Ö Ó× Ú Ö Ð Ð ØÓÖ

Estadística
EIAE (UPM)
Ejeriios de
variable aleatoria
Estadística– p. 1
Ejercicio 1
Estadística
EIAE (UPM)
Sea X la variable aleatoria “suma de la puntuación al lanzar dos dados”
(a) Obtener su función de probabilidad.
(b) Obtener su función de distribución.
(c) Calcular P (X = 3)
(d) Calcular P (X > 2)
(e) Calcular P (5 < X ≤ 7)
Estadística– p. 2
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
X ≡ suma de la puntuación al lanzar dos dados
P (X = x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Comprobamos que es función de probabilidad
i) P (X = x) ≥ 0
∀x = 2, 3, . . . , 12
12
X
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
ii)
=1
P (X = x) =
36
x=2
Estadística– p. 3
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
X ≡ suma de la puntuación al lanzar dos dados
P (X = x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F (x) = P (X ≤ x) =

























































0
x<2
1/36
2≤x<3
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
F(x)
3≤x<4
4≤x<5
1
5≤x<6
6≤x<7
7≤x<8
1/2
8≤x<9
9 ≤ x < 10
10 ≤ x < 11
2
4
6
8
10
x
12
11 ≤ x < 12
x ≥ 12
Estadística– p. 4
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
X ≡ suma de la puntuación al lanzar dos dados
P (X = x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
(c) P (X = 3) = 2/36
(d) P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − P (X = 2) = 1 −
(e) P (5 < X ≤ 7) =
7
X
x=6
P (X = x) =
35
1
=
36
36
6
11
5
+
=
36
36
36
Estadística– p. 5
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Dos profesores del Dpto. de Matemáticas (Lucas y Javier) suben todos los
días sendas bandejas de comida del bar. Para ver quién las baja después
de comer, Lucas lanza una moneda hasta que sale la primera cara. Si el
número total de lanzamientos es menor que 4, Lucas baja las bandejas si
no, lo hace Javier.
(a) Establecer la v.a. y obtener su función de probabilidad.
(b) Obtener su función de distribución.
(c) Calcular la probabilidad de que Lucas baje mañana las bandejas.
Estadística– p. 6
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Dos profesores del Dpto. de Matemáticas (Lucas y Javier) suben todos los
días sendas bandejas de comida del bar. Para ver quién las baja después
de comer, Lucas lanza una moneda hasta que sale la primera cara. Si el
número total de lanzamientos es menor que 4, Lucas baja las bandejas si
no, lo hace Javier.
(a) Establecer la v.a. y obtener su función de probabilidad.
X ≡ Número de lanzamientos hasta que sale la primera cara
x−1
1
1
P (X = x) =
2
2
x = 1, 2, 3, . . .
Comprobamos que es función de probabilidad
i) P (X = x) ≥ 0
ii)
∞
X
x=1
P (X = x) =
∀x ∈ N
∞ x−1
X
1
1
2 x=1
2
1
1
=1
=
2 1 − 1/2
Estadística– p. 7
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Dos profesores del Dpto. de Matemáticas (Lucas y Javier) suben todos los
días sendas bandejas de comida del bar. Para ver quién las baja después
de comer, Lucas lanza una moneda hasta que sale la primera cara. Si el
número total de lanzamientos es menor que 4, Lucas baja las bandejas si
no, lo hace Javier.
(b) Obtener su función de distribución.
X ≡ Número
de lanzamientos hasta que sale la primera cara
x−1
1
1
P (X = x) =
2
2
x
X
x = 1, 2, 3, . . .
x 1 X 1 k−1
F (x) = P (X ≤ x) =
P (X = k) =
2 k=1 2
k=1


