Materia Condensada

Condensada???
Condensada
???
Materia Condensada
Porque, para que, quienes,
como,cuando?
d ?
Marcelo Stachiotti
Ariel Dobry
[email protected]
dobry@ifir conicet gov ar
[email protected]
Horario de clases:
Lunes de 14.00 a 18.00 hs.
Jueves de 9.00 a 13.00 hs.
Materia Condensada 18 de marzo de 2009
http://www.fceia.unr.edu.ar/~matcon/
Bienvenidos a
Física del Estado Sólido
Presentación
Licenciatura en Física - ECEN
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - UNR
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Materia Condensada
5to año de la carrera de Lic. en Fisica
Administrador de la página: Marcelo
Stachiotti
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Materia Condensada 18 de marzo de 2009
Materia Condensada
Mecánica
Electromagnetismo
Mecánica Cuántica
Mecánica Estadística
Materia Condensada
Materia Condensada 18 de marzo de 2009
Materia Condensada
• Propiedades mecánicas
de sólidos
Comportamientos
emergentes
‘exóticos’:
exóticos :
Propiedades
termodinámicas
• Agujeros
en semiconductores
Propiedades
transporte
eléctrico
• Párticulas
conde
carga
y sin espin
(metales,semiconductores).
• Particulas
con 1/3 de la carga del electron
magnéticas.
• Propiedades magnéticas
• Superconductividad
Materia Condensada 18 de marzo de 2009
Nueva Física
fundamental
Ciencia de materiales
Programa de Materia Condensada
•
•
•
PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA (pdf)
OBJETIVOS:Conceptos básicos de estructura cristalina, tipos de uniones en elementos y
compuestos, dinámica de la red cristalina, el modelo del gas de electrones para metales,
bandas de energía electrónica y semiconductores
UBICACION EN LA CARRERRA Y CARACTERISTICAS GENERALES:Corresponde al 5o año de
la carrera. Se imparten los conocimientos teóricos básicos que permiten comprender el
comportamiento de la materia en estado sólido, en particular cristalino, frente a diversos tipos de
experiencias también descriptas en el curso. Abarca un área muy amplia de la Física que involucra
la mayor parte de sus aplicaciones tecnológicas. Requiere conocimientos obtenidos en
prácticamente toda la carrera, pero en mayor grado de las materias a continuación mencionadas
MATERIAS RELACIONADAS:Previas: Electromagnetismo, Mecánica del Continuo, Mecánica
Cuántica, Mecánica
Estadística
Simultáneas recomendadas:
Posteriores: Tópicos de Materia Condensada. Teoría de campos en Materia Condensada.
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Programa de Materia Condensada
CONTENIDO TEMATICO
1--Estructura cristalina
1.1-Nociones sobre la estructura microscópica de la materia en estado sólido.
1.2-Red primitiva o de Bravais.
1.3-Vectores base.
1 4-Celda unitaria primitiva y convencional
1.4-Celda
convencional.
1.5-Celda de Wigner-Seitz.
1.6-Ejemplos de las redes cúbicas.
1.7-Estructura cristalina.
1 8 Base o motivo
1.8-Base
motivo.
1.9-Ejemplos de estructuras con mas de un sitio en la base.
1.10-Red recíproca : definición, construcción, propiedades y ejemplos.
1.11-Zona de Brillouin.
1 12 A li
1.12-Aplicaciones
i
a lla representación
t ió d
de F
Fourier
i d
de propiedades
i d d cristalinas:
i t li
ffunciones
i
d
de variable
i bl
posición continua y discreta periódica (red).
1.13-Condiciones de contorno periódicas.
2-- Difracción en cristales
2.1-Distintos campos excitatrices con que se puede producir difracción en un cristal: rayos X, neutrones
y electrones.
2.2-Tratamiento general de la dispersión elástica de una onda plana monocromática en un cristal.
2.3-Factor de estructura geométrica.
2.4-Condiciones de difracción de Laue y de Bragg.
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Programa de Materia Condensada
2.5
2
5-Equivalencia
Equivalencia de ambas
ambas.
2.6-Planos de Bragg.
