Fórmulas de deformación de vigas

Fórmulas de deformación de vigas
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Simbolo
Unidades
E·I
y
θ
x
L
M
P
w
R
V
Magnitud
Rigidez a flexión
Deflexión, deformación, flecha
Pendiente, giro
Posición del punto de estudio (distancia desde el origen)
Longitud de la viga (sin vano lateral)
Momento flector, flector, momento aplicado
Carga puntual, carga concentrada
Carga distribuida
Reacción
Esfuerzo cortante, cortante
Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
− w0 x 3
( L − 2 Lx 2 + x 3 )
24 EI
L
− 5w0 L4
yMAX =
para x =
384 EI
2
− w0 3
( L − 6 Lx 2 + 4 x 3 )
Pendiente θ AB =
24 EI
− w0 L3
θ A = −θ B =
24 EI
w0 x
Momento M AB =
( L − x)
2
w0 L2
L
M MAX =
para x =
8
2
w0
Cortante VAB =
( L − 2 x)
2
wL
Reacciones RA = RB = 0
2
Deflexión yAB =
N·m2, Pa·m4
m
m
m
N·m
N
N/m
N
N
Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
− w0 x
(9 L3 − 24 Lx 2 + 16 x 3 )
384 EI
− w0 L
(8 x 3 − 24 Lx 2 + 17 L2 x − L3 )
yCB =
384 EI
− w0
Pendiente θ AC =
(9 L3 − 72 Lx 2 + 64 x 3 )
384 EI
− w0 L
θ CB =
(24 x 2 − 48Lx + 17 L2 )
384 EI
7 wL3
− 3wL3
θA =
θB =
128EI
384 EI
w
w
Momento M AC = 0 (3Lx − 4 x 2 ) M CB = 0 ( L2 − Lx)
8
8
w0
− w0 L
Cortante
VAC =
(3L − 8 x)
VCB =
8
8
VA = RA
VB = − RB
wL
3w L
Reacciones RA = 0
RB = 0
8
8
Deflexión
y AC =
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión:
− w0 x 4
yAC =
(a − 4a 3 L + 4a 2 L2 + 2a 2 x 2 − 4aLx 2 + Lx 3 )
24 LEI
− w0 a 2
yCB =
(−a 2 L + 4 L2 x + a 2 x − 6 Lx 2 + 2 x 3 )
24 LEI
Pendiente:
− w0
θ AC =
(a 4 − 4a 3 L + 4a 2 L2 + 6a 2 x 2 − 12aLx 2 + 4 Lx 3 )
24 LEI
− w0 a 2
θ CB =
(4 L2 + a 2 − 12 Lx + 6 x 2 )
24 LEI
Momento:
− w0 2
w a2
M AC =
(a x − 2aLx + Lx 2 )
M CB = 0 ( L − x)
2L
2L
Cortante:
− w0 2
− w0 a 2
VAC =
(a − 2aL + 2 Lx) VCB = VC = VB =
2L
2L
2
wa
wa
Reacciones RA = 0 (2 L − a)
RB = 0
2L
2L
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
RA x 3
R x3
w
+ αx
yCD = A − 0 ( x − a) 4 + αx
6 EI
6 EI 24 EI
3
β ( L − x)
R ( L − x)
+
yDB = B
6 EI
L
2
R x
R x2
w
Pendiente: θ AC = A + α
θ CD = A − 0 ( x − a)3 + α
2 EI 6 EI
2 EI
2
β
− RB ( L − x)
θ DB =
−
2 EI
L
w
Momento M AC = RA x
M CD = RA x − 0 ( x − a) 2
2
M DB = RB ( L − x)
VAC = VA = VC = RA
VCD = RA − w0 ( x − a)
Cortante
VDB = VD = VB = − RB
wb
wb
Reacciones RA = 0 (2c + b)
RB = 0 (2a + b)
2L
2L
Siendo:
w b3 L − 6 EIβ − 3RBc 2 L − 3RA L(a + b) 2
α= 0
6 LEI
3
4
4w ab + 3w0b − 8RA (a + b)3 − 12 RBc 2 L + 8RBc 3
β= 0
24 EI
Deflexión yAC =
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado
Momento
M AC = RA x −
M CD = RA x −
w1 x 2
2
w1a
(2 x − a)
2
M DB = RB ( L − x) −
w2 ( L − x) 2
2
Cortante:
VDB = − RB + w2 ( L − x)
VAC = RA − w1 x VCD = RA − w1a
Reacciones:
w a(2 L − a) + w2c 2
w c(2 L − c) + w1a 2
RA = 1
RB = 2
2L
2L
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
− w0 x
(7 L4 − 10 L2 x 2 + 3x 4 )
360 LEI
w0 L4
para x = 0,5193L
