Tres líquidos inmiscibles se vierte

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE FISICA
CATEDRA DE FISICA I
Ing. Civil, Ing. Electromecánica,
Ing. Eléctrica, Ing. Mecánica
HIDROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA - PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA Nº 2: Tres líquidos inmiscibles se vierten en un recipiente cilíndrico de 20cm
de diámetro. Las cantidades y las densidades de los líquidos son: 0,5 litros, 2,6g/cm3; 0,25
litros, 1g/cm3; 0,4 litros, 0,8g/cm3. ¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre el fondo del
recipiente? Ignorar la contribución de la atmósfera.
= 0,5 = 500
= 2,6 /
= 0,4 = 400
= 0,8 /
= 0,25 = 250
=1 /
Teniendo en cuenta la definición de presión
= /
la fuerza en el fondo del recipiente es la
presión en ese punto ( ) por el área (A)
= .
La presión en el fondo es debida al peso de la columna de fluido de sección unitaria
constituida por los tres líquidos, por ello determinamos
= +
ℎ ;
≅0 →
=
ℎ
=
=
=
Como
= (
+
ℎ =
+
=(
ℎ =
= ℎ
+
ℎ +
;
+
ℎ +
ℎ +
ℎ +
= ℎ
)
= 18,3. 10% &'( = 1,83)
ℎ
ℎ +
ℎ
!
= ℎ
ℎ ) =
ℎ
+
ℎ
+
ℎ
; la expresión de la fuerza resulta
= 980. (2,6 . 500 + 1 . 250 + 0,8 .400).
/#
1
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PROBLEMA N°6: Un tubo en U contiene mercurio. Se vierte agua en una de las ramas y en
la otra glicerina, hasta que sus superficies libres estén al mismo nivel. La longitud de la
columna de agua es h= 30cm y la de la glicerina h’= 30,5cm. a) Hallar la densidad de la
glicerina. b) Hallar la altura que debe tener la columna de glicerina para que la superficie del
mercurio esté al mismo nivel en las dos ramas del tubo.
Glicerina
Agua
ρhg= 13,6g/cm3
h= 30cm
h’= 30,5cm
h’
h
(2)
(1)
ρhg
a) Determinar la densidad de la glicerina, ρ=?
Teniendo en cuenta que en un líquido la presión en todos los puntos a un mismo nivel es la
misma, consideramos el punto (1) y el punto (2) en el mercurio que satisfacen esta condición
y planteamos:
P1= P2
=
Igualando las ecuaciones:
+
*+
+
*+
=
(ℎ, − ℎ) +
(ℎ, − ℎ) +
+
ℎ′
*. /
ℎ=
*. /
+
De esta ecuación despejamos la densidad de la glicerina
=
*+ (ℎ
,
− ℎ) +
ℎ′
*. / ℎ
=
13.6 1
0,5
30,5
+1 1
ℎ
ℎ′
30
= 1,21
ρ =1.21g/cm3
b) Determinar la altura de la columna de glicerina (h’’) si el nivel de mercurio en las dos
ramas es el mismo.
P1= P2
Igualando las ecuaciones:
+
=
=
*. /
+
+
ℎ=
ℎ
ℎ′′
*. /
+
ℎ′′
Simplificamos y despejamos h’’:
2
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ℎ,, =
*. / ℎ
=
1 1
1,21
30
= 24,8
h’’= 24,8cm
PROBLEMA N°10: El bloque A de la figura está suspendido mediante una cuerda de una
balanza de resorte D y sumergido en un líquido C contenido en la vasija B. El peso de ésta
es de 900gf y el del líquido 1,35kgf. La balanza D señala 2,25kgf y la G 6,75kgf. El
volumen del bloque A es de 2,80 dm3. a) ¿Cuál es la densidad del líquido? b) ¿Cuáles serán
las indicaciones de ambas balanzas al sacar el bloque A del líquido?
WB= 900Kgf Peso de la vasija B
WC= 1,35Kgf Peso del líquido C
TD= 2,25Kgf Peso aparente del cuerpo A medido por la balanza D
NG= 6,75kgf Peso aparente del sistema formado por el cuerpo A,
la vasija B y líquido C, medido por la balanza G
VA= 2,8 dm3
D
A
C
El cuerpo A al estar sumergido en el líquido C soporta el empuje E,
fuerza ejercida por éste, de magnitud igual al peso del líquido que
desaloja, cuya expresión es 2 =
, siendo ρ la densidad de
líquido, y V el volumen del líquido desalojado, que en este caso es igual al del cuerpo.
