Inferencia estadística e inducción

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. 94, 1982, págs. 53 a 66
Inferencia estadística e indu cción
por SEGUNDO GUTIERREZ CABRIA
Catedrático de Estadistica Matemgtica
Departamento de Eafadística e
Investigación Operativa.
Universidad de Vaiencia
RESUMEN
Se estudian las interrelaciones existentes entre inferencia estadística e
inducción. Se examinan, en particular, las posibilidades que ofrece la estadística en relación con el problema de la inducción según la versión de
Hume; se estudian los intentos Ilevados a cabo por Bernouilli y Laplace.
Se concl uye que las inferencias de la estadística son «secundarias» y, en
consecuencia», no constituyen una respuesta al problema de la inducción.
Palabras clave: Deducción, reducción, inducción. Lógica inductiva, lógica
probabilística. Inferencia inductiva, lnferencia estadística.
0.
INTRCIDUCCIt^N
EI problema fundamental que tiene planteado el conocimiento científico puede formularse así: I}ado que las proposiciones de las ciencias experimentales na pueden
deducirse de la lógica formal, por ser verdades de hecho y no verdades necesarias, ^de
dónde obtienen su justificación? Las filosofías tradicionales de la inducción manifiestan
claramente sus insuficiencias para contestar adecuadamente a esta cuestión. Quizá se
les ha exigido demasiado. Se ha pedido la certeza de las conclusiones inductivas en
tanto que se sabía que toda inducción, de por sí, es precaria. La situación sería
posiblemente distinta si nos limitáramos a afirmar la «probabilidad de las conclusiones
S4
ESTADiSTICA ESPAÑOLA
inductivas^. ^,No podría, con este nuevo planteamiento, construirse una teoría lógica de
la inducción?
Esta idea iba a recibir un desarrollo sistemático cuando los filósofos de la escuela
nevpositiva se apropiaron de ella. Se han hecho diversos intentos de construir lógicas
inductivas prababilistas y se ha pensado en que la inferencia estadística podría servir ai
menos de rnodelo para tales construcciones e, incluso, constituir ella misma una teoría
general de la inducción.
En este trabajo se estudian las posibilidades que, desde nuestro punto de vista,
ofrece la inferencia estadística en conexión con el histórico problema de la induccián.
En el primer párrafo se da la nvción de inducción y sus diversas acepciones e
interpretaciones en relación con los métodos reductivos y deductivos.
En el párrafo segundo se formula el Ilamado «problema de la induccicín» y se
exponen las distintas actitudes adoptadas frente a él por la ciencia y la filosofía y,
principalmente, ante el desafío de Hume.
En el párrafo tercero se analizan las interrelaciones enire inferencia estadistica e
inducción. Se contempla, primero, la presencia de la inducción en los distintos argumentos de naturaleza estadística y se estudian, luego, las posibilidades de la inferencia
estadística frente al problema de la inducción y las razones que hacen inviable su
solución.
1.
DEDUCCION, REDUCCION E INDUCCION
1.
Nos abstendremos aquí de indagar acerca del conocimiento humano y partire-
mos de un estado del saber en el que ciertas proposiciones han sido previamente
establecidas. Esas proposiciones constituyen los juicios perceptivos que el sentido
común tiene por ciertos, aunque la razón filosófica pueda ponerlos en duda. Lo que se
pretende (y este es el objetivo de la lógica) es pasar de la aserción de ciertas proposiciones, llamadas premisas, a otras, llamadas conclusiones, que se deducen de ellas. A
esta operación se la llama dYmostrucivn y al sistema, r^r^umentc^.
2.
Hay dos formas esencialmente distintas de argumentar: por induccivn
y por
reúuc•c•ic^n.
En la deducción se concluye su premisa menor de un enunciado condicional y de su
premisa mayor: Si A, entonces B; es así que A, luego B.
En la r^duc^cic.in, por el contrario, se concluye de un enunciado condicional y de su
premisa menor, su mayor: Si A, entonces B; es así que B, luego A.
1NfiERENCIA ESTADISTICA E [NDUCC[ON
SS
La reducción puede ser progresiva y regresiva. En ambas se conoce la premisa
menar, pero no la mayor. En la reducción prvkresi^^a se comienza por la premisa mayor
desconocida según su valor de verdad y se procede hacia la premisa menar conacida a
comprobable. La reducción progresiva se llama también «verificación» .