y MAX = −0,00652
EI
− w0
Pendiente θ AB =
(7 L4 − 30 L2 x 2 + 15 x 4 )
360 LEI
− 7 w0 L3
w0 L3
θA =
θB =
45 EI
360 EI
w0 2
Momento M AB =
(L x − x3 )
6L
w0 2
Cortante
( L − 3x 2 )
VAB =
6L
2w L
wL
Reacciones RA = 0
RB = 0
6
6
Deflexión
y AB =
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
− w0 x
(5 L2 − 4 x 2 ) 2
960 LEI
− w0 ( L − x)
yCB =
(5L2 − 4( L − x) 2 ) 2
960 LEI
− w0 L4
L
y MAX =
para x =
2
120 EI
− w0
Pendiente θ AC =
(5L2 − 4 x 2 )( L2 − 4 x 2 )
192 LEI
w0
θ CB =
(5 L2 − 4( L − x) 2 )( L2 − 4( L − x) 2 )
192 LEI
− 5w0 L3
θ A = −θ B =
192 EI
w0
Momento M AC =
(3L2 x − 4 x 3 )
12 L
w0 ( L − x)
(3L2 − 4( L − x) 2 )
M CB =
12 L
− w0 2
w
Cortante VAC = 0 ( L2 − 4 x 2 ) VCB =
( L − 4( L − x) 2 )
4L
4L
Deflexión y AC =
Reacciones RA = RB =
w0 L
4
Viga simple apoyada - Carga senoidalmente distribuida
− w0 L4
πx
sen
4
π EI
L
4
−w L
L
yMAX = 4 0
para x =
π EI
2
3
−w L
− w L3
πx
Pendiente θ AB = 3 0 cos
θ A = −θ B = 3 0
π EI
L
π EI
2
wL
πx
Momento M AB = 0 2 sen
π
L
w0 L
πx
wL
Cortante VAB =
cos
VA = −VB = 0
π
L
π
w0 L
Reacciones RA = RB =
π
yAB =
Deflexión
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión
− Px
(3L2 − 4 x 2 )
48EI
− P( L − x)
yCB =
(3L2 − 4( L − x) 2 )
48EI
− PL3
L
y MAX = yC =
para x =
2
48EI
Pendiente:
y AC =
−P 2
−P
( L − 4 x 2 ) θ CB =
(4 x 2 − 8Lx + 3L2 )
16 EI
16 EI
2
PL
θ A = −θ B =
16 EI
Px
P( L − x)
Momento M AC =
M CB =
2
2
P
−P
Cortante
VAC = VA =
VCB = VB =
2
2
P
Reacciones RA = RB =
2
θ AC =
Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión
− Pbx 2
(L − b2 − x 2 )
6 LEI
− Pa( L − x) 2
=
L − a 2 − ( L − x) 2
6 LEI
y AC =
yCB
[
]
Pendiente:
− Pb 2
Pa 2
θ AC =
( L − b 2 − 3x 2 ) θ CB =
L − a 2 − 3( L − x) 2
6 LEI
6 LEI
2
2
Pa
− Pb( L − b )
θA =
θB =
( L2 − a 2 )
6 LEI
6 LEI
Pbx
Pa( L − x)
Momento M AC =
M CB =
L
L
Pb
− Pa
Cortante
VAC = VA =
VCB = VB =
L
L
Pa
Pb
Reacciones RA =
RB =
L
L
[
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
− Px
(3aL − 3a 2 − x 2 )
6 EI
− Pa
(3Lx − 3x 2 − a 2 )
yCD =
6 EI
− P( L − x)
y DB =
3aL − 3a 2 − ( L − x) 2
6 EI
− Pa
L
y MAX =
(3L2 − 4a 2 ) para x =
2
24 EI
−P
− Pa
Pendiente θ AC =
(aL − a 2 − x 2 ) θ CD =
( L − 2 x)
2 EI
2 EI
P
θ DB =
aL − a 2 − ( L − x) 2
2 EI
− P(aL − a 2 )
θ A = −θ B =
2 EI
M DB = P( L − x)
Momento M AC = Px
M CD = Pa
VDB = − P
Cortante
VAC = P
VCD = 0
Reacciones RA = RB = P
Deflexión y AC =
[
[
]
]
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente
M AC = RA x
M CD = RA x − P( x − a)
M DB = RB ( L − x)
Cortante
VAC = RA
VCD = RA − P
VDB = − RB
P ( L − a + b)
P( L − b + a)
RB =
Reacciones RA =
L
L
Momento
]
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente
M AC = RA x
M CD = RA x − P1 ( x − a)
M DB = RB ( L − x)
VDB = − RB
Cortante
VAC = RA
VCD = RA − P1
P ( L − a) + P2b
P ( L − b) + P1a
RB = 2
Reacciones RA = 1
L
L
Momento
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
