Axioma de determinación de las isometrías

UNIDAD 2
CONCEPTOS REQUERIDOS -1a
AXIOMA DE LA DETERMINACIÓN DE LAS ISOMETRÍAS.
1 – AXIOMA DE LA DETERMINACIÓN DE ISOMETRÍAS.
Dados dos puntos O y Q, dos semirrectas con orígenes en ellos Ox y Qy y dos
semiplanos de borde dichas semirrectas α y β, existe y es única la isometría M tal que:
M(O) = Q
M(Ox) = Qy
M(α) = β
Se dice que indicamos dos ternas correspondientes:
M(O, Ox, α) = Q, Qy, β
1.1 – Isometrías Directas e Indirectas.
Una isometría se llama directa si conserva el sentido del plano. Esto significa que si el
sentido determinado por tres puntos es horario (o antihorario) el determinado por sus imágenes
también lo es.
Observemos que considerando la figura precedente la isometría determinada es directa.
Si suponemos un punto A en la semirrecta Ox y uno B en α pero no en Ox, el sentido OAB
es antihorario. A’ imagen de A pertenecerá a la semirrecta Qy y B’ al semiplano β pero no a Qy
por lo cual el sentido QA’B’ también es antihorario.
Comparando las posiciones de los semiplanos con relación a las semirrectas, diríamos que
α está a izquierda de la semirrecta Ox (nos “ubicamos” en O y “miramos” hacia x) y β también
está a la izquierda de la semirrecta Qy.
Una isometría se llama indirecta o inversa si invierte el sentido del plano.
2 – TRANSPORTE DE SEGMENTOS Y ÁNGULOS. CONSECUENCIAS.
2.1 - Teorema de transporte de un segmento.
Dado un segmento AB y una semirrecta Or, existe y es único el punto P de la semirrecta
Or tal que el segmento OP es congruente con el AB.
Dados A y B, por el axioma métrico, existe ϕ tal que d(A,B) = ϕ y en Or, existe un punto
P tal que OP = ϕ
Consideremos las isometrías M 1 y M 2 tales que
M 1 (A, AB, α) = O, Or, β M 2 (A, AB, α) = O, Or, γ entonces, M 1 (A) = M 2 (A) = O
Supongamos M 1(B) = B1 y M 2(B) = B2 cumpliéndose que:
B ∈ AB ⇒ B1 ∈ Or y B 2 ∈ Or
Por ser M1 y M2 isometrías: d(A,B) = ϕ ⇒ OB1 = OB 2 = ϕ
Además sabíamos que: P ∈ Or y OP = ϕ
⇒
P = B 1 = B2
2.2 - Teorema de rigidez.
Dado un ángulo convexo aOb, no existe ningún movimiento en el que la imagen de aOb
sea aOb' con Ob' contenida en el semiplano a(Ob) y Ob' ≠ Ob.
En otros sistemas de axiomas este enunciado no es un teorema, es un axioma que se conoce con
el nombre de Axioma de rigidez. Ningún ángulo se transforma en parte estricta de si mismo y que
tenga el mismo vértice.
(H)
aOb ángulo convexo
Ob' ⊂ a( Ob)
Ob' ≠ Ob
( T ) No existe M / M (aOb) = aOb'
Razonando por reducción al absurdo
si ∃ M / M (aOb) = aOb'
Ob' ⊂ a(Ob)
⇒
determinado por.
a(Ob) = a(Ob')
⇒
M (O, Oa, a(Ob) ) = O, Oa, a(Ob')
M=I
⇒
Por la suposición
Ob' = Ob
lo cual es contradictorio con la hipótesis .
⇒
M (Ob) = Ob
⇒
M (Ob) = Ob'
2.3 - Teorema del transporte de un ángulo convexo.
Dado un ángulo aOb, una semirrecta Qr y un semiplano α de borde en Qr, existe y es
única la semirrecta Qs contenida en α tal que el ángulo rQs es congruente con el aOb
α semiplano de borde en la semirrecta Qr
(H)
aOb ángulo convexo,
( T)
∃ Qs / Qs ⊂ α ∧ rOs =c aOb
Qs es única
Existencia
Por el axioma de la determinación de las isometrías existe M (O, Oa, a(Ob) ) = Q, Qr, α
en M M (Ob) = Qb' como Ob ⊂ a(Ob) ⇒ Qb' ⊂ α
⇒
existe Qs = Qb' / Qs ⊂ α ∧ rQs =c aOb
Unicidad
Si hubiera otra semirrecta Qs’ / Qs’ ⊂ α ∧ rQs' =c aOb ∧ Qs’ ≠ Qs
como además rQs =c aOb resultaría rQs' =c rQs, por ser la congruencia una relación
de equivalencia.
rQs' =c rQs ⇒ ∃ M1 / M1 (rQs) = rQs'
lo cual contradice el teorema de rigidez.
con Qs’ ⊂ α = r(Qs)
y
Qs' ≠ Qs
2.4 - Ángulos adyacentes a ángulos congruentes, son congruentes.
Los ángulos adyacentes a ángulos congruentes, son congruentes.
( H ) aOb =c rQs
Oa’ = op Oa
Qr’ = op Qr
( T ) a’Ob =c r’Qs
Por el axioma de la determinación de las isometrías, existe y es único M tal que
M(O, Oa, a(Ob)) = (Q, Qr, r(Qs))
Por el teorema del transporte de un ángulo convexo y puesto que aOb =c rQs resulta que
M(Ob) = Qs.
M(Oa) = Qr ⇒
M(opOa) = opQr
Es decir que M(Ob) = Qs y además M(Oa') = Qr' por lo tanto M(a'Ob) = r'Qs.
2.5 - Ángulos opuestos por el vértice, son congruentes.
Los ángulos opuestos por el vértice, son congruentes.
aOb es adyacente de aOb’
a’Ob’ es adyacente de aOb’
aOb’ =c aOb’
⇒
aOb =c a’Ob’