Circuitos Eléctricos RL RC y RLC

Circuitos Eléctricos RL RC y
RLC
Resumen.
Andrés Felipe Duque
223090
Grupo:10
En esta práctica podremos
analizar básicamente los
circuitos RLC donde se
acoplan
resistencias,
capacitores e inductores, y
algunas de las principales
características de estos.
Podremos analizar en este
laboratorio:
La influencia que tienen los
condensadores, las resistencias y
las bobinas en el desarrollo de los
circuitos eléctricos.
Circuitos RL
Abstract
In this practice we basically
analyze RLC circuits which
are
coupled
resistors,
capacitors and inductors,
and some of the main
features of these.
Objetivos:
Comprender, conocer y
analizar las similitudes y
diferencias de los circuitos
RL, RC, y RLC.
Analizare intentar
comprender el
comportamiento que tienen
estos elementos en la
elaboración de circuitos
electrónicos y su posible
utilización.
Figura 1. Circuito RL es serie. El generador de
señales suministra el voltaje V en
forma de una onda cuadrada.
Consideremos el circuito de la
figura 1, en el cual una bobina de
inductancia L está conectada en
serie con una resistencia R y con
un
generador
de
señales.
Suponiendo que la corriente I
circule como se muestra en la
figura, según la ley de Kirchhoff
para voltajes se tiene que
(1)
V = VR + VL
O bien
(2)
VL + VR - V = 0
Donde
(11) VL = V e-tR/L
La ecuación (11) describe el
comportamiento del voltaje VL en la
bobina.
(3) VL = L dI / dt
(4) VR = I.R
Con (3) y (4), la ecuación (2) se
puede escribir como
(5) L dI /dt + IR - V = 0
Esta ecuación
como solución
diferencial
Una representación gráfica de las
ecuaciones (10) y (11) se puede
observar en la figura 2.
tiene
(6) I (t) = A e-tR/L + V / R
A: es una constante y a la relación
L/R se llama tiempo de vida media.
En el momento de prender el
circuito (t = 0) no circula corriente
todavía (I = 0) y en tales
condiciones la ecuación (6) se
reduce a:
Figura 2. Representación gráfica de las
ecuaciones (11) y (12).
Para un circuito RC
(7) 0 = A + V/R
Esto permite calcular la constante
A:
(8) A = - V/R
con la cual la ecuación se escribe
ahora de la siguiente manera:
(9) I (t) = (V/R)[ 1 - e-tR/L ]
Teniendo en cuenta que VR = IR, la
ecuación anterior se transforma en
(10) VR = V ( 1 - e-tR/L )
Utilizando las ecuaciones (3) y (9)
se puede obtener fácilmente el
valor del voltaje
VL en la bobina:
Figura 3. Circuito RC en serie, alimentado por
un generador de señales.
El circuito de la figura 3 muestra un
condensador y una resistencia
óhmica conectados en serie con un
generador de señales. Suponiendo
que la corriente I circula en la
dirección indicada, la aplicación de
la segunda ley
establece que
de
Kirchhoff
(12) V = IR + Q/C
Ecuación en la cual I = dQ/dt
La solución de
diferencial es
esta
ecuación
(13) Q(t) = C.V ( 1 - e-t/RC )
Que describe el comportamiento de
la carga del condensador en el
tiempo.
Figura 4. Representación
ecuaciones (15) y (16).
gráfica
de
las
Circuitos RLC
Puesto que la corriente en el
circuito es I = dQ/dt , es fácil
obtener a partir de la ecuación (13)
el comportamiento de I en función
del tiempo:
(14) I = ( V/ R) e-t/RC
Teniendo en cuenta que VR = I.R y
VC = Q/ C, se puede calcular la
caída de potencial en la resistencia
R y en el condensador C utilizando
las ecuaciones (13) y (14).
Figura 5. Circuito RLC en serie, alimentado por
un generador de señales.
(15) VR = V.e-t/RC
(16) VC = V ( 1 - e-t/RC )
La ecuación (15) y (16) describen
el comportamiento del voltaje en la
resistencia R y en el condensador
C como una función del tiempo.
Estos
comportamientos
están
representados gráficamente en la
figura 4.
En los circuitos RLC se acoplan
resistencias,
capacitores
e
inductores. Existe también un
ángulo de desfasaje entre las
tensiones y corrientes (y entre las
potencias), que incluso puede
llegar a hacerse cero. En caso de
que las reactancias capacitivas e
inductivas sean de distinto valor
para
determinada
frecuencia,
tendremos
desfasajes.
Dependiendo
de
cuál
de
las
reactancias sea mayor podremos
afirmar si se trata de un circuito con
características
capacitivas
o
inductivas y por lo tanto si la
tensión adelanta a la corriente (y
con qué ángulo) o si la corriente
adelanta a la tensión. Pero para
poder comprender adecuadamente
este tipo de circuitos es de vital
importancia comprender primero
algunos aspectos y nociones
básicas de los circuitos RL.
OSCILACIONES EN UN
CIRCUITO LC
En un tiempo igual a cero, la carga
en el condensador es máxima y la
energía almacenada en el campo
eléctrico entre las placas es U =
Q2máx/(2C). Después de un
tiempo igual a cero, la corriente en
el circuito comienza a aumentar y
parte de la energía en el
condensador se transfiere al
inductor.