La reduc•cián regresi^^a comienza en la premisa menor conocida y va hacia la mayor
desconocida. La reducción regresiva se Ilama también «explicación» .
En el llamado «método hipotético-deductivo» se dan las dos direcciones del procedimiento reductivo: es «hipotético» por cuanto en él se establecen hipótesis explicatorias (reducción regresiva) y es «deductivo» (esta palabra tiene aquí un sentido propio)
porque de las hipótesis se «deducen» las premisas menores verificables (reducción
progresiva).
3. Cuando la premisa rnayor es una ^;eneruli^,acián de la premisa menor, la reducción se llama induccián.
Tal es et concepto tradicional de inducción desde Aristóteles, quien empleó el
vocablo «epagogue», que significa «Ilevar a», para designar el proceso de llevar, por la
contemplación de casos particulares, al conocimiento de una verdad general.
En la actualidad no todos están de acuerdo con esta de^nición restrictiva de la
inducción. Stuart Mill (Mill, S., 1843) observó ya que no es necesaria que una inferencia inductiva lleve a una generalización sino que podemos extender la concl usión a un
número limitado de miembros desconocidos de una clase al siguiente miembro que
aparezca en la serie, por ejemplo. A este procedimiento, de pasar de particulares a
particulares, la denaminó Johnson educcián w (Johnsan, VV. E., 1921) y Carnap (Carnap,
R., 1952) señalá su impartancia.
Max Black (Black, M., 1979) define la inducción como «argumento na demostrativo,
en el que la verdad de las premisas, aunque no entraña la verdad de la conclusión,
constituye una buena razón para aceptarla». A tales argumentaciones, para las que la
conclusión puede presupaner la existencia de individuos no presupuestadas par las
premisas, san llamadas por Peirce «ampliativas» {Peirce, C. S., 1902). Este ir «más allá
de las premisas» , que son los hechos singulares de la experiencia (de ahí su carácter
ampliativo), posibilita la inferencia de hechos observados a hechos inobservados y, en
particular, a la predicción del futuro. La esfera de aplicación más importante de esta
inducción es la ciencia natural.
En los «Analíticas Posteriores» , de Aristóteles, se lee: « E1 conocimiento de las
premisas inmediatas es independiente de la demostración». Y esto, añade, «porque el
regreso debe acabar en verdades inmediatas que deben ser indemostrables» . Esto nos
ESTAD[STiCA ESPA140LA
Ileva a formular la siguiente pregunta: Reducir la inducción a la operacíón que permite
el paso de la percepción a las leyes experimentales y de éstas a los principios de las
teorías científicas, ^,no es olvidar que el juicio má.s simple de percepcián es el producto
de una inducción? Por supuesto que toda subsunción de un dato s^ensible lo es.
Admitimos, pues, que no hay pensamiento acerca del objeto sensible que no constituya
una inducción. A este tipo de inducción se le denomina intuitiva o"aóstrac^ivu".
4. A estas inducciones no demostrativas podemos añadir otras rr^al llamadas inducciones, o inducciones «impropias>^ .
Tenemos, en primer lugar, la inducción «recursivari o maternátiea, formulada explícitamente por Ferrnat en el siglo xv^^ y empleada, de modo sistemático, por Jaeobo
Bernouilli, por lo que se la conoce también con el nornbre de «inducción bernouilliana^ .
Se puede expresar asi: Si el primer elemento de una sucesión posee una propiedad y la
posee también el sucesor de todo elemento de la serie que tenga esa propiedad, todos
1os elementc^^ s de la sucesión poseen la propiedad en cuestión. Aunque por este procedimíento se establecen proposiciones generales, a partir de casos particular^es, se trata
más bien cie una deducción que de una reducción.
Aristóteles ofrece en los «Analíticos Primeros» el siguiente ejemplo de argumento
ínductívo: «El hombre, el caballo y el mulo son longevos; pero el hombre, el caballo y
el mulo son todos los animales sin hiel; luego todos los animales sin hiel son longevos».
A este tipo cie inducción, en la que se enumeran todos los casos que caen bajo una
generalización, se la llama «sumativa» o«completa», por oposición a la «matemática»
en la que no se realiza una enumeración completa. También este argumento es una
especie de deducción.
S.
Es importante, a los fines de este trabajo, la distinción hecha por Nicod entre
inducciones «primarias» y«secundarias». Las inducciones primarias son argumentaciones no demostrativas «cuyas premisas no obtienen su ^certeza o probabilidad a partir de
ninguna inducción» {Nicod, J,, 1961). Las secundarias
son las que no cumplen ese
requisito.