 0
n
F (x) =
1

 1−
2
x−1
1
1
x
1−
1
1
2
2
=
=1−
1
2
2
1−
2
x<1
n≤x<n+1
Estadística– p. 8
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Dos profesores del Dpto. de Matemáticas (Lucas y Javier) suben todos los
días sendas bandejas de comida del bar. Para ver quién las baja después
de comer, Lucas lanza una moneda hasta que sale la primera cara. Si el
número total de lanzamientos es menor que 4, Lucas baja las bandejas si
no, lo hace Javier.
(c) Calcular la probabilidad de que Lucas baje mañana las bandejas.
X ≡ Número de lanzamientos hasta que sale la primera cara
x−1
1
1
P (X = x) =
2
2
x = 1, 2, 3, . . .
P (Lucas baje las bandejas) = P (X < 4) = P (X ≤ 3) =
=
3
X
k=1
3
1
7
= = 0.875
P (X = k) = F (3) = 1 −
2
8
Estadística– p. 9
Ejercicio 3
Estadística
EIAE (UPM)
Un lote de 10 tornillos contiene 3 defectuosos. Se extraen 3 tornillos y se
estudia cómo son. Si hay menos de 2 defectuosos, se acepta el lote.
(a) Establecer la v.a. y obtener su función de probabilidad.
(b) Obtener su función de distribución.
(c) Calcular la probabilidad de rechazar el lote.
Estadística– p. 10
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
10 tornillos: 3 defectuosos. Se extraen 3 tornillos: Si hay menos de 2 defectuosos, se acepta el lote.
X ≡ Número
de tornillos defectuosos en una muestra de 3
P (X = x) =
3
7
x
3−x
10
3
x = 0, 1, 2, 3
P (X = 0)
!
7
3
!
10
3
P (X = 1)
!
!
3
7
1
2
!
10
3
P (X = 2)
!
!
3
7
2
1
!
10
3
P (X = 3)
!
3
3
!
10
3
35
120
63
120
21
120
1
120
Estadística– p. 11
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
10 tornillos: 3 defectuosos. Se extraen 3 tornillos: Si hay menos de 2 defectuosos, se acepta el lote.
X ≡ Número
de tornillos defectuosos en una muestra de 3
x<0
F (x) = P (X ≤ x) = 0
0≤x<1
F (x) = P (X ≤ x) = P (X = 0) =
1≤x<2
2≤x<3
x≥3
35
120
98
F (x) = P (X ≤ x) = P (X = 0) + P (X = 1) =
120
119
F (x) = P (X ≤ x) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
120
F (x) = P (X ≤ x) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1
F (x) =

0







 35/120
98/120




119/120




1
x<0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<3
x≥3
Estadística– p. 12
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
Un lote de 10 tornillos contiene 3 defectuosos. Se extraen 3 tornillos y se
estudia cómo son. Si hay menos de 2 defectuosos, se acepta el lote.
(c) Calcular la probabilidad de rechazar el lote.
X ≡ Número de tornillos defectuosos en una muestra de 3
P (X = 0)
P (X = 1)
P (X = 2)
P (X = 3)
35
120
63
120
21
120
1
120
22
P (Rechazar el lote) = P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) =
120
Estadística– p. 13
Ejercicio 4
Estadística
EIAE (UPM)
Cinco alumnos lanzan simultáneamente monedas para determinar quién es
el guapo que le dice al profesor que termine las clases a su hora. El sistema
es el siguiente: el primero que obtenga un resultado (ya sea cara o cruz)
distinto de cada uno de los resultados obtenidos por todos los demás, es el
que pringa. Sea X la v.a. que representa el número de ensayos requeridos
para concluir el juego. Se pide
(a) Obtener la función de probabilidad de X.
(b) Obtener su función de distribución.
(c) Calcular P (X > 2)
(d) Calcular P (3 ≤ X ≤ 6)
Estadística– p. 14
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
5 alumnos (A, B, C, D y E)
X = no de lanzamientos hasta concluir el juego
En 1 lanzamiento:
4
4
1 1
1 1
5
p = P (acabar el juego) = P ({1c,4+} ∪ {4c,1+}) =
×5+
×5=
2 2
2 2
16
11
1 − p = P (no acabar el juego) =
16
En x lanzamientos:
P (X = x) = (1 − p)x−1 p =
∞
X
x=1
P (X = x) = p
∞
X
11
16
(1 − p)
x=1
x−1
x−1
5
16
x = 1, 2, . . .
1
=p
=1
1 − (1 − p)
Estadística– p. 15
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
5 alumnos (A, B, C, D y E)
X = no de lanzamientos hasta concluir el juego
P (X = x) = (1 − p)
Si x < 1
x−1
p=
11
16
x−1
5
16
x = 1, 2, . . .
F (x) = 0
Si n ≤ x < n + 1
F (x) = P (X ≤ x) =
x
X
P (X = k) = p
k=1