− M0x 2
(L − x 2 )
6 LEI
− M0 2
Pendiente θ AB =
( L − 3x 2 )
6 LEI
M L
− M0L
θA =
θB = 0
6 EI
3EI
M0x
Momento M AB =
L
M
Cortante
VAB = 0
L
− M0
M
Reacciones RA = 0
RB =
L
L
Deflexión
y AB =
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo
M0x
(2 L2 − 3Lx + x 2 )
6 LEI
⎛3− 3 ⎞
M L2
⎟L
y MAX = 0
para x = ⎜⎜
⎟
3
9 3EI
⎝
⎠
M0
Pendiente θ AB =
(2 L2 − 6 Lx + 3 x 2 )
6 LEI
M0L
− M 0L
θA =
θB =
3EI
6 EI
− M0
Momento M AB =
( L − x)
L
M
Cortante VAB = 0
L
− M0
M0
RB =
Reacciones RA =
L
L
Deflexión
y AB =
Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo
− M0x
(2 L2 − 3Lx + x 2 )
6 LEI
⎛3− 3 ⎞
− M 0 L2
⎟L
y MAX =
para x = ⎜⎜
⎟
9 3EI
⎝ 3 ⎠
− M0
Pendiente θ AB =
(2 L2 − 6 Lx + 3x 2 )
6 LEI
M L
− M0L
θA =
θB = 0
3EI
6 EI
M
Momento M AB = 0 ( L − x)
L
− M0
Cortante VAB =
L
− M0
M
Reacciones RA =
RB = 0
L
L
Deflexión
yAB =
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
− M0x 2
(L − 4x 2 )
24 LEI
M ( L − x) 2
yCB = 0
( L − 4( L − x) 2 )
24 LEI
− M0 2
Pendiente θ AC =
( L − 12 x 2 )
24 LEI
M0
θ CB =
(12( L − x) 2 − L2 )
24 LEI
M0
− M0 2
θA =
( L − 3b 2 ) θ B =
(− L2 + 3a 2 )
6 LEI
6 LEI
M x
− M0
Momento M AC = 0
M CB =
( L − x)
L
L
M
M
Cortante VAC = 0 VCB = 0
L
L
− M0
M0
Reacciones RA =
RB =
L
L
Deflexión
y AC =
Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
− M0x 2
( L − 3b 2 − x 2 )
6 LEI
M 0 ( L − x) 2
yCB =
( L − 3a 2 − ( L − x) 2 )
6 LEI
− M0 2
Pendiente θ AC =
( L − 3b 2 − 3x 2 )
6 LEI
M0
θ CB =
(− L2 + 3a 2 + 3( L − x) 2 )
6 LEI
M0
− M0 2
θA =
( L − 3b 2 )
θB =
(− L2 + 3a 2 )
6 LEI
6 LEI
− M0
M0x
Momento M AC =
M CB =
( L − x)
L
L
M
M
Cortante
VCB = 0
VAC = 0
L
L
− M0
M
Reacciones RA = 0
RB =
L
L
y AC =
Deflexión
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario + horario en los extremos
y AB =
Deflexión
− x( L − x)
[( M 1 − M 2 ) x − (2M 1 + M 2 ) L]
6 LEI
Pendiente:
1
θ AB =
( M 1 − M 2 )(3x 2 − 2 Lx) − (2 M 1 + M 2 )(2 Lx − L2 )
6 LEI
1
Momento M AB = [( M 1 − M 2 ) x − LM 1 ]
L
M − M2
Cortante
VAB = 1
L
M − M1
M − M2
Reacciones RA = 1
RB = 2
L
L
[
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los extremos
y AB =
Deflexión
− x( L − x)
[( M 1 + M 2 ) x − (2M 1 − M 2 ) L]
6 LEI
Pendiente:
1
θ AB =
( M 1 + M 2 )(3x 2 − 2 Lx) − (2 M 1 − M 2 )(2 Lx − L2 )
6 LEI
1
Momento M AB = [( M 1 + M 2 ) x − LM 1 ]
L
M + M2
Cortante
VAB = 1
L
M + M2
− M1 − M 2
Reacciones RA = 1
RB =
L
L
[
]
]
Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos
− M0x
( L − x)
2 EI
− M 0 L2
L
y MAX =
para x =
2
8EI
− M0L
− M0
Pendiente θ AB =
( L − 2 x) θ A = −θ B =
2 EI
2 EI
Momento M AB = M 0
VAB = 0
Cortante
Reacciones RA = RB = 0
Deflexión
y AB =
Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano
− w0 4
( x − 4 Lx 3 + 6 L2 x 2 )
24 EI
− w0 L4
y MAX = y B =
para x = L
8EI
− w0 L3
− w0 3
Pendiente θ AB =
( x − 3Lx 2 + 3L2 x) θ B =
6 EI
6 EI
− w0
− w0 L2
2
M MAX = M A =
Momento M AB =
( L − x)
2
