Índice general

Índice general
3. El potencial eléctrico 1 , 2
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Energía potencial eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Trabajo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Carácter conservativo del campo electrostático . . . . . . . . . . .
3.2.3. Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Cálculo directo del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Potencial debido a distribuciones discretas de carga . . . . . . . .
3.4.2. Potencial debido a distribuciones continuas de carga . . . . . . . .
3.5. Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
3.6.1. Significado del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Energía electrostática de formación de distribuciones de carga . . . . . . .
3.7.1. Energía de formación de una distribución discreta de carga . . . .
3.7.2. Energía de formación de distribuciones continuas de carga . . . . .
1 Versión
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2010
electrónico: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_EyM/Apuntes-PotencialElectrico.pdf
2 Formato
1
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2
2
2
2
4
4
6
7
8
8
8
11
14
16
17
17
19
Tema 3
El potencial eléctrico 1, 2
3.1.
Introducción
Trabajo a través de un camino circular:
Consideramos el camino circular de la figura 3.1.
Como ya sabemos, una distribución de carga proEn
este caso, el trabajo entre los puntos A y B vale:
duce en el espacio que la circunda un campo eléctriZ B
Z B
co. En este tema introduciremos otro tipo de campo
WA→B =
F ·d =q
E · d = 0.
llamado potencial eléctrico, o simplemente poA
A
tencial.
resultante es nulo ya que el campo creaEl campo eléctrico E se define como la fuerza por El trabajo
0
es
perpendicular al camino.
do
por
q
unidad de carga y la fuerza es un vector, por tanto
E es un campo vectorial. En este tema definireB
mos el potencial V como la energía potencial por
G
unidad de carga y, como la energía es un escalar,
E
el potencial resultará ser un campo escalar. Debido
q
a su naturaleza escalar, muchas veces es más aconG
sejable trabajar con el potencial que directamente
RB
con el campo. En este tema veremos la relación enG
tre V y E, así como la forma de calcular uno a
R
partir del otro.
G
dA
q'
3.2.
3.2.1.
G
RA
Energía potencial eléctrica
A
Trabajo electrostático
Figura 3.1: Camino circular.
Supondremos una carga puntual fuente q 0 fija y
otra carga puntual de prueba q. Nuestro interés inicial es calcular el trabajo W realizado por la fuerza Trabajo a través de un camino radial:
eléctrica cuando la carga q se desplaza desde un
En este caso, considerando el camino de la figura
punto origen A hasta otro punto destino B:
3.2 tenemos
Z B
Z B
Z B
W
=
F
·
d
=
q
E·d ,
A→B
WA→B =
F ·d .
A
A
A
y teniendo en cuenta que el campo creado por q 0
Antes de considerar un desplazamiento general
vale
de la carga q, estudiaremos algunas trayectorias
1 q0
R̂,
E
=
particulares.
4π 0 R2
2
3.2 Energía potencial eléctrica
3
el trabajo resulta
¶
Z Bµ
1 q0
WA→B = q
R̂ · dR R̂
4π 0 R2
A
µ
¶RB
Z RB
qq 0
1
qq 0
1
dR
=
−
=
4π 0 RA R2
4π 0
R RA
µ
¶
0
qq
1
1
=
−
.
4π 0 RA
RB
RA
G
dA
RB
q
RC
q'
A
RA
RB
q'
G
dA
RD
q
A
D
B
G
E
G
dA
B
G
dA
C
Figura 3.3: Camino radial-circular-radial.
Figura 3.2: Camino radial
Trabajo a través de un camino radialcircular-radial:
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica a lo
Trabajo electrostático a través de una
largo del camino mostrado en la figura 3.3 es
trayectoria arbitraria:
Z B
WA→B =
F ·d
A
C
=
Z
A
F ·d +
Z
|
D
C
F ·d +
{z }
=0
¶
Z
B
D
F ·d
µ
1
1
qq 0
−
=
4π 0 RA
RC
µ
¶
qq 0
1
1
+
,
−
4π 0 RD
RB
El trabajo realizado en los tramos circulares es
nulo, por tanto el trabajo total es la suma de las
contribuciones de los tramos radiales.
y como RC = RD , queda
WA→B
qq 0
=
4π 0
µ
1
1
−
RA
RB
¶
Cualquier camino arbitrario puede descomponerse en un número infinito de tramos radiales y circulares, como se ilustra en la figura 3.4.
.
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica depende únicamente de las posiciones inicial (RA ) y
final (RB ) de la carga de prueba q.
Esto es cierto con independencia del número
de tramos radiales y circulares que conformen el
camino.
Al realizar esta suma, los términos que dependen
de distancias distintas de RA y RB se cancelan entre sí. Por tanto el trabajo realizado al recorrer un
camino de forma arbitraria entre A y B es
WA→B =
Z
B
A
qq 0
F ·d =
4π 0
µ
1
1
−
RA
RB
¶
.
3.2 Energía potencial eléctrica
4
B
G
dA
RB
C
q
q'
Figura 3.5: Camino cerrado.
RA
3.2.3.
A
Energía potencial electrostática
El trabajo realizado por una fuerza conservativa puede expresarse como la diferencia de energías
Figura 3.4: Descomposición de una trayectoria ar- potenciales entre el punto destino y el punto origen
bitraria en caminos circulares y radiales.
cambiado de signo, luego para la fuerza eléctrica
podemos escribir
3.2.2.
Carácter conservativo
campo electrostático
del
Según hemos visto, el trabajo realizado por la
fuerza eléctrica es dependiente sólo de las posiciones
inicial y final de la carga, siendo independiente del
camino seguido. Decimos entonces que la fuerza
eléctrica es una fuerza conservativa y por tanto el campo eléctrico es un campo conservativo.
Si hacemos coincidir el punto inicial A y el final B
resulta un camino cerrado y el trabajo total realizado a lo largo de este camino será nulo, esto es
I
I
WA→B=A =
F ·d =q
E · d = 0,
C
C
de donde podemos poner
I
E · d = 0,
C
es decir, la circulación del campo electrostático es
nula.