2.
EL PROBLEMA DE LA INDUCCION
1. EI problema de la inducción, suscitado ya por Aristóteles, está en que los
distintos argurnentos inductivos no son conclusivos, esto es, no demostrativos. David
Hume tiene el mérito incomparable de haber planteado el problema de la inducción en
los términos más netos, si bien restringido a los casos de inferencia causal, ya q ue la
única cuestión que plantea es la de saber con qué derecho concluimos que tal efecto
1NFERENCIA ESTADISTICA E [1VDUCCION
S7
seguirá necesariamente a tal causa. Pero los resultados que obtiene son aplicables a
todos los tipos de inferencia inductiva (puede consultarse: Hume, D., 1888 y 1894}.
EI problema de la inducción comporta estas dos cuestiones fundamentales: aná^lisis
formal del pensamiento inductivo y justificación de la inducción.
E1 análisis formr^l se aplicará a la «reconstrucción racional» de los métodos inductivos cuya validez está reconocida por todas las mentes sanas y a la codificación de los
principios en los que se apoyan. Por «reconstrucción racional^ habrá de entenderse, no
una simple descripción de esos métodos, sino la determinación de un «sustituto» lógico,
en expresión de Reichenbach ( Reichenbach, H. 1938); no su «representacián con todas
sus ambigiiedades, sino una sistematizaci:ón que comprenda la explicación de los concepto^. y principios que utilizan, y que no excluye la posibilidad de una critica, en frase
de Carnap ( Carnap, R., 19b2).
E1 problema erítico de la justificación consistirá en la legitimación del sistema formal
construido. ^ Por qué es razonable aceptar las conclusiones de ciertos argumenios
inductivos como verdaderas © probablemente verdaderas? ^ Por qué es razonable, si lo
es, emplear ciertas reglas de inferencia inductiva?
2. La contestacián dada a lo largo de la historia al problema de la inducción ha
hecho correr mucha tinta y ha seguido distintas vertientes que pueden resumirse así:
a) Al reto lanzado por Hume no se puede responder adecuadamente; en consecuencia, la inducción es insostenibie y debe excluirse de todo razonamiento que pretenda ser racional. Tal es la postura de VWhewel y Popper, entre otros.
6) A la luz de la crítica de Hume se observa que los argumentos inductivos, tal
como se presentan de ordinario, necesitan de perfeccionamiento. Esto puede hacerse de
dos modos: (i) con la adición de nuevas premisas; (ii) mediante la sustitución de las
conclusiones por aserciones de probabilidad.
(i} Las premisas que se han añadido, en un intento de resolver el problema de la
inducción mediante la construcción de una lógica inductiva, de corte análogo a la
deductiva, son ciertos principios de inducción «suprema» como los siguientes; «el
futuro ha de asemejarse al pasado» (Hume); «el efecto de cualquier acontecimiento ha
de tener una causa suficiente» (Mill); «la variabilidad de los hechos es limitada e
independiente» . Keynes» ;«existe homogeneidad en el curso de la naturaza» (Miilj.
Estos principios permitirian dar base a las inducciones. Los esfuerzos llevados a cabo,
en esta dirección, por Bacon y Mill han sido infructuosos.
(ii) La incorporación del concepto de probabilidad a la resolución del problema de
a inducción ha dado lugar a las diversas lógicas inductivas probabilísticas, esto como
ESTADISTiCA ES^PAÑUL.A
consecuencia de la irnporteneia de las clásicas. Estas son de dos clases: las que pretenden
asignar probabilidades a toda clase de hipótesis y justificar, tal como intentá Hans
Reichenbach, tos principios en Ios que se basa esta asignación, y las que se esfuerzan
por construir parcelas limitadas de la lógica inductiva y defini'r' la probabilidad de una
hipótesis en condiciones muy restringidas. Estas restricciones s©n debidas a la debilidad
del sistema construido por Reichenbach y consisten en la debilitación del concepto
matemático de probabilidad (para gozar de más libertad en la construcción} y iimitación
de fórrn^ ulas a probabilizar. Las lógicas que más éxito tienen en Ia actualidad son las
comparativas, como Ias de Keynes y Koopman, que permiten discernir cuál de dos
hipótesis inductivas es más probable. Las pretensiones modestas de estas iógicas se
limitan a determinar la medida de la eunfrrmc^c•rcín que los datos experimentales aportan
a una hipótesis. Tal es la po4ición de los que se sitúan en la óptica de Rudolf Carnap.
