funciones definidas a trozos

CALCULO DEL DOMINIO DE FUNCIONES:
Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f ( x) 
x3
 x2  4
b) g ( x)  2
x2
x 1
SOLUCIÓN:
x3
Es una función con raíz cuadrada, por lo tanto hay que estudiar
x2
para que valores “lo de dentro” de la raíz es positivo o igual a cero, es decir hay que
x3
resolver la inecuación:
 0 , es una inecuación racional, hay que buscar las raíces
x2
del denominador y del denominador, la recta queda dividida en diferentes intervalos y
tendremos que mirar cual es el signo de la función en cada uno de los intervalos en los
que queda dividida.
Numerador: x + 3 = 0 para x = -3
Denominador: x – 2 = 0 para x = 2
f ( x) 
Intervalo
Signo de
(-  ,-3)
-3
(-3,2)
+
0
-
x3
x2
2
(2,  )
+
Dom(f(x)) = (-  ,-3] U (2,  )
 x2  4
Esta función es más sencilla, ya que no tiene raíz, solo es una
x2 1
fracción algebraica, el único problema lo tenemos en las raíces del denominador, lo
números en lo que el denominador es igual a cero, son lo que debemos eliminar del
dominio, ya que no podemos dividir entre cero.
Denominador: x2 – 1 = 0, tiene dos soluciones: x = - 1 y x = 1
Dom(g(x)) =  - {-1,1}
g ( x) 
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS:
Representa y haz el estudio de la siguiente función definida a trozos:
 x 2  4 x  3 si x  1

f ( x)   1
si  1  x  1
 2 x  1
si x  1

SOLUCIÓN:
Lo primero que tenemos que hacer es dar valores para cada una de las ramas, para ello
debemos saber de que tipo de función hablamos en cada caso.
f1(x) = x2 + 4x + 3 Es una parábola, por lo tanto hay que debemos buscar en ella el
b
vértice: recuerda la coordenada x del vértice viene dada por: Vx =
, en nuestro
2a
4
 2 . Construimos la tabla de valores, dando dos valores a la derecha
2
del vértice y dos valores a la izquierda.
También puedes calcular los puntos de corte con el eje x f1(x) = 0
caso. Vx =
f1(x)
x
y
-4
3
-3
0
-2
-1
-1
0
0
3
f2(x)
x
y
-1
1
0
1
1
1
f3(x)
x
y
1
-1
2
-3
f2(x) = 1 Es una constante y vale uno para cualquier valor:
f3(x) = -2x + 1 Es una recta, sabemos que con dos valores nos vale para representarla,
pero mejor damos tres para asegurarnos que están alineados y no nos hemos
confundido, como puedo coger los valores “x” que quiera, cojo valores a partir de su
dominio de definición, es este caso a partir de 1.
Ahora ya podemos representar la función completa, cada
una en su dominio de definición (es decir, donde está
definida).
Estudio de la función:
1. Dominio y recorrido:
Dom(f(x)) =  – {-1}
Im(f(x)) = 
2. Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X: y = 0. El punto de corte es (-3,0) ¡Cuidado en (-1,0) no corta, ya que el
-1 no está en el dominio de la función!
Con el eje Y: x = 0. El punto es (0,1)
3. Monotonía:
Aquí debemos estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (también
diremos donde la función es constante) recuerda que el estudio se hace en el eje X
y los intervalos SIEMPRE son abiertos.
Crecimiento: (-2,-1)
Decrecimiento: (   ,-2) U (1,  )
Constante: (-1,1)
4. Extremos:
Aquí estudiamos los máximos y los mínimos relativos y absolutos.
Esta función no tiene máximos y tiene un mínimo relativo en x = -2, y = -1
5. Continuidad:
La función tiene dos discontinuidades, es decir es continua para todos los valores
salvo para x = -1 y x = 1. (No es necesario en este nivel que digamos que tipo de
discontinuidad tenemos, pero las dos discontinuidades son de salto finito).
3
-5
FUNCIONES RACIONALES:
Representa la siguiente función y haz el estudio completo de ella:
h( x ) 
2x  4
x 1
SOLUCIÓN:
Es una función racional con grado uno en el numerador y en el denominador, por lo
que sabemos que es una hipérbola, debemos buscar antes de nada sus asíntotas.
A.V. En este caso igualamos el denominador a cero, las asíntotas verticales se pueden
encontrar en los puntos en los que se anula en denominador, en las hipérbolas es ahí
donde se encuentran: x - 1 = 0 x = 1
A.H. Como el numerador y denominador son cero, la asíntota horizontal se encuentra
2
en la recta y = al cociente de los coeficientes de las “x”
y=2
1
Construimos la tabla de valores para representar la función, para ellos damos tres
valores a la “x” a la derecha de la A.V. y otros tres a la izquierda
x
y
-2
0
-1
-1
0
-4
1
2
8
3
5
4
4
Dibujamos: Con estos valores y las asíntotas ya
podemos representar la función.
Estudio de la función:
1. Dominio y recorrido:
Dom(f(x)) =  – {1}
Im(f(x)) =  – {2}
2. Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X: y = 0. El punto de corte es (-2,0).
Con el eje Y: x = 0. El punto es (0,-4).
3. Monotonía:
Aquí debemos estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, recuerda
que el estudio se hace en el eje X y los intervalos SIEMPRE son abiertos.
Crecimiento: No tiene intervalos de crecimiento
Decrecimiento: (   ,1) U (1,  ) =  – {1}
4. Extremos:
Aquí estudiamos los máximos y los mínimos relativos y absolutos.
Esta función no tiene máximos ni mínimos ni relativos ni absolutos.
5. Continuidad:
La función tiene una discontinuidad, es decir es continua para todos los valores
salvo para x = 1. (No es necesario en este nivel que digamos que tipo de
discontinuidad tenemos, pero la discontinuidad es de salto infinito).