La expresión anterior junto con la ley de Gauss,
estudiada en el tema anterior, constituyen las ecuaciones fundamentales de la electrostática. A mediados del siglo XIX Maxwell unificó las teorías de la
electricidad y del magnetismo y las generalizó para
el caso fenómenos variables con el tiempo, dando
lugar al electromagnetismo. Si bien la ley de Gauss
sigue siendo válida para fenómenos variables con el
tiempo, la ecuación de la circulación de E debe ser
modificada. Este punto será ampliamente discutido
en el tema de inducción electromagnética.
∆U = UB − UA = −WA→B = −
Z
B
A
F ·d .
Para el caso de una carga fuente puntual, la expresión anterior vale
µ
¶
qq 0
1
1
−
.
∆U = UB − UA =
4π 0 RB
RA
De las expresiones anteriores, se desprende que sólo
las variaciones de energía potencial tienen sentido
físico. Es conveniente, no obstante, seleccionar un
punto del espacio como origen de energía potencial
y asignar a una carga que esté en dicho punto una
energía potencial nula. Esto nos permite referirnos
a la energía potencial de una carga como la energía
potencial en la posición que ocupa y referida al origen de energías potenciales. Siempre que no existan
cargas fuente en el infinito, suele tomarse este lugar
como origen de energías potenciales, esto es
U∞ = 0,
ya que se considera que en este caso las cargas están lo suficientemente separadas entre sí como para
que los efectos eléctricos entre ambas sean despreciables. Según esto, la energía potencial de una carga q en un punto genérico P será la diferencia de
energía entre dicho punto y el origen de energías,
luego podemos escribir
UP − U∞ = −
Z
P
∞
F · d = −q
Z
P
∞
E·d ,
3.2 Energía potencial eléctrica
5
y como U∞ = 0,
UP = −q
Z
P
∞
q'
E·d
Para un campo E creado por una carga puntual q 0
resulta
qq 0 1
U=
.
4π 0 R
G
R
q
P
Figura 3.6: Pareja de cargas puntuales separadas
una distancia R.
Veamos cual es el signo de U en función del signo
Interpretación física de la energía potende qq 0 y sus implicaciones:
cial electrostática de una carga puntual q en un
punto P: es el trabajo que deben realizar las fuerzas
Si qq 0 < 0 entonces U < 0.
externas para llevar la carga q desde el origen de
En este supuesto la carga fuente q 0 ejerce una energía potencial hasta el punto P.
fuerza atractiva sobre la carga de prueba q.
Existe por tanto una “tendencia natural” a que
0
q se desplace desde el infinito hasta el punto Ejemplo 1 Una carga puntual q = 1C está situadestino P. El trabajo es, por tanto, realizado da en el origen de coordenadas. Otra carga puntual
q = 2C es desplazada desde el infinito hasta el punpor la fuerza eléctrica, es decir,
to P(3, 0, 0). Calcular el trabajo necesario para reZ P
alizar este desplazamiento. ¿Quién realiza este traF · d > 0.
bajo, el campo o las fuerzas externas?. Razona la
∞
0
Si qq > 0 entonces U > 0.
Ahora la carga fuente q 0 repele a la carga de
prueba q. Para llevar entonces la carga q desde
el infinito hasta el punto P es necesario que actúe una fuerza externa F ext . Esta fuerza debe
oponerse a la fuerza eléctrica, por tanto
respuesta.
y
q'
O
G
R
∞
q
P
x
F ext = −F
Figura 3.7:
y el trabajo realizado por F ext será positivo,
luego
Solución:
Z P
Z P
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica es
F ext · d = −
F · d > 0,
Z P
∞
∞
P
W∞
=
F · d = −∆U = − (UP − U∞ )
∞
alternativamente, el trabajo realizado por la
fuerza eléctrica es negativo, ya que
donde UP es la energía potencial de la carga q en
el punto P, que viene dada por
Z P
F · d < 0.
1 qq 0
UP =
∞
4π 0 R
En resumen, cuando el trabajo es realizado por con r 0 = 0, r = 3x̂ y R = |r − r 0 | = 3. Teniendo en
fuerzas externas, en contra del campo eléctrico ex- cuenta que U∞ = 0, resulta
istente, se produce un aumento en la energía po1 qq 0
P
tencial del sistema de cargas. Por el contrario, si el
= −UP = −
W∞
4π 0 R
trabajo es realizado por la fuerza eléctrica, la en9
ergía potencial del sistema de cargas disminuye.
[J],
= −6 × 10
3.3 Potencial eléctrico
6
Es trabajo resulta negativo, por tanto lo realizan Definición de potencial:
las fuerzas externas.
De forma análoga a la diferencia de potencial,
podemos definir el potencial V en un punto P de
observación como la energía potencial por unidad
de carga positiva:
3.3.
Potencial eléctrico
U
V =
En el tema anterior introdujimos el campo elécq
trico a partir de la fuerza culombiana que actúa
sobre una carga de prueba. Partiendo ahora de la
energía potencial, introduciremos dos conceptos de
U∞ = 0
G WA→ B
gran importancia dentro de la teoría del campo
U
Δ
U
F
eléctrico: la diferencia de potencial eléctrico
∆V y el potencial eléctrico V .
1
1
1
q
q
q
Consideremos una carga puntual de prueba q
positiva situada en el seno de un campo eléctrico E.
G
ΔV
V
E
Según hemos visto en apartados anteriores, cuanV
=
0
∞
do la carga q se desplaza desde un punto inicial A
hasta otro punto final B, siguiendo una trayectoria
arbitraria, la variación de energía potencial vale
Figura 3.8: Relacion conceptual entre la fuerza elécZ B
trica, el campo, la energía potencial y el potencial.
∆U = UB − UA = −q
E·d .
A
Introduciremos ahora el concepto de diferencia de Potencial debido a una carga puntual:
potencial entre dos puntos ∆V como la diferencia
Según la definición de potencial anterior, el pode energía potencia por unidad de carga positiva
tencial creado por una carga puntual q 0 vale
∆U
∆V =
U
q0 1
V =
q
=
,
q
4π 0 R
Teniendo en cuenta la expresión anterior, podemos
escribir
z
Z B
E·d
∆V = VB − VA = −
q'
La unidad de diferencia de potencial en el SI es julio
dividido por culombio, que se denomina voltio ( V).