c•) Aunque la argumentación inductiva no pueda justificarse, ajustada al modelo
deductivo, esto no obsta para que las normas deducidas sean razonables. La racionalidad no tiene por qué estar ligada a la deducción ni a la justificación. Puede, pues,
hablarse de justificación en el sentido de que se sabe que la afirmación de una
conclusión se <=sigue^ (no en el sentido deductivo de seguirse} estrictamente de premisas que se saben verdaderas.
d} El problema de Hume es debido a confusiones conceptuales y lingiiísticas. Estas
confusiones y sus origenes deben ser claramente expuestas, lo que debe conducir a la
disolución del problema (a la no existencia) y no a su solución. Es el planteamiento
lingiiístico del problema, hoy tan en boga.
Se pretende aquí analizar el problema de la inducción a la luz de la esiadística. Este
análisis lleva implíeita la <=incorporación del concepto matemático de probabilidad».
LTiene sentido presentar la inferencia estadística como una teoría del razcanamiento
inductivo`? ^Son competencia de esta disciplina los problemas que se presentan en un
contexto cientifico determinado o se extiende, por el contrario, su área al problema
general de la inducción? Son estas cuestiones de suficiente entidad camo para que se las
presta la debida atención. Es lo que hacemos a continuación.
3.
IN I=ERENCIA ESTAD^ IST[CA E INDUCCI()N
l. En «The logie of inductive inference» (Fisher, R. A., i935), Fisher se refiere al
conjunto del razonamiento inductivo como si todo él dependiera de la. inferencia est^idística. En «The design of experiments», después de discutir ciertas ideas de Bayes, cuyo
mérito reconoce, atribuye a este autor el privilegio de ser «el primero en pre ver la
importancia de1 desarrollo de una teoría exacta y cuantitativa del razonamiento induc-
INFERENCIA FSTADISTiCA E 1NDt1CClUN
S9
tivo, de la argumentación que conduce de los hechos observados a las teorías capaces
de explicarlos» { Fisher, R. A., 1935).
E1 desarrollo de la infereneia estadística se ha producido na sin resonancia en el
campo de la f~ilosofía de la inducción. Las cuestiones que trata, el modo de tratarias, los
principios en que se apoya, nada es ^jeno a la problemática tradicional de la inducción.
Tanto en la conducción de experiencias como en la utilización de los datos obtenidos,
la teoria de la inferencia estadística parece haberse responsabilizado, en parte por la
menos, con problemas que dependen de lógica inductiva clásica. í,No se presenta acaso
como un ejemplo de lógica probabilistica de la induccián, construida por hombres de
ciencia, al margen de los filósofos?
Antes de entrar en el fondo de esta pregunta, vamos a intentar un análisis de la
presencia de la induccián en la metodología estadística.
2. Un examen detallada de las distin'tas argumentacíones utilizadas por las diversas
escuelas estadisticas, lleva a la conclusión de que todas son de naturaJeza «reductiva».
En consecuencia, caen dentro del ámbito de alguna de las definícíanes de inducción que
hemas dacio. Las más usadas son las siguientes:
u) La ^nc^ttc•c•ivrt propc^rc•ic.^nul, que es una «reducción regresiva» que parte de la
frecuencia de algún carácter en la muestra y concluye con la frecuencia del mismo
carácter en la poblacián. De la afirmación .^m , de los n, elementas seleccionados en
A son B» se conctuye que «m de los n elementos contenidos en A son B» . La estimaciones puntuales y por intervalo son inferencias de este tipo. La proporción establecida
en la conclusián puede ser distinta de la establecida en la premisa.
h) La ^^drrc•ci^^n ^^rc^^^carc•i^anul, que es la argumentación regresiva que parte de una
muestra y«reí;resa» a otra muestra. La premisa es la misrna de la inducción praporcional, pero la conclusión concierne a la frecuencia aproximada de una muestra ulterior,
obtenida por el mismo procedimiento. Numerosos procesos de análisis estadístico basados en la camparación de muestras, corno el control estadístico de la calidad, diseño de
experimentos, etc., se basan en la educción.
c•) La inc^ucc•ic^^n prc.^Xresii^u, concebida como proceso reductivo que conduce del
examen de una muestra aleatoria a la prueba de una hipótesis. Toda la teoria de
decisión estadistica Bayesiana y de Wald, así como la teoría de cantrastes de hipótesis
estadíscticas de Neyman-Pearson, se inspiran en este proceso inductivo.
