Conjuntos ordenados. Retículos y álgebras de Boole.

Capítulo 3
Conjuntos ordenados. Retículos y
álgebras de Boole.
3.1.
Conjuntos ordenados.
Definición 32. Sea X un conjunto, y ≤ una relación binaria en X. Se dice que ≤ es una relación de
orden si se verifican las siguientes propiedades:
Reflexiva x ≤ x para todo x ∈ X.
Antisimétrica Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.
Transitiva Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.
Si X es un conjunto en el que tenemos definida una relación de orden ≤, se dice que (X, ≤) es un
conjunto ordenado (o, si está claro cual es la relación ≤ se dice simplemente que X es un conjunto
ordenado).
Si ≤ es una relación de orden en X que satisface la propiedad adicional de que dados x, y ∈ X
entonces x ≤ y ó y ≤ x, se dice entonces que ≤ es una relación de orden total, y que (X, ≤) (o X) es
un conjunto totalmente ordenado (en ocasiones, para destacar que (X, ≤) es una relación de orden, pero
que no es total se dice que ≤ es una relación de orden parcial y que (X, ≤) es un conjunto parcialmente
ordenado).
Ejemplo 3.1.1.
1. El conjunto de los números naturales, con el orden natural (m ≤ n si existe k ∈ N tal que n = m+k)
es un conjunto totalmente ordenado. De la misma forma, también lo son (Z, ≤), (Q, ≤) y (R, ≤).
2. Dado un conjunto X, entonces P(X), con el orden dado por la inclusión es un conjunto ordenado.
Si X tiene más de un elemento, este orden no es total, pues dados x, y ∈ X distintos se tiene que
{x} 6⊆ {y} y {y} 6⊆ {x}.
3. En el conjunto de los números naturales, la relación de divisibilidad es una relación de orden que
no es total. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros esta relación no es de orden pues
no es antisimétrica, ya que 2| − 2, −2|2 y sin embargo 2 6= −2.
4. Para cualquier número natural n consideramos el conjunto
D(n) = {m ∈ N : m|n}
Entonces (D(n), |) es un conjunto (parcialmente) ordenado.
69
70
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
5. Sea (X, ≤) es un conjunto ordenado, e Y un subconjunto de X. Definimos en Y el orden x ¹ y
si x ≤ y (vistos como elementos de X). Entonces, (Y, ¹) es un conjunto ordenado. De ahora en
adelante, el orden en Y lo denotaremos igual que en X.
Si (X, ≤) es un conjunto totalmente ordenado, entonces, para cualquier Y ⊆ X se tiene que (Y, ≤)
es un conjunto totalmente ordenado.
La definición de conjunto ordenado puede hacerse también a partir de la noción de orden estricto.
Definición 33. Sea X un conjunto, y < una relación binaria en X. Se dice que < es un orden estricto
si se verifican las siguientes propiedades:
Antirreflexiva Para cualquier x ∈ X se tiene que x 6< x.
Transitiva Si x < y e y < z entonces x < z.
Es fácil comprobar que si ≤ es una relación de orden en un conjunto X, entonces si definimos
x < y si x ≤ y y x 6= y
se tiene que < es una relación de orden estricto en X.
De la misma forma, si < es una relación de orden estricto en X entonces la relación siguiente:
x ≤ y si x < y o x = y
es una relación de orden en X.
Vemos entonces que los conceptos de relación de orden y relación de orden estricto son equivalentes,
pues dada una relación de orden tenemos determinada una relación de orden estricto y viceversa. Además,
los caminos para pasar de orden a orden estricto, y de orden estricto a orden, son uno el inverso del otro.
A continuación vamos a construir un grafo (dirigido) asociado a una relación de orden. Aún cuando
los grafos serán estudiados con posterioridad, la representación de una relación de orden mediante este
grafo ayuda a visualizar mejor el orden dado.
Definición 34. El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado (X, ≤) es un grafo dirigido cuyos vértices
son los elementos de X, y existe un lado de x a y si x < y y no existe z tal que x < z < y.
El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado está definido para cualquier conjunto ordenado. Sin
embargo, en general dicho diagrama no permite recuperar el orden. Por ejemplo, en el caso del conjunto
(R, ≤), dado cualquier x ∈ R no existe ningún y ∈ R que esté conectado a x por algún lado.
Sin embargo, si el conjunto X es finito, entonces dados x, y ∈ X se tiene que x ≤ y si x = y o existe
algún camino que parta de x y termine en y.
Una forma habitual de representar el diagrama de Hasse es dibujar los lados como líneas ascendentes,
lo que implica colocar los vértices de forma apropiada.
Ejemplo 3.1.2.
1. Consideramos el conjunto ordenado (P({1, 2}, ⊆). Entonces el diagrama de Hasse sería:
Departamento de Álgebra
3.1. Conjuntos ordenados.
71
{1, 2}
Ä ???
Ä
??
Ä
Ä
?
ÄÄ
{1}
{2}
??
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
∅
2. Vamos a representar los diagramas de Hasse de los conjuntos ordenados P({1, 2, 3}) y D(30).
{1, 2, 3}
??
??
ÄÄ
Ä
??
Ä
ÄÄ
{1, 2} {1, 3} {2, 3}
?? Ä ?? Ä
??ÄÄ
?Ä?Ä
Ä?
Ä?
ÄÄ ? ÄÄ ?
{2}
{3}
{1}
??
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
∅
30
Ä ???
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
Ä
Ä
6?
10
15
?? ÄÄ ??? ÄÄ
??Ä
?Ä
ÄÄ??
ÄÄ??
ÄÄ ? ÄÄ ?
2?
5
3
??
ÄÄ
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
1
Observa como la estructura de conjunto ordenado es igual en ambos casos.
3. Cualquier grafo dirigido que no contenga caminos cerrados es el diagrama de Hasse de un conjunto
ordenado. Así, dado el grafo dirigido
a
b
Ä
Ä
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
c?
e
d?
??
?? ÄÄ
??
??ÄÄ
??
Ä?
? ÄÄÄ ??
g
f
Ä
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
h
Äi
ÄÄ
Ä
ÄÄ
ÄÄ
j
tenemos definido un orden en el conjunto X = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. Con este orden se tiene, por
ejemplo que
h ≤ e pues tenemos un camino h − f − e que empieza en h y termina en e.
i ≤ a, pues el camino i − g − d − a empieza en i y termina en a.
i 6≤ e, pues ningún camino empieza en i y termina en e.
Definición 35. Sea (X, ≤) un conjunto ordenado.
1. Un elemento x ∈ X se dice que es maximal, si no existe y ∈ X tal que x ≤ y y x 6= y.
2. Un elemento x ∈ X se dice que es máximo, si para todo y ∈ X se verifica que y ≤ x.
De la misma forma se puede definir lo que es un elemento minimal y lo que es un mínimo.
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Ejemplo 3.1.3. En el último conjunto ordenado del ejemplo anterior se tiene que a y b son elementos
maximales, pues no hay ningún elemento que sea mayor que ellos. Sin embargo, el conjunto X no tiene
máximo.
El elemento j es un elemento minimal, y además es mínimo.
72
Nótese, que si un conjunto tiene máximo, entonces este es único. Además, en el caso de que tenga
máximo, entonces tiene sólo un elemento maximal, que coincide con el máximo.
Idéntica observación vale para mínimo y elemento minimal.
Denotaremos por máx(X) al máximo del conjunto X, en el caso de que exista, y por mín(X) al
mínimo.
En el ejemplo que nos ocupa, no existe máx(X), mientras que mín(X) = j.
Definición 36. Sea (X, ≤) un conjunto ordenado, e Y un subconjunto de X. Consideramos en Y el
orden inducido de X.
1. Un elemento x ∈ X se dice que es cota superior de Y si x ≥ y para todo y ∈ Y .
2. Un elemento x ∈ X se dice que es supremo de Y si es el mínimo del conjunto de las cotas superiores
de Y .
De la misma forma se define lo que es una cota inferior y un ínfimo.
Ejemplo 3.1.4. Si X = {a, b, , d, e, f, g, h, i, j} con el orden dado anteriormente, e Y = {c, d, f, g, h}
entonces:
El conjunto de las cotas superiores de Y es {a}.
Puesto que este conjunto tiene mínimo, que es a, entonces a es el supremo de Y .
Los elementos c y d son elementos maximales de Y .
El conjunto de las cotas inferiores es {h, j}.
De estas, h es el máximo, luego h es el ínfimo de Y .
h es además el único elemento minimal y el mínimo de Y .
Cuando un conjunto tiene supremo éste es único. Podemos entonces hablar de el supremo de Y , y lo
representaremos mediante sup(Y ).
De la misma forma, denotaremos por ínf(Y ) al ínfimo del conjunto Y cuando exista.
Cuando un conjunto tiene máximo, entonces también tiene supremo, y coincide con él. En el último
ejemplo vemos como el recíproco no es cierto, pues Y tiene supremo pero no tiene máximo.
Cuando el supremo de un conjunto pertenezca al conjunto, entonces será también el máximo.
Definición 37 (Buen orden). Sea (X, ≤) un conjunto ordenado. Se dice que ≤ es un buen orden si todo
subconjunto no vacío de X tiene mínimo. En tal caso, se dice que (X, ≤) (o X) es un conjunto bien
ordenado.
Observación: Todo conjunto bien ordenado es un conjunto totalmente ordenado, pues dados dos
elementos x, y ∈ X el subconjunto {x, y} tiene mínimo. Si mín({x, y}) = x entonces x ≤ y, mientras que
si mín({x, y}) = y entonces y ≤ x.
El recíproco no es cierto. Busca un ejemplo.