 0
F (x) =
 1 − (1 − p)n
x
X
(1 − p)
k−1
k=1
1 − (1 − p)x
= 1 − (1 − p)x
=p
1 − (1 − p)
x<1
n≤x<n+1
Estadística– p. 16
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
5 alumnos (A, B, C, D y E)
X = no de lanzamientos hasta concluir el juego
P (X = x) = (1 − p)
x−1
p=
(c) P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 −
11
16
2
X
x−1
5
16
P (X = x) =
x=1
x = 1, 2, . . .
121
256
x−1
6 X
11
5
(d) P (3 ≤ X ≤ 6) =
P (X = x) =
16 x=3 16
x=3
6
X
Estadística– p. 17
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
La función de densidad de una v.a. X es
f (x) = a(1 + x2 )
0≤x≤3
(a) Calcular el valor de a
(b) Calcular la función de distribución
(c) Calcular P (1 < X < 2)
(d) Calcular P (X > 1)
(e) Calcular P {X < 2}|{X>1}
Estadística– p. 18
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
La función de densidad de una v.a. X es
f (x) = a(1 + x2 )
0≤x≤3
(a) Calcular el valor de a
1=
Z
+∞
f (x) dx = a
−∞
Z
3
1
(1 + x ) dx = 12a =⇒ a =
12
2
0
Estadística– p. 19
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
X −→ f (x) = a(1 + x2 )
Si x < 0
F (x) =
Z
x
f (t) dt =
−∞
Z
0≤x≤3
x
0 dt = 0
−∞
x
Si 0 ≤ x < 3
1
F (x) =
f (t) dt =
12
−∞
Si x ≥ 3
1
F (x) =
f (t) dt =
12
−∞
Z
Z
x