d) La d^cfuc•c•ivn prvpvrc•innul, llamada también «silogismo estadístico» o«deduccián estadística» y que puede formularse así: «m de los n elementos C son B para
m> ^ ; A es un elemento C, luego A es un B» . Par ejemplo: La mayor parn
2
^
ESTALIISTiCA ESPAÑOLA
te de los españoles saben leer; Juan es español, luego Juan sab^e leer. La validez de la
conclusión está en función, naturalmente, de la razón m/n.
e) La Uhr^uc^r^ir.^n, así nominada par Peirce, formulación creativa de hipótesis y único
modo de inferencia estaciística que introduce nuevas ideas. Es una especie de inversión
cie la deducción estadística y no tiene apenas valor demostrativo. Sirve para obtener
nuevas generalizaciones que precisan de verificación y que tienen alguna posibilidad de
ser verdaderas.
Todas estas argumentaciones llevan en la conclusión algún grado de plausibilidad,
fiabil idad o probabil idad .
^.
LA 1NFERENCIA ESTADiST[CA Y EL PROBLEMA DE LA 1ND[.1CCION
1. Estudiada la inducción en su sentido rnás amplio, como todo procedimiento que
conduce de lo particular a lo más general o a«otro particular», como modo de pasar de
un conocimiento a otro del que no se tenga certeza absoluta, parece claro que la
inferencia estadística constituye una teoria de la inducción, lo cual no equivale a afirmar
que constituye una lógica inductiva y, en cansecuencia, que sea una solución del
problema de la inducción. La razón está en que, cualquiera que sea la forma que
adopte, siempre se refere a inducciones secundarias y nunca a la inducción primaria.
La creencia de que en la estadística pudiera estar la clave para la sol ución del
problema de la inducción proviene, sin duda, de la fe depositada, p ^or los hombres de
ciencia, en la verdad de las hipótesis contrastadas estadísticamente y de los éxitos
cosechados durante estos últimos años, por la estadística, en el campo de la investigación científica. Pero no basta con el testimonio de la fe; es preciso un análisis de las
razones en ias que esa fe se asienta.
i} Toda inferencia estadistica parte de algún supuesto que presupone, a su vez, un
proceso inductivo. Si se trata de un problema de estimación, hay que presuponer la
familia de distribuciones que lo soporta. Si se contrasta una hipótesis, se admite de
antemano que la familia cansiderada es completa. Si se plantea un problema de decisión
estadística, se fijan «a priori» los posibles estados de la naturaleza, ia función de
pérdida y hasta el conjunto de decisiones terminales. Si el proceso es secuencial, se
predetermina !a regla de parada. Todos estos presupuestos denuncian la presencia de
inducciones primarias, previamente asumidas, y, en consecuencia, ponen de manifiesto
que todo lo que se hace en el terreno de la inferencia estadística se reduce a inferencias
secundarias. El problama de la inducción cae así en círculo vicioso.
ii) La inferencia estadística presupone la existenc'ra de una clase completa de hipótesis rnutuamente excluyente que pueden ser eliminadas paulatinamente, a partir de un
lNFERENCIA ESTADISTICA E IND^ UCC10N
fil
número finito de experiencias, hasta quedarse con la más plausible. Admirablemente
adaptada a problemas concretos, incluso a ciertos procedimientos que juegan papel
preponderante en la investigación experimentai, la inferencia estadística parte de und
situación en la que está cerrado el campo de lo posible (por trabajar con número
limitado de hipótesis) y sus resultados son válidos sólo a ese precio. Todo esto está en
pugna con los postulados de la lógica que no admite limitación en sus posibilidades.
iii) Existen serias dificultades en la transposición de los conceptos y métodos de la
inferencia estadística a una teoría general de la inducci+ón. Tal ocurre con el principio de
inferencia de Laplace, con los esquemas bayesianos, con la versomilitud comu medida
del grado de creencia en una hipótesis, con la función de pérdida cuando se trata de
decidir acerca de la admisión de una hipótesis estadística, etc.
Todos los intentos históricos de resolver el pr^blema de la inducción, por vía
estadística, han chocado con uno u otro de esos escollos. Como ejemplo representativo
hemos elegido el problema de inversión del teorema de Bernouilli y la regla de sucesión
de Laplace.
4.1.