1V =
1J
.
1C
G
R
P'
A
G
r'
G
r
P
V
y
O
Así pues, diremos que la diferencia de potencial entre dos puntos es de 1 V cuando las fuerzas exterx
nas deben realizar un trabajo de 1 J para trasladar
una carga positiva de valor 1 C entre dichos puntos,
siguiendo una trayectoria arbitraria.
en en punto P debido a una
Si la diferencia de potencial entre dos puntos es Figura 3.9: Potencial
0
carga
puntual
q
situada
en el punto P0 .
conocida, la diferencia de energía potencial para
una carga puntual q se calcula simplemente como
Teniendo en cuenta la definición de U para un
∆U = q∆V.
campo general E, podemos escribir el potencial en
3.3 Potencial eléctrico
7
El potencial creado por una carga puntual de valor q es
q
V =
.
4π 0 R
un punto P como
VP = −
Interpretación
trostático:
Z
física
P
∞
E·d .
del
potencial
Las superficies equipotenciales verificarán
elec-
El potencial electrostático puede interpretarse de
la siguiente manera:
“El potencial en un punto P es el trabajo
que deben realizar la fuerzas externas para
trasladar una carga positiva de valor unidad
desde el infinito (origen de potenciales) hasta el punto P”
Al igual que para la diferencia de potencial, la
unidad de medida del potencial en el SI es el voltio.
Análogamente al caso de la diferencia de energía
potencial, la diferencia de potencial entre dos puntos A y B puede expresarse como
q
= V0
4π 0 R
donde V0 = cte. Despejando ahora R se obtiene
R=
q
= cte.
4π 0 V0
En consecuencia, las superficies equipotenciales son
esferas centradas en la posición de la carga y con
radio 4π q0 V0 . Dando valores a V0 se van obteniendo
las distintas esferas equipotenciales.
V>V>V
G
E
∆V = VB − VA .
3.3.1.
Superficies equipotenciales
+
Un campo escalar puede representarse gráficamente mediante superficies. Cada una de estas superficies representa el lugar geométrico de puntos
en los cuales el campo escalar tiene el mismo valor.
Si la función escalar es el potencial, las superficies
así construidas se denominan superficies equipotenciales.
q' > 0
En general el potencial es función de la tres variables espaciales, por tanto las superficies equipotenciales se representan mediante la ecuación Figura 3.10: Líneas de campo y superficies equipoV (x, y, z) = V0 = cte. Si estamos considerando un tenciales de una carga puntual positiva y aislada.
problema bidimensional, el potencial será sólo función de dos variables y los lugares geométricos de
los puntos de igual potencial serán líneas.
El potencial no puede cambiar bruscamente en
un punto ya que su valor es sólo función de la distancia a las cargas fuente. En consecuencia, las superficies equipotenciales son cerradas.
Ejemplo 2 Calcular las superficies equipotenciales para una carga puntual. Dibujar dichas superficies así como las líneas de campo de la carga.
Solución:
3.4 Cálculo directo del potencial
3.4.
8
y
Cálculo directo del potencial
A
P
q3 '
3.4.1.
Potencial debido a distribuciones discretas de carga
A
En apartados anteriores hemos visto que el potencial en un punto P creado por una carga puntual
q 0 situada en el punto P0 vale
V =
q2 '
1
q0 1
q0
=
4π 0 R
4π 0 |r − r 0 |
z
Figura 3.12: Distribución discreta de carga formada
por tres cargas puntuales situadas en los vértices de
un cuadrado de lado .
q2 '
G
q1 ' r2 '
G
r1 '
qN '
G
rN '
Solución:
El potencial en el punto P debido a las tres cargas
puntuales es:
N
G
r
x
q1 '
V = ∑Vn
P
n
V
y
O
x
3
X
qn0
1
4π 0 |r − rn0 |
n=1
µ
¶
q10
1
q20
q30
=
+
+
,
4π 0 |r − r10 | |r − r20 | |r − r30 |
=
donde
Figura 3.11: Potencial en el punto P debido a una
distribución discreta de carga.
|r − r10 | = |r − r30 | = ,
y
|r − r20 | =
p
2
+
2
=
√
2 ,
Consideraremos ahora una distribución formada
por N cargas fuente. Cada una de ellas de valor qn0 por tanto
¶
µ
y vector de posición rn0 . El potencial que esta dis1
q20
0
0
tribución crea en un punto P, de vector de posición
V =
q1 + √ + q3 ,
4π 0
2
r, puede obtenerse simplemente teniendo en cuenta el potencial creado por cada carga puntual y el que sustituyendo los valores numéricos resulta
principio de superposición. En efecto, el potencial
µ
¶
51
9 × 109
V creado por la distribución será la suma de los
33 − √ + 47 × 10−9
V =
93 × 10−3
potenciales Vn creados por cada una de las cargas
2
individuales:
= 4252 [ V].
V =
N
P
n=1
Vn =
N
1 X qn0
4π 0 n=1 |r − rn0 |
3.4.2.
Potencial debido a distribuciones continuas de carga
Ejemplo 3 Calcular el potencial en el punto P de
la figura, donde las cargas tienen los valores q10 = 33
Análogamente al caso de una distribución discn C, q20 = −51 n C y q30 = 47 n C, y el cuadrado reta, para calcular el potencial creado por una distribución continua de carga (lineal, superficial o
tiene de lado = 93 mm.
3.4 Cálculo directo del potencial
9
dq'
G
R
G
r'
P
dV
G
r
G G G
R = r − r'
G
r'
L'
dq' = ρ AdA'
z
P'
ρA
z
volúmica) emplearemos el principio de superposición, si bien en este caso, debido al supuesto carácter continuo de la carga, el proceso de suma debe
reemplazarse por el de integración.
y
O
dV
G
r
P
x
y
O
Figura 3.14: Potencial en el punto P debido a un
elemento lineal de carga dq 0 = ρ d 0 .
x
Ejemplo 4 Calcular el potencial creado por un
Figura 3.13: Potencial en el punto P debido a un anillo de radio a cargado uniformemente con una
densidad lineal de carga ρ en un punto arbitrario
elemento de carga dq 0 situado en el punto P0 .
de su eje.
