x - Unican.es

Tema 3. Guías de Onda y Líneas de Transmisión
y
3.1 Introducción
x
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
3.3 La guía de planos paralelos
3.4 La guía rectangular
3.5 La guía de onda circular
3.6 El cable coaxial
3.7 Líneas planares
3.8 Comparación entre distintos tipos de líneas y guías
José A. Pereda, Dpto. Ingeniería de Comunicaciones, Universidad de Cantabria
1
Bibliografía Básica para este Tema:
[1] D. M. Pozar, “Microwave Engineering” , 3ª Ed, Wiley, 2005.
[2] R. Neri, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill, México, 1999.
[3] D. K. Cheng, “Fundamentos de Electromagnetismo para
Ingeniería”, Addison-Wesley Longman de México, 1998
Pozar  Tema 3
Neri  Tema 4
Cheng  Tema 9
2
3.1 Introducción
- En los temas anteriores hemos estudiado las líneas de transmisión
partiendo de un enfoque circuital
- En este tema complementaremos el estudio abordando las líneas
de transmisión desde un punto de vista electromagnético
- Además extenderemos la idea de línea de transmisión al de guía
de onda, estudiando los principales tipos
- Antes de comenzar con el estudio detallado de los principales tipos
líneas y guías, haremos un estudio general de las soluciones de las
ecs de Maxwell en medios de transmisión uniformes
3
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Ecuaciones de Maxwell del rotacional en coordenadas cartesianas:


  E   jH
E z E y

  jH x
y
z
E x E z

  jH y
z
x
E y E x

  jH z
x
y


  H  jE
(1.a)
(1.b)
(1.c)
H z H y
 jE x (1.d)

z
y
H x H z

 jE y (1.e)
z
x
H y H x

 jE z (1.f)
x
y
4
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Buscamos soluciones de la forma
- Entonces
F ( x, y, z )  F ( x, y )e z

F ( x, y, z )   F ( x, y )e z
z
- Utilizando este resultado y simplificando los factores
E z
  E y   jH x (2.a)
y
E z
 Ex 
 jH y (2.b)
x
E y E x
  jH z (2.c)

y
x
e z queda:
H z
  H y  jE x (2.d)
y
H z
 jE y (2.e)
 Hx
x
H y H x
 jE z (2.f)

y
x
- En estas ecs. los campos sólo dependen de las coordenadas x e y
5
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- A partir de las ecs. anteriores, podemos expresar las componentes
transversales en función de las longitudinales:
H z
 1  E z
 j
E x  2  
y
kc  x

H z 
E z
1 
 (3.c)
 (3.a) H x  2  j

kc 
y
x 

H z
 1  E z
 j
E y  2  
x
kc  y

1 
E z
H z 
 (3.d)
 (3.b) H y  2  j

kc 
x
y 

- donde
k  k 
2
c
2
2
con
k    

c
r r
- Basta conocer las componentes longitudinales (Ez, Hz) para
determinar el resto.
- Para calcular Ez y Hz resolveremos las ecs. de Helmholtz
6
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Podemos clasificar el tipo de ondas (modos) que puede haber en
una guía de ondas según la existencia de Ez y/o Hz :
1. Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM). E z  0; H z  0
- Sólo tienen componentes de campo transversales a la dirección
de propagación z.
2. Ondas Transversales Eléctricas (TE). E z  0; H z  0
- El campo eléctrico es transversal a la dirección de propagación z.
- También se llaman modos H o TEz
3. Ondas Transversales Magnéticas (TM). E z  0; H z  0
- El campo magnético es transversal a la dirección de propagación z.
- También se llaman modos E o TMz
4. Modos Híbridos Electromagnéticos (HEM).
E z  0; H z  0
- También se llaman modos EH y HE
7
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM):
E z  0; H z  0
- Es condición necesaria para que existan modos TEM es que al menos
haya 2 conductores
- Si hacemos Ez = 0 y Hz = 0 en las ecs (3) todas las componentes
serían nulas, al menos que kc = 0.
- Si Ez = Hz = kc = 0, obtenemos indeterminaciones en (3), por lo que
debemos volver a las ecs. (2a-2b) y (2d-2e), que se reducen a
 E y   jH x
  H y  jE x
 E x  jH y
  H x  jE y
- Estas ecs. se pueden poner vectorialmente:


1
H ( x, y )  zˆ  E ( x, y )

  
- Es la misma relación que para una onda plana en el espacio libre
8
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Reordenando las ecs. escalares
 E y   jH x
 H y  jE x
 H x   jE y
 E x  jH y
- Escribiendo la primera pareja en forma matricial
 
 j

j   E y  0
 



   H x  0 
- Para que exista solución distinta de la trivial

j
- donde
j

0
 2   2   0
     k
  j con   R
 2  k 2
- La cte de propagación de un modo TEM en una línea de transmisión
es igual a la de una onda plana en el dieléctrico que rellena el espacio
- Si el dieléctrico o los conductores tienen pérdidas, entonces la cte
9
de propagación es compleja
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Para calcular los campos consideramos la ec. de Helmholtz.
- Por ej. para Ex tenemos
 2
2
2
2
 2  2  2  k  E x ( x,y,z )  0
y
z
 x