2.7-Índices de Miller.
2.8-Análisis de las posiciones atómicas: factor de forma atómico.
2.9-Métodos experimentales de difracción de rayos X: de Laue, de cristal rotatorio y de polvos.
3 – Cohesión
3.1-Revisión de la estructura electrónica de los elementos.
3.2-Concepto de energía de cohesión.
3.3-Nociones de los mecanismos de cohesión en los elementos.
3.4-Uniones metálicas, covalentes, de Van der Waals y moleculares.
3.5-Unión iónica en compuestos.
3.6-Ejemplos de covalencia e ionicidad en compuestos binarios simples.
3.7-Valores
3.7
Valores comparativos de energías de cohesión en elementos y compuestos iónicos.
3.8-Gases nobles: atracción de Van der Waals y repulsión por solapamiento de orbitales vecinos.
3.9-El potencial de Lennard-Jones.
3.10-Modelo para los cristales correspondientes a gases nobles : evaluación de las energías de cohesión,
distancias de equilibrio y módulos de compresibilidad
3.11-Cristales iónicos.
3.12-Potencial repulsivo de Born-Mayer.
3.13-La energía coulombiana : coeficientes de Madelung.
3 14 E l
3.14-Evaluación
ió d
de energías
í d
de cohesión,
h ió di
distancias
t
i d
de equilibrio
ilib i y módulos
ód l d
de compresibilidad.
ibilid d
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Programa de Materia Condensada
4 - Dinámica de la red cristalina
4.1-Separación de los grados de libertad electrónicos de los nucleares: la aproximación adiabática.
4.2-El potencial de la red: desarrollo en desplazamientos nucleares dinámicos y aproximación armónica.
4 3-Constantes de fuerza.
4.3-Constantes
fuerza
4.4-Ecuaciones clásicas de movimiento del cristal armónico.
4.5-Desarrollo de los desplazamientos en ondas planas y desacoplamiento formal de las celdas.
4.6-La matriz dinámica: propiedades, autovalores y autovectores.
4 7 Coordenadas normales
4.7-Coordenadas
normales.
4.8-Interpretación del desarrollo de los desplazamientos en modos normales.
4.9-Relaciones de dispersión.
4.10-Modos acústicos y ópticos.
4 11 R l ió con llas constantes
4.11-Relación
t t elásticas
lá ti
d
dell cristal.
i t l
4.12-El hamiltoniano en coordenadas normales.
4.13-Cuantificación.
4 14-Formalismo
4.14
Formalismo de operadores de creación y destrucción para bosones
bosones.
4.15-Fonones.
4.16-Termodinámica estadística del cristal armónico.
4.17-La función de partición y funciones de estado: energía libre, entropía y energía interna.
4 18 C l específico:
4.18-Calor
ífi
lílímites
it d
de alta
lt y b
baja
j ttemperatura.
t
4.19-Modelos de Debye y de Einstein.
4.20-Impulso cristalino.
g
de conservación en interacciones de fonones entre sí o con otras p
partículas o cuasipartículas.
p
4.21-Reglas
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Programa de Materia Condensada
4.22-Propiedades ópticas de aisladores.
4 23 L ffunción
4.23-La
ió di
dieléctrica
lé t i d
de lla red.
d
4.24-Efectos sobres modos ópticos transversales y longitudinales.
4.25-Relación de Lyddane-Sachs-Teller.
j
4.26-Reflectividad infrarroja.
5 - Modelo de electrones libres para metales
5.1-Tratamiento
5
1 T t i t cuántico.
á ti
5.2-La densidad de estados.
5.3-La energía de Fermi.
5.4-El nivel fundamental.
5.5-Paragnetismo de Pauli.
5.9-El potencial químico.
5.6-Estadística de Fermi-Dirac.
5 7 La energía interna
5.7-La
interna.
5.8-El calor específico.
5.10-Desarrollo de Sommerfeld.
p
con el calor específico
p
clásico y con la contribución de fonones.
5.11-Comparación
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Programa de Materia Condensada
6 - Modelo de electrones independientes
p
en un potencial
p
periódico
p
: teoría de
bandas
6.1-Teorema de Bloch. Funciones de Bloch.