2
Cortante
VAB = w0 ( L − x)
Reacciones RA = w0 L
Deflexión
y AB =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
− w0
(6a 2 x 2 − 4ax 3 + x 4 )
24 EI
− w0 a 3
yCB =
(4 x − a )
24 EI
− w0 a 3
y MAX = y B =
(4 L − a)
24 EI
− w0
Pendiente θ AC =
(3a 2 x − 3ax 2 + x 3 )
6 EI
− w0 a 3
θ CB = θ C = θ B =
6 EI
− w0
Momento M AC =
(a − x) 2
M CB = M C = M B = 0
2
− w0 a 2
M MAX = M A =
2
Cortante
VAC = w0 (a − x)
VCB = VC = VB = 0
Reacciones RA = w0 a
Deflexión
y AC =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre
− w0 bx 2
(3L + 3a − 2 x)
12 EI
− w0 4
yCB =
( x − 4 Lx 3 + 6 L2 x 2 − 4a 3 x + a 4 )
24 EI
− w0bx
Pendiente θ AC =
( L + a − x)
2 EI
− w0 3
θ CB =
( x − 3Lx 2 + 3L2 x − a 3 )
6 EI
− w0 3
θB =
(L − a3 )
6 EI
− w0
− w0 b
Momento
M AC =
( L + a − 2 x) M CB =
( L − x) 2
2
2
Cortante
VAC = VA = VC = w0b
VCB = w0 ( L − x)
Reacciones RA = w0b
Deflexión y AC =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial
− w0bx 2
Deflexión y AC =
(6a + 3b − 2 x)
12 EI
− w0 4
yCD =
( x − 4(a + b) x 3 + 6(a + b) 2 x 2 − 4a 3 x + a 4 )
24 EI
− w0
y DB =
(4 x[(a + b) 3 − a 3 ] − (a + b) 4 + a 4 )
24 EI
− w0 bx
Pendiente θ AC =
( 2a + b − x )
2 EI
− w0 3
θ CD =
( x − 3(a + b) x 2 + 3(a + b) 2 x − a 3 )
6 EI
− w0
θ DB =
((a + b) 3 − a 3 )
6 EI
− w0 b
Momento M AC =
( 2a + b − 2 x )
2
− w0
M CD =
(a + b − x) 2 M DB = M D = M B = 0
2
Cortante
VAC = VA = VC = w0 b VCD = w0 (a + b − x)
VDB = VD = VB = 0
Reacciones RA = w0b
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
− w0 x 2
(20 L3 − 10 L2 x + x 3 )
120 LEI
− 11w0 L4
y MAX =
para x = L
120 EI
− w0 x
Pendiente θ AB =
(8L3 − 6 L2 x + x 3 )
24 LEI
− w0 L3
θB =
8EI
− w0
Momento M AB =
(2 L3 − 3L2 x + x 3 )
6L
w
Cortante
VAB = 0 ( L2 − x 2 )
2L
w0 L
Reacciones RA =
2
Deflexión
y AB =
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
− w0 x 2
(10 L3 − 10 L2 x + 5 Lx 2 − x 3 )
120 LEI
w0 L4
para x=L
yMAX =
30 EI
− w0 x
Pendiente θ AB =
(4 L3 − 6 L2 x + 4 Lx 2 − x 3 )
24 LEI
− w0 L3
θB =
24 EI
− w0
Momento M AB =
( L − x) 3
6L
w0
Cortante
VAB =
( L − x) 2
2L
wL
Reacciones RA = 0
2
Deflexión
y AB =
Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
− w0 L ⎛
πx
⎞
3
− 48L3 + 3π 3 Lx 2 − π 3 x 3 ⎟
⎜ 48L cos
4
3π EI ⎝
2L
⎠
4
− 2w0 L 3
y MAX =
( π − 24) para x = L
3π 4 EI
−w L⎛
πx ⎞
Pendiente θ AB = 3 0 ⎜ 2π 2 Lx − π 2 x 2 − 8L2 sen
⎟
2L ⎠
π EI ⎝
− w L3
θ B = 3 0 ( π 2 − 8)
π EI
− 2w0 L ⎛
πx ⎞
Momento M AB =
⎜ πL − πx − 2 L cos
⎟
2
π
2L ⎠
⎝
2w L ⎛
πx ⎞
Cortante VAB = 0 ⎜1 − sen
⎟
π ⎝
2L ⎠
2w0 L
Reacciones RA =
π
Deflexión yAB =
Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre
−P
(3Lx 2 − x 3 )
6 EI
− PL3
y MAX = y B =
3EI
−P
Pendiente θ AB =
(2 Lx − x 2 )
2 EI
− PL2
θ MAX = θ B =
2 EI
M MAX = M A = − PL
Momento M AB = − P ( L − x)
VAB = VA = VB = P
Cortante
Reacciones RA = P
Deflexión
y AB =
Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto
− Pa 2
−P
(3ax 2 − x 3 ) yCB =
(3x − a)
6 EI
6 EI
− Pa 2
y MAX = y B =
(3L − a)
6 EI
−P
− Pa 2
Pendiente θ AC =
(2ax − x 2 ) θ CB = θ C = θ B =
2 EI
2 EI
Momento M AC = − P(a − x)
M CB = M C = M B = 0
M MAX = M A = − Pa
VCB = VC = VB = 0
Cortante
VAC = VA = VC = P
Reacciones RA = P
Deflexión
y AC =
Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre
− M 0 x2
y AB =
Deflexión
2 EI
− M 0 L2
y MAX =
para x = L
2 EI
− M0x
Pendiente θ AB =
EI
Momento M AB = M A = M B = − M 0
Cortante
VAB = VA = VB = 0
Reacciones RA = 0
Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto
− M 0 x2
− M 0a
yCB =
y AC =
Deflexión
(2 x − a)
2 EI
2 EI
− M 0a
y MAX =
(2 L − a) para x = L
2 EI
− M0x
− M 0a
θ CB = θ C = θ B =
Pendiente θ AC =
EI
EI
Momento M AC = M A = − M 0
M CB = M B = 0
Cortante
VAC = VA = VC = 0 VCB = VC = VB = 0
Reacciones RA = 0
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
− w0 x 2
( L − x) 2
24 EI
− w0 x 2
Pendiente θ AB =
( L − 3Lx + 2 x 2 )
12 EI
− w0 2
Momento M AB =
( L − 6 Lx + 6 x 2 )
12
w0
Cortante
VAB =
( L − 2 x)
2
wL
Reacciones RA = RB = 0
2
Deflexión
y AB =
Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
− x2
( w0 x 2 − 4 RA x − 12 M A )
24 EI
3( M B + LRB ) x 2 − RB x 3
yCB =
+
6 EI
L2 (3M B + LRB ) − 3(2M B + LRB ) Lx
+
6 EI
−x
Pendiente θ AC =
( w0 x 2 − 3RA x − 6M A )
6 EI
−1
θ CB =
RB x 2 − 2( M B + LRB ) x + L(2 M B + LRB )
2 EI
w x2
M CB = RB ( L − x) + M B
Momento M AC = RA x + M A − 0
2
Cortante VAC = RA − w0 x
VCB = − RB
3w L M − M B
w L M − MB
RB = 0 + A
Reacciones RA = 0 − A
8
L
8
L
2
2
− 5w0 L
− 11w0 L
MB =
Siendo M A =
192
192
Deflexión y AC =
[
]
Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
− x2
Deflexión y AC =
( w0 x 2 − 4 RA x − 12 M A )
24 EI
3( M B + LRB ) x 2 − RB x 3
yCB =
+
6 EI
L2 (3M B + LRB ) − 3(2M B + LRB ) Lx
+
6 EI
−x
Pendiente θ AC =
( w0 x 2 − 3RA x − 6M A )
6 EI
−1
θ CB =
RB x 2 − 2( M B + LRB ) x + L(2 M B + LRB )
2 EI
w x2
M CB = RB ( L − x) + M B
Momento M AC = RA x + M A − 0
2
Cortante VAC = RA − w0 x VCB = − RB
w ( L + b) a M A − M B
−
Reacciones RA = 0
2L
L
2
wa
M − MB
RB = 0 + A
2L
L
2
− w0 a
Siendo M A =
(6 L2 − 8La + 3a 2 )
2
12 L
− w0 a 3
MB =
(4 L − 3a)
12 L2
[
]
Viga empotrada - Carga uniforme parcial
x2
(3M A + RA x)
6 EI
−1
yCD =
w0 ( x − a) 4 − 4 RA x 3 − 12M A x 2
24 EI
3( M B + LRB ) x 2 − RB x 3
y DB =
+
6 EI
L2 (3M B + LRB ) − 3(2M B + LRB ) Lx
+
6 EI
x
Pendiente θ AC =
(2M A + RA x)
2 EI
−1
θ CD =
w0 ( x − a) 3 − 3RA x 2 − 6M A x
6 EI
−1
θ DB =
RB x 2 − 2( M B + LRB ) x + L(2M B + LRB )
2 EI
w0 ( x − a) 2
Momento M AC = M A + RA x M CD = RA x + M A −
2
M DB = M B + RB ( L − x)
VDB = − RB
Cortante VAC = RA VCD = RA − w0 ( x − a)
w (2c + b)b − 2M A + 2M B
Reacciones RA = 0
2L
w (2a + b)b + 2M A − 2M B
RB = 0
2L
− w0 b 2
Siendo M A =
b (2 L − 6c − 3b) + (6a + 3b)(2c + b) 2
2
24 L
− w0b 2
MB =
b (2 L − 6a − 3b) + (6c + 3b)(2a + b) 2