Consideremos una distribución continua de carSolución:
ga, como la mostrada en la figura 3.13 y dentro de
Para calcular el potencial pedido emplearemos la
ella un elemento de carga dq 0 , localizado en un punexpresión
0
to arbitrario P dentro de la distribución. El potenZ
cial dV creado por dq 0 en un punto de observación
1
ρ
V =
d 0.
P cualquiera es
4π 0 L0 |r − r 0 |
dV =
1
dq 0
.
4π 0 |r − r 0 |
z
Potencial debido a distribuciones lineales de
carga:
dV ( z )
Para el caso de una distribución lineal como la
mostrada en la figura 3.14, podemos expresar dq 0
en función de la densidad lineal de carga como
G
r = zzˆ
dq 0 = ρ d 0 ,
por tanto
dV =
1 ρ d 0
.
4π 0 |r − r 0 |
P(0,0, z )
G
R
ρA
a
G
r ' = aρ̂
y
dq ' = ρ A a dφ '
x
Integrando ahora a toda la curva donde exista
carga fuente, obtenemos el potencial creado por to- Figura 3.15: Potencial en P(0, 0, z) debido a un eleda la distribución
mento de carga situado en un anillo cargado.
Z
ρ
1
V =
d 0.
El elemento de línea d 0 se corresponde con un
4π 0 L0 |r − r 0 |
elemento de arco, luego podemos poner
d 0 = adφ0 ,
3.4 Cálculo directo del potencial
10
y los vectores de posición valen
r = zẑ,
r 0 = aρ̂,
|r − r 0 | =
p
z 2 + a2 .
luego
e integrando a todo el área de la distribución resulta
ZZ
1
ρs
V =
dS 0 .
4π 0
|r
−
r 0|
0
S
Ejemplo 5 Determinar el potencial en un punto
Sustituyendo estas cantidades en la expresión del de coordenadas P(0, 0, z) situado en el eje de un
disco de radio a cargado uniformemente con una
potencial queda
densidad superficial de carga ρs .
Z 2π
1
aρ
0
Solución:
√
V (z) =
dφ ,
4π 0 z 2 + a2 0
La expresión general para calcular el potencial
creado por una distribución superficial de carga es
que integrando resulta
ZZ
ρs
1
dS 0 ,
V
=
1
aρ
0
4π 0
√
S 0 |r − r |
V (z) =
[ V].
2 0 z 2 + a2
donde
dS 0 = ρ0 dρ0 dφ0 ,
r = z ẑ,
luego
z
ρs
G
r'
O
dq' = ρ s dS '
G
R
S'
|r − r 0 | =
z
P
dV
dV ( z )
G
r
y
x
Figura 3.16: Potencial en el punto P debido a un
elemento superficial de carga dq 0 = ρs dS 0 .
G
r = zzˆ
a
p
r 0 = ρ0 ρ̂,
ρ02 + z 2 .
P(0,0, z )
G
R
G
r ' = ρ ' ρˆ y
dq' = ρ s ρ ' dρ ' dφ '
x
Potencial debido a distribuciones superfi- Figura 3.17: Potencial en P(0, 0, z) debido a un eleciales de carga:
mento de carga situado en un disco cargado.
En el caso de una distribución superficial de carPara barrer todo el disco los límites de intega como la mostrada en la figura 3.16, el elemento
gración
deberán variar entre 0 y a para el radio,
de carga dq 0 se expresa, en función de la densidad
y entre 0 y 2π para el ángulo φ0 . Teniendo todo
superficial de carga ρs , como
esto en cuenta el potencial resulta
!
0
0
µZ 2π
¶ ÃZ a
dq = ρs dS .
ρ0 dρ0
ρs
0
p
dφ
V (z) =
4π 0
ρ02 + z 2
0
0
Escribiendo el potencial creado por este elemento
³
´
a
ρs p 02
de carga como
=
ρ + z2
20
0
√ ´
1 ρs dS 0
ρs ³p 2
2
dV =
,
=
a
+
z
−
z2 .
4π 0 |r − r 0 |
20
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico
11
√
En esta expresión el valor de z 2 debe ser siempre Integrando a todo el volumen ocupado por la dispositivo ya que físicamente representa una distan- tribución da como resultado el potencial buscado:
cia. Por otra parte z es un punto arbitrario del eje z
y por tanto puede ser positivo o negativo. Teniendo
ZZZ
1
ρτ
esto en cuenta podemos poner
V =
dτ 0 .
0|
½
4π
|r
−
r
0
0
τ
√
z
si z ≥ 0
z2 =
,
−z si z < 0
o alternativamente
√
z 2 = |z|,
3.5.
Entonces la expresión para el potencial finalmente
queda,
´
ρ ³p 2
V (z) = s
a + z 2 − |z|
20
y en función de la carga total del disco
V (z) =
q
2πa2
0
z
¢
¡√
a2 + z 2 − |z|
dq' = ρτ dτ '
G
r'
O
ρτ
Según vimos en el apartado 3, podemos escribir
el potencial en un punto P como
[ V].
VP = −
τ'
G
R
Cálculo del potencial a
partir del campo eléctrico
Z
P
∞
E·d .
Esta expresión permite calcular el potencial cuando el campo eléctrico se conoce previamente. Este
procedimiento de cálculo del potencial se emplea
cuando el problema presenta unas propiedades de
simetría tales que resulta más sencillo calcular directamente el campo, mediante la ley de Gauss, que
calcular directamente el potencial.
P
dV
G
r
y
La expresión anterior nos permite calcular el potencial mediante una simple integral de línea. Ilustraremos esta idea con varios ejemplos.
x
Figura 3.18: Potencial en el punto P debido a un
elemento volúmico de carga dq 0 = ρτ dτ 0 .
Ejemplo 6 Determinar el potencial electrostático
debido a una esfera de radio a, uniformemente carPotencial debido a distribuciones volúmicas gada con densidad volúmica de carga ρτ . Según
de carga:
se obtuvo en el tema anterior aplicando la ley de
Considerando una distribución de carga, como la Gauss, el campo eléctrico creado por esta esfera
mostrada en la figura 3.18, contenida un volumen viene dado por
τ 0 y caracterizada por una densidad volúmica de
⎧ ρ r
carga ρτ , el potencial creado por un elemento de
τ
⎪
r̂
para r < a
⎨
carga será
3 0
0
E
=
.