0



2
x
x
F (x) =
1+

12
3



 1
Z
x
Z
3
0
x
(1 + t ) dt =
12
2
(1 + t2 ) dt +
0
Z
1+
x2
3
x
0 dt = 1
3
si x < 0
si 0 ≤ x < 3
si x ≥ 3
Estadística– p. 20
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
X −→ f (x) = a(1 + x2 )
1
(c) P (1 < X < 2) = F (2) − F (1) =
12
Z
0≤x≤3
2
(1 + t2 ) dt =
1
1
(d) P (X > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − F (1) =
12
Z
3
5
18
8
(1 + t ) dt =
9
2
1
(e)
P {X < 2}{X>1}
=
P ({1 < X < 2})
P ({X < 2)} ∩ {X > 1})
=
=
P ({X > 1})
P ({X > 1})
=
5/18
5
=
8/9
16
Estadística– p. 21
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
El precio del petróleo es una v.a. con función de densidad
X −→ f (x) = e−x
x>0
y el precio de la gasolina es Y = 4X 2
Obtener la función de densidad del precio de la gasolina
G(y)
g(y)
=
=
√
√
√
√
P (Y ≤ y) = P 4X 2 ≤ y = P − y/2 ≤ X ≤ y/2 = P X ≤ y/2 = F ( y/2)
√
dF
(
y/2)
1
1 −√y/2
√
′
G (y) =
= √ f ( y/2) = √ e
dy
4 y
4 y
√
1
g(y) = √ e− y/2
4 y
y>0
Estadística– p. 22
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
El precio del petróleo es una v.a. con función de densidad
X −→ f (x) = e−x
x>0
4
X
Obtener la función de densidad del consumo de gasolina
y el consumo de gasolina es Y =
G(y)
=
P (Y ≤ y) = P (4/X ≤ y) = P (X ≥ 4/y) = 1 − P (X ≤ 4/y) = 1 − F (4/y)
g(y)
=
G′ (y) = −
4
4
dF (4/y)
= 2 f (4/y) = 2 e−4/y
dy
y
y
g(y) =
4 −4/y
e
y2
y>0
Estadística– p. 23
Estadística
Ejercicio 8
EIAE (UPM)
La v.a. X tiene función de densidad
f (x) =
1
2
−1<x<1
Obtener la función de densidad de Y = 4X 2
G(y)
g(y)
=
√
√
P (Y ≤ y) = P 4X 2 ≤ y = P − y/2 ≤ X ≤ y/2 =
√
√
√
√
y/2 − P X ≤ − y/2 = F ( y/2) − F (− y/2)
=
P X≤
=
√
√
dF
(−
y/2)
y/2)
dF
(
1
1
√
√
−
= √ f ( y/2) + √ f (− y/2) =
G′ (y) =
dy
dy
4 y
4 y
=
1 1
1 1
+ √
√
4 y 2
4 y 2
1
g(y) = √
4 y
0<y<4
Estadística– p. 24
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
Un empresa produce ejes cuyo radio en m sigue una distribución
X −→ f (x) = a(x − 1)(3 − x)
1≤x≤3
(a) Calcular a
(b) Obtener la distribución del radio en cm.
(c) Obtener la distribución del diámetro en m.
(d) Obtener la distribución del área de la sección en m2 .
(e) Si un eje se desecha cuando su radio se desvía de los 2 m más de 80 cm,
calcular la proporción de ejes que serán rechazados.
Estadística– p. 25
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
X ≡ radio en m −→ f (x) = a(x − 1)(3 − x)
1≤x≤3
(a) Calcular a
1 =
=
Z
+∞
f (x) dx = a
−∞
Z
1
3
(x − 1)(3 − x) dx =
i3
1 3
4
2
a − x + 2x − 3x = a =⇒
3
3
1
h
3
a=
4
Estadística– p. 26
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
X ≡ radio en m −→ f (x) =
3
(x − 1)(3 − x)
4
1≤x≤3
(b) Obtener la distribución del radio en cm.
Y ≡ radio en cm −→ Y = 100X
G(y) = P (Y ≤ y) = P (100X ≤ y) = P (X ≤ y/100) = F (y/100)
1
3 y
y dF (y/100)
=
f (y/100) =
−1 3−
g(y) = G (y) =
dy
100
400 100
100
′
g=
3
(y − 100)(300 − y)
4000000
100 ≤ y ≤ 300
Estadística– p. 27
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
X ≡ radio en m −→ f (x) =
3
(x − 1)(3 − x)
4
1≤x≤3
(c) Obtener la distribución del diámetro en m.
Y ≡ diámetro en m −→ Y = 2X
G(y) = P (Y ≤ y) = P (2X ≤ y) = P (X ≤ y/2) = F (y/2)
1
3 y
y
dF (y/2)
= f (y/2) =
−1 3−
g(y) = G (y) =
dy
2
8 2
2
′
g=
3
(y − 2)(6 − y)
32
2≤y≤6
Estadística– p. 28
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
X ≡ radio en m −→ f (x) =
3
(x − 1)(3 − x)
4
1≤x≤3
(d) Obtener la distribución del área de la sección en m2 .
Y ≡ área en m2 −→ Y = πX 2
p
p
2
G(y) = P (Y ≤ y) = P πX ≤ y = P X ≤ y/π = F ( y/π)
p
r r
p
dF ( y/π)
3
1
y
y
′
g(y) = G (y) =
= √ f ( y/π) = √
−1
3−
dy
2 πy
8 πy
π
π
g=
3
√
8π πy
√
√
√
√
( y − π)(3 π − y)
π ≤ y ≤ 9π
Estadística– p. 29
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
X ≡ radio en m −→ f (x) =
3
(x − 1)(3 − x)
4
1≤x≤3
(e) Si un eje se desecha cuando su radio se desvía de los 2 m más de 80 cm,
calcular la proporción de ejes que serán rechazados.
P (−0.80 < X − 2 < 0.80)
=
P (2 − 0.80 < X < 2 + 0.80) =
=
3
4
Z
2.80
1.20
(x − 1)(3 − x) dx = 0.944
proporción de ejes rechazados = 1 − P (−0.80 < X − 2 < 0.80) = 0.056 = 5.6 %
Estadística– p. 30
Estadística
Ejercicio 10
EIAE (UPM)
Sea X una v.a. con función de probabilidad
x
-2
-1
0
1
2
P (X = x)
0.1
0.2
0.2
0.4
0.1
(a) Obtener la función de probabilidad de Y = 2X
(b) Obtener la función de probabilidad de Y = X 2
Estadística– p. 31
Estadística
Ejercicio 10
EIAE (UPM)
Sea X una v.a. con función de probabilidad
x
-2
-1
0
1
2
P (X = x)
0.1
0.2
0.2
0.4
0.1
(a) Obtener la función de probabilidad de Y = 2X
y
-4
-2
0
2
4
P (Y = y)
0.1
0.2
0.2
0.4
0.1
Estadística– p. 32
Estadística
Ejercicio 10
EIAE (UPM)
Sea X una v.a. con función de probabilidad
x
-2
-1
0
1
2
P (X = x)
0.1
0.2
0.2
0.4
0.1
(b) Obtener la función de probabilidad de Y = X 2
y
0
1
4
P (Y = y)
0.2
0.6
0.2
Estadística– p. 33