2
24 L
Deflexión y AC =
[
[
]
]
[
]
[
]
[
]
Viga empotrada - Carga puntual en el centro
− P ( L − x) 2
− Px 2
(3L − 4 x) yCB =
(4 x − L)
48 EI
48EI
−P 2
− Px
Pendiente θ AC =
( L − 2 x)
θ CB =
( L − 3Lx + 2 x 2 )
8EI
8EI
−P
P
Momento M AC =
( L − 4 x)
M CB = (3L − 4 x)
8
8
P
−P
VAC =
VCB =
Cortante
2
2
P
Reacciones RA = RB =
2
Deflexión
y AC =
Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
− Pb 2 x 2
(3aL − 3ax − bx)
6 EIL3
− Pa 2 ( L − x) 2
yCB =
(3bx − aL + ax)
6 EIL3
− Pb 2 x
Pendiente θ AC =
(2aL − 3ax − bx)
2 EIL3
Pa 2 ( L − x)
x(3b + a) − L2
θ CB =
3
2 EIL
− Pb 2 x
(aL − 3ax − bx)
Momento M AC =
L3
Pa 2
M CB = 3 ( L2 + bL − Lx − 2bx)
L
Pb 2
− Pa 2
Cortante VAC = 3 ( L + 2a) VCB =
( L + 2b)
L
L3
Pb 2
Pa 2
Reacciones RA = 3 ( L + 2a) RB = 3 ( L + 2b)
L
L
Deflexión y AC =
[
]
Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
− Px 2
Deflexión y AC =
(3aL − 3a 2 − Lx)
6 EIL
− Pa 2
yCD =
(3Lx − 3x 2 − aL)
6 EIL
− P ( L − x) 2
y DB =
(3aL − 3a 2 − L( L − x))
6 EIL
− Px
− Pa 2
Pendiente θ AC =
(2aL − 2a 2 − Lx ) θ CD =
( L − 2 x)
2 EIL
2 EIL
P( L − x)
θ DB =
2aL − 2a 2 − L( L − x)
2 EIL
P
Momento M AC = ( Lx − aL + a 2 )
L
P
Pa 2
M CD =
M DB = ( L2 − Lx − La + a 2 )
L
L
Cortante VAC = P
VCD = 0
VDB = − P
Reacciones RA = RB = P
[
]
Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
M 0 x2
(2 x − L)
8LEI
− M0
yCB =
(5 Lx 2 − 2 x 3 − 4 L2 x + L3 )
8LEI
M x
− M0
Pendiente θ AC = 0 (3 x − L) θ CB =
(10 Lx − 6 x 2 − 4 L2 )
4 LEI
8LEI
M0
− M0
(6 x − L) M CB =
(5 L − 6 x)
Momento M AC =
4L
4L
3M 0
Cortante VAB =
2L
3M 0
− 3M 0
RB =
Reacciones RA =
2L
2L
Deflexión y AC =
Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión:
− M 0bx 2
M 0 a( L − x) 2
yAC =
(2aL − 2ax − bL) yCB =
(2bx − aL)
2 L3 EI
2 L3 EI
Pendiente:
− M bx
M a ( L − x) 2
θ AC = 3 0 (2aL − 3ax − bL) θ CB = 0 3
( L − 3bx)
L EI
L EI
Momento:
− M 0b
M a
(2aL − 6ax − bL) M CB = 03 (6bx − 4bL − aL)
M AC =
3
L
L
6M 0 ab
Cortante VAB =
L3
6M 0 ab
− 6M 0 ab
Reacciones RA =
RB =
3
L
L3
M a
− M 0b
M B = 02 (2b − a)
Siendo M A =
( 2 a − b)
2
L
L
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano
− w0 x 2
(3L2 − 5Lx + 2 x 2 )
48EI
− w0 x
Pendiente θ AB =
(6 L2 − 15Lx + 8 x 2 )
48EI
− w0 2
( L − 5Lx + 4 x 2 )
Momento M AB =
8
w
VAB = 0 (5L − 8 x)
Cortante
8
5w0 L
3w L
RB = 0
Reacciones RA =
8
8
Deflexión
y AB =
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión:
8R L( L − x) 3 − 2w0 L(a − x) 4 − w0 a 3 ( L − x)( L + 3b)
y AC = B
48EIL
3
3
8R L( L − x) − w0 a ( L − x)( L + 3b)
yCB = B
48EIL
Pendiente:
− 24 RB L( L − x) 2 + 8w0 L(a − x) 3 + w0 a 3 ( L + 3b)
θ AC =
48EIL
2
− 24 RB L( L − x) + w0 a 3 ( L + 3b)
θ CB =
48EIL
2 R ( L − x) − w0 (a − x) 2
M CB = RB ( L − x)
Momento M AC = B
2
Cortante
VAC = − RB + w0 (a − x) VCB = − RB
w ( L + b) a − 2 M A
Reacciones RA = 0
2L
2 2
− w0 ( L + b) a
Siendo M A =
8L2
w0 a 2 + 2 M A
RB =