3
1 ρτ dτ
ρτ a
⎪
⎩
dV =
,
r̂
para
r
>
a
4π 0 |r − r 0 |
3 0 r2
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico
G
r
P
ρτ
O
a
12
el infinito hasta P. Para realizar la integral de línea
debemos partirla en dos: una desde el infinito hasta
a y otra desde a hasta r, luego
Z r
Z r
Z a
Vint = −
E·d =−
Eext · d −
Eint · d
∞
Figura 3.19: Volumen esférico cargado.
∞
a
La primera de la integrales se corresponde con el
potencial en r = a, es decir
Z a
ρ a2
−
Eext · d = Vext (a) = τ .
30
∞
Solución:
Además, teniendo en cuenta que d = drr̂ y sustiConocido el campo eléctrico, el potencial en un tuyendo la expresión para E , resulta
int
punto P se calcula mediante la expresión
Z r
ρτ r
Z P
Vint = Vext (a) −
r̂ · drr̂
V =−
E·d .
a 3 0
∞
ρτ a2
ρ ¡ ¢¯r
=
− τ r2 ¯a
3 0
6 0
Como el campo eléctrico tiene una expresión dis¢
tinta para puntos exteriores e interiores de la esfera,
ρτ a2
ρ ¡
=
+ τ a2 − r2
deberemos calcular el potencial, de forma indepen3 0
6 0
¢
diente, para cada una de estas dos regiones.
ρτ ¡ 2
=
3a − r2
6 0
a) Región exterior a la esfera de carga (r > a):
Consideremos un punto P arbitrario situado en
Recopilando los resultados obtenidos, el potenel exterior de la esfera de carga. Tomando el origen cial producido por la esfera cargada vale
de potenciales en el infinito, el potencial en P se
⎧ ρ ¡
¢
τ
calcula mediante la expresión
⎪
3a2 − r2
para r < a
⎨
6
0
Z P
V (r) =
.
3
ρ a 1
⎪
⎩ τ
para r > a
Vext = −
Eext · d
30 r
∞
donde Eext es el campo eléctrico para r > a. Elegiremos como camino de integración una semirecta
con dirección radial, luego d = drr̂. Llamando r
a la distancia del centro de la esfera al punto P, la
integral anterior resulta
Z r
Z
ρτ a3 r dr
ρτ a3
Vext = −
r̂ · drr̂ =
−
2
3 0 ∞ r2
∞ 3 0r
µ
¶¯
r
ρτ a3 1 ¯¯
ρτ a3 1
=
=
30
r ¯∞
30 r
Se observa que el potencial es continuo en r = a,
ya que
Vint (a) = Vext (a).
Ejemplo 7 El campo eléctrico debido a una superficie esférica de radio a uniformemente cargada con
una carga total Q viene dado por
⎧
b) Región interior a la esfera de carga (r < a):
⎨
0
para r < a
Consideremos ahora un punto P arbitrario situQ
.
E=
⎩
r̂
para r > a
ado a una distancia r < a del centro de la esfera.
2
4π 0 r
Al igual que en el cálculo anterior, tomamos el origen de potenciales en el infinito. El camino de in- Calcular la función potencial en todo punto del estegración será una semirecta radial que va desde pacio.
3.5 Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico
ρs
a
13
Se observa que el potencial es constante en el interior de la esfera y continuo en r = a.
O
Figura 3.20: Superficie esférica cargada.
Ejemplo 8 Calcular el potencial debido a un plano
infinito que coincide con el plano x-y y tiene una
densidad de carga uniforme ρs sabiendo que el campo eléctrico creado por dicho plano vale
ρ z
E= s
ẑ
Solución:
2 0 |z|
El potencial en un punto P, conocido el campo
Calcular la función potencial en todo punto del eseléctrico, viene dado por
pacio.
Z P
V =−
E·d .
z
∞
El campo eléctrico tiene distinta expresión dentro
y fuera de la esfera, por tanto consideraremos cada
caso por separado.
a) Región exterior a la superficie de carga
(r > a):
Al igual que en ejemplo anterior, tomando d =
drr̂, tenemos
Z P
Vext = −
Eext · d
Z∞r
Q
Q
r̂ · drr̂ =
= −
2
4π
r
4π
0
0r
∞
b) Región interior a la superficie de carga
(r < a):
El potencial en un punto arbitrario del interior
de la esfera vale
Z a
Z P
Z r
Vint = −
E·d =−
Eext · d −
Eint · d
∞
∞
a
Teniendo en cuenta que
Z a
Eext · d = Vext (a) =
−
resulta
∞
Q
4π 0 a
ρs > 0
y
x
Figura 3.21: Plano cargado.
Solución:
Al tratarse de una distribución de carga de
tamaño no finito, no podemos tomar el origen de
potenciales en el infinito. En estos casos, el origen
de potenciales se toma en un punto fijo arbitrario.
En este problema tomaremos el origen de potenciales en el origen de coordenadas, luego
V (0) = 0.
Teniendo esto en cuenta, calcularemos el potencial
mediante la expresión
Vint
Z P
a
V =−
E·d .
Por tanto, el potencial debido a una superficie esorigen
férica vale
⎧
a) Región (z > 0):
Q
⎪
⎨
para r ≤ a
4π 0 a
V (r) =
Z z
Q
⎪
ρ
ρ
ρs
⎩
para r ≥ a.
V =−
ẑ · dz ẑ = − s (z)z0 = − s z
4π 0 r
2
2
2
0
0
0
0
Q
=
−
4π 0 a
Z
r
Q
0·d =
4π 0 a
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
b) Región (z < 0):
V =−
Z
0
z
G
ρ Rˆ
E = K e ∫∫∫ τ 2 dτ '
τ' R
ρ
ρ
ρ
z
− s ẑ · dz ẑ = s (z)0 = s z
20
20
20
Teniendo en cuenta que
½
z
|z| =
−z
G
E
para z > 0
para z < 0
14
ρτ
ρ
V = K e ∫∫∫ τ dτ '
τ' R
G
P G
VP = − ∫ E ⋅ d A
∞
V
G
E = ??
podemos expresar el potencial debido a un plano
Figura 3.24: Caminos para el cálculo del campo y
infinito como
del potencial utilizando expresiones de tipo integral. El problema del cálculo del campo a partir
ρs
V (z) = −
|z|
∀z
del potencial se trata en el apartado 3.6.