Departamento de Álgebra
3.1. Conjuntos ordenados.
73
Ejemplo 3.1.5. El conjunto de los números naturales, con el orden usual, es un conjunto bien ordenado,
como demostramos en el teorema 1.1.1
Definición 38. Sean (X1 , ≤1 ) y (X2 , ≤2 ) dos conjuntos ordenados.
Se define el orden producto en X1 × X2 como sigue:
(x1 , x2 ) ¹ (y1 , y2 ) si x1 ≤1 y1 y x2 ≤2 y2
Se define el orden lexicográfico en X1 × X2 como sigue:
½
def
x1 <1 y1 ó
(x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ) ⇐⇒
x1 = y1 y x2 ≤2 y2
Claramente, si (x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ) entonces (x1 , x2 ) ¹ (y1 , y2 ).
Proposición 3.1.1. Si (X1 , ≤1 ) y (X2 , ≤2 ) son dos conjuntos ordenados, entonces (X1 × X2 , ¹) y
(X1 × X2 , ≤lex ) son conjuntos ordenados.
Además, si ≤1 y ≤2 son órdenes totales (resp. buenos órdenes) entonces ≤lex es un orden total (resp.
buen orden).
Demostración: La demostración de que el orden producto es una relación de orden es fácil, y se deja
como ejercicio. Centrémonos pues en el orden lexicográfico.
Notemos en primer lugar que si (x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ) entonces x1 ≤1 y1 .
Veamos que la relación es de orden.
Reflexiva Si (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 entonces (x1 , x2 ) ≤lex (x1 , x2 ), pues se da la segunda opción (x1 = x1 y
x2 ≤ x2 ).
Simétrica Supongamos que (x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ) y (y1 , y2 ) ≤lex (x1 , x2 ). Entonces se tiene que x1 ≤1 y1
e y1 ≤1 x1 , de donde x1 = y1 . Deducimos entonces que x2 ≤2 y2 e y2 ≤2 x2 , lo que implica que
x2 = y2 .
Transitiva Supongamos ahora que (x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ) y (y1 , y2 ) ≤lex (z1 , z2 ). Pueden darse entonces
tres opciones(no excluyentes):
x1 <1 y1 , en cuyo caso x1 <1 z1 , luego (x1 , x2 ) ≤lex (z1 , z2 ).
y1 <1 z1 , en cuyo caso x1 <1 z1 y concluimos como en la opción anterior.
x1 = y1 e y1 = z1 . En tal caso, x2 ≤2 y2 e y2 ≤2 z2 , de donde x1 = z1 y x2 ≤2 z2 , es decir,
(x1 , x2 ) ≤lex (z1 , z2 ).
Supongamos ahora que ≤1 y ≤2 son órdenes totales. Sean (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X1 × X2 . Aquí pueden
darse tres opciones (mutuamente excluyentes):
x1 <1 y1 . En tal caso (x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ).
y1 <1 x1 . En este caso (y1 , y2 ) ≤lex (x1 , x2 ).
x1 = y1 . Entonces dependiendo de que x2 ≤2 y2 o y2 ≤2 x2 se tendrá que (x1 , x2 ) ≤lex (y1 , y2 ) o
que (y1 , y2 ) ≤lex (x1 , x2 ).
Por último, supongamos que ≤1 y ≤2 son buenos órdenes, y sea Y ⊆ X1 × X2 un subconjunto no
vacío.
Nos quedamos con el conjunto de todas las primeras coordenadas de los elementos de A, es decir,
tomamos
Y1 = {x1 ∈ X1 : (x1 , x2 ) ∈ A para algún x2 ∈ X2 }
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Sea a = mín(Y1 ). Tomamos entonces Y2 = {x2 ∈ X2 : (a, x2 ) ∈ A}. Como Y2 6= ∅, tiene mínimo. Sea
éste b. Entonces (a, b) = mín(A). ¥
Observación: Si tenemos n conjuntos ordenados X1 , X2 , · · · , Xn , podemos definir recursivamente el
orden producto y el orden lexicográfico en X1 × X2 × · · · × Xn .
Supuesto definido el orden producto ¹ en X1 × · · · × Xn−1 se define en X1 × · · · × Xn :
74
(x1 , · · · xn−1 , xn ) ¹ (y1 , · · · , yn−1 , yn ) si (x1 , · · · , xn−1 ) ¹ (y1 , · · · , yn−1 ) y xn ≤ yn
es decir, definimos el orden producto en (X1 × · · · × Xn−1 ) × Xn
Supuesto definido el orden lexicográfico ≤lex en X1 × · · · × Xn−1 se define en X1 × · · · × Xn :
½
def
(x1 , · · · xn−1 , xn ) ≤lex (y1 , · · · , yn−1 , yn ) ⇐⇒
(x1 , · · · , xn−1 ) <lex (y1 , · · · , yn−1 ) ó
(x1 , · · · , xn−1 ) = (y1 , · · · , yn−1 ) y xn ≤ yn
Sea el conjunto
A = { , a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, l, m, n, , o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
es decir, las 27 letras del alfabeto junto con el espacio en blanco.
Claramente, A tiene un orden total de todos conocido.
Supongamos que n es el número de letras de la palabra más larga de la lengua española. Entonces,
cada palabra puede representarse como un elemento de An (poniendo tantos espacios al final como sea
necesario).
Cuando ordenamos las palabras, tal y como vienen en un diccionario, nos fijamos en la primera letra,
y es la que nos da el orden. Cuando ésta coincide, pasamos a la segunda, y es ésta entonces la que nos
da el orden. De coincidir también, nos fijamos en la tercera, y así sucesivamente. Es decir, las palabras
de la lengua están ordenadas siguiendo el orden lexicográfico.
Ejemplo 3.1.6.
1. Consideramos en N × N los órdenes producto (≤) y lexicográfico ≤lex deducidos a partir del orden
usual en N. Entonces:
Los elementos (0, n), (1, n − 1), · · · , (n − 1, 1), (n, 0) están ordenados según el orden lexicográfico,
mientras que con el orden producto ninguna pareja de ellos es comparable.
Se puede ver entonces que la propiedad de ser orden total o buen orden no se mantiene al tomar el
orden producto.
Si X = {0, n), (1, n − 1), · · · , (n − 1, 1), (n, 0)} entonces:
El conjunto de cotas inferiores con respecto al orden lexicográfico es {(0, 0), (0, 1), · · · , (0, n)},
mientras que con respecto al orden producto tiene una única cota inferior, que es (0, 0).
El ínfimo, respecto al orden lexicográfico es (0, n), que es también el mínimo. Con respecto al
orden producto es (0, 0), y no tiene mínimo.
Con respecto al orden lexicográfico tiene un elemento minimal, que es (0, n) y un elemento
maximal, que es (n, 0). Con respecto al orden producto, todos los elementos son maximales y
minimales.
3.2.
Retículos.
Definición 39. Un retículo es un conjunto ordenado, (L, ≤) en el que cualquier conjunto finito tiene
supremo e ínfimo.
Departamento de Álgebra
3.2. Retículos.
75
Si (L, ≤) es un retículo y x, y ∈ L, denotaremos por x ∨ y al supremo del conjunto {x, y} y por x ∧ y
al ínfimo del conjunto {x, y}.
Nótese que x ∨ y está definido por la propiedad:
x ≤ x ∨ y; y ≤ x ∨ y
(x ≤ z e y ≤ z) =⇒ x ∨ y ≤ z
La primera parte dice que x ∨ y es una cota superior del conjunto {x, y}, mientras que la segunda dice
que es la menor de las cotas superiores.
Proposición 3.2.1. Si (L, ≤) es un retículo, las operaciones ∨ y ∧ satisfacen las siguienes propiedades:
½
x∨y =y∨x
½ x∧y =y∧x
x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z
Asociativa
½ x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
x ∨ (x ∧ y) = x
Absorción
½ x ∧ (x ∨ y) = x
x∨x=x
Idempotencia
x∧x=x
Conmutativa
Demostración: La demostración de la propiedad conmutativa, así como la de idempotencia es inmediata. Para demostrar la propiedad asociativa basta comprobar que tanto x∨(y∨z) como (x∨y)∨z representa
el supremo del conjunto {x, y, z}, y lo mismo para el ínfimo. Veamos que sup({x, y, z}) = x ∨ (y ∨ z).
Es claro que x ≤ x ∨ (y ∨ z), y ≤ x ∨ (y ∨ z) y z ≤ x ∨ (y ∨ z). Por otra parte,

x≤u ¾

y≤u
=⇒ x ∨ (y ∨ z) ≤ u
=⇒ y ∨ z ≤ u 
z≤u
Por tanto, x ∨ (y ∨ z) es el supremo del conjunto {x, y, z}.
En cuanto a la absorción, la primera se deduce fácilmente del hecho de que x ∧ y ≤ x y la segunda de
que x ≤ x ∨ y. ¥
Ejemplo 3.2.1.
1. Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es un retículo. Dados x, y ∈ X se tiene que
x ∨ y = máx({x, y}) mientras que x ∧ y = mín({x, y}).
2. El conjunto ordenado (N, |) es un retículo. En este caso se tiene que x∨y = mcm(x, y) mientras que
x∧y = mcd(x, y). De la misma forma, si n ∈ N entonces D(n), con el orden dado por la divisibilidad
es un retículo. Supremo e ínfimo vienen dado por el mínimo común múltiplo y el máximo común
divisor respectivamente.
3. Si X es un conjunto, entonces P(X) es un retículo. En este caso supremo e ínfimo vienen dados
por la unión y la intersección respectivamente; es decir, A ∨ B = A ∪ B y A ∧ B = A ∩ B.
4. Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespacios vectoriales de V es un retículo,
con el orden dado por la inclusión. Aquí, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que
V1 ∨ V2 = V1 + V2 mientras que V1 ∧ V2 = V1 ∩ V2 .
Jesús García Miranda
76
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
5. El conjunto ordenado cuyo diagrama de Hasse es
1
Ä ???
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
Ä
?
Ä
g?
f ?
ÄÄ ???
ÄÄ ???
Ä
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
ÄÄ
e
c?
d
?
??
ÄÄ
ÄÄ ???
??
Ä
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
?? ÄÄÄ
? ÄÄÄ
Ä
a?
b
??
ÄÄ
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
0
es un retículo.
Se tiene, por ejemplo: c ∨ d = f , c ∧ d = a, b ∨ c = f , b ∧ c = 0, c ∨ e = 1, c ∧ e = 0.
6. El conjunto ordenado cuyo diagrama de Hasse es
a
b
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
c?
e
d?
??
?? ÄÄ
??
??ÄÄ
??
Ä?
? ÄÄÄ ??
g
f
Ä
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
i
h
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
j
no es un retículo, pues por ejemplo, no existe el supremo del conjunto {a, e}. Sin embargo, el
conjunto {f, i} sí tiene supremo (d) e ínfimo (j).
Nótese que si (L, ≤) es un retículo, entonces dados x, y ∈ L se verifica que x ≤ y si, y sólo si, x ∨ y = y,
o si queremos, x ≤ y si, y sólo si, x ∧ y = x. Es decir, podemos recuperar el orden dentro del retículo a
partir del conocimiento de las operaciones supremo o ínfimo.
La siguiente proposición nos da condiciones suficientes para que dos operaciones definidas en un
conjunto puedan ser el supremo y el ínfimo de alguna relación de orden en ese conjunto.
Proposición 3.2.2. Sea L un conjunto en el que tenemos definidas dos operaciones ∨ y ∧ que satisfacen
las propiedades conmutativa, asociativa, idempotencia y de absorción. Supongamos que en L definimos la
relación
x ≤ y si x ∨ y = y
Entonces, (L, ≤) es un retículo donde las operaciones supremo e ínfimo vienen dadas por ∨ y ∧ respectivamente.
Demostración:
1. Veamos en primer lugar que (L, ≤) es un conjunto ordenado. Para esto, comprobemos que la relación
≤ es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Reflexiva. Puesto que x ∨ x se tiene que x ≤ x para cualquier x ∈ L.
Departamento de Álgebra
3.2. Retículos.
77
Antisimétrica. Supongamos que x ≤ y e y ≤ x. Esto implica que x ∨ y = y y que y ∨ x = x. Puesto
que ∨ es conmutativa deducimos que x = y(= x ∨ y).
Transitiva. Supongamos ahora que x ≤ y y que y ≤ z, es decir, x ∨ y = y e y ∨ z = z. Entonces:
x ∨ z = x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z = y ∨ z = z
luego x ≤ z.
2. Comprobemos ahora que dados x, y ∈ L se verifica que sup({x, y}) = x ∨ y.
Puesto que x ∨ (x ∨ y) = (x ∨ x) ∨ y = x ∨ y se tiene que x ≤ x ∨ y. De la misma forma se comprueba
que y ≤ x ∨ y.
Si x ≤ u e y ≤ u (es decir, x ∨ u = u e y ∨ u = u). Entonces:
(x ∨ y) ∨ u = x ∨ (y ∨ u) = x ∨ u = u
de donde se deduce que x ∨ y ≤ u.
3. Por último, veamos que ínf({x, y}) = x ∧ y.
(x ∧ y) ∨ x = x ∨ (x ∧ y) = x luego x ∧ y ≤ x.
De la misma forma se comprueba que x ∧ y ≤ y.
Si u ≤ x y u ≤ y (es decir, u ∨ x = x y u ∨ y = y) se tiene que:
u ∧ x = u ∧ (u ∨ x) = u
u ∧ y = u ∧ (u ∨ y) = u
u ∧ (x ∧ y) = (u ∧ x) ∧ y = u ∧ y = u
u ∨ (x ∧ y) = (u ∧ (x ∧ y)) ∨ (x ∧ y) = (x ∧ y) ∨ ((x ∧ y) ∧ u) = x ∧ y
luego u ≤ x ∧ y.
¥
Nótese que se tiene que x ∨ y = y si, y sólo si, x ∧ y = x, luego podría haberse hecho la demostración
definiendo la relación
x ≤ y si x ∧ y = x
Nótese también que la propiedad de idempotencia se puede deducir a partir de la de absorción, pues
x ∨ x = x ∨ [x ∧ (x ∨ x)] = x
luego podemos demostrar la proposición anterior partiendo de que las operaciones ∨ y ∧ satisfacen las
propiedades asociativa, conmutativa y de absorción.
Esta proposición permite definir un retículo, bien dando la relación de orden, bien dando las operaciones ∨ y ∧.
Si (L, ≤) es un retículo y L tiene máximo, denotaremos a éste por 1, mientras que si tiene mínimo lo
denotaremos por 0. Se tiene entonces, x ∨ 1 = 1, x ∧ 1 = x, x ∨ 0 = x y x ∧ 0 = 0.
Un retículo finito siempre tiene máximo y mínimo. Si el retículo es infinito, puede tenerlo o no. Así,
por ejemplo, (N, ≤) tiene mínimo pero no tiene máximo; (Z, ≤) no tiene ni mínimo ni máximo. El retículo
(N, |) es infinito y tiene máximo y mínimo. En este caso, el máximo es 0 mientras que el mínimo es 1.
Definición 40. Sea (L, ≤) un retículo, y L0 ⊆ L un subconjunto de L. Entonces L0 es un subrretículo si
para cualesquiera x, y ∈ L0 se verifica que x ∨ y ∈ L0 y x ∧ y ∈ L0 .
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Ejemplo 3.2.2. Consideramos el retículo D(30).
Sean L1 = {3, 6, 15, 30}, L2 = {1, 2, 3, 5, 15}, L3 = {1, 6, 10, 30} y L4 = {1, 2, 3, 6, 30}. Sus diagramas
de Hasse son:
78
15
30 ?
ÄÄ ???
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
Ä
Ä
6 ?
15
??
ÄÄ
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
ÄÄ
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
5
2 ?
3
??
ÄÄ
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
1
3
30
ÄÄ
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
10
6/
//
//
//
//
//
//
/
30
6
2
ÄÄ
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
??
??
??
??
3
??
??
??
??
1
L1
L2
L3
1
L4
Entonces L1 y L4 son subrretículos de D(30), mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es subrretículo
porque el supremo de 2 y 3 es 6, que no pertenece a L2 . L3 no es subrretículo porque el ínfimo de 6 y 10
vale 2, que no pertenece a L3 . Nótese que L3 , con el orden que hereda de D(30) es un retículo, pero no
es subrretículo de L3 .
Definición 41. Sea L un retículo. Se dice que L es distributivo si para cualesquiera x, y, z ∈ L se verifica
que
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) y x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
En general, si L es un retículo se tiene que x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

¾
x ≤ x∨y

=⇒ x ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) 


x ≤ x∨z

=⇒ x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
¾


y∧z ≤x∨y

=⇒ y ∧ z ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) 

y∧z ≤x∨z
y de la misma forma se tiene que (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ x ∧ (y ∨ z). Por tanto, se tiene que un retículo es
distributivo si (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ≤ x ∨ (y ∧ z) y (x ∧ (y ∨ z) ≤ x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
Por otra parte, si x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) para cualesquiera x, y, z ∈ L se tiene que
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
=
=
=
=
=
=
[(x ∧ y) ∨ x] ∧ [(x ∧ y) ∨ z]
[x ∨ (x ∧ y)] ∧ [z ∨ (x ∧ y)]
[(x ∨ x) ∧ (x ∨ y)] ∧ [(z ∨ x) ∧ (z ∨ y)]
(x ∨ x) ∧ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ∧ (y ∨ z)
[x ∧ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)] ∧ (y ∨ z)
x ∧ (y ∨ z)
propiedad distributiva
pues ∨ es conmutativa
propiedad distributiva
propiedad asociativa y conmutativa
idempotencia y propiedad asociativa
Absorción
mientras que si x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) para cualesquiera x, y, z ∈ L entonces se verifica que
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) también para cualesquiera x, y, z ∈ L.
Es decir, basta con que se de una de las dos posibles propiedades distributivas para que se de la otra.
Departamento de Álgebra
3.2. Retículos.
79
Ejemplo 3.2.3.
1. Si L es un conjunto totalmente ordenado, entonces L es un retículo distributivo. Basta comprobar
que para cualesquiera x, y, z ∈ L se verifica que
máx{x, mín{y, z}} = mín{máx{x, y}, máx{x, z}}
lo cual puede hacerse fácilmente comprobando que se da la igualdad en cualquiera de los seis casos
siguientes:
x ≤ y ≤ z; x ≤ z ≤ y; y ≤ x ≤ z; y ≤ z ≤ x; z ≤ x ≤ y; z ≤ y ≤ x
y puesto que en la igualdad el papel que juegan y y z es el mismo, bastaría con comprobarlo en los
casos
x ≤ y ≤ z;
y ≤ x ≤ z;
y≤z≤x
2. El retículo (N, |) es un retículo distributivo. Basta ver que en este caso, el cálculo del supremo y el
ínfimo se reduce al cálculo del máximo y el mínimo de los exponentes, y entonces reducirse al caso
anterior.
Por el mismo motivo, para cada número natural n ∈ N el retículo D(n) es distributivo.