6.2-Periodicidad de éstas y de sus autoenergías en el espacio recíproco.
6.3-Bandas de energía.
6.4-El estado fundamental.
g p de energías
g
p
prohibidas.
6.5-Posibilidad de un “gap”
6.6-Concepto de aislador. semiconductor y metal.
6.7-Nivel y superficie de Fermi.
6.8-Aproximación de electrones casi libres.
6.9-Esquema
6.9
Esquema de “red
red vacía
vacía”..
6.10-Perturbaciones de niveles aislados y de niveles casi-degenerados por un potencial periódico débil.
6.11-Efectos cerca de planos de Bragg.
6.12-Superficies de Fermi.
6 13-Zonas de Brillouin 2da
6.13-Zonas
2da, 3ra
3ra, etc
etc.
6.14-Esquemas de zonas reducida y extendida.
6.15-Aproximación de electrones fuertemente ligados (tight-binding).
6.16-Desarrollo de una función de Bloch como combinación lineal de orbitales localizados.
6 17 Integrales de solapamiento (overlap)
6.17-Integrales
(overlap), “hopping”
hopping , y energías de sitio.
sitio
6.18-Obtención de las bandas a partir de una matriz hamiltoniana.
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Programa de Materia Condensada
7 - Dinámica semiclásica y propiedades de transporte.
7.1-Valor de expectación de la velocidad de un electrón en un estado de Bloch.
7.2-Modelo semiclásico para la evolución de un estado de Bloch en un campo externo.
7 3 Ecuaciones de movimiento
7.3-Ecuaciones
movimiento.
7.4-Condiciones de validez.
7.5-Imposibilidad de que una banda completamente llena pueda contribuir a conducción: existencia de
aisladores,, semiconductores y conductores.
7.6-Concepto de agujero en una banda llena.
7.7-Tensor de masa efectiva.
7.8-Orbitas en campos magnéticos.
7 9 El modelo
7.9-El
d l d
de D
Drude
d modificado
difi d según
ú S
Sommerfeld.
f ld
7.10-Conceptos de colisiones y tiempo de relajación.
7.11-Condiciones de validez.
7.12-Movimiento en un campo externo casi uniforme.
7.13-Conductividad eléctrica estática y dinámica.
7.14-Excitación con una onda electromagnética.
7.14-Plasmones.
7.15-La función dieléctrica.
7.16-Relación con la conductividad.
7.17-Condiciones de propagación y de reflexión de una onda.
7.18-Efecto Hall.
7 18-Conductividad
7.18
Conductividad térmica
térmica.
7.19-Relación con la conductividad eléctrica: regla de Wiedemann-Franz.
7.20-Efecto Seebeck y poder termoeléctrico.
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Programa de Materia Condensada
7.21-La ecuación de transporte
p
de Boltzman
7.22-Soluciones de la ecuación linealizada en aproximación de tiempo de relajación.
7.23 Tensor de conductividad electrica.
7.24Contribución de las impurezas y los fonones a la conductividad eléctrica de un metal.
8 – Semiconductores
8.1-Conducción en un aislador de gap pequeño.
8.2-Valores típicos de gaps en semiconductores.
8.3-Caracterización macroscópica de un semiconductor.
8 4 C d ti id d iintrínseca
8.4-Conductividad
tí
y extrínseca.
tí
8.5-Gaps directos e indirectos.
8.6-Determinación.
8.7-Resonancia ciclotrónica.
8.8-Números de electrones de conducción y de agujeros en equilibrio térmico.
8.9-Ley de acción de masas.
8.10-Casos intrínseco y extrínseco.
p
del p
potencial q
químico
8.11-Comportamientos
8.12-Niveles de impurezas donoras y aceptoras: modelo hidrogenoide.
8.13-Poblaciones de niveles de impurezas.
8.14-Densidad de portadores en equilibrio térmico para semiconductores dopados.
9. Propiedades ópticas de sólidos
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Bibliografía
BIBLIOGRAFIA
a) Adecuada al programa.
