muestra corriente alguna
bobina
galvanómetro
Cuando se desplaza el imán hacia la
bobina o se aleja, el medidor muestra
una corriente en el circuito (sólo
mientras el imán está en movimiento)
A esto se le llama CORRIENTE INDUCIDA y la fem correspondiente se
llama FEM INDUCIDA
bobina
Se ha sustituido el imán por una segunda
bobina conectada a una batería. Cuando la
segunda bobina se desplaza respecto a la
primera bobina, hay corriente en la primera
bobina, pero sólo mientras una bobina se
mueve respecto a la otra.
galvanómetro
La segunda bobina está en reposo,pero se
puede cambiar la corriente en la segunda
bobina a través de un interruptor. Se observa
que al abrir o cerrar el interruptor hay un
pulso transitorio en el primer circuito.
bobina
galvanómetro
S
B
N
Se conecta una bobina a un galvanómetro y se coloca la
bobina entre los polos de un electroimán cuyo campo
magnético B se puede modificar. Se observa:
Cuando no hay corriente en el electroimán, de modo
que B=0, el galvanómetro no muestra corriente.
Cuando se conecta el electroimán, hay una corriente
transitoria a través del medidor conforme B aumenta.
galvanómetro
Cuando B se estabiliza en un valor constante, la
corriente decae a cero, no importa cuán grande sea B.
Con la bobina en un plano horizontal, se oprime de
modo que se reduzca su área. El medidor detecta
corriente sólo durante la deformación. Cuando se
aumenta el área hay corriente en el sentido opuesto,
pero sólo mientras el área de la bobina está cambiando.
Si se hace girar la bobina unos pocos grados en torno a un eje horizontal, el
medidor detecta corriente durante la rotación, en el mismo sentido que
cuando se redujo el área. Si se hace girar la bobina hacia su posición original,
hay corriente en sentido opuesto.
S
B
N
galvanómetro
Si se saca bruscamente la bobina del campo
magnético, hay corriente durante el movimiento, en el
mismo sentido que cuando se redujo su área.
Si se reduce el número de espiras de la bobina, hay
corriente durante el proceso, en el mismo sentido que
cuando se redujo el área. Si se enrollan más espiras,
hay una corriente en el sentido opuesto.
Cuando se desconecta el electroimán, hay una
corriente momentánea en el sentido opuesto al de la
corriente al momento de conectarlo.
Cuanto más rápidamente se efectúan estos cambios,
tanto más grande es la corriente.
Si se repiten estos experimentos con una bobina de
la misma forma pero de diferente material y con otra
resistencia, la corriente es proporcional a la resistencia
total del circuito. Las fem inducidas que crean la
corriente no dependen del material de la bobina, sino
sólo de su forma y del campo magnético.
LEY DE FARADAY
El elemento común en todos los efectos de inducción es el flujo magnético
cambiante a través de un circuito. El flujo del campo magnético a través de un
área es:
r r
Φ B = ∫ B ⋅ dA = ∫ BdA cos ϕ
Si B es uniforme en toda el área plana A:
Φ B = BA cos ϕ
LEY DE FARADAY DE LA INDUCCIÓN:
La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la relación
de cambio con respecto al tiempo del flujo magnético a través de la espira
dΦ B
ε =−
dt
El campo magnético entre los polos de un electroimán de la figura es
uniforme en todo momento, pero su magnitud aumenta en proporción de
0.02 T/s. El área de la espira que está en el campo es 120 cm2, y la
resistencia total del circuito, medidor y resistor incluidos, es de 5 Ω. La
normal al plano de la espira es paralela al campo B.
a) Halle la fem inducida y la corriente inducida en el circuito;
b) Si se sustituye la espira por una fabricada de un aislador, ¿qué efecto
tiene esto en la fem inducida y la corriente inducida?
r r
Φ B = B ⋅ A = BA cos(0) = BA
S
A
N
dΦ B
ε =−
dt
dΦ B d ( BA) dB
=
=
A = (0.02T / s )(0.012m 2 ) = 2.4 10 − 4 V
dt
dt
dt
Esto, aparte del signo, es la fem inducida ε:
2.4 10 −4 V
I= =
= 4.8 10 −5 A
R
5Ω
ε
Al cambiar a una espira de aislador, aumentamos mucho la resistencia R del
circuito. En la ley de Faraday no interviene R, por lo que la fem inducida no
cambia. Pero la corriente será más pequeña. Si el aislador es perfecto, la R es
infinita y la corriente inducida cero.
29.1 Una bobina rectangular con devanado compacto de 80 espiras tiene
dimensiones 25 cm x 40 cm. Se hace girar el plano de la bobina, e 0.06 s, de una
posición donde forma un ángulo de 37o con un campo magnético de 1.1 T, a una
posición perpendicular al campo. ¿Cuál es la fem promedio inducida en la
bobina?
r r
Φ B = B ⋅ A = BA cos ϕ
A φ
Φ Bi = BA cos(37) = (80)(1.1T )(0.1m 2 ) cos(37) = 7.024Tm 2
Φ Bf = BA cos(0) = (80)(1.1T )(0.1m 2 ) = 8.8Tm 2
A
∆Φ B Φ Bf − Φ Bi (8.8 − 7.024)Tm 2
ε =
=
=
= 29.6V
∆t
∆t
0.06s
29.6 Se coloca una bobina de 4 cm de radio con 500 espiras en un campo
magnético uniforme que varía con el tiempo según:
B = (0.012T / s )t + (3 10 −5 T / s 4 )t 4
La bobina está conectada a un resistor de 600Ω, y su plano es perpendicular
al campo magnético. No tenga en cuenta la resistencia de la bobina.
a) Halle la magnitud de la fem inducida en la bobina en función del tiempo.
b) ¿Cuál es la corriente en el resistor en el tiempo t=5 s?