 2 Ex
2
z
2
z
- Teniendo en cuenta que


E
x
y
e


k
E
x
y
e
(
,
)
(
,
)
x
x
z 2
 2
2 
 E ( x,y )  0
- y sustituyendo arriba, queda  2 
2  x
 x
y 

- Para el resto de las componentes se obtiene el mismo resultado,
por lo que podemos poner
 2
2
 2  2
y
 x

 E ( x,y )  0

 2
2
 2  2
y
 x

 H ( x,y )  0

- Los campos de un modo TEM verifican la ec. de Laplace, por tanto
son los mismos que en el caso estático
10
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- En consecuencia, el campo eléctrico deriva de un potencial escalar
que también verifica la ec de Laplace
2
2


con   2  2
x
y
  ( x,y )  0
2
t
2
t
- La tensión entre los 2 conductores se puede calcular al partir de
la expresión

2 
V1  V 2   1   2 

1
E d
- y la corriente a partir de la ley de Ampere
I 
C
C
V1
V2
 
H  d

E
H
11
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- La impedancia de onda para un modo TEM vale
Ey
Ex
j 
Zw 






Hy
Hx



- La impedancia de onda es igual que la impedancia intrínseca del medio.
12
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
Modos TEM (RESUMEN)
- Los pasos a seguir para obtener la solución TEM se resumen en:
1. Ec. de Laplace para  (x,y )
  ( x,y )  0
2
2. Campo eléctrico transversal

E ( x, y )   t  ( x, y )
3. Campo eléctrico total


E ( x , y , z )  E ( x , y ) e  j z
4. Campo magnético


1
H ( x, y, z )  zˆ  E ( x, y, z )

5. Tensión y corriente
V1  V2  
2
1
 
E  d ;
I 
C
 
H  d
6. Impedancia característica
Z0  V I
7. Cte de fase y velocidad de fase
   
vp  1

8. Impedancia de onda
Zw     
“Existe una analogía entre las ondas TEM de una línea de transmisión
y las ondas planas en el espacio libre”
13
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Ondas Transversales Eléctricas (TE):
- También se llaman modos H.
E z  0; H z  0
- Pueden existir tanto en guías formadas por un único conductor
como por varios
- Las expresiones para calcular las componentes longitudinales se
reducen a
j H z
Ex   2
;
kc y
j H z
Ey   2
;
kc x
- Para estas ondas
Hx  
Hy  
 H z
k
2
c
x
 H z
k
2
c
y
;
;
kc  0
- La cte de propagación
  kc2  k 2
- es función de la frecuencia y de la geometría de la guía
14
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Para obtener Hz debemos resolver la ec de Helmholtz:
 2

2
2
 2  2  2  k 2  H z ( x,y,z )  0
z
y
 x

- Teniendo en cuenta que H z ( x, y, z )  H z ( x, y )e z queda
 2

2


2
2
 k  H z ( x,y )  0
 x 2  y 2  

2
kc


- Esta ec. debe resolverse junto con las condiciones de contorno
- La impedancia de onda para modos TE vale
Ey
Ex
j


Zw 
Hy
Hx

15
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Ondas Transversales Magnéticas (TM):
E z  0; H z  0
- También se llaman modos E.
- Pueden existir tanto en guías formadas por un único conductor
como por varios
- Las expresiones para calcular las componentes longitudinales se
reducen a
Ex  
Ey  
 E z
kc2 x
 E z
k
2
c
y
j E z
kc2 y
;
Hx  
;
j E z
Hy   2
kc x
-Al igual que para los modos TE, en esta caso
propagación
2
2
kc  0 y la cte de
  kc  k
es función de la frecuencia y de la geometría de la guía
16
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
- Para obtener Ez(x,y) debemos resolver la ec de Helmholtz:
 2
2
2
 2  2  kc  E z ( x,y )  0
y
 x

- Esta ec. debe resolverse junto con las condiciones de contorno
- La componente Ez total queda
E z ( x, y, z )  E z ( x, y )e z
- La impedancia de onda para modos TM vale
Ey
Ex



