Descargar separata de cocientes notables

Asesorı́a de Álgebra:Cocientes Notables
Prof. Carlos Torres
Como genera C.N., se cumple:
α=
Solucionario
m2 + 81
2m
=
∈ Z+
27
3
Donde α : número de términos
⇒ m2 − 18m + 81 = (m − 9)2 = 0 ⇒ m = 9
Pregunta 16
Entonces α = 6.
Hallar el término central del C.N.:
∴ Número de términos = 6
x3n+9 + y 6n+11
xn−1 + y 2n−3
Pregunta 18
a) x9 y 15
b) −x15 y 9
8 17
d) −x y
c) x15 y 9
Determine el grado del término central del C.N.:
9 15
e) −x y
x6α−3 − y 8α+3
xα−1 − y α+1
Resolución:
Como genera C.N., se cumple:
3n + 9
6n + 11
=
n−1
2n − 3
α=
Donde α : número de términos
a) 24
b) 21
d) 23
e) 25
c) 22
Resolución
Como genera C.N., se cumple:
⇒ (2n − 3)(3n + 9) = (6n + 1)(n − 1)
2
2
6n
+ 18n − 9n − 27 = 6n
− 6n + 11n − 11 ⇒ n = 4
Entonces α = 7.
n=
6α − 3
8α + 3
=
∈ Z+
α−1
α+1
Donde n: número de términos.
Luego,
Luego, por fórmula para hallar el término central:
t(central) = t( α+1 ) = t4 = (x3 )7−4 (y 5 )4−1
2
6α2 + 3α − 3 = 8α2 − 5α − 3
2α2 − 8α = 0 ⇒ α(α − 4) = 0
= (−1)4+1 x9 y 15
De esta última ecuación, se desprende que α = 0 ∨ α = 4.
= −x9 y 15
Considerando α = 4, entonces:
n=7
∴ t(central) = −x9 y 15
Ahora, por la fórmula para hallar el término central:
Pregunta 17
t(central) = t( n+1 ) = t4 = (x3 )3 (y 5 )3
2
Si la siguiente división:
= x9 y 15
2
xm +81 − y 2m
x27 − y 3
genera un cociente notable. Hallar el número de términos
∴ grado t(central) = 24
de dicho cociente notable.
Pregunta 19
a) 6
b) 15
d) 13
e) 27
Resolución:
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c) 12
Dado el cociente notable:
x120 − y 40
x3 − y
Además: Tp = x90 y m . Hallar: mp
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a) 72
b) 110
d) 56
e) 90
c) 132
a) 68
b) 66
d) 62
e) 60
Resolución:
Resolución
Se observa que el número de términos que genera el C.N.
Como genera C.N. se cumple
es 40. Ahora, como el dato es:
α=
Tp = x90 y m
c) 64
16n + 19
35n + 15
=
∈ Z+ (∗)
n+1
2n + 1
Donde α :número de términos.
hallamos el término de posición p:
⇒ 32n2 + 54n + 19 = 35n2 + 50n + 15 ⇒ 3n2 − 4n − 4 = 0
Tp = (x3 )40−p y p−1 = x90 y m
Factorizando por aspa simple:
(3n + 2)(n − 2) = 0 ⇒ n = −2/3 ∨ n = 2
De esta última igualdad se desprende que:
40 − p = 30 ∧ p − 1 = m ⇒ p = 10 ∧ m = 9
Evaluamos estos valores en (∗) y se observa que el único
valor válido es n = 2. Además, se desprende que α = 17.
∴ mp = 90
Ahora, para hallar el undécimo término aplicamos fórmula:
Pregunta 20
t11 = (x3 )6 (y 5 )10 = x18 .y 50
Indicar el lugar que ocupa el término independiente del
desarrollo del C.N.:
Pregunta 22
x27 − x−45
x3 − x−5
a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
∴ El grado absoluto de t11 es 68.