3. Si X es un conjunto, entonces (P(X), ⊆) es un retículo distributivo, pues la unión y la intersección
de conjuntos son distributivas la una con respecto de la otra.
4. Si V es un K-espacio de dimensión mayor que 1, entonces el retículo de los subespacios vectoriales
de V es un retículo que no es distributivo.
Como ejemplo, sea K = Z2 y V = Z22 . Entonces V tiene 5 subespacios vectoriales que son:
V ; U1 = {(0, 0), (1, 0)}; U2 = {(0, 0), (0, 1)}; U3 = {(0, 0), (1, 1)}; 0
y se tiene que U2 ∩U3 = 0, luego U1 +(U2 ∩U3 ) = U1 , mientras que (U1 +U2 )∩(U1 +U3 ) = V ∩V = V .
El diagrama de Hassel de este retículo es:
V ?
ÄÄ ???
Ä
??
ÄÄ
?
ÄÄ
U1 ?
U2
U3
??
ÄÄ
??
Ä
?? ÄÄÄ
Ä
0
En general, si V es un K-espacio de dimensión mayor o igual que 2, y u, v son dos vectores
linealmente independientes, consideramos U1 = L{u}, U2 = L{v} y U3 = L{u + v} y se verifica que
U1 + (U2 ∩ U3 ) = U1 , mientras que (U1 + U2 ) ∩ (U1 + U3 ) = L{u, v}.
5. Consideramos los siguientes retículos:
1
Ä ???
??
ÄÄ
Ä
??
ÄÄ
?
Ä
Ä
a/
c
b
//
²
²
//
²
//
²² ²
//
²
//
²²
²
// ²²
/ ²²
0
z
1
Ä ???
??
ÄÄ
Ä
??
ÄÄ
?
Ä
Ä
²
²² ²
²
²²
x?
²
??
²²
??
?? ²²²
? ²
0
Jesús García Miranda
y
80
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
denominados respectivamente diamante y pentágono. En el ejemplo anterior hemos visto que el
diamente no es distributivo. En cuanto al pentágono, se tiene que
x ∨ (y ∧ z) = x ∨ 0 = x
(x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = 1 ∧ z = z
luego tampoco es distributivo.
En general, se tiene que un retículo es distributivo si no contiene como subrretículos ni al pentágono
ni al diamante. En el apartado anterior hemos visto como el retículo de subespacios vectoriales de
un espacio vectorial tiene al diamante como subrretículo.
Proposición 3.2.3. Sea L un retículo distributivo, y sen x, y, z ∈ L tales que x∨y = x∨z y x∧y = x∧z.
Entonces y = z.
Demostración: Se tiene que
y = y ∨ (x ∧ y) = y ∨ (x ∧ z) = (y ∨ x) ∧ (y ∨ z) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y) = z ∨ (x ∧ y) = z ∨ (x ∧ z) = z
¥
Ejemplo 3.2.4. En el diamante se tiene que a ∨ b = a ∨ c = 1, y a ∧ b = a ∧ c = 0, y sin embargo, b 6= c.
En el pentágono, y ∨ x = y ∨ z = 1 e y ∧ x = y ∧ z = 0, y sin embargo, x 6= z.
Definición 42. Sea L un retículo que tiene máximo y mínimo (a los que denotaremos por 1 y 0 respectivamente), y x ∈ L. Se dice que y ∈ L es un complemento de x si x ∨ y = 1 y x ∧ y = 0.
Un reticulo en el que todo elemento tiene complemento se dice complementado.
Obviamente, si y es un complemento de x entonces x es un complemento de y.
Por otra parte, si L es un retículo distributivo y x un elemento de L que tiene complemento, entonces
el complemento es único (ver proposicion 3.2.3).
Si L es un retículo distributivo, y x es un elemento que tiene complemento, denotaremos por x0 o x
al único complemento de x.
Ejemplo 3.2.5.
1. Si L tiene máximo (1) y mínimo (0), entonces 0 es un complemento de 1.
2. El retículo (P(X), ⊆) es un retículo complementado. Dado A ∈ P(X) se verifica que A∪(X \A) = X
y A ∩ (X \ A) = ∅. Por ser un retículo distributivo, el commplemento de cada elemento es único.
3. El pentágono y el diamente son retículos complementados. Vemos sin embargo, que los complementos
de algunos elementos no son únicos.
Así, en el diamante, tanto b como c son complementos de a; tanto a como c son complementos de
b y tanto a como b son complementos de c.
En el pentágono, tanto x como z son complementos de y. Sin embargo, x y z tienen un único
complemento, que es y.
4. Si L es un conjunto totalmente ordenado con más de dos elementos, entonces es un retículo distributivo, pero no es complementado.
5. Si V es un K-espacio vectorial de dimensión finita (esto último no es necesario) entonces el retículo
de los subespacios vectoriales de V es un retículo complementado.
Para ver esto, tomamos U un subespacio vectorial de V . Supongamos que BU = {u1 , · · · , um }
es una base de U . Esta base puede ser ampliada hasta una base de V . Si dicha base ampliada
Departamento de Álgebra
3.3. Álgebras de Boole
81
es B = {u1 , · · · , um , um+1 , · · · , un } entonces el subespacio generado por {um+1 , · · · , un } es un
complemento de U .
Puesto que en general hay muchas formas de completar una base de V a partir de una base de U ,
el subespacio U puede tener muchos complementos.
Así, si tomamos U = R2 y U = L[(1, 0)] (es decir, el eje OX) entonces cualquier recta que pase
por el origen distinta del eje OX es un complemento de U .
6. Dado un número natural D(n), el retículo D(n) no tiene por qué ser un retículo complementado.
Por ejemplo, D(4) no es complementado (es un conjunto totalmente ordenado con 3 elementos),
mientras que D(6) sí lo es.
Se pide, determinar qué elementos de D(n) tienen complemento, y a partir de ahí, determinar para
qué valores de n es D(n) un retículo complementado.
Así, por ejemplo, en D(12) tienen complemento 1, 3, 4, 12 mientras que no tienen 2, 6. En D(30)
todos los elementos tienen complemento.
12
Ä
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
4
6
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
2
3
ÄÄ
Ä
Ä
ÄÄ
ÄÄ
1
30
Ä ???
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
Ä
Ä
6?
10
15
?? ÄÄ ??? ÄÄ
??Ä
?
Ä
ÄÄ??
ÄÄ??
ÄÄ ? ÄÄ ?
2?
5
3
??
ÄÄ
??
Ä
??
ÄÄ
? ÄÄÄ
1
D(12)
D(30)
Proposición 3.2.4. Sea (L1 , ≤) y (L2 , ≤) dos conjunto ordenados. Consideramos en L1 × L2 el orden
producto. Entonces:
Si L1 y L2 son retículos, también lo es L1 × L2 . Las operaciones supremo e ínfimo en L1 × L2
vienen dadas por
(x1 , x2 ) ∨ (y1 , y2 ) = (x1 ∨ y1 , x2 ∨ y2 )
(x1 , x2 ) ∧ (y1 , y2 ) = (x1 ∧ y1 , x2 ∧ y2 )
Si L1 y L2 son retículos distributivos, también lo es L1 × L2 .
Si L1 y L2 son retículos complementados, también lo es L1 × L2 .
3.3.
3.3.1.
Álgebras de Boole
Generalidades sobre álgebras de Boole
Definición 43. Un álgebra de Boole es un retículo distributivo y complenentado.
Ejemplo 3.3.1.
1. Dado un conjunto X, el conjunto P(X), con el orden dado por la inclusión es un álgebra de Boole.
2. D(6), o D(30) son álgebras de Boole. No es álgebra de Boole D(4) o D(12).
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Al igual que los retículos se pueden definir sin mencionar el orden, sino únicamente las operaciones
supremo e ínfimo, con las respectivas propiedades, un álgebra de Boole puede definirse también a partir
de las operaciones ∨ y ∧.
82
Definición 44 (Segunda definición de álgebra de Boole). Sea B un conjunto. Supongamos que en B
tenemos definidas dos operaciones, ∨ y ∧ tales que:
1. x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z
2. x ∨ y = y ∨ x
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
x∧y =y∧z
3. x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
4. x ∨ (x ∧ y) = x
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
x ∧ (x ∨ y) = x
5. Existen 0, 1 ∈ B tales que x ∨ 0 = x
x∧0=0
0
0
x∨1=1
x∧1=x
0
6. Para cada x ∈ B existe x ∈ B tal que x ∨ x = 1 y x ∧ x = 0.
Es fácil comprobar que las definiciones 43 y 44 son equivalentes.
Proposición 3.3.1 (Leyes de De Morgan). Sea B un álgebra de Boole, y x, y ∈ B. Entonces:
(x ∨ y)0 = x0 ∧ y 0
(x ∧ y)0 = x0 ∨ y 0
Demostración: Se verifica que:
(x ∨ y) ∨ (x0 ∧ y 0 ) = [(x ∨ y) ∨ x0 ] ∧ [(x ∨ y) ∨ y 0 ] = (x ∨ x0 ∨ y) ∧ (x ∨ y ∨ y 0 ) = (1 ∨ y) ∧ (x ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1
(x ∨ y) ∧ (x0 ∧ y 0 ) = [x ∧ (x0 ∧ y 0 )] ∨ [y ∧ (x0 ∧ y 0 )] = (0 ∧ y 0 ) ∨ (x0 ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0
¥
Ejemplo 3.3.2.
1. Consideremos el conjunto Z2 . En él, consideramos las operaciones
x ∧ y = xy
x ∨ y = x + y + xy
Entonces Z2 , con estas operaciones es un álgebra de Boole. De hecho, es el álgebra de Boole más
simple (a excepción de un álgebra de Boole con un elemento). Representaremos a este álgebra de
Boole como B.