EL TEOREMA DE BERNGIUILLI
1. Durante veintiún años estuvo Bernouilli, según su propia confesión, preoc upad^
por obtener medidas de frecuencias a partir de probabilidades y recíprocamente . E1
resultado fue el teorema que Ileva su nombre, que de modo muy simple puede enunciarse así: «Si la probabilidad de un suceso, bajo ciertas condiciones, es ^, y si estas
condiciones se presentan en n ocasiones, el número más probable, x, de oc urrencias del
suceso es n^». Es éste un ejemplo de «reducción regresiva» que conduce de la
probabilidad ^ a la frecuencia x/n. La demostración de este enunciado puede verse en el
«Ars conjectandi» de Bernouilli (Bernouiili, J., 1713). Noy se obtiene fácilmente a partir
de la desigualdad de Chebyschev.
Las condiciones a las que alude el teorema puecfen cc^mpendiarse en ésta: la probabilidad del suceso en la (n + 1} ocasión no debe ser afectada por el conocimiento de la
frecuencia de ocurrencias en las n precedentes y debe ser igual a la probabilidad «a
priori» de la primera.
El enunciado de Bernouilli produjo tanto impacto que Ellis (Ellis, R. L., 1K^3) y
Venn (Venn, J., 1K66), lo utilizaron como base de la definición axiomática cie probabilidad y Laplace creyó que expresaba una ley natural de la naturaleza. Con todo, las
condiciones que exigen lo hacen aplicable sólo a ciel-tas clases especíticas de sucesos. Si
la probabilidad inicial está basada en la experiencia, está claro que está ligadd a l^i
información de una nueva experiencia, lo que contradice las condicicanes impuesta^.
ó2
ESTAUiSTICA ESPAÑOi.A
Esta última indicación pone de manifiesto que estamos trabajando con inducciones
secundarias. Además, del conocido experimento de Buffon, dirigido a la comprobación
del teorema de Bernouilli, otros análogos, empleando monedas, bolas o dados, así como
loterías y ruletas de Montecarlo, fueron diseñados, con el mismo fin, por De Morgan,
Quetelet, Jevons, Weldon, Wolf, Czuber y Karl Pearson.
2. En carta dirigida por Jacobo Bernouilli a Leibniz (Leibniz, G., ^855), fechada en
1^03, le dice: «Podemos determinar, por consideraciones "a priori", en qué cuantia es
más probable obtener la suma siete, al lanzar das dados, que ta suma ocho; pero no
podemos determinar, por tales procedimientos, la ^+robabilidad de que un hombre de 20
años sobreviva a otro de óo. ^,No será posible aún obtener este conocimíento, "a posteriori", de haber observado un gran número de parejas de hombres análogas a la anterior?».
En la réplica de Leibniz se encuentra la raíz de la dificultad de la respuesta. «El
cálculo de probabilidades --escribe-- es del más alto valor, pero en investigaciones
estadísticas es necesario, no tanto la sutileza matemática cuanto al enunciado preciso de
todas las circunstancias. Las posibles contingencias son demasiado numerosas para ser
cubiertas por un número finito de experiencias y el cálculo exacto está, en consecuencia,
fuera de la cuestión. Aunque la naturaleza tiene sus hábitos, debido a la concurrencia
de causas, no son generales, inmutables. Con todo, cálculos empíricos, aunque inexactos, puecien ser adecuados en asuntos prácticos».
Bernouilli vc^lvió, en su respuesta, a insistir en la analogía con las bolas extraídas de
urna y mantuvo que «sin estimar cada contingencia por separado, podemos determinar,
dentro de estrechos limites, la proporción que ofrece cada alternativa». Y añadía en su
carta: «^tito es cierto, se acabó la controversia; te agr-adará la demostr<ación que
publicaré.»
Lo cierto es que la demostración no llegó. Después de tratar de algunas de las
objeciones apuntadas por L,eibniz, y prometer algún procedimiento para estimar probabilidades «a posteriori», mediante una inversión de su teorema, da la demostración
directa y termina sin más el «Ars conjectandi».
Durante el siglo XVl[1 no hay ningún indicio de explicar el uso de la inversión
del teorema de Bernouilli. Las investigaciones de D'Alembert, Daniel Bernouilli y
otros, se orientan al estudio de las condiciones de aplicabilidad del teorema directo.
Laplace supone, sin prueba, una inversión del teorema.