2L
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
x2
( RA x + 3M A )
6 EI
4 RB L( L − x) 3 − w0 L( L − x) 4
yCB =
+
24 EIL
− w0b 2 ( L − x)(bL + 3ab + 6a 2 )
+
48EIL
x
Pendiente θ AC =
( RA x + 2M A )
2 EI
− 3RB L( L − x) 2 + w0 L( L − x) 3 w0 b 2 (bL + 3ab + 6a 2 )
+
θ CB =
6 EIL
48EIL
2 RB ( L − x) − w0 ( L − x) 2
Momento M AC = RA x + M A M CB =
2
Cortante VAC = RA
VCB = − RB + w0 ( L − x)
Deflexión y AC =
w0 b 2 − 2M A
w (2a + b)b + 2M A
RB = 0
2L
2L
2
− w0b
Siendo M A =
(2 L + b)( L + a) − b 2
2
16 L
Reacciones RA =
[
]
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial
x2
( RA x + 3M A )
6 EI
4 R ( L − x) 3 − w0 ( L − x − c) 4
yCD = B
+
24 EI
− w0 b( L − x) 2b 2 L − 3b 2 (2a + b) + 3(2c + b)(2a + b) 2
+
96 EIL
3
R ( L − x)
y DB = B
+
6 EI
− w0 b( L − x) 2b 2 L − 3b 2 (2a + b) + 3(2c + b)(2a + b) 2
+
96 EIL
x
Pendiente θ AC =
( RA x + 2M A )
2 EI
− 3RB ( L − x) 2 + w0 ( L − x − c) 3
θ CD =
+
6 EI
w b 2b 2 L − 3b 2 (2a + b) + 3(2c + b)(2a + b) 2
+ 0
96 EIL
2
− RB ( L − x)
+
θ DB =
2 EI
w0b 2b 2 L − 3b 2 (2a + b) + 3(2c + b)(2a + b) 2
+
96 EIL
Momento M AC = RA x + M A
Deflexión y AC =
[
]
[
]
[
]
[
]
2 RB ( L − x) − w0 ( L − x − c) 2
M DB = RB ( L − x)
2
Cortante VAC = RA VCD = w0 ( L − x − c) − RB VDB = − RB
w b(2c + b) − 2M A
Reacciones RA = 0
2L
w0 (2a + b)b + 2M A
RB =
2L
− w0 (2c + b)(2a + b)b (2 L + 2c + b)(2a + b) − b 2
Siendo M A =
16 L2
M CD =
[
]
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión:
− P( L − x)
− Px 2
y AC =
(9 L − 11x) yCB =
(3L2 − 5( L − x) 2 )
96 EI
96 EI
Pendiente:
− Px
−P
θ AC =
(6 L − 11x)
θ CB =
(4 L2 − 10 Lx + 5 x 2 )
32 EI
32 EI
5P
−P
(3L − 11x) M CB =
( L − x)
Momento M AC =
16
16
11P
− 5P
Cortante VAC =
VCB =
16
16
11P
5P
Reacciones RA =
RB =
16
16
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto
− Pbx 2
(3L3 − 3b 2 L − 3L2 x + b 2 x)
3
12 EIL
− Pa 2 ( L − x)
yCB =
(3bL2 − (2 L + b)( L − x) 2 )
12 EIL3
− Pbx
Pendiente θ AC =
(2 L3 − 2b 2 L − 3L2 x + b 2 x)
3
4 EIL
− Pa 2
θ CB =
(2 L3 − 4 L2 x − 2bLx + 2 Lx 2 + bx 2 )
4 EIL3
Momento:
Pa 2
− Pb 3
2
2
2
M
=
( L − x)(2 L + b)
M AC =
−
−
+
(
L
b
L
3
L
x
b
x
)
CB
2 L3
2 L3
− Pa 2
Pb
Cortante
( 2 L + b)
VAC = 3 (3L2 − b 2 ) VCB =
2 L3
2L
Pb
Pa 2
Reacciones RA = 3 (3L2 − b 2 )
RB = 3 (2 L + b)
2L
2L
Deflexión y AC =
Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión:
Px 2
y AC =
(3a 2 − 3aL − 2 L2 )( L − x) + 2 L(3a 2 − 3aL + L2 )
2
12 EIL
− Pa(3( L − a)( L − x) 3 − 6 L2 ( L − x) 2 )
+
yCD =
12 EIL2
− Pa 3L2 ( L + a )( L − x) − 2 L2 a 2
+
12 EIL2
− P( L − x)
y DB =
(3aL − 3a 2 − 2 L2 )( L − x) 2 + 3aL2 ( L − a)
2
12 EIL
Pendiente:
Px
θ AC =
(3a 2 − 3aL − 2 L2 )(2 L − 3x) + 4 L(3a 2 − 3aL + L2 )
2
12 EIL
− Pa
− 3( L − a)( L − x) 2 + 4 L2 ( L − x) − L2 ( L + a )
θ CD =
2
4 EIL
P
θ DB =
(3aL − 3a 2 − 2 L2 )( L − x) 2 + aL2 ( L − a)
2
4 EIL
P
Momento M AC = 2 3a 2 L − 3aL2 + x(2 L2 + 3aL − 3a 2 )