Nótese que este álgebra de Boole se corresponde con el orden 0 ≤ 1.
2. Puesto que el producto de álgebras de Boole es un álgebra de Boole, tenemos, para cada número
natural n el álgebra de Boole Bn que tiene 2n elementos. En este caso, las operaciones del álgebra
de Boole vienen dadas por:
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∨ (y1 , y2 , · · · , yn ) = (x1 ∨ y1 , x2 ∨ y2 , · · · , xn ∨ yn )
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∧ (y1 , y2 , · · · , yn ) = (x1 ∧ y1 , x2 ∧ y2 , · · · , xn ∧ yn )
(x1 , x2 , · · · xn )0 = (x01 , x02 , · · · , x0n )
Veamos los diagramas de Hasse de B2 y B3 .
(1, 1)
Ä ???
Ä
??
ÄÄ
?
ÄÄ
(1, 0)
(0, 1)
??
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
ÄÄ
(0, 0)
Departamento de Álgebra
(1, 1, 1)
??
??
ÄÄ
Ä
??
Ä
ÄÄ
(1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)
?? Ä ?? Ä
?Ä?Ä
?Ä
ÄÄ??
Ä?
ÄÄ ? ÄÄ ?
(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
??
Ä
??
ÄÄ
??
Ä
ÄÄ
(0, 0, 0)
3.3. Álgebras de Boole
83
Podemos comparar las estructuras de álgebra de Boole de B2 y B3 con las de P({a, b}) y P({a, b, c}).
3. Consideramos las álgebras de Boole siguientes:
AB?
ÄÄ ???
Ä
??
ÄÄ
?
ÄÄ
A?
B
??
ÄÄ
??
Ä
?? ÄÄÄ
Ä
0
+
−
que como podemos ver tienen una estructura semejante a B2 y B respectivamente. Su producto,
tendrá entonces la misma estructura que B3 . El diagrama de Hasse de dicho álgebra sería
AB+?
??
Ä
Ä
??
ÄÄ
??
Ä
ÄÄ
AB−?
A+
B+
?? ÄÄ ??? ÄÄ
?Ä
?Ä
ÄÄ??
ÄÄ??
ÄÄ ? ÄÄ ?
0+
A−?
B−
??
Ä
Ä
??
Ä
??
ÄÄ
ÄÄ
0−
y vemos que los elementos que la forman son los ocho grupos sanguíneos. En este caso, ser menor
o igual significa puede donar. Así, el grupo 0− es el donante universal, mientras que el grupo AB+
es el receptor universal.
Definición 45. Sea B un álgebra de Boole, y x ∈ B. Se dice que x es un átomo si x es un elemento
minimal de B \ {0}.
Ejemplo 3.3.3. Si X es un conjunto, los átomos del álgebra de Boole P(X) son los subconjuntos unitarios.
Los átomos del álgebra de Boole Bn son aquellos que tienen todas las coordenadas nulas salvo una.
En el álgebra de Boole D(30) los átomos son los divisores primos de 30.
Teorema 3.3.1. Sea B un álgebra de Boole finita, y x ∈ B \ {0}. Entonces, x se expresa de forma única
como supremo de átomos.
Antes de demostrar el teorema, veamos el siguiente lema:
Lema 3.3.1. Sea B un álgebra de Boole finita, y x ∈ B \ {0}. Entonces existe a ∈ B, átomo, y tal que
a ≤ x.
Demostración: Basta tomar el conjunto Ax = {y ∈ B : 0 < y ≤ x}, que es distinto del vacío (pues x
es un elemento suyo). Se tiene que un elemento minimal de Ax (que existe por ser Ax finito) es un átomo
de B. ¥
Dado cualquier elemento x ∈ B \ {0}, denotaremos por Ax al conjunto de todos los átomos de B que
son menores o iguales que x.
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Demostración:(teorema 3.3.1)
Supongamos que Ax = {a1 , a2 , · · · , am }. Sea entonces z = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ am . Comprobemos que z = x.
Puesto que ai ≤ x se tiene que z ≤ x. Supongamos que z 6= x.
Consideramos z 0 . Se tiene entonces que 1 = z ∨ z 0 ≤ x ∨ z 0 de donde x ∨ z 0 = 1. Por tanto, x ∧ z 0 6= 0
(si valiera 0 tendríamos que z 0 = x0 , lo que implicaría que z = x).
Sea a un átomo menor o igual que x ∧ z 0 . Entonces, a ≤ x, luego a = ai para algún i. Supongamos
que a = a1 . En ese caso, se tiene que:
84
0 = z 0 ∧ z = z 0 ∧ (a1 ∨ · · · ∨ am ) ≥ a ∧ (a1 ∨ · · · ∨ am ) = (a ∧ a1 ) ∨ (a ∧ a2 ) ∨ · · · ∨ (a ∧ am ) = a1
lo cual no es posible.
Deducimos por tanto que z = x, es decir, x se expresa como supremo de átomos.
Supongamos ahora que podemos expresar x como supremo de átomos de la forma x = b1 ∨ · · · ∨ bk .
Entonces:
bi = bi ∧ x = bi ∧ (a1 ∨ · · · ∨ am ) = (bi ∧ a1 ) ∨ (bi ∧ a2 ) ∨ · · · ∨ (bi ∧ am )
y puesto que el ínfimo de dos átomos vale cero salvo que los dos átomos coincidan deducimos que bi = aj
para algún j. Por tanto, se tiene que
{b1 , · · · , bk } ⊆ {a1 , · · · , am }
De forma análoga se demuestra la otra inclusión. ¥
Este teorema nos dice que si B es un álgebra de Boole finita, y X = {a1 , · · · , an } son sus átomos (es
decir, X = A1 ) entonces los elementos de B son:
(
)
_
B=
x : A ∈ P(X)
donde se ha empleado la notación 0 =
W
x∈A
x.
x∈∅
Vemos entonces que B tiene tantos elementos como P(X).
Por tanto, el número de elementos de B es 2n , donde n es el número de átomos.
Es más, tenemos que las álgebras de Boole B, Bn y P(X) con X = {1, 2, · · · , n} son isomorfas.
3.3.2.
Funciones y expresiones booleanas
Definición 46. Una función booleana con n variables es una aplicación f : Bn → B.
Denotaremos por Fn al conjunto de las funciones booleanas con n variables. Es decir:
Fn = {f : Bn → B
f es aplicación}
Ejemplo 3.3.4.
1. La aplicación f : B → B dada por f (0) = 1; f (1) = 0 es una función booleana en 1 variable (es
decir, un elemento de F1 . Esta aplicación responde a la expresión f (x) = x0 .
2. Sea f : B2 → B la aplicación f (x, y) = x ∨ y. Entonces f es una aplicación booleana en 2 variables
(f ∈ F2 ). Esta aplicación, elemento a elemento es:
(0, 0) 7→ 0
(1, 0) 7→ 1
(0, 1) 7→ 1
Departamento de Álgebra
(1, 1) 7→ 1
3.3. Álgebras de Boole
85
Definición 47. Dadas f, g : Bn → B se dice que f ≤ g si f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≤ g(x1 , x2 , · · · xn ) para todo
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Bn .
Es fácil comprobar que esta relación convierte a Fn en un álgebra de Boole. Las operaciones supremo
e ínfimo, así como el complementario vienen dador por
f ∨ g(x1 , · · · , xn ) = f (x1 , · · · , xn ) ∨ g(x1 , · · · xn )
f ∧ g(x1 , · · · , xn ) = f (x1 , · · · , xn ) ∧ g(x1 , · · · xn )
f 0 (x1 , · · · , xn ) = (f (x1 , · · · , xn ))0
mientras que el máximo y el mínimo son las aplicaciones constantes 1 y 0 respectivamente.
Los átomos de este álgebra de Boole son las aplicaciones que valen 1 en un elemento de Bn , y 0 en el
resto. Puesto que en Bn hay 2n elementos, tenemos que Fn tiene 2n átomos, lo que nos dice que Fn tiene
n
22 elementos.
Ejemplo 3.3.5.
1. El álgebra F1 tiene 22 = 4 elementos. Éstos son:
0 7→ 0
1 7→ 0
0 7→ 0
1 7→ 1
0 7→ 1
1 7→ 0
0 7→ 1
1 7→ 1
los átomos son las aplicaciones segunda y tercera.
2. El álgebra F2 tiene 4 átomos, y por tanto 16 elementos. Los átomos son:
(0, 0) 7→ 1
(1, 0) 7→ 0
(0, 1) 7→ 0
(1, 1) 7→ 0
3.3.3.
(0, 0) 7→ 0
(1, 0) 7→ 1
(0, 1) 7→ 0
(1, 1) 7→ 0
(0, 0) 7→ 0
(1, 0) 7→ 0
(0, 1) 7→ 1
(1, 1) 7→ 0
(0, 0) 7→ 0
(1, 0) 7→ 0
(0, 1) 7→ 0
(1, 1) 7→ 1
Expresiones booleanas
Definición 48. Sea S un conjunto. Se definen las expresiones booleanas sobre el conjunto S de forma
recursiva como sigue:
1. Si x ∈ S ∪ {0, 1} entonces x es una expresión booleana.
2. Si x, y son expresiones booleanas, entonces también lo son x ∨ y, x ∧ y y x0 .
A las expresiones booleanas que sean elementos de S, o complementos suyos los denominaremos literales
Ejemplo 3.3.6. Si S = {x, y, z} son expresiones booleanas x, x ∨ z, (x ∧ y 0 )0 , 1.
Son literales, x, z 0 , z.