Zw 
Hy
H x j
17
3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM
Modos TE y TM (RESUMEN)
- Los pasos a seguir para obtener los modos TE y TM:
1. Resolución de la ec. de Helmholtz para el campo longitudinal
  k  E ( x,y)  0
  k  H ( x,y)  0
2
t
2
t
2
c
2
c
z
para modos TM
z
para modos TE
- La solución contendrá varias ctes y el valor de kc a determinar en
el paso 3
2. Cálculo de los campos transversales
3. Aplicación de las cond. de contorno para determinar las ctes de
la solución general y kc
4. Obtención de la cte de propagación, impedancia de onda, etc…
  kc2  k 2
Zw 

para modos TM
j
Zw 
j

para modos TE
18
3.3 La guía de planos paralelos (Pozar 3.2)
- Consideramos una guía de onda formada por dos planos conductores
mutuamente paralelos, separados una distancia d
yd
y
, 
d
z
x
y0
w
- Suponemos que los campos no varían según x
F ( y , z )  F ( y )e
 z

0
x
- Esta guía soporta un modo TEM y además modos TE y TM
19
3.3 La guía de planos paralelos
- Modos TEM
E z  0; H z  0
- Resolvemos la ec. de Laplace para el potencial electrostático:
 2
2
 2  2
y
 x

 ( x,y )  0

- No hay variación con x:
yd
y
, 
d
y0
 ( y)
0
2
y
2
x
z
x0
- Como cond. de contorno suponemos  (0)  0 y
w
xw
 (d )  V0
- La solución general de la ec es  ( y )  A  By con A, B  ctes
- Aplicando las cond. de contorno queda
 ( y )  V0 y d
20
3.3 La guía de planos paralelos
- El campo eléctrico transversal vale



ˆ
E ( x, y )   t  ( x, y )  
x
yˆ  V0 d  yˆ
x
y
- y el campo eléctrico total:


E ( x, y, z )  E ( x, y )e  jz  V0 d  e  jz yˆ
     k
- El campo magnético es


V0  jz
1
H ( x, y, z )  zˆ  E ( x, y, z ) 
e xˆ

d
y
x
- La velocidad de fase resulta
vp     1

21
3.3 La guía de planos paralelos
- La tensión entre placas es V  V0 e  jz
- La corriente que circula por uno de los conductores vale
I 
C
 
xw
Vw
H  d    H x dx  H x w  0 e  jz
x 0
d
C

H
y
x
w
- La impedancia característica de la línea resulta
Z0 
V
d

I
w
22
3.3 La guía de planos paralelos
- Modos TM
E z  0; H z  0
- Comenzamos resolviendo la ec. de Helmholtz para Ez :
- donde k c  k  
2
2
 2
2
 2  kc  E z ( y )  0

 y
2
es el número de onda de corte.
- La solución general es de la forma:
E z ( y )  A sin(kc y )  B cos(kc y )
- Para determinar las ctes A y B aplicamos las cond. de contorno:
E z (0)  0  A sin(kc 0)  B cos(kc 0)  0  B  0
E z (d )  0  A sin(kc d )  0  kc d  n con n  0,1,2...
- Por tanto el número de onda de corte sólo puede tomar valores
discretos dados por
n
kc 
con n  0,1,2,...
d
23
3.3 La guía de planos paralelos
- Una vez conocido kc podemos determinar la cte de propagación
  k k 
2
c
2
 
n 2
d
k
2
(Relación de
Dispersión)
- La solución para Ez queda:
E z ( y, z )  An sin( nd y )e z
- y los campos transversales
Ey  
 E z
  An

cos( nd y )e z
kc2 y
kc
j E z
j
Hx   2
 An
cos( nd y )e z
kc y
kc
 E z
Ex   2
0
kc x
j E z
Hy   2
0
kc x
24
3.3 La guía de planos paralelos
- Hemos obtenido una familia infinita de modos. Para distinguirlos,
añadiremos el subíndice “n” al nombre: TM  TMn
- Modo TM0:
- Para n = 0
  j   
Ez  0
y
- Ey y Hx son ctes (no varían con y)
- En conclusión el modo TM0 es el mismo que el modo TEM
d
12
TEM (TM0)
10
8
Diagrama de dispersión
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
kd
25
3.3 La guía de planos paralelos
- Modo TMn (n >= 1):
- En este caso la cte de propagación vale
- Se pueden dar los siguientes casos:
1-
  kc2  k 2 
 nd 2  k 2
kc  k    R     (la cte de propagación es real)
- Entonces los campos son de la forma
F ( y , z )  F ( y ) e z
- Los campos se atenúan exponencialmente con z, es decir,
no hay propagación (ondas evanescentes)
2-
k  kc    I    j (la cte de propagación es imaginaria)
  k 2  kc2  k 2   nd 
2
- En este caso, los campos representan ondas viajeras
F ( y , z )  F ( y ) e  j z
- Sí hay propagación de energía en la guía.
26
3.3 La guía de planos paralelos
- En la frontera de los dos casos anteriores se verifica:
k  kc
- A partir de esta condición podemos obtener la frecuencia a partir
de la cual habrá propagación y que llamaremos frecuencia de corte
2f c
nπ
 