20
3.6.
V (z )
z
Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
El cálculo del potencial es, en general, más sencillo que el cálculo del campo eléctrico. Esto se debe a
que el potencial es un campo escalar, mientras que
el campo eléctrico es un campo vectorial. Resulta,
por tanto, de gran interés obtener una expresión
Figura 3.22: Variación con la distancia del potencial que nos permita calcular el campo eléctrico creado
eléctrico creado por un plano cargado situado en por una distribución de carga a partir del potencial.
El procedimiento inverso, el cálculo del potencial a
z = 0.
partir del campo, ha sido ya tratado en este tema.
En concreto, la diferencia de potencial entre dos
G
puntos se calcula a partir de campo eléctrico como
E
Z B
VB − VA = −
E·d ,
V
A
ρs > 0
que es una expresión de tipo integral, ya que
aparece la integral de línea del campo. Para calcular el campo en función del potencial deberemos
despejar E, lo que nos conducirá a una expresión
en la que aparecerán derivadas, es decir, a una expresión de tipo diferencial.
Para obtener la forma diferencial buscada comenzaremos haciendo un estudio de la expresión inteFigura 3.23: Líneas de campo eléctrico y superficies gral anterior para varios casos particulares.
equipotenciales creadas por un plano cargado.
Supondremos en primer lugar que el camino de
integración es paralelo al eje x con los puntos inicial y final muy próximos, tal como se muestra en la
figura 3.25. Podemos expresar los vectores de posiy
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
ción a dichos puntos como
= x x̂ + y ŷ + z ẑ,
= (x + ∆x) x̂ + y ŷ + z ẑ.
rA
rB
y
A = P ( x, y , z )
B = P( x + Δ x , y, z )
G
Δx
rA
G
rB
x
O
15
del camino de integración estén infinitamente próximos. Para ello simplemente tendremos que calcular
el límite de la expresión anterior cuando la longitud
del camino tiende a cero, esto es
∙
¸
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
Ex = − lı́m
.
∆x→0
∆x
En esta ecuación, el miembro de la derecha (salvo
el signo menos) es por definición la derivada parcial
de V respecto de la coordenada x:
∙
¸
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
∂V
,
≡
lı́m
∆x→0
∆x
∂x
luego hemos llegado al resultado
Figura 3.25: Desplazamiento finito según la dirección x.
Ex = −
∂V
.
∂x
Esta expresión nos permite calcular la componente
x del campo eléctrico a partir del potencial.
El diferencial de longitud para este camino será
Repitiendo el proceso anterior para caminos de
d = dx x̂, y el campo eléctrico se expresa en coorintegración paralelos los ejes y y z, llegamos a las
denadas cartesianas como
siguientes expresiones, respectivamente
E = Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ
∂V
∂V
Ey = −
, Ez = −
.
∂y
∂z
luego
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
Z x+∆x
= −
(Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ) · dx x̂
= −
Z
x
x+∆x
Ex dx.
Podemos entonces escribir el campo eléctrico en
función del potencial, en forma vectorial, como
¶
µ
∂V
∂V
∂V
x̂ +
ŷ +
ẑ .
E=−
∂x
∂y
∂z
Esta expresión puede escribirse de forma más compacta empleando el operador vectorial nabla, que
Resolveremos esta integral de forma aproximada. en coordenadas rectangulares se define como
Para ello, teniendo en cuenta que los puntos inicial y final están muy cercanos, supondremos que
∂
∂
∂
∇≡
x̂ +
ŷ +
ẑ,
el campo es constante a lo largo del camino de in∂x
∂y
∂z
tegración, lo cual nos permitirá sacarlo fuera de la
con lo cual
integral obteniendo
E = −∇V.
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z) ' −Ex ∆x.
Por tanto, el campo eléctrico se obtiene aplicando
Obsérvese que, en la expresión anterior, hemos el operador nabla al potencial y cambiando el sigsustituido el símbolo de igualdad por el símbolo no del resultado. Como ya sabemos, el potencial
“'”, lo cual indica que la expresión es aproximada. eléctrico es un campo escalar.
Despejando ahora Ex tenemos
La aplicación del operador nabla a un campo escalar recibe el nombre de gradiente del escalar y
V (x + ∆x, y, z) − V (x, y, z)
suele escribirse como grad V . Diremos entonces que
Ex ' −
∆x
el campo eléctrico es el gradiente del potencial camPodemos ahora recobrar la igualdad en la expre- biado de signo.
sión anterior haciendo que los puntos inicial y final
x
3.6 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Gradiente del potencial
Ejemplo 9 Calcular el campo eléctrico en el eje de
un anillo de radio a con densidad de carga uniforme
ρ a partir de su potencial
3.6.1.
16
Significado del gradiente
Como ya conocemos, la diferencia de potencial
entre dos puntos se expresa en función del campo
1
aρ
como
√
V (z) =
2 0 z 2 + a2
Z B
VB − VA = −
E·d ,
Repetir el ejercicio para el caso de un disco de radio
A
a y densidad superficial ρs constante, cuyo potencial en el eje vale
Escribiendo el primer miembro en la forma
´
ρs ³p 2
V (z) =
a + z 2 − |z|
Z B
20
dV,
VB − VA =
A
Solución:
Debido a la simetría, las componentes Ex y Ey
del campo eléctrico son nulas. Para obtener Ez bas- Podemos poner entonces
ta evaluar la expresión
Z B
Z B
dV = −
E·d ,
dV
Ez = −
.
A
A
dz
Para el anillo, resulta
¶
µ
d aρ
1
√
Ez = −
dz 2 0 z 2 + a2
¢−1/2 i
aρ d h¡ 2
= −
z + a2
2 0 dz
¢−3/2
aρ 1 ¡ 2
=
2z
z + a2
202
aρ
z
=
.