A la hora de representar las expresiones booleanas, emplearemos la notación xy o x·y para la expresión
x ∧ y, mientras que usaremos la notación x + y para la expresión x ∨ y.
Así, la expresión booleana x ∨ (y ∧ z 0 ) la representaremos como x + (yz 0 ).
Supongamos que tenemos un conjunto S con n elementos, es decir, S = {x1 , x2 , · · · , xn }. A cada
elemento de S le vamos a asignar un elemento de Fn . Concretamente, al elemento xi le asignamos la
función xi : Bn → B dada por xi (a1 , · · · , ai , · · · , an ) = ai . De esta forma, a cada expresión booleana
sobre el conjunto S le podemos hacer corresponder una función Bn → B.
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Por ejemplo, si S = {x, y, z} y consideramos la expresión booleana x ∨ (y 0 ∧ z), le corresponde la
función booleana
86
(0, 0, 0) 7→ 0 ∨ (1 ∧ 0) = 0
(0, 1, 0) 7→ 0 ∨ (0 ∧ 0) = 0
(1, 0, 0) 7→ 1 ∨ (1 ∧ 0) = 1
(1, 1, 0) 7→ 1 ∨ (0 ∧ 0) = 1
(0, 0, 1) 7→ 0 ∨ (1 ∧ 1) = 1
(0, 1, 1) 7→ 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0
(1, 0, 1) 7→ 1 ∨ (1 ∧ 1) = 1
(1, 1, 1) 7→ 1 ∨ (0 ∧ 1) = 1
Puesto que cada expresión booleana determina una función booleana, podremos referirnos a las funciones mencionando las expresiones que las representan. Así, la función que acabamos de ver podría
definirse como f (x, y, z) = x ∨ (y 0 ∧ z). Ahora, para calcular la imagen de un elemento de B3 basta
sustituir en la expresión booleana x, y y z por los valores en los que queremos evaluar, y efectuar las
operaciones en el álgebra de Boole B. Por ejemplo
f (0, 0, 1) = 0 ∨ (00 ∧ 1) = 0 ∨ (1 ∧ 1) = 0 ∨ 1 = 1
Nótese que en el ejemplo 3.3.4 ya se ha empleado esta forma de definir una función booleana.
Si ahora quisiéramos emplear la notación introducida anteriormente, la función f adoptaría la forma
f (x, y, z) = x + (y 0 z).
A la hora de emplear esta notación hemos de tener cuidado en no confundir con las operaciones suma
y producto hecho en Z2 . En relación al producto no hay problema, pues vimos como la operación ∧ se
corresponde con el producto en Z2 . Sin embargo, en Z2 se tiene que x ∨ y = x + y + xy, lo cual hace que
la operación + difiera de la operación ∨, pues 1 + 1 = 0 mientras que 1 ∨ 1 = 1. Para el resto de parejas,
ambas operaciones coinciden (0 + 0 = 0 ∨ 0; 0 + 1 = 0 ∨ 1; 1 + 0 = 1 ∨ 0). El contexto nos aclarará en
cada caso si al emplear el símbolo + nos estamos refiriendo a la suma (en Z2 ) o al supremo (en B).
Por ejemplo, si decimos sea f la función booleana dada por f (x, y, z) = xy + yz 0 está claro que nos
referimos al supremo. En tal caso, se tiene que
f (0, 1, 1) = 0 · 1 + 1 · 0 = 0 + 0 = 0
f (1, 1, 0) = 1 · 1 + 1 · 1 = 1 + 1 = 1
Definición 49. Dos expresiones booleanas son equivalentes si las correspondientes funciones booleanas
son iguales. Si x e y son expresiones booleanas equivalentes emplearemos el símbolo x = y.
Ejemplo 3.3.7. Las expresiones booleanas x0 y 0 y (x+y)0 son equivalentes. También lo son las expresiones
x + y + x0 y 0 y 1.
Definición 50. Sea S = {x1 , x2 , · · · , xn }. Un minterm en n variables es el producto de n literales, cada
uno con una variable diferente.
Ejemplo 3.3.8. Si S = {x, y, z} son minterm xyz, xy 0 z 0 , x0 yz. No son minterm xy, xyy 0 ni xzx.
Lema 3.3.2. Sea m un minterm en n variables. Entonces m determina una función booleana f : Bn → B
que vale 1 en un elemento de Bn y 0 en el resto.
Ejemplo 3.3.9. Sea f : B2 → B la función booleana dada por f (x, y) = xy 0 . Claramente xy 0 es un
minterm. Se tiene que f (1, 0) = 1, mientras que f (0, 0) = f (0, 1) = f (1, 1) = 0
Corolario 3.3.1. Los minterm son los átomos del álgebra Fn .
Departamento de Álgebra
3.3. Álgebras de Boole
87
Corolario 3.3.2. Toda función booleana se expresa de forma única (salvo el orden) como suma (supremo)
de minterm.
La expresión de una función booleana como suma de minterm recibe el nombre de forma normal
disyuntiva. Para hallar la forma normal disyuntiva de una función booleana podemos emplear dos métodos.
El primero consiste en evaluar la función en todos los elementos de Bn , y observar en cuales de ellos
toma el valor 1. Cada uno de esos elementos se corresponde con un minterm.
El segundo consiste en, a partir de una expresión booleana que nos defina a f , utilizar las propiedades
de un álgebra de Boole (asociativa, distributiva, leyes de De Morgan, etc.) para transformar la expresión
en una suma de minterm.
Ejemplo 3.3.10. Vamos a expresar como supremo de minterm la función booleana dada por f (x, y) =
x + y.
1. Si queremos emplear el primer método, evaluamos la función en los cuatro elementos de B2 . Nos
queda:
f (0, 0) = 0 + 0 = 0
f (0, 1) = 0 + 1 = 1
f (1, 0) = 1 + 0 = 1
f (1, 1) = 1 + 1 = 1
El elemento (0, 1) se corresponde con el minterm x0 y, el (1, 0) con xy 0 mientras que (1, 1) se corresponde con xy. Por tanto tenemos que f (x, y) = x0 y + xy 0 + xy.
2. Empleamos ahora el segundo método. En este caso
f (x, y) = x + y
=x·1+1·y
= x(y + y 0 ) + (x + x0 )y
= xy + xy 0 + xy + x0 y
= xy + xy + xy 0 + x0 y
= xy + xy 0 + x0 y
pues x · 1 = x y 1 · y = y
definición de complementario
propiedad distributiva
propiedad conmutativa
idempotencia: xy + xy = xy
Cada elemento de Bn es una secuencia de n dígitos ceros o unos. Es por tanto, la expresión en binario
de un número entre 0 y 2n − 1. Por otra parte, a cada elemento de Bn le corresponde un minterm (aquél
para el que toma el valor 1). Por tanto, cada minterm está determinado por un número comprendido
entre 0 y 2n − 1. Denotaremos por el minterm a, donde 0 ≤ a ≤ 2n−1 , y lo representaremos como m(a)
o ma , al minterm determinado por el número a siguiendo el criterio anterior.
Por ejemplo, el minterm xyz 0 t0 toma el valor 1 en (1, 1, 0, 0). Puesto que 12 = (1100)2 tenemos que
xyz 0 t0 es el minterm 12, o dicho de otra forma, xyz 0 t0 = m12 = m(12).
Ejemplo 3.3.11. La función booleana del ejemplo anterior f (x, y) = x + y hemos visto que se expresa
como suma de minterm de la forma f (x, y) = xy + xy 0 + x0 y. Empleando la notación recién introducida
nos quedaría f (x, y) = m3 + m2 + m1 , o si preferimos f (x, y) = m1 + m2 + m3 .
P
También se suele emplear la notación f (x, y) =
m(1, 2, 3).
De la misma forma que toda función booleana se expresa de forma única como suma de minterm,
se puede probar que toda función booleana se expresa de forma única como producto de maxterm. Una
expresión de esta forma se denomina forma canónica conjuntiva.
Un maxtern es una suma de n literales. Se corresponde con una función booleana que vale 1 en todos
los elementos de Bn salvo en uno, en el que vale 0. Este elemento determina al maxterm.
Jesús García Miranda
88
3.3.4.
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
Puertas lógicas
En este apartado utilizaremos las funciones booleanas para el diseño de circuitos lógicos. Los elementos
básicos de estos circuitos se llaman puertas lógicas. Aquí emplearemos tres tipos de puertas lógicas, cada
una correspondiente a una operación booleana, y las combinaremos para diseñar circuitos que realicen
una serie de tareas. Las puertas básicas a emplear son:
La puerta NOT que tiene como entrada el valor de una variable booleana y produce como salida el
complementario de dicho valor. Para una puerta NOT emplearemos el siguiente símbolo.
x0
x
La puerta AND que tiene como entrada el valor de dos o más variables booleanas, y como salida
el producto de éstas. Las entradas se muestran a la izquierda y la salida a la derecha. Emplearemos el
siguiente símbolo para esta puerta.
xy
x
y
La puerta OR tiene como entrada el valor de dos o más variables booleanas, y como salida la suma
de éstas. La representaremos mediante el siguiente símbolo.
...
..
..
..
..
x
y
..
.......
.....
...
.....
.......
..
x+y
Ejemplo 3.3.12. Vamos a diseñar un circuito con dos entradas y que produzca la salida xy + x0 y.
xy
x
0
x
...
..
.
..
...
0
xy
y
xy + x0 y
..
.......
....
...
....
.......
..
Nótese que puesto que xy + x0 y = (x + x0 )y = 1 · y = y podría haberse diseñado un circuito mucho
más simple que tuviera el mismo efecto.
A continuación vamos a diseñar un circuito que, introducidos dos números en binario nos devuelve su
suma.