- Solid State Physics,
Physics N.W.
N W Ashcroft and N
N.D.
D Mermin (Saunders College,
College Philadelphia,
Philadelphia
1976) (libro - 13.4 Mb)
- Introduction to Solid State Physics, C. Kittel (J. Wiley, 7a Edición, 1996) (libro - 13 Mb)
DjVu Viewer (bajar)
b)) Complementaria
p
para
p
profundización
p
o extensión de temas.
- Principles of the Theory of Solids, J.M. Ziman (Cambridge Univ. Press, 1972)
- Introduction to Solid State Theory,
Theory O.
O Madelung (Springer,
(Springer 1981)
- Solids: Elementary Theory for Advanced Students, Weinreich (J. Wiley, 1965)
- Solid State Physics, E.E. Hall (J. Wiley, 1974)
Texto de problemas :: Problemas de Física del Estado Sólido,
Sólido H
H.J.
J Goldsmid (1975)
Nota : Todos los textos enunciados se encuentran en la Biblioteca de la FCEIA.
Material adicional:
Software con el que trabajamos en clase
Solid State Simulation Proyect:
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Estructuras Cristalinas
C
Como
están
á ubicados
b d los
l átomos
á
en los
l sólidos?
ól d ?
En algunos minerales la estructura macroscópica lo denota
Cuarzo
´
a u
azufre
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Rubi
Estructuras Cristalinas
En metales la estructura cristalina no es
evidente porque forman policristales
La regularidad microscópica fue una hipotesis ad hoc hasta que recibió
confirmación
fi
ió experimental
i
t l mediante
di t difracción
dif
ió de
d Rx
R por Bragg
B
en 1913
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Redes Cristalinas
Estudiamos la geometría de arreglos regulares de puntos para aplicarlo a la
estructura atómica en sólidos
Una red de Bravais es:
1. Un arreglo infinito
f
de puntos discretos cuyas posiciones R están
á dadas
por:
R = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3
donde
a1, a2 y a 3 son tres vectores no coplanares, llamados vectores
primitivos, y l1 , l2 y l3 , números enteros.
2. Arreglo de puntos que se ve igual desde cualquiera de ellos.
1≡2
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Redes Cristalinas
Los vectores primitivos no son únicos:
Pero una vez elegidos los vectores primitivos todos los puntos tienen que
poder alcanzarse por combinaciones enteras (l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 ).
)
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Redes Cristalinas
No todo arreglo periódico de puntos es una red de Bravais
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Redes Cristalinas: ejemplos
CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO (BCC)
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Redes Cristalinas: ejemplos
CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS (FCC)
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Redes Cristalinas: ejemplos
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Redes Cristalinas: ejemplos
RED HEXAGONAL SIMPLE
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Celda primitiva
Una celda primitiva es un volumen del espacio que cuando se lo traslada
aplicandole todos los vectores de la RB, llena completamente el espacio
sin superposición.
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Celda primitiva
U celda
Una
ld primitiva
i iti posible
ibl es ell paralelepipedo
l l i d de
d lados
l d ai
r = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3
0 ≤ xi ≤1
Otra elección q
que respeta
p
las simetrias de la red es la de la celda de
Wigner-Seitz -> Es el conjunto de puntos que está más cercano a uno
dado de la red que a todos los otros.
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Celda de Wigner
Wigner--Seitz:
Seitz: Ejemplos
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Estructuras cristalinas
Red de Bravais+ motivo o base= Estructura Cristalina
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Estructuras cristalinas: ejemplos
DIAMANTE
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Estructuras cristalinas: ejemplos
HEXAGONAL COMPACTA (HCP)
Permite el apilamiento mas compacto de
esferas (igualmente que la fcc)
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Estructuras cristalinas: ejemplos
Dos formas de apilar esferas (fcc vs hcp): el problema del
verdulero.