d
fc 
n
2d 
- La frecuencia de corte depende de las dimensiones de la guía
y de los materiales que la rellenan
- Para frecuencias f  f c el modo N0 se propaga y se denomina modo
evanescente o modo en corte
- Para frecuencias
f  f c el modo SI se propaga
- Para un modo propagante, la longitud de onda se define como
g  2 
- Se puede comprobar que
g    2 k
- También se define la longitud de onda de corte como c
 2 kc
27
3.3 La guía de planos paralelos
- Diagrama de dispersión para los modos TM
d 
12
d 
n 2  kd 2
kd 2  n 2
TEM (TM0)
TM1
10
TM2
8
TM3
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
kd
28
3.3 La guía de planos paralelos
- La impedancia de onda para los modos TM vale


Zw  
H x j
Ey
- que es real para modos propagantes e imaginaria para modos en corte
- La velocidad de fase

vp 

- es función de la frecuencia.
- Se puede ver que la velocidad de fase del modo es mayor que la
velocidad de la luz en el medio  k ya que   k
29
3.3 La guía de planos paralelos
- El valor medio temporal de la potencia que atraviesa la sección
transversal de la guía es …
 
1
P  Re  S  ds
S
2
  *
- donde S  E  H es el vector de Poynting complejo
- por tanto
w
1
P  Re 
x 0
2
 *
w
1
y 0 ( E  H )  zˆ dxdy   2 Re x0
d

d
y 0
E y H x* dxdy
- Los campos valen


E   An cos( nd y )e z yˆ
kc

j
H  An
cos( nd y )e z xˆ
kc
30
3.3 La guía de planos paralelos
- luego
w
1
P   Re 
x 0
2
w
y 0 E y H dxdy | An | 2kc2
d
*
x
2

d
y 0
cos 2 ( nd y ) dy
- Integrando resulta
wd
P  | An |
4kc2
2
para n  0
- Si el modo se propaga, la potencia media temporal es real
- Por el contrario, si el modo es evanescente la potencia media es cero.
Un modo evanescente no transporta potencia.
31
3.3 La guía de planos paralelos
- Modos TE E z  0; H z  0
- El proceso a seguir para obtener la solución para los modos TE
es análogo al seguido para los modos TM.
32
- Ejemplo 1: Una onda electromagnética se propaga entre dos placas
paralelas separadas 5 cm entre sí. La frecuencia de la onda es 8 GHz.
¿Cuántos modos distintos hay propagándose en la guía?. ¿Cuánto vale la
longitud de onda de cada modo?
Neri Ej. 4-5
Solución:
- Se propagarán aquellos modos cuya
frecuencia de corte sea menor de 8 GHz
 0 , 0
d  5 cm
- El modo TEM se propagará, ya que no tiene frecuencia de corte
- Para los modos TEn y TMn la frecuencia de corte viene dada por
  k k  k 
2
2
c
2

n 2
d
- n = 1 (TE1 y TM1): f c ,1 
- n = 2 (TE2 y TM2): f c , 2
0
2f c ,n
c
nπ

d
f c ,n
nc

2d
c
 3 GHz  8 GHz (se propagan)
2d
c
  6 GHz  8 GHz (se propagan)
d
33
- n = 3 (TE3 y TM3): f c ,3 
3c
 9 GHz  8 GHz (no se propagan)
2d
- En resumen, se propagan los modos TEM, TE1, TM1, TE2 y TM2
- La longitud de onda de cada modo vale
g 
2


2
k k
2
- Modo TEM:  g , 0 
2
c

2
 2f   2f c 


 
c
c
 


2
2

c
f 2  f c2
c
 3.75 cm (es igual a la longitud de onda en
f
el medio que rellena la guía)
- Modos TE1 y TM1:  g ,1 
- Modos TE2 y TM2:  g , 2 
c
f f
2
2
c ,1
 4.045 cm
c
f f
2
2
c,2
 5.669 cm
34
3.4 La guía de onda rectangular (Pozar 3.3)
- Consideramos una guía de onda de sección rectangular de dimensiones
a x b, de contorno conductor y rellena de un material homogéneo.
b
, 
y
z
x
a
35
3.4 La guía de onda rectangular
- Modos TE: E z  0; H z  0
- Comenzamos resolviendo la ec. de Helmholtz para Hz :
 2
2
2
 2  2  kc  H z ( x,y )  0
y
 x