Cuando
la
carga
almacenada en el condensador es
cero, la corriente es máxima y toda
la energía está almacenada en el
campo eléctrico del inductor. Este
proceso se repite de forma inversa
y así comienza a oscilar.
En un tiempo determinado, la
energía total del sistema es igual a
la suma de las dos energías
(inductor y condensador): U = Uc +
UL. Quedando:
(17) U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )
Figura 6. Circuito LC en serie, circuito oscilante.
CIRCUITO RLC
Cuando
un
condensador se
conecta a un inductor, luego de
haberse cargado con una fuente de
tensión, tanto la corriente como la
carga del condensador oscila.
Cuando existe una resistencia, hay
una disipación de energía en el
sistema porque una cuanta se
convierte en calor en la resistencia,
por lo tanto las oscilaciones son
amortiguadas. Por el momento, se
ignorará la resistencia.
Un circuito RLC es aquel que tiene
como
componentes
una
resistencia, un condensador y un
inductor conectados en serie En un
tiempo igual a cero, el condensador
tiene una carga máxima (Qmáx).
Después de un tiempo igual a cero,
la energía total del sistema está
dada por la ecuación presentada
en la sección de oscilaciones en
circuitos LC
(17) U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )
En las oscilaciones en circuitos LC
se había mencionado que las
oscilaciones no eran amortiguadas
puesto que la energía total se
mantenía constante. En circuitos
RLC, ya que hay una resistencia,
hay oscilaciones amortiguadas
porque hay una parte de la energía
que se transforma en calor en la
resistencia.
El cambio de la energía total del
sistema dependiendo del tiempo
está dado por la disipación de
energía en una resistencia:
(18) dU/dt = − I2R
Luego se deriva la ecuación de la
energía total respecto al tiempo y
se remplaza la dada: LQ´ + RQ´ +
(Q/C) = 0
amortiguamiento es mayor que la
producida por la elasticidad que en
este caso es la producida por la
unión
LC. Para el circuito
críticamente amortiguado(Figura 9.)
se presenta que la tensión de
amortiguamiento es igual a la
producida por la elasticidad y
finalmente el subamortiguado la
tensión de amortiguamiento es
menor a la producida por la
elasticidad u oscilación, este se
puede asemejar fácilmente a un
comportamiento mecánico muy
tradicional, un resorte es un
ejemplo de este tipo de oscilación,
al aplicarle una fuerza externa y
luego
liberarlo
la
grafica
representativa de su movimiento
será igual a la de la Figura 7.
Se puede observar que el circuito
RCL tiene un comportamiento
oscilatorio amortiguado:
(19) m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0
Si se tomara una resistencia
pequeña, la ecuación cambiaría a :
(20) Q = Qmáx e −(Rt/2L)Cos wt
Figura 7. Grafica representativa de un circuito
RLC subamoriguado.
(21) w = [ (1/LC) − (R/2L)2 ] 1/2
Entre más alto el valor de la
resistencia, la oscilación tendrá
amortiguamiento más veloz puesto
que absorbería más energía del
sistema. Si R es igual a (4L/C) ½ el
sistema
se
encuentra
sobreamortiguado(Figura 8.), es
decir que la tensión
de
Figura 8. Grafica representativa de un circuito
RLC sobreamortiguado.
Figura 9. Grafica representativa de un circuito
RLC críticamente amortiguado
Conclusiones
Cuando tenemos un circuito
RC en serie, el condensador
toma toda la energía de la
fuente y la almacena entre
sus placas en forma de un
campo eléctrico, el proceso
de carga de este sucede en
forma exponencial y al
momento de estar 100%
cargado, este desaparece
virtualmente del circuito,
comportándose como un
circuito
abierto,
en
el
momento en que este
elemento entrega su energía
almacenada al circuito, su
descarga también sucede en
forma exponencial hasta que
este
entrega
toda
su
energía. Se calcula que
tanto el proceso de carga
como de descarga está
completo casi en su totalidad
al transcurrir entre unas 5T a
6T.
Cuando tenemos un circuito
RL en serie, sucede algo
similar
que
con
el
condensador, el inductor de
igual manera almacena la
energía de la fuente, pero
este
desaparece
virtualmente comportándose
como un corto circuito y
almacena la energía en
forma de campo magnético,
de igual forma su carga y
descarga sucede de forma
exponencial y también se
calcula que estos 2 procesos
están en casi su totalidad al
transcurrir entre 5T y 6T con
T igual a taos.
En un circuito RLC se
pueden dar 3 casos de
amortiguamiento que son:
subamortiguado,
sobreamortiguado
y
críticamente
amortiguado,
dependiendo de la relación
entre los componentes del
circuito.
El comportamiento de un
circuito RLC subamortiguado
se
asemeja
al
comportamiento mecánico
de un resorte, al liberarlo
después de aplicarle una
fuerza externa.
Referencias bibliográficas.
[1] Sears, Francis W; Zemansky, Mark W;
Young, Hugh D; Freedman, Roger A; Física
Universitaria; “Movimiento en línea recta” y
“Movimiento en dos y tres dimensiones”;
undécima edición; volumen 2; Pearson
Educación, México, 2004.
[2] Serway, Raymond A; Beichner, Robert J;
Física
Para
Ciencias
e
Ingeniería;
“Movimiento
en
una
dimensión”
y
“Movimiento en dos dimensiones”; quinta
edición; tomo 2; McGraw-Hill, México, 2004.