B A = πR 2 = π (0.04m) 2 = 0.00502m 2
A
Φ B = BA cos(0) = BA = (500)(0.00502m 2 )[(0.012T / s)t + (3 10 −5 T / s 4 )t 4 ]
dΦ B
dB
= −A
= −(0.00502m 2 )[(0.012T / s) + 4(3 10 −5 T / s 4 )t 3 ] =
dt
dt
= −(0.032V + 3.02 10 − 4 t 3 (V / s 3 ))
ε =−
b)
ε (t = 5s ) = 0.032V + (3.02 10 −4 )(5)3V = 0.068V
I=
ε
R
=
0.068V
= 1.13 10 − 4 A
600Ω
DIRECCIÓN DE LA FEM INDUCIDA
La dirección de una fem o corriente inducida se halla con base en la ecuación de la ley de
Faraday más algunas reglas sencillas sobre signos:
o Defina una dirección positiva para el vector área A;
o Con base en las direcciones de A y de B, determine el signo del flujo magnético ΦΒ y su
rapidez de cambio dΦ/dt.
o Encuentre el signo de la fem o corriente inducida. Si el flujo aumenta, de modo que
dΦ/dt es positiva, la fem inducida es negativa. Si el flujo disminuye, dΦ/dt es negativa y
la fem inducida es positiva.
o Determine la dirección de la corriente inducida con la regla de la mano derecha (pulgar
en dirección de A, si la fem inducida es positiva tiene la dirección de los dedos doblados).
B creciente
φ A
B decreciente
φ A
A
φ
B creciente
Flujo positivo ΦB >0 Flujo positivo ΦB >0
dΦ/dt > 0
dΦ/dt < 0
fem negativa ε < 0
fem positiva ε > 0
A
φ
B decreciente
Flujo negativo ΦB < 0 Flujo negativo Φ < 0
B
dΦ/dt < 0
dΦ/dt > 0
fem positiva ε > 0
fem positiva ε < 0
Se coloca una bobina de alambre con 500 espiras circulares de 4 cm de radio
entre los polos de un electroimán, donde el campo magnético es uniforme y forma
un ángulo de 30o con la normal al plano de la bobina. El campo disminuye a razón
de 0.2 T/s. Calcule la magnitud y dirección de la fem inducida.
A φ
Φ B = BA cos 30 = B (πR 2 ) cos 30 = B (0.00503m 2 ) cos 30
dΦ B dB
=
A cos 30 = (−0.2T / s )(500)(0.00503m 2 ) cos 30 = (500)(−8.7 10 − 4 Tm 2 / s )
dt
dt
ε = −(500)(−8.7 10 − 4 Tm 2 / s) = 0.435V
La fem es positiva, entonces la corriente está en la dirección de los
dedos de la mano derecha, con el pulgar en dirección de A.
Bobina exploradora
Una manera práctica de medir la intensidad de un campo magnético se basa en
el uso de una pequeña bobina de N espiras, con devanado compacto, llamada
“bobina exploradora”. La bobina de área A, se sostiene inicialmente de modo
que su vector área esté alineado con un campo magnético de magnitud B. En
seguida se hace girar rápidamente la bobina un cuarto de vuelta en torno a un
diámetro, o bien se saca la bobina con rapidez del campo magnético.
Al principio, el flujo a través de la bobina es ΦB=NBA. Cuando se hace girar la
bobina o se saca del campo, el flujo disminuye rápidamente de NBA a 0. En
tanto que el flujo disminuye, hay una fem inducida transitoria y fluye una
corriente transitoria en un circuito conectado a la bobina. El cambio de flujo
total es proporcional a la carga total que circula alrededor del circuito. Se
puede medir esta carga y calcular B.
29.3 a) Deduzca la ecuación que relaciona la carga total Q que fluye en un por
una bobina exploradora con la magnitud del campo magnético B. La bobina
exploradora tiene N espiras, cada una con área A, y el flujo a través de la
bobina disminuye de su valor máximo inicial a cero en un tiempo ∆t. La
resistencia de la bobina es R, y la carga total es Q=I∆t, donde I es la
corriente inducida.
∆Φ B BA
Q
BA
ε=
=
= RI = R ⇒ Q =
R
∆t
∆t
∆t
29.4 El área de sección transversal de una bobina exploradora con devanado
compacto de 90 espiras es de 2.2 cm2 y su resistencia es de 6.8Ω. La bobina
se conecta a un instrumento medidor de corriente que tiene una resistencia
interna de 12Ω. Halle la cantidad de carga que se desplaza cuando se saca
rápidamente la bobina de una región donde B=2.05 T a un punto donde el
campo magnético es cero. El plano de la bobina forma un ángulo de 90o con el
campo magnético.
Φ Bi = BA Φ Bf = 0
A
∆Φ B = 0 − BA = − BA
B
− BA
Q
∆Φ B
= RI = R
=−
∆t
∆t
∆t
BA (90)(2.05T )(2.2 10 − 4 m 2 )
Q=
=
= 2.16 10 −3 C
R
(6.8 + 12)Ω
ε =−
GENERADOR I: ALTERNADOR SIMPLE
En un alternador simple, se hace girar una espira rectangular con rapidez
angular ω constante en torno a un eje en una región donde hay un campo
magnético constante y uniforme. El flujo de B a través de la bobina es
función del tiempo:
Φ B = BA cos ϕ = BA cos ωt
dΦ B
= BA(−ω sin ωt )
dt
dΦ
ε = − B = ωBA sin ωt
dt
La fem inducida varía de modo sinusoidal con el tiempo. Los alternadores se
conocen también como generadores de corriente alterna.