- Para resolver la ec. anterior aplicamos el método de separación
de variables
H z ( x,y )  X ( x)Y ( y )
- sustituyendo esta solución en la ec. de Helmholtz resulta
1 d 2 X 1 d 2Y
2


k
c 0
2
2
X dx
Y dy
- La expresión obtenida es de la forma f ( x)  f ( y )  cte  0
- Para que se verifique, tanto f(x) como f(y) deben ser constantes
36
3.4 La guía de onda rectangular
- Introducimos las nuevas constantes kx y ky:
1 d 2 X 1 d 2Y
2


k
c 0
2
2
X
d
x Y dy



2
 k x
  k y2
- Entonces podemos poner
d2 X
2

k
x X  0;
2
dx
d 2Y
2

k
yY  0
2
dy
- que son dos ecs. diferenciales ordinarias de tipo armónico.
- Además, se obtiene la ec. de separación
kc2  k x2  k y2
- Por tanto, la solución general para Hz es


H z ( x, y )  A cos(k x x)  B sin(k x x) C cos(k y y )  D sin(k y y )

 

X ( x)
Y ( y)
- donde A, B, C y D son ctes complejas a determinar a partir de las
condiciones de contorno.
37
3.4 La guía de onda rectangular
- Suponiendo que las paredes de la guía son conductores eléctricos
perfectos, las condiciones de contorno son:
E x ( x, b )  0
E x ( x, y )  0 en y  0, b
E y ( x, y )  0 en x  0 , a
y
E y ( a, y )  0
E y (0, y )  0
b
E x ( x,0)  0
z
x
a
- Para aplicar estas condiciones, primero debemos determinar Ex y Ey
a partir de Hz, esto es
j H z ( x, y )
;
E x ( x, y )   2
kc
y
j H z ( x, y )
;
E y ( x, y )   2
kc
x
38
3.4 La guía de onda rectangular
- Para Ex se obtiene
j
E x   2 k y A cos(k x x)  B sin( k x x)  C sin( k y y )  D cos(k y y )
kc


- Ahora aplicamos las condiciones de contorno
E x ( x ,0 )  0  
j
k y A cos(k x x)  B sin( k x x)D  0  D  0
2
kc
j
k y A cos(k x x)  B sin( k x x) C sin( k y b)  0
E x ( x, b )  0 
2
kc


- de esta condición se deduce sin( k y b)  0 , luego
n
ky 
con n  0,1,2,...
b
39
3.4 La guía de onda rectangular
- Para Ey se obtiene
j
E y   2 k x  A sin( k x x)  B cos(k x x) C cos(k y y )  D sin( k y y )
kc


- Aplicamos las condiciones de contorno análogamente al caso de Ex:
E y (0, y )  0  B  0
E y ( a, y )  0  k x 
m
con m  0,1,2,...
a
- En conclusión, los modos TE forman una familia doblemente infinita
que denotaremos como TEmn (m = 0,1,2,… y n = 0,1,2,…)
- El modo TE00 no existe ya que tiene todas las componentes
transversales de campo son nulas
40
3.4 La guía de onda rectangular
- Recopilando los resultados anteriores podemos poner
H z ( x, y, z )  Amn cos( ma x) cos( nb y )e  mn z
j n
 mn z
m
n
cos(
x
)
sin(
y
)
e
a
b
kc2,mn b
j m
sin( ma x) cos( nb y )e  mn z
E y ( x, y, z )   Amn 2
kc ,mn a
 m
H x ( x, y, z )  Amn 2
sin( ma x) cos( nb y )e  mn z
kc ,mn a
 n
H y ( x, y, z )  Amn 2
cos( ma x) sin( nb y )e  mn z
kc ,mn b
E x ( x, y, z )  Amn
 mn  kc2,mn  k 2
k
2
c , mn

  
m 2
a
n 2
b
(Relación de dispersión)
(Número de onda de corte)
41
3.4 La guía de onda rectangular
- Diagrama de dispersión modos TEmn
- Tomamos como ejemplo el caso a = 2b
a
a 
b
ka 2  m 2  2n 2
a
9
8
TE20 , TE01
7
TE10
6
5
4
TE21
3
TE11
2
1
0
3
4
5
6
7
8
9
10
ka
42
3.4 La guía de onda rectangular
- El modo TE10 : (Modo dominante)
- Suponiendo a > b, el modo dominante en la guía rectangular es el TE10
- Los campos se reducen a:
H z ( x, z )  A10 cos( a x)e  10 z
j 
sin( a x)e  10 z
E y ( x, z )   A10 2
kc ,10 a
H x ( x, z )  A10
 10 
kc2,10 a
sin( a x)e  10 z
 10  kc2,10  k 2
kc ,10   a
Ex  Ez  H y  0
- Impedancia de onda: Z w,TE10 
j
 10
43
3.4 La guía de onda rectangular
- Frecuencia de corte
- Es la frecuencia a la cual la cte de propagación es nula
 10  kc2,10  k 2  0
kc ,10  2f c ,10 