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Estructuras cristalinas: ejemplos
LA ESTRUCTURA DEL CLORURO DE SODIO (FCC CON MOTIVO)
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Estructuras cristalinas: ejemplos
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Representación de Fourier de las propiedades cristalinas
Consideremos una función con la periodicidad de la red (como la
densidad electrónica):
f (r + R l ) = f (r)
f ( x + a ) = f ( x)
Comenzemos con un ejemplo en una
dimensión
Se puede desarrollar en una Serie de Fourier:
f (x) = ∑ fn e
i (2π / a) n x
ya que
n
f (x + a) = ∑ fn e
i (2π / a) n x i 2π n
e
= f (x)
n
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Representación de Fourier de las propiedades cristalinas
f ( x )e
− i ( 2π n / a ) x
e
u
q
a
y
dx
f ( x )e −i ( 2 π n / a ) x = ∑ f m
m
1
∫
0
1
a
a
∫
0
1
fn =
a
a
a
i ( 2 π / a )( m − n ) x
e
dx = f n
∫
a 0
14424 43
δ mn
Conviene introducir una red (de Bravais) unidimensional, con
dimensiones 1/L, mediante el vector primitivo b = (2π / a) i .
f ( x) =
∑
f n e i G n .r con G n = b n y r = i x
n
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Representación de Fourier de las propiedades cristalinas
Para el caso tridimensional tenemos:
f (r) = ∑ fG e
i G.r
G
G
e
iG .( r + R l )
=e
i G .r
.
s
i
a
v
a
r
B
e
d
d
e
R
e
l
p
m
o u
m c
o
c
f (r + R l ) = f (r ) ∀ R l ∈
⇒
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e
iG . R l
= 1︵ ︶
∗
︵
t
=
∑ l a .G .
1
i
π
o
r
e
t
n
e
.
22
G. R l =
︶
3
G
R
R
a
c
o
r
p
i
c
e
R
d
e
R
a
l
n
e
n
i
f
e
d
s
o
t
s
E
Red Reciproca: Definición
=
i
i
∴ a i .G = 2 π n i
Para verificarlo vemos que
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vc
La RR es una red de Bravais con
vectores primitivos dados por:
Red Reciproca: Definición
G = g1b1 + g 2b 2 + g 3b 3
)
gi
2
(
G.R l = g1l1 + g 2l2 + g 3l3
o
r
e
t
n
e
Entonces
π
O sea G cumple (*) que define la RR
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Red Reciproca: ejemplos
CS[a]
CS[2π/a]
bcc[a]
fcc[4π/a]
fcc[a]
bcc[4π/a]
Hexagonal[a,c]
Hexagonal[a
c]
Hexagonal[ 2π / 3 a, 2π / c]
rotada 30 en torno a c
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Zona de Brillouin
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Conección planos de la RB con RR
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Conección planos de la RB con RR
Teorema(equivalencia planos RR, direcciones RB)
Para cualquier familia de planos separados una distancia d,
existen
i t vectores
t
en la
l RR perpendiculares
di l
a llos planos.
l
El
más corto de ellos tiene modulo 2 π /d.
Inversamente, para cualquier vector G de la RR, existe una
familia de planos normales a G y separados una distancia d,
donde 2 π /d es la longitud del vector de la RR más corto
paralelo G .
p
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Índices de Miller
Es posible entonces etiquetar una familia de planos en la RB con
tres enteros ‘índices de Miller’ (hkl) de forma que G=hb1+kb2+lb3
sea el vector de la RR más corto perpendicular a la familia.
Las redes cúbicas (sc, fcc o bcc) es conveniente describirlas
como cúbicas(eventualmente)
(
) con motivo. Como todo p
plano de la
fcc o bcc lo es de la sc subyacente podemos definir los índices de
Miller para esta última
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Índices de Miller
En estos casos pueden interpretarse los índices de Miller sobre la
red directa como los 3 enteros sin factor común que están en la
misma relacion que la inversa de las coordenadas donde el plano
corta a los ejes .
G.r = A
G.xi a i = A
A
x1 =
2πh
o
n
a
l
p
l
e
d
n
ó
i
c
a
u
c
e
G = h b1 + k b 2 + l b 3
G.a1 = 2πh G.a 2 = 2πk G.a 3 = 2πl
A
x2 =
2πk
A
x3 =
2πl
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