B
G
El cuerpo A está en equilibrio por lo que la resultante de las fuerzas es cero, su diagrama de
cuerpo libre es:
TD
E
WA
TD
NG
∑
4
∑
= 56 + 2 − 78 = 0
4
= 56 +
(1)
En esta ecuación ρ y WA son incógnitas por lo que se necesita otra ecuación,
por esto aislamos el sistema cuerpo A, líquido C y vasija B cuyo diagrama
de cuerpo libre es
∑
4
= 56 + )9 − 78 − 7: − 76 = 0
78 = 56 + )9 − 7: − 76
WA= 6,75Kgf
Despejando ρ de la ecuación (1) obtenemos
WA+C+B
− 78 = 0
3
ρ= 1,607Kg/dm
=
;< =>?
+@
3
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b) Al sacar el cuerpo del líquido, deja de actuar el empuje, por lo que la balanza D medirá el
peso del cuerpo esto es
TD= WA
TD= 6,75Kgf
Y la balanza G medirá el peso de la vasija y del líquido
NG= WB+WC
NG= 2,25kgf
PROBLEMA Nº13: El agua de un depósito abierto a la presión atmosférica en su parte
superior tiene 490cm de profundidad. La velocidad del agua en el tubo horizontal conectado
al fondo del depósito es de 200cm/s. ¿Cuál es la presión en atm en el tubo?
h= 4,90m
A
v= 2m/s
ρ= 1.103kg/m3
P0= 1,013.105Pa
h
B
+
La Ecuación de Bernoulli establece que:
ℎ+
A = BC
Teniendo en cuenta que las cantidades de esta ecuación deben ser evaluadas a lo largo de una
línea de corriente, elegimos los puntos A y B de la línea de corriente dibujada en el depósito
8
+
ℎ8 +
A8 =
D
+
ℎD +
AD (1)
Considerando la ecuación de continuidad para un flujo incompresible
vA AA= vB AB
y teniendo en cuenta que AA >>AB (AA área del depósito y AB área del tubo) podemos
considerar vA despreciable. Además tomando hA= h hB= 0 y la presión en la superficie
libre del líquido en el depósito igual a la atmosférica a nivel del mar, esto es PA= P0
Reemplazamos estas cantidades en (1) y despejando encontramos la expresión para calcular
PB, esto es:
D
=
+
ℎ−
AD
PB= 1,473.105N/m2 = 1,473 atm
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PROBLEMA N°18: En la figura se representa un tubo de Venturi para la medición del caudal
con el típico manómetro diferencial de mercurio. El diámetro de la entrada (sección1) es de
40cm y el del estrangulamiento de 20cm. Hallar el caudal de agua sabiendo que la diferencia
entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 30cm. La densidad del
mercurio es 13,6g/cm3. Expresar el resultado en m3/s.
La ecuación de continuidad expresa
A = BC y como el flujo es incompresible ρ1= ρ2 por
lo que resulta que
A = A = E es el caudal a determinar.
El área de cada sección es:
=F
=F
6G.
H
6..
H
=F
=F
H .
H
H
.
1
= 1256
h2
h1
= 340
h
a
Para determinar la rapidez en una de las secciones
evaluaremos la Ecuaciónde Bernoulli
1
+ ℎ+
A = BC
2
ℎ +
1
A =
2
+
b
hg
en los puntos 1 y 2 de la línea de corriente que los une
+
2
V
ℎ +
1
A
2
Como la línea de corriente es horizontal, la fuerza peso no realiza trabajo de 1 a 2, o sea
h1= h2, y los términos ρgh se cancelan, por lo que la ecuación anterior resulta:
−
(A − A )
=
(1)
Acá podemos hacer una serie de análisis; recordando la Ecuación de Continuidad la velocidad
v2 es mayor que la velocidad v1, porque la sección A2 es menor que A1; por lo tanto la
diferencia de presiones es positiva, esto quiere decir que la presión en P1 es mayor que en P2.
Esta diferencia de presiones se manifiesta en el tubo en U que se encuentra conectado,
produciendo que el nivel de mercurio del lado izquierdo sea menor que el del lado derecho.
Teniendo en cuenta que en un líquido la presión en todos los puntos a un mismo nivel es la
misma, consideramos el punto (a) y el punto (b) en el mercurio que satisfacen esta condición
y planteamos:
J
Igualando las dos ecuaciones:
=
I
+
=
Pa= Pb
+
ℎ
(ℎ − ℎ )+
*+
ℎ
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+
ℎ =
(ℎ −ℎ )+
+
*+
ℎ
Podemos determinar la diferencia de presión entre los puntos P1 y P2:
−
De la ecuación (1) y (2) obtenemos:
= ℎK
*+
(A − A ) = ℎK
− L
*+
(2)
− L
A =
(3)
y de la Ecuación de Continuidad expresada anteriormente
A =
E
;
A −A =E M
A =
1
−
E
1
A =E
N
Reemplazando en la ecuación (3)
1
1
1
E M − N = ℎK
2
*+
− L
Despejamos y calculamos el caudal Q:
E=O
2 ℎK *+ − L
2
=R
1
1
P − Q
(
K
− Lℎ
− )
*+
Reemplazando los datos obtenemos el caudal.
Q= 3. 105cm3/s= 0,3m3/s
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