kc ,10   a
- Para frecuencias
k
f c ,10 
1
2a 
f  f c ,10 el modo N0 se propaga (modo evanescente)
- Cte de atenuación vale
10  ( a) 2  k 2
- Para frecuencias f  f c ,10 el modo SI se propaga
- Cte de fase vale
10  k 2  ( a ) 2
- Longitud de onda:
- Velocidad de fase:
g ,10  2  10

vp,10 
10
44
- Ejemplo 2: A la frecuencia de 10 GHz, el modo TE10 se propaga por
una guía rectangular de dimensiones a = 1.5 cm y b = 0.6 cm, rellena de
polietileno ( r  2.25,  r  1). Calcular la cte de fase, la longitud de
onda en la guía, la velocidad de fase y la impedancia de onda
Cheng Ej. 9-4
Solución:
- A la frecuencia de operación, el número de onda en el polietileno vale

2f
k
r 
c
c
2 1010
r 
2.25  100 rad/m
8
3 10
- La cte de fase en la guía resulta
10  k 2  ( a) 2  100 1  (1 1.5) 2  234.16 rad/m
- La longitud de onda:  g ,10  2  10  0.0268 m  2.68 cm
8
- La velocidad de fase: vp,10   10  2.68  10 m/s
- La impedancia de onda:
Z w,TE10 
j
 10

   


10 10
10
k


  337.4 
 10
45
3.4 La guía de onda rectangular
- Campo eléctrico
sin( a x)e  j10 z
E y ( x, z ) 
y
y
z
x
g
a
x
g
z
46
- Ejemplo 3: Obtener las expresiones instantáneas de los campos para
el modo TE10 en una guía rectangular de dimensiones a x b.
Cheng Ej. 9-5
Solución:
- Los campos en el dominio del tiempo se obtienen a partir de la
expresión:
jt
f ( x, z , t )  Re[ F ( x, z )e
]
- donde F es la forma fasorial de cualquiera de las componentes del
campo.
- Debemos distinguir dos casos: a) modo en corte y b) modo propagante
a) Modo en corte: kc ,10  k   10    R
e y ( x, z , t )  Re[ A
ja

sin( a x)e z e jt ]
 Re[| A |  a sin( a x)e z e j (t  / 2 ) ]
| A |  a sin( a x)e z cos(t   2   )
| A |  a sin( a x)e z sin(t   )
47
hx ( x, z , t )  Re[ A a sin( a x)e z e jt ] | A | a sin( a x)e z cos(t   )
hz ( x, z , t )  Re[ A cos( a x)e z e jt ] | A | cos( a x)e z cos(t   )
b) Modo en propagante: k c ,10  k   10  j (   R)
e y ( x, z , t )  Re[ A
ja

sin( a x)e  jz e jt ]
 Re[| A |  a sin( a x)e j (t  z  / 2 ) ]
| A |  a sin( a x) cos(t  z   2   )
| A |  a sin( a x) sin(t  z   )
hx ( x, z , t )  Re[ A
j a

sin( a x)e  jz e jt ]
| A | a sin( a x) cos(t  z   )
hz ( x, z , t )  Re[ A cos( a x)e  jz e jt ] | A | cos( a x) cos(t  z   )
48
 
1
P  Re  S  ds
S
2
3.4 La guía de onda rectangular
- Potencia media
a
1
P10  Re 
x 0
2
 *
a
1
y 0 ( E  H )  zˆ dydx   2 Re x0
b

b
y 0
E y H x* dydx
- Los campos son
j 
sin( a x)e  10 z
E y   A10 2
kc ,10 a
H x  A10
 10 
kc2,10 a
sin( a x)e  10 z
- Sustituyendo arriba
2
a


2
P10 | A10 |
2 2
- Integrando
a
b
x 0
y 0
 
sin 2 ( a x) dydx
3

a
b
P10 | A10 |2
4 2
- Los modos evanescentes no llevan potencia real (potencia media) 49
- Ejemplo 4: Considérese una guía WR 137 (3.485 x 1.58 cm2) rellena
de aire. Sabiendo que el campo de ruptura del aire es 1.5 MV/m,
calcular la potencia máxima que soporta la guía a la frecuencia de
operación de 6 GHz.
Neri Ej 4.17
Solución:
- A 6 GHz esta guía transmite únicamente el modo TE10.
y
x
- Según el enunciado, el campo eléctrico máximo es
| E y |max  | A |
a
a
sin( a x)
| A |
 1.5 MV/m


max
- Por otra parte, la potencia media vale
3
a
b

P | A |2
4 2
50
- De las 2 ecs. anteriores, eliminamos A
2
  | E y |max  a 3b | E y |max ab

 