Halle el cociente de la división:
c) 5
x95 + x90 + x85 + x80 + . . . + x5 + 1
x80 + x60 + x40 + x20 + 1
a) x15 − x10 + x5 − 1
Resolución
b) x15 + 1
Se observa que el número de términos es 9. Luego, por
c) x15 + x10 + x5 + 1
fórmula:
d) x15 − x5 + 1
3 9−k
tk = (x )
=x
(x
−5 k−1
)
e) x15 − 1
27−3k 5−5k
x
Resolución:
= x32−8k
Llevando a cocientes notables:
Como nos piden el término independiente, entonces:
32 − 8k = 0 ⇒ k = 4
x95 + x90 + x85 + x80 + . . . + x5 + 1
=
x80 + x60 + x40 + x20 + 1
∴ El lugar que ocupa el término independiente es 4
x100 −1
x5 −1
x100 −1
x20 −1
De esta última igualdad se desprende que:
Pregunta 21
En el cociente notable generado por la división:
x16n+19 − y 5(7n+3)
xn+1 − y 2n+1
el grado absoluto del término de lugar undécimo es:
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x100 −1
x5 −1
x100 −1
x20 −1
=
x20 − 1
x5 − 1
=
(x10 + 1)(x5 + 1)(x5 − 1)
x5 − 1
= (x10 + 1)(x5 + 1)
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Finalmente:
De la última igualdad, tenemos que 25−k = 2̊ y k−1 = 3̊ ya
que nos piden el número de términos racionales, esto impli-
(x10 + 1)(x5 + 1) = x50 + x10 + x5 + 1
ca que en dichos términos no debe estar presente el sı́mbolo
radical. Luego,
Pregunta 23
25 − k = 2̊ ⇒ k = 1, 3, 5, 7, ..,23, 25
Si el tercer término del C.N. generado por la división
i
n
(x+2)
−xn
1
toma el valor numérico de 1024 cuando x = 2;
2
x+1
√
calcule el valor de n + 2.
h
k − 1 = 3̊ ⇒ k = 1, 4, 7, 10, ..., 22, 25
Entonces, se observa que los valores comunes a k son
a)7
b) 5
√
e) 5
d) 3
c) 4
1, 7, 13, 19, 25.
∴ El número de términos racionales que genera el
Resolución:
desarrollo de C.N. es 5.
Transformando la división:
1 (x + 2)n − xn
(x + 2)n − xn
(x + 2)n − xn
=
=
2
x+1
2x + 2
(x + 2) + x
Por el dato t3 toma el valor númérico 1024 cuando x = 2,
Pregunta 25
Simplifique la expresión:
entonces aplicando fórmula y evaluando para x = 2:
x + x3 + x5 + . . . + x2n−1
1
1
1
1
x + x3 + x5 + . . . + x2n−1
t3 = (−1)4 (x + 2)n−3 (x)2
= 4n−3 22 = 1024 = 210 ⇒ 22n−4 = 210
Entonces, de la última igualdad n = 7
∴
√
n+2=
√
9=3
a) x2n−1
b) x4n−2
d) x4n+2
e) x4n
c) x2n
Resolución:
De la expresión:
Pregunta 24
x + x3 + x5 + . . . + x2n−1
(∗)
1
1
1
1
x + x3 + x5 + . . . + x2n−1
Halle el número de términos racionales de desarrollo de
C.N. generado por la división:
√ 25 √
25
3 − 32
√
√
3− 32
a) 1
b) 3
d) 7
e) 4
multiplicamos al denominador por
c) 5
x2n
x2n ,
1
1
1
1
+
+ 5 + . . . + 2n−1
x x3
x
x
ası́:
×
x2n
x2n
Ahora, distribuyendo convenientemente:
1
x2n−1 + x2n−3 + x2n−5 + . . . + x3 + x × 2n
x
Resolución:
Aplicamos fórmula para el término general k del desarrollo del C.N.Es Importante que se tome en cuenta que
k ∈ Z+ además 1 ≤ k ≤ 25
√
√
3
tk = ( 3)25−k ( 2)k−1
=3
25−k
2
2
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k−1
3
Luego, reemplazando esta última expresión en (∗):
(
(
((
3
5(((
2n−1
(
x+
x
+
x
+
.
.
.
+
x
1
(
(
((
= 1 = x2n
((
(
(
(
((
x2n
((+
x2n−1 + x2n−3
+(
x2n−5
. . . + x3 + x × x12n
((
(
(
(
(((
∴ La expresión simplificada es x2n
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