EI análisis bayesiano actual da la siguiente respuesta al problema de la inversión: Si
la probabilidad
«a priori»
j1
es
X
n -x
n (1 - nl
de un suceso es p,
s^^ aparición x
veces en n
pruebas
b3
[NFERENCIA ESTADISTICA E [NDUCCIUN
Que p, considerada como variable, adquiera un valor determinado, constituye una
n
hipótesis cuya «verosimilitud» es x pxt^ - v^"-X• Los diversos valores de p constituyen una clase completa de hipótesis. Se torna asi el ..clásico problema de la «Probabilidad de
las causas» . Considerada p como una variable aleatoria de densidad f{p ), el teorema de
Bayes de la probabilidad «a posteriori» de que p esté entre dos números p' y p" después
de haber observado x veces el suceso en n pruebas:
p•
p,
p[(P' < p S p")lx
n p X^ 1_ p) n-X,^f-(P )dP
X
i
n pX(1 ^ p)"-x.f^P)dp
o x
Como f(p ) está acotada, es f(p ) = U, para p fijo . Ade más,
^
f{p )- dp =
0
1, por se r
0 S p S 1, luego la convergencia de las integrales de la expresión anterior queda
asegurada lo cual permite calcular la probabilidad a partir de la frecuencia. +Queda,
naturalmente, abierta el problema de la determinación de f(p) al que intenta responder
el análisis bayesiano.
A efectos de nuestra tesis, el punto esencial que hay que señalar es que las
probabilidades «a posteriori» presuponen el conocimiento no sólo de las verosimilitudes, sino también de las probabilidades «a posteriori» . Ambos conocimientos impl ican
inducciones primarias, por lo que la inducción obtenida, al ser secundaria, no sirve a la
solución del problema humeano.
En el caso en que la distribución «a priori» sea uniforme en [0, 1] es f{p) = 1 y la
densidad «a posteriori» de p, después de n observaciones tiene un máximo para x/n. Es
el caso aplicado por Laplace a la solución del problema de Hume.
4.Z.
LA REGLA DE SUCESI+CSN DE LAPLACE
Laplace toma como ejemplo, en su disertación, el mismo utilizado por Hume
expresado por la ley: «EI sol saldrá todas las mañanas» . La argumentación empleada es
del tipo "Si B también A; si ei sol ha _~^lido todas las mañanas hasta ahora, segui rá
saliendo en lo sucesivo"» .
Según Laplace, se puede considerar la posesión dei ^tributo A por un objeto que es
un B, como un suceso aleatorio. Se asimila así la ley a una serie de extracciones de
bolas de una urna cuya composición sea canstante . En su «Essai philosophique sur les
probabilités» {Laplace, p. 1814), capítulo III, 7.° principio, enuncia: <^ `.a probabilidad
de un suceso futuro es la suma de los productos de las probabilidades de cada causa
^STADISTICA ESPAIrtol.A
extraida del suceso observado, por 1a probabilidad de que, existiendo esta causa, ocurra
el suceso futuro^». Pone a continuación un ejemplo que generalizado conduce a esta
regla: Si el suceso ha ocurrido siempre en n ucasiones, la probabilidad de que se
n+1
verifique siempre en una nueva serie de m pruebas es
. El caso m= 1, en
n + m + 1
que la probabilidad toma el valor (n + 1) /(n + 2}, fue bautizado por Venn ( Ve nn, J.
l 889) con e! nombre de «regla de sucesión de Laplace ^» .
La prueba de esta sucesión puede hacerse brevemente así: Sea p la probabil idad «a
priori^^ de un suceso en condiciones dadas. La probabilidad de que el suceso ocurra m
veces en esas condiciones y falle en otras n ocasiones es pm •( l - p}n. Luego la
probabilidad «a posteriori^ de p, tras m ocurrencias del suceso en m + n pruebas de
q ue p está enire p y p + dp , es
Pm(1 ' p)" ^p
^
P^(1
- p)^r(m + n + 2)
rt^^ + 1) r (n + i)
^0 p^(1 - p)"^p
Por lo tanto, la probabílidad de que el suceso ocurra en la (^n
prueba, habiendo oc urridc^ m veces en rr1 + n pruebas es:
+ n + l)-ésima
t
r(m + n + 2)
0
pm+t(1 - p)^d,p
r(m + l)r(n + l)
r(m + n + 2} r(m) r(n)
"(m + 1) r (n + l ) r (m + n )
m+1
m + n + 2
Para n= U, esto es, cuancio el suceso ha ocurrido invariablemente, la fórmul^^ e^
( m+ 1)/(^rr + 2). En el caso en que las condiciones del suceso se han dado una ^;ula
vez y éste ha ocurrido, el resultado es 2/3. Si ias condiciones del suceso no se han dadu
nunca, la probabilidad del ^uceso es 1/2 y en el caso en yue las condiciunes se dieran
una sola vez y el suceso no ocurriera, la probabiliciad seria l l3 ( resultados totalmente
absurdos).