2
 4
 a  4
2
Pmax
- La cte de fase a 6 GHz vale
  (2f c) 2  ( a ) 2  10 16  10 2  (1 3.485) 2  87.55 rad/m
- Sustituyendo los datos, resulta
Pmax
| E y |2max ab

  572.4 kW
 4
51
3.4 La guía de onda rectangular
- Modos TM E z  0; H z  0
- La solución para estos modos se obtiene siguiendo los mismos pasos
que para el caso TE.
- Comenzamos resolviendo la ec. de Helmholtz para Ez :
 2
2
2
 2  2  kc  E z ( x,y )  0
y
 x

- Aplicamos el método de separación de variables e imponemos las
condiciones de contorno
- Se obtiene
E z ( x, y, z )  Bmn sin( ma x) sin( nb y )e  mn z
 mn  k
2
c , mn
k
2
kc2,mn   ma    nb 
2
2
- Las componentes transversales se obtienen sustituyendo esta
solución en las ecs. de Maxwell
52
3.4 La guía de onda rectangular
- Al igual que en el caso TE, los modos TM forman una familia
doblemente infinita que denotamos como TMmn (m = 1,2,… y n = 1,2,…)
- Los modos TM00, TMm0 y TM0n no existen
- Impedancia de onda
Z w,TM mn
 mn

j
- La frecuencia de corte, longitud de onda, velocidad de fase, etc…
tienen la misma expresión que para los modos TEmn
53
54
3.4 La guía de onda rectangular
- Algunos dispositivos en guía de onda rectangular:
- Transición coaxial-guía
- Carga adaptada
- Filtro paso-banda
55
3.5 La guía de onda circular
- El análisis de esta guía es análogo al realizado en el caso de la guía
rectangular.
- La diferencia está en que, debido a su geometría, es conveniente
estudiar la guía circular en coordenadas cilíndricas.
a
, 
- Al igual que en la guía rectangular existen dos familias de soluciones:
los modos TEmn y los modos TMmn
56
3.6 El cable coaxial
- Se trata de una guía formada por dos conductores, por tanto admite
una solución de tipo TEM
- Además, análogamente al caso del línea de planos-paralelos, pueden
existir modos superiores de tipo TEmn y TMmn
- El primer modo superior es el TE11
b
a
, 
57
3.7 Líneas planares
3.7.1 La línea triplaca (stripline)
- La stripline esta formada por una tira conductora situada entre 2
placas conductoras, tal como se muestra en la figura.
- El espacio situado entre las dos placas conductoras esta relleno de
un dieléctrico homogéneo
, 
b
w
y
z
x
- Esta línea soporta un modo TEM que es el que suele usarse en la
práctica
- También pueden propagar modos superiores (TE y TM) que
normalmente son indeseados.
- La excitación de modos superiores se evita haciendo que las dos
placas estén al mismo potencial (tierra) y limitando la separación
entre ellas.
58
3.7 Líneas planares
3.7.1 La línea triplaca (stripline)
- Campos para el modo TEM
59
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip) (Pozar 3.8)
- La microstrip esta formada por una tira conductora situada sobre un
sustrato dieléctrico que en su cara inferior tiene un plano de tierra
t
h
w
c
 r , tan
y
z
x
- Es una línea muy utilizada porque es fácil de fabricar, permite la
miniaturización de los circuitos y puede integrarse con dispositivos
activos
60
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Esta línea NO soporta un modo TEM puro, ya que los campos no están
contenidos en una región dieléctrica homogénea.
- Los modos son de tipo híbrido (HEM), tienen las 6 componentes
del campo no nulas
- En la mayoría de las aplicaciones prácticas se usan sustratos delgados
( h   ) y en consecuencia los campos son cuasi-TEM.
- Por tanto, pueden utilizarse soluciones estáticas (o cuasi-estáticas)
61
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Es típico expresar la cte de fase y la velocidad de fase para el
modo cuasi-TEM como
  k0  eff
vp 
c
 eff
- donde  eff es la cte dieléctrica efectiva de la microstrip
- La cte dieléctrica efectiva puede interpretarse como la cte
dieléctrica de un medio que rellena todo el espacio
w
h
r
problema original

w
h
 eff
problema equivalente
-  eff depende de  r , h, w y de la frecuencia. Además, 1   eff   r
62
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Fórmulas para la cte dieléctrica efectiva y la impedancia
- Dadas las dimensiones de la línea, podemos aplicar las siguientes
expresiones aproximadas para la determinar  eff y Z 0
 eff 