2 0 (z 2 + a2 )3/2
Igualando los integrandos resulta
dV = −E · d .
Teniendo en cuenta que E = −∇V , la relación anterior se transforma en
dV = ∇V · d .
Considérese ahora un punto localizado en la superficie
equipotencial V (x, y, z) = V1 , tal como se
∙
´¸
d ρs ³p 2
muestra
en la figura 3.26. Mediante un desplazaa + z 2 − |z|
Ez = −
miento
d
dz 2 0
1 , nos movemos desde este punto a otro
punto localizado en la misma superficie equipotenLa función |z| es discontinua en z = 0, por lo que cial. Al realizarse el desplazamiento sobre una sucalcularemos Ez para z > 0 y para z < 0.
perficie equipotencial, no hay variación en el valor
Para z > 0
del potencial, esto es, dV = 0. Entonces
¸
∙
³
´
p
d ρs
Ez = −
a2 + z 2 − z
∇V · d 1 = 0,
dz 2 0
¶
µ
ρs
z
√
= −
−1
por tanto ∇V y d 1 son vectores perpendiculares,
20
a2 + z 2
lo que significa que el gradiente es un vector perPara z < 0
pendicular a la superficie equipotencial. Además,
¸
∙
´
³
p
como E = −∇V también se verifica
d ρs
Ez = −
a2 + z 2 + z
dz 2 0
¶
µ
E · d 1 = 0,
ρ
z
= − s √
+1
20
a2 + z 2
es decir, el campo eléctrico también es perpendicular a las superficies equipotenciales.
Para el disco
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
17
z
∇V
q2
G
dA1
V2
G
E
qN
q1
V1
y
O
x
V2 > V1 > V0
V0
Figura 3.28: Distribución discreta de cargas.
Figura 3.26: Despazamiento sobre una superficie
equipotancial.
3.7.
Energía electrostática de
formación de distribuciones de carga
Consideremos ahora, tal como se ilustra en la
figura 3.27, varios desplazamientos d 0 , d 00 , d 000 en
direcciones distintas, pero de igual longitud, esto
En apartados anteriores determinamos la energía
es,
potencial de una carga puntual de prueba en un
|d 0 | = |d 00 | = |d 000 | = d 0 .
campo electrostático. Nuestro propósito ahora es
El cambio en el potencial debido a estos desplaza- calcular la energía de formación de una distribución
mientos es
de carga, lo cual puede interpretarse como la cantidad de trabajo que deben hacer las fuerzas exterdV = ∇V · d = |∇V |d 0 cos α,
nas para formar la distribución de carga. El origen
de este trabajo radica en que las fuerzas externas
siendo α el ángulo entre ∇V y d . El valor de dV deben trasladar la carga desde el origen de energías
será distinto para cada desplazamiento y será máxi- potenciales (el infinito) hasta la posición que ocupa
mo cuando α = 0, es decir, cuando ∇V y d sean dentro de la distribución.
paralelos. Esto significa que el gradiente tiene la
dirección según la cual el escalar tiene una mayor
variación, o en otras palabras, el gradiente es la 3.7.1. Energía de formación de una
distribución discreta de carga
derivada direccional máxima. Por otra parte, como
E = −∇V la dirección de E es aquella según la
Formaremos una distribución discreta de tres
cual el potencial disminuye más rápidamente.
cargas trayendo cada una de las cargas individuales
G
d A'
G
dA' '
G
d A' ' '
desde el infinito. Posteriormente extenderemos la
expresión obtenida al caso de N cargas mediante
simple inducción.
Para traer la primera carga q10 no es necesario
realizar ningún trabajo, ya que no existe ningún
campo que se oponga al desplazamiento de q10 . Por
tanto la energía U1 de la carga q1 en ausencia de
las demás cargas es nula:
U1 = 0.
Para traer otra carga q20 desde el infinito hasta
un punto P2 localizado a una distancia R12 de q10
Figura 3.27: Desplazamientos de igual longitud y será necesario hacer un trabajo en contra del campo
distinta dirección.
creado por q10 . Según hemos visto a lo largo de este
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
18
Si en vez de tres, trajéramos N cargas puntuales
tema, ese trabajo aumenta la energía del sistema
desde el finito, la energía de la distribución resulen una cantidad
tante sería
q10
N
U2 = q20 V12 = q20
,
1 P
4π 0 R12
Ue =
q 0 Vn .
2 n=1 n
lo cual puede reescribirse como
U2
=
=
1 0
1
q20
q10
+ q20
q1
2 4π 0 R21
2 4π 0 R12
1 0
1 0
q V21 + q2 V12 .
2 1
2
donde hemos tenido en cuenta que R12 = R21 .
Si traemos una tercera carga puntual q30 hasta
el punto P3 localizado a distancias R13 y R23 de
P1 y P2 , respectivamente, la energía adicional del
sistema será
µ
¶
q20
q10
+
,
U3 = q30 (V13 + V23 ) = q30
4π 0 R13
4π 0 R23
Ejemplo 10 Calcular la energía electrostática de
una distribución de carga formada por tres cargas
puntuales de q10 = 10μ C, q20 = 15μ C y q30 = −5μ C
situadas en los vértices de un triángulo equilátero
de lado = 10 cm.
q3 '
A
A
que expresaremos como
U3
1 0
1
q30
q10
+ q30
q1
2 4π 0 R31 2 4π 0 R13
q30
q20
1
1
+ q20
+ q30
2 4π 0 R32 2 4π 0 R23
1 0
1
1
1
=
q V31 + q30 V13 + q20 V32 + q30 V23 .
2 1
2
2
2
q1 '
=
A
q2 '
Figura 3.29: Distribución discreta de carga formada por tres cargas situadas en los vértices de un
triángulo de lado .
La energía total del sistema de cargas será
Ue
= U2 + U3
1 0
1
1
=
q V21 + q20 V12 + q10 V31
2 1
2
2
1
1
1
+ q30 V13 + q20 V32 + q30 V23 ,
2
2
2
que puede organizarse como
Ue
1 0
=
q (V21 + V31 )
2 1
1
1
+ q20 (V12 + V32 ) + q30 (V13 + V23 )
2
2
Solución:
Resolveremos este problema por dos caminos
diferentes: en primer lugar lo haremos calculando el
trabajo necesario para traer cada una de las cargas
desde el infinito (1), y posteriormente lo haremos
aplicando la fórmula directamente (2).