Aparte estas absurdidades, la fórmula de Laplace involucra la teoría de «probabilidades desconacidas» introducidas por él como suplemento del principio de indiferencia,
con tocia la problem^^tica yue ello encierra. Las objeciones hechas a esta fórmula son
muchas. Con respecto a la demostración anterior hay una que aparece en seguida: Si p
es la probabilidad « a priori» del suceso acaecido una vez, pn es la probabilidad «a
priori» de haber acaecido n-veces sucesivamente. Ahora bien, del prcapio teorema se
deduce que si ocurre una vez modifica la ocurrencia de la vez siguiente, luego las
sucesivas ocurrencias nu son independientes. Asi, si la probabilidad «a priori» es 1/2, la
INFERENC[A ESTADtSTECA E INDUCCION
óS
probabilidad de la segunda ocurrencia es 2/3, luego la probabilidad «a priori^ de
1
1
1
2
1
ocurrencia dos veces es no 2• 2, sino 2- 3= 3; y, en general, la probabilidad «a
priori» de su ocurrencia n-veces no es
1
2: ,,, sino 1/(n + 1).
Las primer•as criticas a esta regla provinieron del propio Venn en la obra citada, por
no estar de acuerdo, según él, con la experiencia. Pearson, que ia acepta, resuelve estas
discrepancias. Es rechazada también por Boole (Boole, CC., 1854), que dice se basa en
hipátesis arbitrarias; por Bertrand (Bertrand, J., 18^39), que niega su aplicabilidad al
caso de un númeru finito de alternativas y que la califica de ridícula, etc. En cambio,
merece la aprobación, entre otros, aparte de Pearson, de De Morgan, Jevons, Lotzey y
Czuber.
Con respecto a la materia que nos ocupa, la crítica ha de centrarse en si es o no
coherente reducir el problema a la cuestión de determinar una probabilidad desconocida, aunque constante. Supuesto aceptable la introducción de probabilidardes «a
priori», se mar^tiene la hipótesis de que B da a la posesión de A una probabilidad
determinada. Esto es, el razonamiento de Laplace supone que entre B y A existe una
implicación probable: Si .^ es una B hay una probabilidad de que x sea un A. Ahora
bien, para que este razunamiento lleve a alguna conclusión con cierta validez es preciso
que B determine A(al menas en términos probables) y que sea B el único factor
cietermin^^nte de A. Está claro que estas suposiciones implican una induceión previa,
con lo que se vuelve a caer en un círculo vicioso.
C[^^tsfcic^ruc'l^ II ^Illtl%. Tanto en la regla de sucesión de Laplace como en el teorema
cie í3ernuuilli, cum^^ en c^i^^lquier investigación con base estadística, el uso de muestras
aleatori^^s es imprescindible. Las diversas técnicas de selección de estas muestras ponen
especial énfasis en eliminar todo factor de naturaleza ^causal que pueda dar lugar a algún
sesgo. L.a carencia de todo sesgo en la elección es lo que garantiza el carácter aleatorio
de la muestra. Lus diversos procedimientos para la obtencián de muestras aleatorias
parten, pues, de la hipótesis de que eliminan todo factor causante de sesgo, í, Hasta qué
puntu podemos estar ciertoti de que estas hipótesis se cumplen? Aun en el caso de que
se cumplan, ^,no estdn presuponiendo un conocimiento previo di^cil de adquirir por la
vía de la inferencia estadistica? Nuevamente nos vemos recorriendo un camino que
termina en el punto cte salida.
ESTADISTiCA ESPAI^O^.,.A
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SUMMARY
The interrelations between statistical inference and induction are studied. In particular, the possibilities of Statistics for the Hume's problem
of induction are examined; the trials implemented by Bernouilli and Laplace are studied. It is conclued that the inferences of Statistics are
secondary and therefore they do not solvet the problem of induction.
Key words: Deduction, reduction, induction. Inductive logic, probabilistic
logic. Inductive inference. Statistieal inference.
AMS, 1970. Subject classification. 62F99.