2L
− Pa
M CD =
3( L − a)( L − x) − 2 L2
2
2L
− P( L − x)
M DB =
(3aL − 3a 2 − 2 L2 )
2
2L
P
3Pa( L − a)
Cortante
VAC = 2 (2 L2 + 3aL − 3a 2 ) VCD =
2L
2 L2
P
VDB = 2 (3aL − 3a 2 − 2 L2 )
2L
P
Reacciones RA = 2 (2 L2 + 3aL − 3a 2 )
2L
P
RB = 2 (3a 2 + 2 L2 − 3aL)
2L
[
]
[
]
[
]
[
[
]
[
]
[
[
]
]
]
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto
[
]
− M 0 x2
2b 2 L − ( L − x)( L2 − b 2 )
3
4 EIL
− M 0 a( L − x)
yCB =
− 4 L3 − (( L − x) 2 − 3L2 )( L + b)
3
4 EIL
− M0x
Pendiente θ AC =
4b 2 L − (2 L − 3x)( L2 − b 2 )
3
4 EIL
− M 0a 3
θ CB =
4 L − 3( L + b)( x 2 − 2 Lx)
4 EIL3
− M0
2b 2 L − ( L − 3x)( L2 − b 2 )
Momento M AC =
3
2L
3M 0 a
M CB =
( L + b)( L − x)
2 L3
− 3M 0 a
Cortante
VAB =
( L + b)
2 L3
3M 0 a
− 3M 0 a
RB =
Reacciones RA =
( L + b)
( L + b)
3
2L
2 L3
Deflexión: y AC =
[
[
[
]
[
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado
M 0 x 2 ( L − x)
4 EIL
M x(2 L − 3 x)
Pendiente θ AB = 0
4 EIL
M ( L − 3 x)
Momento M AB = 0
2L
− 3M 0
VAB =
Cortante
2L
3M 0
− 3M 0
RB =
Reacciones RA =
2L
2L
Deflexión
y AB =
]
]
]
Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
− w0 x 4
( L − 2 L2 x 2 + Lx 3 − 2a 2 L2 + 2a 2 x 2 )
24 LEI
− w0 x1
2
3
y BC =
(4a 2 L − L3 + 6a 2 x1 − 4ax1 + x1 )
24 EI
− w0
Pendiente θ AB =
( L4 − 6 L2 x 2 + 4 Lx 3 − 2a 2 L2 + 6a 2 x 2 )
24 LEI
− w0
2
3
θ BC =
(4a 2 L − L3 + 12a 2 x1 − 12ax1 + 4 x1 )
24 EI
wx
− w0
(a − x1 ) 2
Momento M AB = 0 ( L2 − Lx − a 2 ) M BC =
2
2L
w0 2
( L − 2 Lx − a 2 ) VBC = w0 (a − x1 )
Cortante VAB =
2L
w
w
Reacciones RA = 0 ( L2 − a 2 ) RB = 0 ( L + a) 2
2L
2L
Siendo x1 = x − L
Deflexión
y AB =
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
w0 a 2 x 2
(L − x 2 )
12 LEI
− w0 x1
2
3
y BC =
(4a 2 L + 6a 2 x1 − 4ax1 + x1 )
24 EI
w a2 2
( L − 3x 2 )
Pendiente θ AB = 0
12 LEI
− w0 2
2
3
θ BC =
(a L + 3a 2 x1 − 3ax1 + x1 )
6 EI
− w0
− w0 a 2 x
M BC =
(a − x1 ) 2
Momento M AB =
2L
2
− w0 a 2
VBC = w0 (a − x1 )
Cortante VAB =
2L
w (2 L + a )a
− w0 a 2
RB = 0
Reacciones RA =
2L
2L
Siendo x1 = x − L
Deflexión y AB =
Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente
− Px1
Pax 2
2
( L − x 2 ) y BC =
(2aL + 3ax1 − x1 )
6 EI
6 LEI
−P
Pa
2
Pendiente θ AB =
( L2 − 3x 2 ) θ BC =
(2aL + 6ax1 − 3 x1 )
6 LEI
6 EI
− Pax
Momento M AB =
M BC = − P(a − x1 )
L
− Pa
VAB =
VBC = P
Cortante
L
P( L + a)
− Pa
RB =
Reacciones RA =
L
L
Siendo x1 = x − L
Deflexión y AB =
Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
− Pbx 2
(L − b2 − x2 )
6 LEI
− Pa( L − x)
yCB =
(2 Lx − a 2 − x 2 )
6 LEI
Pabx1
y BD =
( L + a)
6 LEI
− Pb 2
Pendiente θ AC =
( L − b 2 − 3x 2 )
6 LEI
Pab( L + a)
− Pa
θ CB =
(2 L2 − 6 Lx + a 2 + 3 x 2 ) θ BD =
6 LEI
6 LEI
Pa
Pbx
M CB =
( L − x) M BD = 0
Momento M AC =
L
L
Pb
− Pa
VBD = 0
Cortante
VAC =
VCB =
L
L
Pb
Pa
RB =
Reacciones RA =
L
L
Siendo x1 = x − L
Deflexión y AC =
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