Para esto, comenzamos en primer lugar diseñando un circuito que, dados dos dígitos binarios nos
devuelva la suma. Puesto que los posibles resultados de la suma son 0, 1 y 10 necesitamos un circuito que
tenga dos salidas. Denotaremos el bit de la derecha como s (suma) y el de la izquierda como a (acarreo).
Se tiene entonces que s = x0 y + xy 0 = (x + y)(xy)0 mientras que a = xy. Un circuito podría ser entonces:
x
..
.......
.....
...
....
.......
..
...
..
..
..
...
x+y
s
0
(xy)
xy
y
a
Denominaremos a este circuito como suma parcial.
Construyamos ahora un circuito que nos sume dos dígitos binarios más el posible acarreo de una
suma anterior. Podemos ver fácilmente que esto es equivalente a sumar tres dígitos binarios x, y y z. El
resultado será, como antes una salida doble. A las dos salidas las denotaremos de la misma forma que en
el caso anterior: s y a.
Para obtener la salida s, obtenemos la suma de x e y, y al resultado le sumamos z. Puede verse
entonces que un circuito que nos da la suma de tres dígitos sería:
s
z
y
x
s
suma
parcial a
suma
parcial a
s
...
...
...
...
...
...
..
.
..
Departamento de Álgebra
..
........
....
....
....
....
....
...
.
.
..
.
.
.
........
..
a
3.3. Álgebras de Boole
89
Denotaremos a este circuito como suma total
Veamos ahora como calcular la suma de dos números entre 0 y 7. Supongamos que estos números se
escriben en binario como x2 x1 x0 e y2 y1 y0 . Su suma, escrita en binario es s3 s2 s1 s0 .
x0
y0
x1
y1
x2
y2
3.3.5.
s0
suma
parcial
s1
suma
total
s2
suma
total
s3
Optimización de funciones booleanas
Hemos visto en la subsección anterior como a partir de la representación de una función booleana
en n variables haciendo uso de una expresión booleana podemos diseñar un circuito que nos devuelva el
resultado de aplicar la función a las n variables.
Puesto que cualquier función booleana puede expresarse como suma de minterm, podemos diseñar
cualquier circuito empleando las tres puertas NOT, OR y AND. Sin embargo, la expresión de una función
como suma de minterm no es en general la más apropiada pues requiere de muchas operaciones, lo que
se traduce en la necesidad de emplear gran cantidad de puertas.
Así, por ejemplo, los siguientes circuitos producen el mismo efecto sobre las entrada x, y.
x
...
...
..
..
..
..
.
..
..
.........
....
....
..
....
...
.
.
.
.........
..
x
y
...
..
..
..
..
..
.......
....
....
.
....
.......
..
y
pues el primer circuito responde a la función xy + xy 0 + x0 y, mientras que el segundo a x + y, que vimos
anteriormente que son iguales.
Lo que pretendemos, es, a partir de una expresión de suma de minterm, transformarla en otra expresión
equivalente con menos sumandos y menor productos en los sumandos. Vamos a estudiar dos métodos para
este propósito. Por una parte, los mapas de Karnaugh, y por otra parte el método de Quine-McCluskey.
Referente al primero, decir que es un método eficiente para funciones de no más de cuatro variables,
mientras que puede utilizarse hasta funciones de seis variables.
En cuanto al segundo, aunque realiza la optimización de forma automática, y podría implementarse
como un programa informático, el algoritmo, para un número grande de variables booleanas, es computacionalmente muy costoso.
Mapas de Karnaugh
En primer lugar veremos qué es un mapa de Karnaugh, y posteriormente veremos cómo utilizarlos
para optimizar las expresiones booleanas.
Un mapa de Karnaugh para una función booleana de dos, tres o cuatro variables es una tabla con tantas
celdas como posibles minterm (4 para dos variables, 8 para tres variables y 16 para cuatro variables).
Cada celda va asociada a un minterm, y dos celdas adyacentes se diferencian únicamente en un literal,
así como dos celdas opuestas en una fila o una columna.
Jesús García Miranda
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
zt
z0t
z 0 t0
zt0
90
y0
y
y0 z
yz
y0 z0
yz 0
xy
x
x
x0 y
x0
x0
x0 y 0
xy 0
Por ejemplo, en el mapa correspondiente a 4 variables, las cuatro celdas adyacentes a x0 yz 0 t son: por
arriba, xyz 0 t, por la derecha x0 yz 0 t0 , por abajo x0 y 0 z 0 t y por la izquierda x0 yzt. Vemos como cada una de
estas celdas se diferencia de x0 yz 0 t en sólo un literal (x0 − x en la primera, t − t0 en la segunda, y − y 0 en
la tercera y z 0 − z en la cuarta).
Vemos también como las celdas opuestas de la misma fila se diferencian también en sólo un literal (en
la segunda fila, estas celdas opuestas son x0 yzt y x0 yzt0 ), así como las celdas opuestas de una columna.
Si ahora tenemos una función booleana en dos, tres o cuatro variables, su mapa de Karnaugh consiste
en la tabla antes descrita, en la que se han destacado aquellas celdas correspondientes a los minterm que
aparecen en la forma normal disyuntiva de la función. Nosotros aquí las marcaremos con un 1.
Ejemplo 3.3.13. Vamos a dibujar los mapas de Karnaugh de las funciones booleanas: f (x, y) = xy 0 +xy;
f (x, y, z) = (x + y)0 (y 0 z) + (y 0 z)0 ; f (x, y, z, t) = xyz 0 t0 + xy 0 zt + xy 0 z 0 t0 + x0 yz 0 t0 + x0 y 0 zt0 + xy 0 zt0 + x0 y 0 z 0 t0 .
x
y
y0
1
1
xy 0 + xy
0
x
y0 z
yz
x
1
y0 z0
yz 0
1
1
(x + y)0 (y 0 z) + (y 0 z)0
x
zt
z0t
0
z 0 t0
xy
1
x0 y
1
1
1
1
1
zt0
xyz 0 t0 + xy 0 zt + xy 0 z 0 t0 + x0 yz 0 t0 + x0 y 0 zt0 + xy 0 zt0 + x0 y 0 z 0 t0
0 0
xy
xy 0
1
1
1
1
1
Una vez dibujado el mapa de Karnaugh de una función booleana, se buscan los 1 que aparezcan
en celdas adyacentes (u opuestas en una misma fila o columna). Dos de estas celdas se transforman
en un único producto en el que ha desaparecido el literal que los difiere. Así, en el ejemplo del mapa
de Karnaugh para la función de dos variables, tenemos dos "unos" adyacentes, situados en las celdas
xy y xy 0 . Estas dos celdas dan lugar a un producto en el que desaparece el literal diferente (y, y 0 ),
dando lugar a la expresión booleana x. Obviamente, lo único que estamos haciendo es la transformación
Departamento de Álgebra
3.3. Álgebras de Boole
91
xy + xy 0 = x(y + y 0 ) = x · 1 = x, donde se ha empleado la propiedad distributiva, la definición de
complementario y de 1. Los mapas de Karnaugh constituyen una representación gráfica de una función
booleana que ayuda a encontrar los minterm que podemos agrupar.
De la misma forma, si encontramos cuatro "unos" adyacentes, formando, bien un cuadrado, bien una
línea (fila o columna), podemos sustituirlos por un solo producto en el que se eliminan los dos litereles
que difieren en esas cuatro celdas.
El objetivo es tratar de agrupar los "unos" en el menor número posible de bloques, y de mayor tamaño.
Vamos a optimizar las dos funciones que hemos representado mediante mapas de Karnaugh en el
ejemplo anterior. En primer lugar consideramos la función f : B3 → B dada por f (x, y, z) = (x +
y)0 (y 0 z) + (y 0 z)0 .
yz
x
1
x0
1
y0 z
1
y0 z0
yz 0
1
1
1
1
y vemos que podemos agrupar en 3 bloques, lo que da lugar a tres sumandos, que son yz, x0 y 0 z y z 0 . Es
decir, f (x, y, z) = yz + z 0 y 0 z + z 0 .
Vemos también que podemos hacer otras agrupaciones en 3 bloques. Por ejemplo,
yz
x
1
x0
1
y0 z
1
y0 z0
yz 0
1
1
x
1
1
1
x0
1
y0 z
yz
y0 z0
yz 0
1
1
1
1
1
que dan lugar a las expresiones f (x, y, z) = yz + x0 z + z 0 o a f (x, y, z) = yz + x0 + z 0 .
Sin embargo, no olvidemos que también se consideran adyacentes las celdas opuestas de una misma
fila. Podemos entonces agrupar en los siguientes bloques:
yz
x
1
x0
1
y0 z
1
y0 z0
yz 0
1
1
1
1
lo que da lugar a la expresión f (x, y, z) = x0 + y + z 0 .
Podemos apreciar como en todas las optimizaciones obtenidas hemos obtenido tres sumandos. Sin
embargo, esta última parece mejor, pues es la que tiene menos productos en cada sumando. Esto viene
de haber obtenido los bloques más grandes.
Por último, vamos a optimizar la función f : B4 → B dada por
f (x, y, z, t) = xyz 0 t0 + xy 0 zt + xy 0 z 0 t0 + x0 yz 0 t0 + x0 y 0 zt0 + xy 0 zt0 + x0 y 0 z 0 t0
Para esto, agrupamos los "unos" del mapa de Karnaugh por bloques:
Jesús García Miranda
92
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
zt
z0t
z 0 t0
zt0
xy
1
x0 y
1
x0 y 0
1
1
1
1
xy 0
1
lo que da lugar a la expresión f (x, y, z, t) = z 0 t0 + y 0 t0 + xy 0 z.