1. Para traer la carga q1 hasta su posición en
ausencia de las demás cargas no es necesario
realizar ningún trabajo, luego W1 = 0.
El trabajo necesario para traer q2 en presencia
de q1 será
o alternativamente
Ue =
3
X
1 0
1
1
1
q 0 Vn
q V1 + q20 V2 + q30 V3 =
2 1
2
2
2 n=1 n
donde V1 representa el potencial creado, en la posición de q10 , por el resto de las cargas de la distribución. Los potenciales V2 y V3 se definen análogamente.
W2 = q2 V12 =
q2 q1
q2 q1
=
.
4π 0 R12
4π 0
Por último, el trabajo necesario para traer q3
en presencia de q1 y de q2 es
W3
= q3 V13 + q3 V23
q3 q1
q3 q2
q3 (q1 + q2 )
=
+
=
,
4π 0 R13 4π 0 R23
4π 0
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
19
C
La energía de la distribución será igual al trabajo total realizado, luego
Ue = W2 + W3 =
1
(q1 q2 + q1 q3 + q2 q3 ),
4π 0
dA
dq = ρ A dA
ρA
(a )
que sustituyendo valores numéricos resulta
dq = ρ s dS
9 × 109
× 10−12
10−1
×(10 × 15 − 10 × 5 − 15 × 5)
=
Ue
=
dS
S
ρs
2. 25 [ J].
( b)
2. Aplicando la fórmula directamente tenemos
donde Vi es el potencial en la posición de qi
creado por el resto de las cargas. Estos potenciales valen
=
V1
=
=
=
V2
=
=
=
V3
=
=
q2
q3
(q2 + q3 )
+
=
4π 0 R21 4π 0 R31
4π 0
9 × 109
× 10−6 × (15 − 5)
10−1
9 × 105 [ V],
q1
q3
(q1 + q3 )
+
=
4π 0 R12 4π 0 R32
4π 0
9
9 × 10
× 10−6 × (10 − 5)
10−1
4,5 × 105 [ V],
q1
q2
(q1 + q2 )
+
=
4π 0 R13 4π 0 R23
4π 0
9
9 × 10
× 10−6 × (15 + 10)
10−1
22,5 × 105 [ V].
La energía total resulta
Ue
τ
dτ
3
1X
1
Ue =
qi Vi = (q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 ) ,
2 i=1
2
dq = ρτ dτ
ρτ
(c)
Figura 3.30: Distribuciones discretas de carga. (a)
lineal, (b) superficial y (c) volúmica.
3.7.2.
Energía de formación de distribuciones continuas de carga
El proceso que debemos seguir para formar una
distribución continua de carga es análogo al realizado en el caso de la distribución discreta. La única
diferencia es que, en este caso, traeremos del infinito
elementos de carga ∆qn0 , en vez de cargas puntuales.
Podemos entonces adaptar la expresión obtenida
para cargas puntuales al caso distribuciones continuas:
à N
!
Z
1X
1
0
Ue = lı́m
∆q Vn =
V dq 0 .
0
2 n=1 n
2
∆qn
→0
N →∞
Escribiremos ahora esta fórmula según se trate de
1
distribuciones lineales, superficiales o volúmicas.
(q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 )
2
1
=
× 10−6
Distribuciones lineales:
2
5
× (10 × 9 + 15 × 4. 5 − 5 × 22,5) × 10
En este caso dq 0 = ρ d 0 , luego
= 2. 25 [ J].
Z
1
Ue =
ρ V d 0.
2 C0
=
3.7 Energía electrostática de formación de distribuciones de carga
20
Distribuciones superficiales:
⎧
⎪
⎨
Ahora dq 0 = ρs dS 0 , por tanto
1
Ue =
2
ZZ
S0
Q
8π
0a
V =
Q
⎪
⎩
4π 0 r
ρs V dS 0 .
Distribuciones volúmicas:
En una distribución volúmica dq 0 = ρτ dτ ,
podemos entonces escribir la energía como
Ue =
1
2
ZZZ
τ0
¶
µ
r2
3− 2
a
r≤a
r≥a
La energía potencial de esta distribución será
ZZZ
1
ρτ V dτ ,
Ue =
2
esfera
donde ρτ = cte y se puede sacar de la integral.
Además, el potencial sólo depende de la variable r,
por tanto podemos tomar
ρτ V dτ 0 .
En los casos anteriores las integrales se han exdτ = 4πr2 dr,
tendido a la región del espacio donde existe carga,
sin embargo, si fuera conveniente puede integrarse
a todo el espacio, ya que fuera de la distribución se e integrar a lo largo del radio, luego
¶
Z
Z µ
supone que no hay carga y por tanto la contribución
ρτ a
ρτ Q a
r2
2
de estas zonas a la integral es nula.
V 4πr dr =
3 − 2 r2 dr.
Ue =
2 0
4 0a 0
a
G
ρ Rˆ
E = K e ∫∫∫ τ 2 dτ '
τ' R
G
E
ρτ
Integrando resulta
ρτ
V = K e ∫∫∫
dτ '
τ' R
G
P G
VP = − ∫ E ⋅ d A
U e = ?? (Tema 4)
∞
V
G
E = −∇V
Ue =
Ue
1
ρτ Vdτ '
2 ∫∫∫τ '
Figura 3.31: Caminos para el cálculo del campo, el
potencial y la energía. La forma de calcular la energía en función del campo se aborda en el siguiente
tema.
Ejemplo 11 Determinar la energía de formación
de una distribución uniforme de carga en forma de
esfera de radio a y de carga total Q. Suponer que
el potencial es conocido.
Solución:
El potencial creado por una esfera cargada se determinó en un ejemplo anterior; su valor es:
ρ Q
Ue = τ
4 0a
¶a
µ
r5
ρ Qa2
3
= τ
.
r − 2
5a 0
5 0
Teniendo en cuenta ahora que ρτ =
Ue =
3 Q2
5 4π 0 a
[ J].
3Q
4πa3
resulta