Z0  

 r 1  r 1
2
60
 eff
 eff

2
1
1  12 h w
ln 8wh  4wh 
120
w 1.393  0.667 ln( w 1.444 )
h
h
para w h  1

para w d  1
Fórmulas de Análisis
w
d

r
63
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
9
200
7
6
 r = 10
5
r = 8
4
r = 6
3
r = 4
2
r = 2
1 -1
10
Characteristic Impedance (Ohm)
Effective Dielectric Constant
8
0
10
w/h
10
r = 2
r = 4
150
r = 6
r = 8
100
 r = 10
50
0 -1
10
1
0
10
w/h
10
w
h
r
t  0, tan   0
64
1
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Fórmulas para la cte dieléctrica efectiva y la impedancia
- Desde el punto de vista del diseño, lo que interesa es valor de w/h
que da lugar a la impedancia característica requerida.
- Conocidos Z 0 y  r , las dimensiones de la línea se pueden obtener
mediante las siguiente expresiones aproximadas
8e
w 
2A
e 2
 2
 r 1
h   B  1  ln(2 B  1)  2 r ln( B  1)  0.39  0.61
r
A

- donde

A
Z0
60
 r 1
2
  rr 11 (0.23  0.11
)
r
B
si w h  2
377 
2Z0  r
Fórmulas de Diseño
w
h

si w h  2
r
65
- Ejemplo 5: Calcular la anchura y la longitud de una línea microstrip
para que su impedancia característica sea 50 Ohm y produzca un
desfase de 90º a 2.5 GHz. El sustrato utilizado tiene una altura 0.127
Pozar 3ª Ed., Ej. 3-7
cm y la cte dieléctrica vale 2.20.
w
Solución:
-Suponemos w/h > 2
B
377
 7.985
2Z 0  r

r
h
Z 0  50 
 r  2.20


w 2
  B  1  ln(2 B  1)  2rr1 ln( B  1)  0.39  0.61
 3.081  2
r
h
- Luego w  3.081h  0.391 cm
- La cte dieléctrica efectiva vale  eff 
 r 1  r 1
2

2
1
 1.87
1  12 h w
- Cálculo de la longitud
   2
v p
c




 2.19 cm
2  2  2f 4 f  eff
66
3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Atenuación
- En realidad la cte de propagación es compleja:
    j
- La cte de atenuación  tiene esencialmente dos contribuciones
  d  c
- La atenuación debida a las pérdidas dieléctricas
d 
k0 r ( eff  1) tan 
2  eff ( r  1)
[Np/m]
- y la atenuación debida a las pérdidas en los conductores
RS
c 
[Np/m]
Z0w
con RS   0 2 C
- Para la mayoría de los substratos las pérdidas más importantes se
deben a los conductores
67
- Ejemplo 6: Calcular la cte de atenuación total a 10 GHz en una línea
microstrip de impedancia 50 Ohm, realizada en substrato de alúmina de
 r  9.9, tan   0.001 y h = 0.5 mm. La metalización es de cobre de
conductividad  C  5.88  10 7 S/m y la anchura de la microtira vale
w = 0.483 mm.
Pozar 4ª Ed., Ej. 3-7
w
Solución:
- Según hemos visto 
 d  c
h
 r , tan 
 r  9.9 tan   0.001
d 
k0 r ( eff  1) tan 
 0.255 Np/m  0.022 dB/cm
2  eff ( r  1)
k0  2f c  209.44 rad/m
 eff 
 r 1  r 1
2

2
1
 6.665
1  12 h w
68
w
h
 r , tan 
 r  9.9 tan   0.001
RS
c 
 1.08 Np/m  0.094 dB/cm
Z0w
 C  5.88 10 7 S/m
f  10 GHz
RS   0 2 C  0.026 
   d   c  0.022 dB/cm  0.094 dB/cm  0.116 dB/cm
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3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Dispersión y modos superiores
-Todo lo visto hasta ahora sobre la microstrip es estrictamente válido
solo en DC (o muy bajas frecuencias)  Aproximación cuasi-estática
- Esto es debido a que la microstrip NO es una verdadera línea TEM
- A más altas frecuencias los valores de la cte dieléctrica efectiva,
impedancia y atenuación cambian. Además, pueden aparecer modos
superiores
- La variación de  eff con la frecuencia produce cambios de fase,
mientras que la variación de Z 0 produce pequeñas desadaptaciones
- Además, las señales de banda ancha sufrirán distorsión
- El modelado del comportamiento dispersivo de la línea microstrip no
es sencillo. Existen fórmulas aproximadas, pero hoy en día es mejor
usar directamente herramientas de CAD (Ej. Tx-line)
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3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
http://www.awrcorp.com/products/optional-products/tx-line-transmission-line-calculator
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3.7 Líneas planares
3.7.2 La línea microtira (microstrip)
- Ejs de dispositivos en microstrip
Filtro paso-banda
de líneas acopladas
Filtro paso-bajo
de salto de impedancia
Anillo híbrido
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3.8 Comparación entre distintos tipos de líneas y guías
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