Método de Quine - McCluskey
Acabamos de ver como los mapas de Karnaugh nos ayudan a minimizar el desarrollo de una función
booleana como suma de productos. Sin embargo, este método se basa en la visualización de la función en
un diagrama, y es poco eficiente para funciones de más de cuatro variables. Sería conveniente tener un
proceso que pudiera automatizarse. El método de Quine-McCluskey se ajusta a esta condición. El método
consta de dos partes. En una primera, se determinan que términos son candidatos a que aparezcan en
un desarrollo minimal. En la segunda se seleccionan de estos candidatos los que intervienen en dicho
desarrollo.
Describamos a continuación el método.
Sabemos que cada minterm en n variables va unido a una secuencia de n bits. En primer lugar, dada
una función booleana como suma de minterm, ordenamos las cadenas de bits en una columna, agrupando
aquellos en los que aparecen igual cantidad de "unos".
Comparamos las cadenas de un grupo con las del grupo inmediatamente inferior. Si encontramos
dos cadenas que difieren únicamente en un bit, las marcamos y, en una columna situada a la derecha,
representamos estas dos cadenas por una nueva en la que sustituimos el bit diferente por −. Si aparecieran
dos cadenas iguales, se deja únicamente una.
Una vez realizadas todas las comparaciones posibles, en esta nueva columna repetimos el proceso.
Se continúa así hasta que no podamos obtener una nueva columna.
Se seleccionan aquellas cadenas que no hayan sido marcadas.
Veamos esto con un ejemplo.
Ejemplo 3.3.14. Sea la expresión booleana xyz + x0 yz + x0 y 0 z + x0 y 0 z 0 + xy 0 z
Cada minterm lo representamos mediante una cadena de tres dígitos binarios. Estos son 111, 011,
001, 000 y 101. Ordenamos las cadenas en una columna, situando en primer lugar la que tiene 3 "unos",
a continuación las que tienen 2 "unos" y así sucesivamente.
111
011
101
001
000
Comparamos la cadena del primer nivel con las de segundo. Resulta que hay 2 de las que se diferencia
en un único dígito. Sustituimos este dígito por −, luego nos queda −11 y 1 − 1.
Comparamos las cadenas del segundo y tercer nivel, y vemos que 101 y 001 se diferencian en un único
dígito. Esto da lugar a la cadena −01. Por último, comparamos la del tercer nivel con el cuarto, lo que
nos da 00−.
Ordenamos todos estos datos en una nueva columna y todas las cadenas de esta columna que han
Departamento de Álgebra
3.3. Álgebras de Boole
intervenido en alguna de la segunda las marcamos.
∼ 111
∼ 011
∼ 101
∼ 001
∼ 000
93
−11
1−1
0−1
−01
00−
Repetimos aquí el proceso con la segunda columna
∼ 111
∼ 011
∼ 101
∼ 001
∼ 000
∼ −11
∼ 1−1
∼ 0−1
∼ −01
00−
−−1
Las cadenas a seleccionar son entonces las no marcadas, es decir, −−1 y 00−, que se corresponden
con los términos z y x0 y 0 .
La segunda parte de este método consiste en encontrar, de todos los productos booleanos, el menor
conjunto de ellos que represente a la expresión booleana dada. Para ello, hacemos una tabla en la que,
en el eje horizontal situamos los minterm que nos definían la expresión booleana, mientras que en el eje
vertical situamos los productos booleanos que hemos seleccionado en la primera parte. A continuación
señalamos las celdas que se correspondan con un producto booleano y un minterm con la condición de
que todos los literales que intervienen en el producto booleano también se encuentren en el minterm.
Una vez hecho esto, elegimos la menor cantidad de productos booleanos de forma que uniendo las
celdas que están señaladas en sus filas podamos completar una fila completa de la tabla. De haber varias
posibles elecciones nos quedamos con aquellas en que los productos booleanos tengan la menor cantidad
posible de literales.
Ejemplo 3.3.15. En el ejemplo anterior, la tabla nos quedaría como sigue:
z
x0 y 0
xyz
X
xy 0 z
X
x0 yz
X
x0 y 0 z
X
X
x0 y 0 z 0
X
Vemos como aquí necesitamos los dos productos booleanos para rellenar una fila.
Después de todo esto deducimos que:
xyz + x0 yz + x0 y 0 z + x0 y 0 z 0 + xy 0 z = x0 y 0 + z
Veamos a continuación un ejemplo completo.
Ejemplo 3.3.16. Dada la expresión booleana xyzt0 + x0 yzt + x0 y 0 z 0 t + xy 0 zt0 + x0 y 0 zt + xy 0 zt + x0 yz 0 t
vamos a tratar de encontrar una expresión óptima mediante el método de Quine-McCluskey.
Las cadenas de bits correspondientes a cada uno de los minterm son 1110, 0111, 0001, 1010, 0011,
1011 y 0101. A partir de ellas construimos la tabla:
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
1110
1011
0111
1010
0101
0011
0001
∼
∼
∼
∼
1-10
101-011
01-1
0-11
0-01
00-1
Jesús García Miranda
0- -1
CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
A partir de aquí seleccionamos las cadenas que no están marcadas, que se corresponden con los productos xzt0 , xy 0 z, y 0 zt y x0 t. Esto nos da la siguiente tabla:
94
xzt0
xy 0 z
y 0 zt
x0 t
xyzt0
X
x0 yzt
x0 y 0 z 0 t xy 0 zt0
X
X
X
x0 y 0 zt
0
x0 yz 0 t
X
X
X
X
X
0
xy 0 zt
X
0
0
0
Y a partir de la tabla se ve como tanto xzt , xy z y x t como xzt , y zt y x0 t nos sirven para poder
completar una fila. Por tanto deducimos que
xyzt0 + x0 yzt + x0 y 0 z 0 t + xy 0 zt0 + x0 y 0 zt + xy 0 zt + x0 yz 0 t = xzt0 + xy 0 z + x0 t = xzt0 + y 0 zt + x0 t
Si para optimizar esta expresión booleana empleamos los mapas de Karnaugh vemos que podemos
agrupar los "unos" de dos maneras diferentes:
zt
z0t
z 0 t0
zt0
xy
z0t
zt
1
xy
zt0
1
x0 y
1
1
x0 y
1
1
x0 y 0
1
1
x0 y 0
1
1
xy 0
1
xy 0
1
1
z 0 t0
1
lo que nos da las dos expresiones que acabamos de ver.
3.3.6.
Conjuntos funcionalmente completos
En secciones precedentes hemos visto como a partir de tres puertas lógicas, las puertas AND, OR
y NOT podemos diseñar circuitos lógicos, y en la sección anterior hemos estudiado como minimizar el
número de puertas necesarias para diseñar tales circuitos. Sin embargo, para construir tales circuitos es
necesario emplear tres tipos de puertas lógicas diferentes. En esta sección vamos a intentar construir
cualquier circuito lógico empleando menos puertas diferentes, aunque sea a costa de aumentar el número
de éstas.
Comenzamos reduciendo el número de puertas distintas necesarias a 2.
Proposición 3.3.2. Las puertas lógicas OR y NOT, o las puertas lógicas AND y NOT son suficientes
para la construcción de cualquier circuito lógico.
Demostración: Para ver que las puertas OR y NOT son suficientes, basta comprobar que xy = (x0 +y 0 )0 ,
lo que nos dice que podemos construir una puerta AND usando las puertas OR y NOT. Esta puerta podría
quedar como sigue:
x
y
...
..
..
..
..
..
.......
....
...
....
.......
..
x·y
Y por tanto, usando únicamente puertas OR y NOT podemos construir cualquier circuito.
De la misma forma, y puesto que x + y = (x0 y 0 )0 se puede ver que usando únicamente las puetas AND
y NOT se puede diseñar cualquier circuito.
¥
Departamento de Álgebra
3.3. Álgebras de Boole
95
Definición 51. Sean x, y variables booleanas. Se definen las funciones booleanas − ↑ − y − ↓ − como
sigue:
x ↑ y = (x · y)0
x ↓ y = (x + y)0
Es decir:
0↑0=1
0↑1=1
1↑0=1
1↑1=0
0↓0=1
0↓1=0
1↓0=0
1↓1=0
Estos operadores se denotan como NAND (NOT AND) y NOR (NOT OR) respectivamente.
Proposición 3.3.3. Cualquier función booleana se puede expresar usando únicamente el operador NAND
(resp. NOR).
Demostración:
Para comprobar esto, escribimos en primer lugar:
x0 = (x · x)0 = x ↑ x
x + y = (x0 · y 0 )0 = x0 ↑ y 0 = (x ↑ x) ↑ (y ↑ y)
es decir, los operadores NOT y OR pueden expresarse utilizando únicamente NAND. La proposición
3.3.2 nos dice que cualquier funcíón booleana la podemos expresar únicamente con el operador NAND.
De la misma forma, puesto que x0 = x ↓ x y x · y = (x ↓ x) ↓ (y ↓ y) deducimos que el operador NOR
es suficiente para expresar cualquier función booleana. ¥.
Las puertas correspondientes NAND y NOR se suelen representar como sigue:
x
y
x↑y
x
y
...
..
..
..
...
..
.......
.....
.
...
....
.......
..
x↓y
Cualquiera de los circuitos que vimos en la sección 3.3.4, o cualquier otro que se nos ocurra podemos
ahora diseñarlo usando únicamente la puerta NAND (o la puerta NOR). Esta puerta se construye de
forma sencilla con transistores, tanto con la tecnología de semiconductores como con las técnicas más
recientes de fabricación de microcircuitos.
Jesús García Miranda